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南开中学高2013级10-11学年(上)期末试题——数学


重庆南开中学高 2013 级高一(上)期末测试

数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分,每小题只有一个选项符合要求) 1. cos300 ? (

?

)

A. ?

1 2

B.

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2
)

2.已知向量 a和b, 若 (a ? b) ? (a ? b), 则下列关于 | a | 和 | b | 的大小关系一定成立的是 (

? ?

? ?

? ?

?

?

? ? A.| a |?| b |

? ? B.| a |?| b |

? ? C.| a |?| b |
x ? 1 ? 3 ? x }, 则 M ? P ? (
C.?
)

? ? D.| a |?| b |
)

3.已知 M ? {x | x ? 2 |? 1}, P ? {x y ?

A.M

B.P

D.{1,3}

4.函数 f ( x) ? ( ) ? 3 x 的零点所在的一个区间是 (
x

1 2

A.(0,1)

B.(1, 2)

C.(2,3)

D.(3, 4)

5.将函数 y ? sin x 的图象向右平移

? 个单位长度,每个点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来 6
)

的 2 倍,所得图象对应的函数是 (

3 2? 2? 0.5 , c ? log 2sin , 则 a, b, c 的大小关系是 ( 6.已知 a ? 2 , b ? sin 5 5
A.a ? c ? b B.a ? b ? c
)

A.y ? sin(2 x ? ) 6

?

B . ? s i nx ? y (2

?

1 ? )C . ? s i n ( ? y x 2 6

1 ? ) D. ? sin( ? y x 2 3
)

)

C.c ? b ? a

D.c ? a ? b

7.函数 f ( x) ? ? x sin x 的部分图象是 (

第1页 共8页

8. f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x) ? f ( x ? 3), f (1) ? 1, 又 f (2) ? log 1 (m2 ? m), 则 m 的取
2

值范围是 (

)

A. ? 1 ? m ? 0 C. ? 1 ? m ? 0或m ? 1

B.1 ? m ? 2 D. ? 1 ? m ? 0或1 ? m ? 2
)

9.已知函数 f ( x) ?| lg x |, 0 ? a ? b, f (a) ? f (b), 则 a ? 2b 的取值范围是 (

A.(2 2, ??)

B.[2 2, ??)

C.( 3, ??

)

D.[3, ??)

10.给出下列四个命题:①用 cardA 表示有限集 A 的元素个数,则 A ? B ? cardA ? cardB ; ②函数 f ( x ) 满足对任意 x 都有 f ( x ? 3) ? f ( x ? 3) ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 3 对称; ③在 ?ABC中, A, B, C 为三个内角,则 A ? B ? cos A ? cos B ;
2 2

④ ?1 , ?2 , t1 , t2 为实数,若 e1 , e2 不共线,则 (?1 e1 ? ?2 e2 ) ∥(t1 e1 ? t2 e2 ) ? ?1t2 ? ?2t1 ? 0. 其中正确命题的个数有 ( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

?? ?? ?

? ?

?? ?

? ?

?? ?

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、 填空题: (本大题 5 个小题, 每小题 5 分, 25 分)各题答案必须填写在答题卡 II 上相应位置(只 共 填结果,不写过程). 11. lg

1 ? log 5 125 ? 100
2 ?2

.

12.已知 x ? x?1 ? 3, 则 x ? x

?

.

13.在△ABC 中,D 是 AB 边上的中点, AB ? a, AC ? b, 则 CD ? 表示) 14.已知函数 f ( x) ? 是

??? ?

? ??? ?

?

??? ?

. (用 a, b 的线性组合

cos x ? ? ?? , 若 f ( x) ? a ? 0 在 ? ? , ? 上恒成立,则实数 a 的取值范围 2 cos x ? 1 ? 3 3?

.

15.若 ? ? (0, ), 当关于 x,y 的方程组 ?

?

2

? x 2 sin ? ? y 2 cos ? ? 1 ? 有四组不同的解时, ? 的取值范围 2 2 ? x cos ? ? y sin ? ? 1 ?



