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高中数学专题讲义(3)


【易错题】
1.(教 L1 例 2)用列举法表示 A ? ? x x ? N ,

? ?

? 6 ? Z ? ? _________ ?0,1,2,4,5,6,9? 3? x ?

提醒学生审题的规范,审题要慢,答题要快,草稿纸的合理利用以及答题的规范:取值集 合一定要加大括号,定义域和值域,角度和弧度不能

混用 2.(教 L2 基 7)集合 M ? x 0 ? ax ? 1 ? 3 , N ? x - 1 ? x ? 4 ,若 M ? N ? N ,则 实数 a 的取值范围是_____________ 分类讨论的意识要加强
2 2 3.(教 L2 例 3)已知集合 A ? x x - mx ? m - 7 ? 0 , B ? x x 2 - 3x ? 2 ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

?

?

C ? x x 2 ? 4 x - 5 ? 0 满足 A ? B ? ? 且 A ? C ? ? , 则实数 m ? _____ - 1 检验意识
4. (2011 届高三苏州期末考试 19 题改编) 不等式

?

?

1 1 ? 的解集为______ m 4

?- ?,0? ? ?4,???

5.(教 L3 基 6 改编)命题“ ?x ? 1, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定为____________

k ? 2x 6. (教 L3 基 8 改编) 函数 g ( x) ? 为奇函数, 则实数 k 的取值集合为______ ?? 1,1? 1? k ? 2x
7.(同心圆梦 3)满足 A ? B ? ? 1,2?的集合 A, B 共_________组 变式: 满足 A1 ? A2 ? A3 ? ??? An ? ?a1 , a2 , a3 ,?, ak ?(n ? N * ) 的集合 A1 , A2 ,?, An 共有________组 8.(教 L3 白皮书 7)在 ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 的_________条件; (充要) 在 ?ABC 中, A ? B 是 cos A ? cos B 的________条件; (充要) 在 ?ABC 中, sin A ? cos B 是 ?ABC 为锐角三角形的____________条件(必要不充分)

【专题研究、方法梳理】
专题 1:整数型(整除性)问题研究 类型 1:方程型的整数型(整除性)问题 引例 1:已知二项式

?

5

x ? 1 ,其中 n ? N ,且 3 ? n ? 2012 ,在其二项展开式中,若存 x

?

n

1

在连续三项的二项式 系数成等差数列,问这样的 n 共有多少个? ...
k ?1 k k ?1 解 : 连 续 三 项 的 二 项 式 系 数 分 别 为 Cn 、 Cn 、 Cn ( 1 ? k ? n ?1 ) ,由题意 k k ?1 k ?1 ,依组合数的定义展开并整理得 n 2 ? (4k ? 1)n ? 4k 2 ? 2 ? 0 ,故 2Cn ? Cn ? Cn

n1, 2 ?

4k ? 1 ? 8k ? 9 2 , 则 8k ? 9 ? (2m ? 1) 2 ? 2k ? m ? m ? 2 , 代 入 整 理 得 2

n1 ? (m ? 1) 2 ? 2 ,n2 ? m 2 ? 2 ,? 442 ? 1936,452 ? 2025,故 n 的取值为 44 2 ? 2 ,
432 ? 2 ,…, 32 ? 2 ,共 42 个(将所求参数求出,根据整数性质加以研究,尽量出现分
式、根式等形式) 引例 2:已知 Tn ?

1 1 (1 ? ) ,问是否存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1,Tm, 3 3n ? 1

Tn 成等比数列?若存在,求出 m,n 的值,若不存在,说明理由? 解:∴Tn ?

1 1 1 n 1 m n (1 ? )? Tn ? ∴T1 ? , Tm ? , Tn ? 3n ? 1 3 3n ? 1 3 3n ? 1 4 3m ? 1 m 2 1 n 1 2 ? 2 ? ) ? ? ,所以 m ? ?1 2 ,1 ? 2? 3m ? 1 4 3n ? 1 12 3 ? 3 ?

∵T1 , Tm , Tn 成等比数列.∴ (

又∵m 为正整数且 m ? 2 ,∴m ? 2 ,n=16,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列 类型 2:不等型的整数型(整除性)问题 引例 3:已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 2
n?2

, S n 是其前 n 项的和,问是否存在正整数

m, n ,使得

Sn ? m 2m 成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对 ?m, n? ;若 ? m Sn?1 ? m 2 ? 1
1 1 ) 4(1 ? n ) ? m m 2m 2n ? 4(1 ? 1 ) ,由 Sn ? m ? 2 ,得 2 ?1 ? n m 1 1 Sn ?1 ? m 2m ? 1 2 2 ? 1 1? 4(1 ? n +1 ) ? m 2 2

不存在,请说明理由 解: Sn ?

