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解答题训练--三角函数、平面向量与解三角形


高三复习 三角函数、平面向量与解三角形
1. 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (1)求 f (x) 的最小正周期; (2)求 f (x) 的单调递增区间; (3)求 f (x) 图象的对称轴方程和对称中心的坐标. 解: f ( x) ?

?
2

) ? 3 cos 2 (3? ? x) ?

1 3 2

( x ? R) .

1 cos 2 x ? 1 1 sin 2 x ? 3 ? 3 2 2 2

? ? ? = ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? = sin(2 x ? ) ?2 ? 2 3 ? ?
(1)T=π ; (2)由 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? (k ? z )

可得单调增区间 [k? ? (3)由 2 x ? 由 2x ?

?
12

, k? ?

5 ? ] ( k ? z) . 12
5? k? ? (k ? z ) , 12 2

?
3

?

?
2

? k? 得对称轴方程为 x ?

?

3 6 ? ? ? ? 2已知向量 a ? (?1, cos ? x ? 3 sin ? x), b ? ( f ( x), cos ? x) ,其中 ? >0,且 a ? b ,又

? k? 得对称中心坐标为 (

?

?

k? ,0)( k ? z ) 2

3 f ( x) 的图像两相邻对称轴间距为 ? . 2
(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 在[- 2? , 2? ]上的单调减区间. 解: (Ⅰ) 由题意 a ? b ? 0

? ?

? f ( x) ? cos ? x(cos ? x ? 3 sin ? x)

?

1 ? cos 2? x 3 sin 2? x ? 2 2

?

1 ? ? sin(2? x ? ) 2 6

1

由题意,函数周期为 3 ? ,又 ? >0,? ? ? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x) ?

1 2x ? ? sin( ? ) 2 3 6 ? 2x ? 3? ? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ? ,k ? z 2 3 6 2

1 ; 3

? 3k? ?

?

2

? x ? 3k? ? 2? , k ? z
?? ? , 2? ? . ?2 ?

又 x ? ? ?2? , 2? ? ,? f ( x) 的减区间是 ? ?2? , ?? ? ? ?

3、在 ?ABC 中, a、 c 分别为角 A、、 的对边,且满足 b2 ? c2 ? a 2 ? bc . BC b、 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值. 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由 b2 ? c2 ? a 2 ? bc 及余弦定理得 cos A ? 而 0 ? A ? ? ,则 A ? (Ⅱ)由 a ? 3, A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

?
3



?
3

及正弦定理得

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 ? 2, 3 2

2? 2? 2? ? x ,则 b ? 2sin x, c ? 2sin( ? x)(0 ? x ? ) 3 3 3 2? ? 于是 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin x ? 2sin( ? x) ? 2 3 sin( x ? ) ? 3 , 3 6 2? ? ? 5? ? ? ? 由0 ? x ? 得 ? x? ? ,当 x ? ? 即 x ? 时, ymax ? 3 3 。 3 3 6 6 6 6 2 2 4、如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行,已知圆环的半径为 m,圆环 3 的圆心距离地面的高度为 1m ,蚂蚁每分钟爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点 P0 处. (1)试确定在时刻 t 时蚂蚁距离地面的高度 h(t ) ; (2)画出函数 h(t ) 在 0 ? t ? 1时的图象; 2 (3)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过 m? 3
而 B ? x, C ?

h
O

解:

O

t
2

地面

P0

O

地面

P0

(1) h(t ) ? 1 ?

2 cos 2? t (m) …………………………4 分 3

(2)图象如右实线部分…………………………8 分 (3)由 h(t ) ? 1 ?

2 2 cos 2? t ? 解得 3 3

1 5 ?t ? , 6 6 2 2 所以一圈内,有 分钟的时间蚂蚁距离地面超过 m. …………12 分 3 3
5、设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ? a.
2

(Ⅰ)写出函数 f (x) 的最小正周期及单调递减区间; (II)当 x ? [?

3 , ] 时,函数 f (x) 的最大值与最小值的和为 , f (x) 的图象、 y 轴 6 3 2 的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积.
2 2 6 2

? ?

解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? a ? sin(2 x ? ? ) ? a ? 1 , ………2 分
?T ? ? . ………4 分



3? ? 2? ? 2k?得 ? k? ? x ? ? k? . 2 6 2 6 3 ………6 分 ? 2? 故函数f ( x)的单调递减区间是[ ? k? , ? k? ]( k ? Z ). 6 3 ? 2k? ? 2 x ? ?

?

?

(II)? ? ? ? x ? ? ,? ? ? ? 2 x ? ? ? 5? ,? ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1.
6 3 6 6 6 2 6

1 1 1 3 ? ? ?? 当x ? ?? , ?时, 原函数的最大值与最小值的和( ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? ,? a ? 0. 1 2 2 2 2 ? 6 3? ? 1 ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? . 6 2

………8 分

f (x) 的图象与 x 轴正半轴的第一个交点为 ( ,0) 2

?

………10 分

所以 f (x) 的图象、y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积

3

S = ? 2 [sin(2 x ?
0

?

?

1 1 ? x 2 3 ?? ) ? ]dx ? [ ? cos(2 x ? ) ? ] 02 ? . …12 分 6 2 2 6 2 4

?