.

第2页 共8页

三、解答题:(本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡 II 上(必须写出必要的文字说明、 演算步骤或推理过程) 16.(本小题 13 分,(1)小问 6 分,(2)小问 7 分) 已知 ? 是第四象限角,且 cos ? ? (1)求 tan ? 的值;

3 . 5

3 ? sin( ? ? ? ) ? 2 cos(? ? ) 2 2 的值 (2)求 sin(? ? ? ) ? 3cos(2? ? ? )

17.(本小颢 13 分,(1)小问 5 分,(2)小问 8 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,己知点 A(?1, ?2), B(2,3), C (?2, ?1). (1)若 D(m, 2m), 且 AB 与 CD 共线,求非零实数 m 的值; (2)若 ( AB ? tOC) ? OC(t ? R), 求 t 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

18.(本小题 13 分,(1)小问 5 分,(2)小问 8 分) 若向量 a 与 b 的夹角都是 60 , 且 | a |?| b |? 1.
?

?

?

?

?

(1)求 (a ? 2b)? a ? b) 的值; ( (2)求 (a ? 2b) 和 (a ? b) 夹角的余弦值.
第3页 共8页

?

?

? ?

?

?

? ?

19.(本小题 12 分,(1)小问 4 分,(2)小问 4 分,(3)小问 4 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 两相邻对称轴间的距离为 的一个最低点为 (

2? 1 , ? ). 3 2

? , 且图象 2

(1)求 f (x) 的解析式; (2)求函数 f (x) 的单调增区间与对称轴; (3)当 x ? [ ?

? ?

, ] 时,求函数 f (x) 的值域. 6 3

20.(本小题 12 分,(1)小问 4 分,(2)小问 8 分)

a?2 x 已知函数 f ( x) ? 的图象过点 (0, 2 ? 1). 2x ? 2
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)设 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) 为 y ? f (x) 的图象上两个不同点,又点 P( xP , yP ) 满足: 1
第4页 共8页

??? 1 ???? ???? ? 1 OP ? (OP ? OP2 ) ,其中 O 为坐标原点. 试问:当 xP ? 时, yP 是否为定值?若是,求 1 2 2
出 yP 的值,若不是,请说明理由.

21.(本小题 12 分,(1)小问 4 分,(2)小问 8 分) 己知实数 m ? 0, 又 a ? ( x ? 1, m ), b ? ( m ,
2 x x

?

?

?? 1 ), 设函数 f ( x) ? a? . b m

(1)若 m ? 0, 且 f (?2) ? f (2), 求 m 的值; (2)若对一切正整数 k ,有 f (2k ) ? f (2k ? 1), 求 m 的取值范围.

第5页 共8页

高 2013 级高一(上)期末考试答案(数学)
一、选择题 BDAAC 二、填空题 11.1 三、解答题 12.7 13. BCDCB

1? ? a?b 2

14. a ? ?1

15. (0,

?
4

)

4 4 ,? tan ? ? ? ; 5 3 ? cos ? ? 2sin ? ?1 ? 2 tan ? ? ? ?1. (2)原式 ? ? sin ? ? 3cos ? ? tan ? ? 3 ??? ? ??? ? 17.解:(1) AB ? (3,5) , CD ? (m ? 2, 2m ? 1)
16.解:(1)由题意知, sin ? ? ?

??? ??? ? ? ? AB ∥CD ,? 3(2m ? 1) ? 5(m ? 2) ,? m ? 7 ;
第6页 共8页

(2) AB ? tOC ? (3 ? 2t ,5 ? t ) , OC ? (?2, ?1) 由题意知 ?2(3 ? 2t ) ? (5 ? t ) ? 0 ,解得 t ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

( b 18.解:(1) (a ? 2b)? a ? b) ?| a | ?a ? ? 2 | b | ? 1 ?
2 2

?

?

? ?

?

? ?

?