2(1 ?

当 m ? 4 时,分母小于 0 恒成立,化简可知不等式不可能成立,又因为 m 是正整数,故

m ? 1,2,3 当 m ? 1 时 , 由 (?) 得 , 2 ? 2n ? 3 ? 8, 所 以 n ? 1 ; 当 m ? 2 时 , 由 (?) 得 ,

1

2

2 ? 2n ? 2 ? 12 ,所以 n ? 1 或 2 ;当 m ? 3 时,由 (?) 得, 2 ? 2n ? 20 ,所以 n ? 2 或 3 或 4 ,

综上可知,存在符合条件的所有有序实数对 ( m, n) 为: (1,1),(2,1),(2, 2),(3, 2),(3,3),(3, 4) . 练习: 1: 设 a , b 均为大于 1 的自然数, 函数 f ( x) ? a(b ? sin x), g ( x) ? b ? cos x , 若存在实数 m 使得 f (m) ? g (m) ,则 a ? b ? _____ a ? b ? 2 (根据函数值域进行夹逼) 2: 各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次成公差为 d(d > 0)的等差数列, 后三项依次成公比为 q 的等比数列. 若 a4 ? a1 ? 88 ,则 q 的所有可能的值构成的集合为 ▲

,8 ?5 3 7?

3:已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,等比数列 {bn } 的公比 q 为小于 1 的正有理数。若

a1 ? d , b1 ? d 2 ,且
2

2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于 b1 ? b2 ? b3



.答案:

1 2

只能为 8

4: 函数 f ( x) ? ax ? 2(a ? 3) x ? a ? 2 中, a 为负整数,则使函数至少有一个整数零点的 所有的 a 值的和为______________ 整数型问题:-14 5. m∈N,若函数 f ( x) ? 2x ? m 10 ? x ? m ? 10 存在整数零点,则 m 的取值集合为 ____ 解 当 x∈Z,且 x≤10 时, m 10 ? x ∈Z.若 m=0,则 x= -5 为函数 f(x)的整数零点.
2 x ? 10 10 ? x ? 1

若 m≠0,则令 f(x)=0,得 m= {1,6,9,10},此时 m∈{3,

∈N.注意到-5≤x≤10,且 10 ? x ∈N,得 x∈

22 ,14,30}.故 m 的取值集合为{0,3,14,30}. 3

5: 对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? , 定义 ? ? ?

? ?? b . 若两个非零的平面向量 a , ? ??

满足 a 与 b 的夹角 ? ? ?

?n ? ?? ? ? , ? ,且 a b 和 b a 都在集合 ?   n ? Z  ? 中,则 a b ? __0.5 ?4 2? ? ?2

专题 2:集合与不等式恒成立问题研究
2

3

引例:已知集合 A ? x|x2 ? 5x ? 4 ≤0 ,集合 B ? x | x2 ? 2ax ? a ? 2 ≤0

?

?

?

?

(1)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (1)转化为根的分布问题,答案为 ? - 1 , ? 7

? ?

18? ?

(2)转化为不等式恒成立问题 总结:不等式恒成立问题的相关转换策略,请分析下列恒成立的等价条件: 1. f ( x ) = a sin 2 x ? b cos 2 x ,其中 ab ? 0,有 f ( x) ? f ( ) 对一切 x ? R 恒成立

?

6

2. 函数 f ( x) ? 2 sin(

?
2

x?

?
5

) ,对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立

3. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 ( a ? 1 ) ,若 f ( x) 在区间 ?? ?, 的 x1 , x2 ? ?1, a ? 1?,总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 4. 已知函数 f ( x) ? x ? 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 9

2? 上是减函数,且对任意

1 ?1 ? ? a 2 , g ( x) ? x 3 ? a 3 ? 2a ? 1 , 若存在 x1 , x2 ? ? , a ?(a. ? 1) , x ?a ?

1 5. 已知 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( ) x ? m ,若对 ? x1 ? ? ?1,3? , ? x2 ? ?0, 2? , f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 2
6. 函 数 f ?x? ? x ? 4x ? 3, g ?x? ? mx ? 5 ? 2m , 若 对 任 意 的 x1 ? ?1,4? , 总 存 在
2

x2 ? ?1,4?,使 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立
7. 上题中的条件改为“若存在 x1 ? ?1,4? ,总存在 x 2 ? ?1,4?,使 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立” 练习: 1:已知函数 f ( x ) ?