6、已知向量 m=( 3 sin (I) (II)

x x 2 x ,1) ,n=( cos , cos )。 4 4 4 2? m?n=1,求 cos( ? x) 的值; 3

记 f(x)=m?n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围。

解: (I)m?n= 3 sin

x x x cos ? cos 2 4 4 4

=

3 x 1 x 1 sin ? cos ? 2 2 2 2 2

= sin( ? ∵m?n=1 ∴ sin( ?

x ? 1 )? 2 6 2

x ? 1 ) ? ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4 分 2 6 2 ? x ? cos( x ? ) ? 1 ? 2sin 2 ( ? ) 3 2 6 1 = 2 2? ? 1 cos( ? x) ? ? cos( x ? ) ? ? ┉┉┉┉┉┉┉6 分 3 3 2
由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ┉┉┉┉┉┉7 分

(II)∵(2a-c)cosB=bcosC

∴ 2sin AcosB ? sin C cos B ? sin B cos C ∴ 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ∵ A? B ?C ? ? ∴ sin( B ? C ) ? sin A ,且 sin A ? 0

1 ? , B ? ┉┉┉┉┉┉8 分 2 3 2? ∴0 ? A ? ┉┉┉┉┉┉9 分 3 ? A ? ? 1 A ? ∴ ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 ┉┉┉┉┉┉10 分 6 2 6 2 2 2 6 x ? 1 又∵f(x)=m?n= sin( ? ) ? , 2 6 2 A ? 1 ∴f(A)= sin( ? ) ? ┉┉┉┉┉┉11 分 2 6 2
∴ cos B ?
4

故函数 f(A)的取值范围是(1,

3 )┉┉┉┉┉┉12 分 2
3 cos A .

7、在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边长,已知 2 sin A ? (Ⅰ)若 a ? c ? b ? mbc ,求实数 m 的值;
2 2 2

(Ⅱ)若 a ?

3 ,求 ?ABC 面积的最大值. 3 cos A 两边平方得: 2 sin 2 A ? 3 cos A

解:(Ⅰ) 由 2 sin A ?

即 (2 cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 解得: cos A ?

1 …………………………3 分 2
b2 ? c2 ? a2 m ? 2bc 2

而 a ? c ? b ? mbc 可以变形为
2 2 2

即 cos A ?

m 1 ? ,所以 m ? 1…………………………6 分 2 2
3 1 ,则 sin A ? …………………………7 分 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ?



b2 ? c2 ? a2 1 ? …………………………8 分 2bc 2
2 2 2 2 2

所以 bc ? b ? c ? a ? 2bc ? a 即 bc ? a …………………………10 分 故 S ?ABC ?

bc a2 3 3 3 sin A ? ? ? ………………………………12 分 2 2 2 4

8、已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C (I) 求角 B 大小;

(II) 设 m ? ? sin A,1? , n ? ? ?1,1? ,求 m ? n 的最小值.

5

9、在 ?ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知sin B ? (1)求

5 , 且a, b, c成 等比数列。 13

1 1 的值; ? tan A tan C

(2)若 ac cos B ? 12, 求a ? c 的值。 解: (I)依题意, b ? ac
2

5 25 , 得 sin A sin C ? sin 2 B ? . 3分 13 169 1 1 cos A cosC sin(A ? C ) sin B 5 169 13 ? ? ? ? ? ? ? ? . 6分 tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin A sin C 13 25 5 (II)由 ac cos B ? 12知cos B ? 0. 5 12 由 sin B ? , 得 cos B ? ? . (舍去负值) 8 分 13 13 12 2 从而, b ? ac ? ? 13. 9 分 cos B
由正弦定理及 sin B ? 由余弦定理,得 b ? (a ? c) ? 2ac ? 2ac cos B.
2 2

代入数值,得 13 ? (a ? c) ? 2 ? 13 ? (1 ?
2

12 ). 13

解得 a ? c ? 3 7 .

12 分

10、在锐角 ?ABC 中, a, b, c 是角 A, B, C 所对的边, S 是该三角形的面积,若

sin 2 B ? 3 sin B ?

3 ?0。 4

(1)求角 B 的度数; (2)若 a ? 4, S ? 5 3 ,求 b 的值。 解: (1) sin B ? (2)?

3 ? 2? ,则 B ? , ( B ? …… (6 分) 舍去) 2 3 3

?
? b ? 21

1 ac sin B ? 5 3 ? c ? 5 ……………(9 分) 2 1 b2 ? a 2 ? c 2 - 2ac cos B ? 16 ? 25 - 2 ? 4 ? 5 ? ? 21 2
…………(12 分)
6

11、已知 a ? 2(cos ? x, cos ? x), b ? (cos ? x, 3 sin ? x) (其中 0< ? <1),

?

?

b 函数 f ( x ) ? a ? 若直线 x ?
(I) (II)

? ?

?
3

是函数 f ( x) 图像的一条对称轴,

试求 ? 的值; 先列表在作出函数 f ( x) 在区间 [?? , ? ] 上的图像

解:

? ? f ? x ? ? a ? b ? 2 ? cos ? x, cos ? x ? ? cos ? x, 3 sin ? x ? 2cos 2 ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x

?

?

?? ? ? 1 ? 2cos ? x ? 3 sin ? x ? 1 ? 2sin ? 2? x ? ? 6? ?

? ? ? ? 直线x ?

2?? ? ? ? 2?? ? ? 为对称轴,? sin ? ? ? ? ?1? ? ? k? ? ? k ? Z ? 3 6? 3 6 2 ? 3 3 1 1 1 1 ?? ? K ? ,? 0 ? ? ? 1?? ? k ? ? k ? 0, ? ? 2 2 3 3 2

?

? ? ?由? ? ? 知f ? x ? ? 1 ? 2sin ? x ? ?
?
列表

??
? 6?

7

描点作图,函数 f ? x ? 在 ? ?? , ? ? 的图像如图所示。

8


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