11 . 5

? ? ? ? (a ? 2b)? a ? b) ( ? ? ? (2)设夹角为 ? , 则 cos ? ? ? | a ? 2b || a ? b |

1 3 ?2 ? ? ; 2 2

? ? ? ? ? ?? ? | a ? 2b |2 ? (a ? 2b)2 ?| a |2 ?4a? ? 4 | b |2 ? 3 b ? ? ? ? ? ?? ? | a ? b |2 ? (a ? b)2 ?| a |2 ?2a? ? | b |2 ? 3 b
3 2 ? ? 1. ? cos ? ? 2 3? 3 ?
19.解:(1)由题意知 A ?

1 ? ,T ? 2? ? ? ? ? ? 2 2 2 2? 1 2? 3? ? ,? ) ,? 2? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2 k? ? 又图象有一个最低点 ( 3 2 3 2 6 ? 1 ? 而 0 ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin(2 x ? ) ; 6 2 6

(2) 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

? k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6



2x ?

?
6

? k? ?

?

k? ? ? k ?Z ; 3 6 2 6 ? ? ? ? 5? ? 1 1 1 ] ,? sin( 2 x ? ) ? [? ,1] ,? f ( x) ? [? , ]. (3) x ? [? , ] ? 2 x ? ? [? , 6 3 6 6 6 6 2 4 2

2

?x?

? f (x) 的增区间是 (k ?

?

k? ? ? 2 6 , k? ?

?

)k ? Z ,对称轴为 x ?

20.解:(1)由题意知

a 1? 2

? 2 ? 1 ,解得 a ? 1 ,? f ( x) ?

2x ; 2x ? 2

(2)

1 1 ? xP ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 2 2

1 1 2x1 2 x2 1 2 x1 21? x1 yP ? ( y1 ? y2 ) ? ( ? )? ( ? ) 2 2 2x1 ? 2 2x2 ? 2 2 2x1 ? 2 21? x1 ? 2
1 1 1 2x1 2 1 2 x1 2 1 ? ( ? )? ( ? )? ? ? 2 2 2 2x1 ? 2 2 ? 2 ?2x1 2 2x1 ? 2 2 ?2x1

第7页 共8页

1 ? y p 为定值 . 2
21.解: f ( x) ? ( x2 ?1)mx ? mx?1 (1)由题知 3m
?2

? m ?3 ? 3m 2 ? m ,即 m ?4 (3m 2 ? m) ? 3m2 ? m ,

? m?4 ? 1 ,? m ? ?1 ,又 m ? 0,? m ? 1 ;
(2)由题知 (4k 2 ? 1)m 2k ? m 2k ?1 ? (4k 2 ? 4k )m 2k ?1 ? m 2k ?2 ,两边同除 m 2 k ?2 , 得 (4k 2 ?1)m2 ? m ? (4k 2 ? 4k )m ? 1 , 整理得 4(m 2 ? m)k 2 ? 4mk ? m 2 ? m ? 1 ? 0 记 g (k ) ? 4(m2 ? m)k 2 ? 4mk ? m2 ? m ?1 ①当 m ? m ? 0 ,即 m ? 1 或 m ? 0 时, g (k ) 的对称轴为 k ? ?
2

1 ?1 2(m ? 1)

故要使 g (k ) ? 0 对一切正整数 k 恒成立,只需 g (1) ? 0 即 3m ? m ? 1 ? 0 ,解得 m ?
2

?1 ? 13 ?1 ? 13 或m ? 6 6

?m ? 1或 m ?
2

? 1 ? 13 6

②当 m ? m ? 0 ,即 m ? 0 或 1 时,

m ? 0 时,等价于 ? 1 ? 0 恒成立,显然不符合题意 m ? 1 时,等价于 4k ? 1 ? 0 对一切正整数 k 恒成立,显然符合题意
③当 m ? m ? 0 ,即 0 ? m ? 1 时,
2

g (k ) 是开口向下的抛物线,由图象知对一切正整数 k , g (k ) ? 0 不可能恒成立
综上所述 m ?

?1 ? 13 或 m ? 1. 6

第8页 共8页


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