4x ? k ? 2x ? 1 ,若对于任意的 x1、x2、x3 ,均存在以 4x ? 2x ? 1

f ( x1 )、f ( x2 )、f ( x3 ) 为三边长的三角形,求实数 k 的取值范围.

3

4

2: 已知函数 f ( x) ? ?

2 2 ? ?k x ? k (1 ? a ), x ? 0 ,其中 a ? R . 若对任意的非零实数 2 2 2 ? x ? ( a ? 4 a ) x ? ( 3 ? a ) , x ? 0 ?

x1 ,存在唯一的非零实数 x2 ( x1 ? x2 ) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求 k 的取值范围.
专题 3:一类集合交集非空问题研究 例: (教 L2 例 4) 已知集合 A ? ? x y ? 1 ?

? ? ? ?

2x ? 1 ? ? B ? ?x [ x ? (a ? 1)][x ? (a ? 4)] ? 0? ?, x ?1 ? ?

若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是___________ 链接: (2011 年江苏高考 14)设集合 A ? ?( x, y) |

?? 5,?1?

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R? , 2

B ? ?( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1 , x, y ? R? ,若 A B ? ? ,实数 m 范围是_________
| ( x ? 1) ? y ? } , B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 变式: 设集 A ? {( x, y)
2 2

1 9

若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是___________. ?-

?

2 3? 2? , ? 6 6 ? ?

(考虑圆夹在两条平行线间的情况)圆心满足不等式或圆与两条中的一条有公共点 优化方法:求出斜率为-1 且和圆相切的两直线的纵截距分别为 1 -

2 2 和1 ? ,而后分 3 3

析:其充要条件是位于下方的直线的纵截距不大于 1 ?

2 ,位于上方的直线的纵截距不 3

小于 1 -

2 ,即得答案 3

专题 4:数列中取公共元素成新数列问题研究 引例 1:两个集合 A ? ??3,0,3,6,

, a100? 和 B ? ?15,19,23,27,

, b100? 都各有 100 个元

素,且每个集合中元素从小到大都组成等差数列,则集合 A 规律结论:若两等差数列公差分别为 d1 , d 2 ,则 A

B 中元素的最大值为 291

B 数列的公差为两者的最小公倍数
4

5

引例 2:设等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,已知 S3=9,S6=36. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 m、k,使 am,am+5,ak 成等比数列?若存在,求出 m 和 k 的值,若 不存在,说明理 由; (3)设数列{bn}的通项公式为 bn=3n-2.集合 A={x∣ x=an,n∈ N*},B={x∣ x=bn, n∈ N*}.将集合 A∪ B 中的元素从小到大依次排列,构成数列 c1,c2,c3 , …,求{cn}的通 项公式. 解: ( 1 )设等差数列 ?an ? 的公差是 d ,由 S 3 ? 9 和 S 6 ? 36 ,得 ?

? 3a1 ? 3d ? 9 得 6 a ? 15 d ? 36 ? 1

a1 ? 1, d ? 2 , an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1
(2) am , am?5 , ak 成等比数列等价于 (2m ? 1)(2k ? 1) ? (2m ? 9) 等价于 2k ? 1 ?
2

(2m ? 9) 2 (2m ? 1 ? 10) 2 100 ? ? 2m ? 1 ? 20 ? 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1
50 , m, k 是正整数 2m ? 1

即: k ? m ? 10 ?

所以存在正整数 m, k ,使 am , am?5 , ak 成等比数列

m 和 k 的值是 m ? 1, k ? 61 或 m ? 1, k ? 23 或 m ? 13, k ? 25 ……9 分
(3)因为 a3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 1 ? 6k ? 5 , a3k ?1 ? 2(3k ? 1) ? 1 ? 6k ? 3

a3k ? 2 ? 3k ? 1 ? 6k ? 1 ; b2k ?1 ? 3(2k ? 1) ? 2 ? 6k ? 5 ? a3k ?2 b2k ? 3 ? 2k ? 2 ? 6k ? 2 ? A
所以 a3k ?2 ? b2k ?1 ? a3k ?1 ? b2k ? a3k

k ? 1,2,3,?? ,

? ? 即:当 n ? 4k ? 3(k ? N ) 时, cn ? 6k ? 5 ;当 n ? 4k ? 2 (k ? N )

5

6

cn ? 6k ? 3 ,当 n ? 4k ? 1(k ? N ? ) 时, cn ? 6k ? 2 ,
当 n ? 4k (k ? N ? ) 时, cn ? 6k ? 1

