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基本不等式、均值不等式


基本不等式
知识点:
1.基本不等式:

a?b ? ab , (▼使用条件: a , b 正数、当且仅当 a ? b 时取“=” ) 。 2

例题讲解:
▼▼例 1、(只含有一个字母): y ? x ? ( ) 的最小值为.
2 2

1 x

练习 1、当 x ? 0 时,则 y ? x ?

1 的最大值为. x

练习 2、求函数 y ? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) 的最小值是. sin x

a b 例 2、(有两个字母):若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是.

练习 3、已知定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) ? 3x ,若 f (a ? b) ? 9 ,则 f (ab) 的最大值为.

▼▼例 3、(前后相乘):已知 x ? 0, y ? 0 ,且 1 ? 9 ? 1 ,则 x ? y 的最小值为. x y

练习 4、若 x, y ? R ? 且 2 x ?

1 3 ? 4 ,则 y ? ? 的最小值为. y x

练习 5、若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值。 x y

练习 6、已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,则使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围为. x y

▼▼例 4、求 y ?

x 2 ? 5x ? 4 ( x ? 0) 的值域。 x

练习 7、求函数 y ?

x 2 ? 3x ? 1 , ( x ? 0) 的最小值,并求取得最小值时,x 的值. x

例 5、(换元法): 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 x ?1

例 6、(凑常数):已知 x ?

5 1 ,则函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值为. 4 4x ? 5

练习 8、求函数 y ? 2 x ?

1 , x ? 3 的最小值,并求取得最小值时,x 的值. x ?3

例 7、(凑系数):当 0 ? x ? 4 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为.

练习 9、设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值为. 2

练习 10、 0 ? x ?

2 ,求函数 y ? x(2 ? 3x) 的最大值为. 3

y2 练习 11、已知 x,y 为正实数,且 x 2+ =1,求 x 1+y2 的最大值为. 2

课后作业:
? 1、设 x, y 满足 x ? 4 y ? 40, 且 x, y ? R , 则 lg x ? lg y 的最大值是.

2、设函数 f ( x) ? lg

3 1 x ,若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则 ? 的最小值为. a b 2? x

3、已知 a, b, x, y ? R ? 且

3 1 ? ? 3 ,则 6 x ? y 的最小值为. 2x y

4、当 x ? 1 时,不等式 x ?

1 ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是. x ?1

5、已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ?

x(1 ? x) 的最大值为.


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