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三角函数及解三角形公式一览


三角公式汇总
一、任意角的三角函数
在角 ? 的终边上任取 一点 P( x, y ) ,记: r ? .. 正弦: sin ? ? 正切: tan ? ? 正割: sec? ?
y r y x r x
x2 ? y2 ,

余弦: cos? ? 余切: cot ? ? 余割: csc? ?

x r

x y r y

注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,

与单位圆有关的有向 线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角 ? 的正弦线、余弦 .. 线、正切线.

二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系: sin ? ? csc? ? 1 , cos? ? sec? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 . 商数关系: tan ? ?
sin ? cos? , cot ? ? . cos? sin ?

平方关系: sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , 1 ? tan 2 ? ? sec 2 ? , 1 ? cot 2 ? ? csc 2 ? .

1

三、诱导公式(总口诀:奇变偶不变,符号看象限)
⑴ ? ? 2k? (k ? Z ) 、? ? 、? ? ? 、? ? ? 、2? ? ? 的三角函数值,等于 ? 的 同名函数值,前面加上一个把 ? 看成 锐角时原函数值的符号. .. (口诀:函数名不变,符号看象限) ⑵

?

? 3? 3? ? ? 、 ? ? 、 ? ? 、 ? ? 的三角函数值,等于 ? 的异名函数值, 2 2 2 2

前面加上一个把 ? 看成 锐角时原函数值的符号. .. (口诀:函数名改变,符号看象限)

四、和角公式和差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

五、二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos?

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? … (?)

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

二倍角的余弦公式 (?) 有以下常用变形: (规律:降幂扩角,升幂缩角)
1 ? cos 2? ? 2 cos 2 ? 1 ? cos 2? ? 2 sin 2 ?

1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? ) 2
cos 2 ? ?

1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos? ) 2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? , tan ? ? . ? 2 2 sin 2? 1 ? cos 2?
2

六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)
2 tan ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? sin 2? ? , cos 2? ? , tan 2? ? . 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ?

万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切 来表示. ..

七、和差化积公式
sin ? ? sin ? ? 2 sin

???
2

cos sin

???
2

…⑴ …⑵ …⑶ …⑷

sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2 2 2

???
2

cos? ? cos ? ? 2 cos

???

cos

???
2

cos? ? cos ? ? ?2 sin

???

sin

???
2

了解和差化积公式的推导,有助于我们理解并掌握好公式:

??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2 ??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin ? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2
两式相加可得公式⑴,两式相减可得公式⑵.
?? ? ? ? ? ? cos ? ? cos? ? 2 ? 2

? ?? ? ?? ??? ? ?? ? cos ? sin sin ? ? cos 2 2 2 2 ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ? cos? ? cos ? sin sin ? ? cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2
两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷.

3

八、积化和差公式
sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? ? cos? ? cos ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2 1 ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2

sin ? ? sin ? ? ?

我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用.

九、辅助角公式
a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) (*) 其中:角 ? 的终边所在的象限与点 (a, b) 所在的象限相同,

sin ? ?

b a2 ? b2

, cos ? ?

a a2 ? b2

, tan ? ?

b . a

十、sin 与 cos 的大小关系图形
y

sin? ? cos? sin? ? cos?

y

sin? ? cos? ? 0 sin? ? cos? ? 0

o
sin? ? cos? A(?2,
x? y ?0

x

o sin? ? cos? ? 0

x
A(?2,
x? y ? 0

4

十一、不常见的公式 1. sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin(60? ? ? ) sin ? sin(60? ? ? )
cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos(60? ? ? ) cos ? cos(60? ? ? )

2. sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ?
cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ?

十二、解三角形之正余弦定理
[基本知识] ?ABC 中:
1. 边边关系:三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. 2. 角角关系: A ? B ? C ? 180
?

3. 边角关系:①大边对大角,大角对大边: A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B ②正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ( R 是外接圆的半径) sin A sin B sin C

?a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ? ?sinA ? a , sin B ? b ,sin C ? c ? 常见的变形: ? 2R 2R 2R ?a sin B ? b sin A, a sin C ? c sin A, b sin C ? c sin B ? ? ?a : b : c ? sin A : sin B : sin C

? b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 ? 2 a ? c2 ? b2 ? 2 2 ③余弦定理: ?b ? a ? c ? 2ac cos B ,常见的变形: ?cos B ? 2ac ? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C 2 ? ? a ? b2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?

?a ? b cos C ? c cos B ? ④射影定理: ?b ? a cos C ? c cos A ?c ? a cos B ? b cos A ?
⑤ A ? B ? sin A ? sin B, A ? B ? cos A ? cos B

5

? ? ⑥角成等差时,角的特点: A ? C ? 2 B ? B ? 60 , A ? C ? 120

⑦边成等差时,边的特点: a ? c ? 2b ? 2 cos ⑧三边 a, b, c 成等比,则角 B ? (0,

A?C A?C ? cos 2 2

?
3

].

4. 三角形面积公式

S?ABC ? ?

? ???? 1 1 1 1 1 1 ??? aha ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A ? AB ? AC ? x1 y2 ? x2 y1 2 2 2 2 2 2
?2

abc 1 p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) ? pr ? ? 4R 2

?? ?? a ? b ? ? a? b ? ? 2 R 2 sin A sin B sin C ? ?

?2

2

其中: p ?

a?b?c , r 是内切圆半径, R 是外接圆半径, 2

AB ? a ? ( x1 , y1 ), AC ? b ? ( x2 , y2 )
4.解斜三角形的类型: 类型一:已知两角与一边(正弦定理) 。 类型二:已知两边及其中一边的对角(正弦定理) 。 (这种题型一定要注意,可能无解, 一解,两解。 ) 类型三:已知三边(余弦定理) 。 类型四:已知两边及其夹角(余弦定理) 。 5.解三角形应用 应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤为: (1) 根据题意画出示意图。 (2) 确定实际问题所涉及的三角形,并搞清楚该三角形的已知元素与未知元素。 (3) 选用正弦定理还是余弦定理(有时需要正,余弦定理并用)进行求解 (4) 给出答案,并赋予实际意义。

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