? 3n ? 1 ?6k ? 5, n ? 4k ? 3 ? 2 , n ? 2k ? 1 ?6k ? 3, n ? 4k ? 2 ? ? 3n ? , n ? 4k ? 2 所以 ?cn ? 的通项公式是 c n ? ? 即: c n ? ? ? 2 ? 6k ? 2, n ? 4k ? 1 ? 3n ? 2 , n ? 4k ? ? 6k ? 1, n ? 4k ? 2 ?
专题 5:数列中隔项成等差(等比)数列问题研究 引例: (教 L4 例 2)已知数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? N * ) ,求证:数列 {an } 为等差数列的充要条件是 a1 ? 1 拓展:若数列 {an ? an?1}为公差为 d 的等差数列,试探究数列 {an } 为等差数列的充要条 件,并加以证明. 引例:已知正项数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? 2 2n?1 (n ? N * ) ,求证:数列 {an } 为等比数列的 充要条件是 a1 ? 2 . 拓展:若正项数列 {an } 满足:数列 {an ? an?1} 为公比为 q 的等比数列,试探究数列 {an } 为 等比数列的充要条件,并加以证明. 练习:数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1) an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为_____________
n

专题 6:复合函数方程的根的问题研究 引例 1: (教 L4 例 4)已知函数 f ( x) ? x ? x ? q ,集合 A ? x f ( x) ? 0, x ? R ,
2

?

?

B ? ?x f ( f ( x)) ? 0, x ? R?. 若 B 为单元素集,试求 q 的值.

引例 2: (2012 年江苏高考)已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个 极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值
6

7

2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. 点; (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 ,
解: 不妨令 t ? f ( x) , 则 h( x) ? ? (t ) ? t 3 ? 3t ? c , 由 f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) 易

? c ? 2 时,t ? ?1,2 , 得 f ( x) 的示意图, 且极大值极小值分别为 2,?2 , 同理可作出 h( x)
的函数图象 (和 f ( x) 函数图象相同), 当 t ? ?1 时对应 h( x) 零点 3 个, 当 t ? 2 时对应 h( x)

? c ? 2 时, 零点 2 个, 同理 c ? ?2 时, 当? 2 ? c ? 2 h( x) 零点有 5 个; h( x) 也有零点 5 个;
时 t ? (?2,2) ,此时 ? (t ) 零点有 3 个,对应 h( x) 零点有 9 个。综上当 c ? ?2 时各有 5 个零 点,当 ? 2 ? c ? 2 时有 9 个零点 练习: 1. - 1 ? b ? 0 且 c ? 0 2. 0 个

?1 ? ? 1, x ? 0 , 方程 ? f ( x)?2 ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个根的充要条件是____ 1. 函数 f ( x) ? ? x ?0, x ? 0 ?
2 2 2 2. 关于 x 的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

(1)存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; (2)存在实数 k ,使得方程恰有 4 个 不同的实根; (3)存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; (4)存在实数 k ,使得方 程恰有 8 个不同的实根.其中假命题的个数为__________________ 3.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,关于 x 的方程 f 2 ( x) ? f ( x) ? k ? 0 ,给出下列四个命题: ① 存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;② 存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同 的实根;③ 存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;④ 存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根.其中真命题的序号为______▲_① ② ③ ④ ______.

专题Ⅱ 函数中相关问题的再研究

7

8

本专题的认知地图,游览完本景点,你应该了解: 1. 含参三次函数的最值问题如何进行分类讨论?讨论三层次是指哪三个层次? 2. 简单的复合函数、 含分式的复合函数、 含根式的复合函数的值域分别怎么求解? 3. 恒成立问题中参数范围如何进行局部缩小,以达到简化问题的效果? 4. 函数型方程(不等式)有哪些常见求解策略? 5. 常见的类非基本初等函数分别如何研究?八类函数分别是:尖底平底型函数、

f ( x) ? x ?

c 型函数、牛顿三叉函数、含绝对值的复合函数、对数与绝对值函 x

数的复合、指数与绝对值函数的复合、对数与双曲线型函数的复合、对数与二 次函数的复合? 6. 含参二次函数综合问题如何突破? 7. 高中数学中具有将指数下移功能的运算方式有哪些? 8. 函数与方程有三种等价语言可以相互转化, 是哪三种?遇到问题时该如何选取?

【易错题】
1.(教 L6 练 7)已知函数 f ( x) 的定义域为 ?a, b ? ,值域为 ?c, d ? ,则 f (?2 x ? 1) 的定义域 为___________;值域为_______________ 考查简单的复合函数的定义域和值域问题
2 2. (教 L6 练 8) 已知函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? x ? x 的图像关于点 ?? 2,3? 对称, 则 f ( x)

(答案: ?

?1? b 1? a ? ; ?c, d ? ) , 2 ? ? 2 ?

的解析式为______________ (轨迹方程)问题)

f ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 6 (相关点法求函数(曲线)的解析式

3.(教 L7 基 8)函数 y ? x ( x ? 2) 的值域为________;函数 y ? 2 的值域为_________;
2

1 x

函数 y ?

xa x ( 0 ? a ? 1 )的值域为__________; y ? log2 4 ? 2 x 的值域是________ x

答案: ?0,??? ; ?0,1? ? ?1,??? ; ?? ?,?1? ? ?0,1? ; ?? ?,1?
8

9

4. (教 L8 基 6 改编) 函数 y ?

2x ? 3 ax ? 3 的单调增区间为______________; 已知函数 y ? x ?1 x ?1

在区间 ?? ?,?1? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是_________ 答案: ?? ?,?1? 和 ?? 1,???

a ? ?3 (注意使用导数方法的检验环节)

5.(教 L9 例 3)设 ?a, b ? 为函数 y ? f ( x) 的对称中心,则必有恒等式_________________ 根据上述结论,写出函数 f ( x) ? x ? sin(x ? 3) 的一个对称中心为________ 6.(双对称问题) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x - 4) ? - f ( x) ,且在区间 ?0,2? 上 是增函数 . 若方程 f ( x) ? m(m ? 0) 在区间 ?- 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? __________ __
?a x ?5 , x ? 6 ? 7.(教 L9 练 5)已知函数 f ( x) ? ? , 若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,则 a ( 4 ? ) x ? 4 , x ? 6 ? 2 ?
实数 a 的取值范围是__________

?7,8?

?a n ?5 , n ? 6 ? 变式 1:已知数列 ? f (n)?是单调递增数列,且通项公式为 f (n) ? ? , a ?(4 ? )n ? 4, n ? 6 2 ?
则实数 a 的取值范围是___________

?4,8?

变式 2:已知函数 f(x)= ?

?(3a ? 1) x ? 4a ( x ? 1) 在 R 不是单调函数 ,则实数 a 的取值范围 ...... ( x ? 1) ? log a x



. (0, ) ? [ ,1) ? (1,??)

1 7

1 3

变式 3:已知函数 f(x)= ?

?(2a ?1) x ? 3a ? 4, x ? t ,无论 t 取何值,函数 f(x)在区间(-∞,+∞) x 3 ? x, x ? t ?
9

10

总是不单调.则 a 的取值范围是

. a≤

1 2

两情形:2a ? 1 ? 0 或当 2a ? 1 ? 0 时 ?2a ? 1?t ? 3a ? 4 ? t 3 ? t 在 t ? ? (这个不可能) 8.(教 L12 例 3)已知函数

? 3 ? ,?? ? ? 上恒成立 ? 3 ?

y ? loga (ax2 ? x) 在区间 ? 1 ,1? 上是增函数,则实数 a 的取值 ? ?2 ? ?

范围是__________

?2, ? ??

9. (教 L14 基 3)已知函数 y ? f ( x) 是定义在 ?a, b? 上的单调函数,若 f (a) f (b) ? 0 , 则函数 f ( x) 的零点个数为___________ 0 个或 1 个 (1)讲评时特别要强调连续函数 (2)提醒学生零点和极值点都不是点 10. 抽象函数虽然抽象,但总能从我们所学的基本初等函数中找到一个具体函数支撑抽象 性质,请各找出一个满足下列条件的基本初等函数: (1) f (m ? x) ? f (m ? x) _________; (2) f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y) _______ (1)为二次函数; (2)为余弦函数 11.(教 L16 练 4) 已知偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? 则 f (?0,5) ? _______ ?
2

1 , 当 2 ? x ? 3 时,f ( x) ? x ? 1 f ( x)

2 7
a 2

12.求 F (a, b) ? (a ? b) ? (e ? eb ? b) 的最小值为_________(两点间的距离平方) (影响学生多注重结构的认识) 变式:已知 a, b ? R 满足 (a ? 1 ? a 2 )(b ? 1 ? b2 ) ? 1, 则 a ? b 的最大值________.0; 法一: a ? 1 ? a ?
2

1 b ? 1? b
2

? 1 ? b2 ? b ,?a ? b ? 1? a2 ? 1? b2 ? 0 ,

?a ? b ?

a ? b2
2

1 ? a 2 ? 1 ? b2

? 0 ,?

(a ? b)( 1 ? a 2 ? a ? 1 ? b 2 ? b) 1 ? a 2 ? 1 ? b2

? 0 ,? a ? b ? 0

10

11

法二: a ? 1 ? a ?
2

1
2

b ? 1? b 增函数,由 f (a) ? f (?b) 得 a ? ?b ,即 a ? b ? 0

? 1 ? b2 ? b ;构造函数: f ( x) ? x ? 1 ? x2 此函数为

【专题研究、方法梳理】
专题 1:含参三次函数的最值问题及讨论三层次研究 引例 1: (教 L6 练 9) 函数 y ? 3x 2 (?1 ? x ? 1) 的图像上有 A, B 两点, 且 x A ? x B , AB // x 轴,点 C (2, m) ,其中 m ? 3 , (1)试写出用点 B 的横坐标 t 表示 ?ABC 面积 S 的函数解 析式 S ? f (t ) ; (2)记 S 的最大值为 g (m), 求 g ( m)

?2 ? m m ,3 ? m ? 9 解: (1) S ? t (m ? 3t )(0 ? t ? 1) ; (2) g (m) ? ? 9 ? ?m ? 3, m ? 9
2

练习:已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? bx ,且 f '(1) ? 0 2

(1)试用含有 a 的式子表示 b ; (2)求 f ( x) 的单调区间. 专题 2:几类函数的值域问题求解策略归纳 第 I 类:简单的复合函数(换元法) 引例 1: y ? 1 ? 4 ? x 2 ; y ? log2 (4 ? x ) ; y ? 4 ? 2 ? 1 ; y ? sin x ? sin x ? 1
2 x x 2

第 II 类:带分式的复合函数(换元、部分分式法、反解(判别式法) 、公式法) 引例 2:直接写出函数 y ?

1 ? 2x 的值域为____________,曲线的对称中心为________; 1 ? 3x

若添加条件 x ? ?0,1? ,则值域为________; 直接写出下列函数的值域: y ?

1 ? 2 sin x 1? 2 x ? ?? ( x ? ?0, ?) ; y ? ( x ? ?0,1?) 1 ? 3 sin x 1? 3 x ? 2?
部分分式、换元 答案: ?? ?,?6? ? ?2,???

引例 3:求函数 y ?

x2 ? 3 的值域 x ?1

11

12

变式:求函数 y ? 变式:求函数 y ?

x ?1 的值域(分类讨论,把分子除到分母上) x2 ? 3 sin x ? cos x ? 2 ? ?? ( x ? ?0, ? )的值域(换元) sin x cos x ? 2?

引例 4:求函数 y ?

5x 2 ? 8x ? 5 的值域 x2 ?1

?1,9? (部分分式、判别式)

第 III 类:带根式的复合函数(观察、换元、平方法、三角换元) 引例 5:求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域; 思考:求一般根式函数 y ? Ax ? B ? Cx ? D ( AC ? 0) 的通法是什么? 引例 5:求函数 f ( x) ?

x ? 1 ? 1 ? 2x 的值域;

变式 1:求函数 f ( x) ? x 1 ? 2x 的值域(还可以用导数法研究) 变式 2:求函数 y ?

x ? 1 ? 3 ? x 的值域(平方法、三角换元法)

变式 3:求函数 y ? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? x 2 的值域(换元) 变式 4:求函数 y ?

x ? 4 ? 15 ? 3x 的值域(三角换元)

第 IV 类:构造法求函数的值域问题_(拓展:多元变量的最值问题) 引例 6:求函数 f ( x) ?

x3 ? x 的值域是__________ ( x 2 ? 1) 2


变式 1:函数 f(x)=

x ? x3 的最大值与最小值的乘积是 1 ? 2 x2 ? x4
1 ?x x 1 ?x x

解法 1 当 x≠0,±1 时,f(x)=

1 ? 2 ? x2 x2

=

1 ( ? x) 2 ? 4 x

=

1 . 1 4 ( ? x) ? 1 x ?x x



1 1 1 1 >x 时,f(x)≤ ,且当 ? x =2 时,取“=” ,故 f(x)的最大值为 . x 4 4 x

1 1 又因为 f(x)为奇函数,故 f(x)的最小值为 ? .所以所求的乘积为 ? . 4 16
12

13

解法 2 令 f ?( x) ?

x ? 6x ? 1 =0,得 x2= ( 2 ? 1)2 . ( x 2 ? 1)3
4 2

函数 f(x)的最大值应在 x-x3>0,即 0<x<1 或 x<-1 时取得.

1 ,下同解法 1. 4 tan ? (1 ? tan 2 ? ) 1 1 1 1 解法 3 令 x=tanθ,则 g(θ)=f(x)= = sin 4? ∈ [? , ] ,所求乘积为 ? . 2 2 (1 ? tan ? ) 4 4 4 16
所以[f(x)]max=max{f( 2 ? 1 ),f( ? 2 ? 1 )}= 变式 2:若关于 x 的方程 x4+ax3+ax2+ax+1=0 有实数根,则实数 a 的取值范围为 .

1 1 解法 1 因 x≠0,故将方程两边同除以 x3,并变形得 ( x ? )2 ? a( x ? ) ? a ? 2 =0. x x
令 g(t)= t 2 ? at ? a ? 2 ,t= x ?

1 ∈ (??, ?2] [2, ??) . x

原方程有实数根,等价于函数 g(t)有零点. 因 g(-1)= -1,故函数 g(t)有零点,只须 g(-2)≤0 或 g(2)≤0.

2 2 解 g(-2)≤0, 得 a≥2; 解 g(2)≤0, 得 a≤ ? . 所以, 实数 a 的取值范围为 (??, ? ] [2, ??) . 3 3 1 3 解法 2 易知 x=0 不是方程的根,故 x3+x2+x= x(( x ? )2 ? ) ≠0. 2 4
1 1 x2 ? 2 2 ? ( x ? )2 x4 ? 1 x x = 1 ? t ? 2 ∈ (??, ? 2 ] [2, ??) , 其 中 所 以 , a= ? 3 =? = 1 1 t 3 x ? x2 ? x x ?1? x ? ?1 x x

1 ? 1 ∈ (??, ?1] [3, ??) . x (1 ? x 2 )( x 4 ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 2 x ? 1) x4 ? 1 ? a ? 解法 3 接解法 2,a= ? 3 ,于是 . ( x3 ? x 2 ? x)2 x ? x2 ? x
t= x ? 因 x4 ? 2 x3 ? 4 x2 ? 2 x ? 1 =x2(x+1)2+(x+1)2+2x2>0,故由 a ? ? 0 可解得 x=1 或-1.

2 2 当 x>0 时,a<0,且当 x=1 时,a 取极大值 ? ,故此时 a≤ ? ; 3 3
当 x<0 时,a>0,且当 x= -1 时,a 取极小值 2,故此时 a≥2.

2 综上,实数 a 的取值范围为 (??, ? ] [2, ??) . 3
注 异曲同工之妙,它们都出现了 x,x2,x3,x4,经换元后,分别得到了只关于整体变量

x?

1 1 及 x ? 的表达式,进而一举解决了问题. x x

练习 1 :设实数 n ? 6 ,若不等式 2 xm ? (2 ? x)n ? 8 ? 0 对任意 x ? ?? 4,2? 都成立,则
13

14

m4 ? n4 的最小值为 m3n

(通过同除 m ,可转化为斜率模型)

4

2:已知点 P( x, y ) 到原点的距离为 1,则

x? y?2 的最大值为____________ x? y?2 x? y?2 可视为点 ?x ? y, x ? y ? 与点 (?2,2) x? y?2
2 2

首先 P 点的运动轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ,

的连线斜率;而 ?x ? y, x ? y ? 的运动轨迹为圆 x ? y ? 2 ,易得最大值为 3 - 2

a 2 ? 2a sin ? ? 2 3: F (a, ? ) ? 2 ,对于任意实数 a, ? , F (a,? ) 的最大值为__________ a ? 2a cos? ? 2
?≥ c0 ( a ? ) b 4 : 已 知 关 于 x 的 实 系 数 一 元 二 次 不 等 式 a x2 ? b x 的解集为 R ,则
M ? a ? 2b ? 4c 的最小值是 b?a

.8

b c 1 ? 2( ) ? 4( ) a a (消元思想) 解析:分子分母同时除以 a ,变形为 M ? (其中条件为 b ( ) ?1 a

? b 2 ? 4ac ? 0 b ? ) ,而后转化为 的函数,易求得最小值为 8 ?a ? 0 a ?
专题 3:恒成立问题中参数范围的局部缩小策略 引例 1: (教 L7 例 4)若函数 f ( x) ? a ?

1 的定义域与值域均为区间 ?m, n ? ( m ? n ) , x

求实数 a 的取值范围.(局部缩小策略,将问题的研究缩小到正实数区间和负实数区间两种

? ?? ) 情况里,对于每种情况采用不同的处理方法;答案: ?0?? ?2,
2 x 引例 2: 已知函数 f ( x) ? (ax ? x)e , 其中 e 是自然数的底数,a ? R .若 f ( x ) 在 ?? 1,1? 上

是单调增函数,则 a 的取值范围为____________ 练习 1:设 a∈ R,若 x > 0 时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则 a=_______ 2: f ( x) ? ax ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ( x) ? 0 成立,则 a =
3

14

15

1 1 3:设 f(x)奇函数,当 x ≥ 0 时, f(x)=2x-x 2,若函数 f(x)(x∈ [a,b])的值域为[ , ],则 b b a

的最小值为_________ ,实数 a 的取值集合为___________

? ?1? 5 ? ?1, ? 2 ? ? -1;

局部缩小:首先 a,b 异号,一定不成立;则 a,b 同号,要求最小值,则只考虑小于 0 情形 专题 4:函数型方程(不等式)的常见求解策略 引例 1: (天津高考) 已知函数 f ( x) ? ? 取值范围是_______________ ?? 2,1? 引例 2: 实数 a ? 0 , 函数 f ( x) ? ?
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 , 若 f ( 2 ? a 2 ) ? f ( a) , 则实数 a 的 2 ? 2 x ? x , x ? 0 ?

?2 x ? a, x ? 1 , 若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) , 则a= ?? x ? 2a, x ? 1

?

3 4

?x2+1,x?0 练习 1:函数 f(x)=? ,则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的范围是______ (-1, 2-1) ?1 ,x<0

1 ? a?? ?a ? 2, 2 ? 1 2 1 ? 1 2:已知 g (a) ? ?? a ? , ? ? a ? ? ,试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a a 2a 2 2 ? ? 2 a?? ? 2 2 ? 1 1 1 1 解:情形 1:当 a ? ?2时, ? ? , 此时 g (a) ? 2 , g ( ) ? ? 2. a 2 a a
由2?

1 2 ? 2 解得 a ? ?1 ? , 与a ? ?2 矛盾 a 2

情形 2:当 2 ? a ? ? 2时, ?

2 1 1 ? ? ? ,此时 g (a) ? ? 2 , 2 a 2

1 1 a 1 a g ( ) ? ? ? ,由 2 ? ? ? 解得 a ? ? 2 , 与a ? ? 2 矛盾。 a a 2 a 2
情形 3:当 ? 2 ? a ? ?

1 2 1 2 时,- 2 ? ? ? ,此时 g (a ) ? 2 ? g ( ) a 2 a 2
15

16

所以 ? 2 ? a ? ?

2 2

情形 4:当 ?

1 2 1 1 ? ?a ? ? 时,-2 ? ? ? 2 ,此时 g (a ) ? ? a ? 2a 2 2 a

1 1 2 2 矛盾。 g ( ) ? 2 ,由 ? a ? ? 2解得a ? ? , 与a ? ? a 2a 2 2
1 1 1 ? a ? 0时, ? ?2 ,此时 g (a ) ? a ? 2, g ( ) ? 2 2 a a 1 由 a ? 2 ? 2解得 a ? 2 ? 2, 与a ? ? 矛盾。 2 1 1 1 情形 6:当 a>0 时, ? 0 ,此时 g ( a ) ? a ? 2, g ( ) ? ? 2 a a a 1 由 a ? 2 ? ? 2解得 a ? ?1,由a ? 0知a ? 1 a
情形 5:当 ? 综上知,满足 g ( a ) ? g ( ) 的所有实数 a 为: ? 2 ? a ? ?

1 a

2 或a ? 1 2

解法二:数形结合也可易得答案: ? 2 ? a ? ?

2 或a ? 1 2

3: 函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 1, x ? 0 , 则满足不等式 f (2a ? 3) ? f (2 ? a) 的 a 的取值范围是____ ?2, x ? 0
?5 ?3 ? ?

答案: ?1, ? ? ? ,?? ?

? 3? ? 2?

专题 5:八类常见非基本初等函数的研究 函数模型一:尖底平底型函数

f ( x) ? x ? a1 ? x ? a2 ? ??? x ? an (a1 ? a2 ? ?? ? an ) (且 ?an ? 是等差数列)
它的图像是什么?一定是轴对称图像吗?若是,对称轴是什么?最小值何时取得? 引例 1:函数 f ( x) ?

? x ? n 的最小值为__________
i ?1

19

16

17

引例 2:设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 a 的值为________ 练习: f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2011 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2011 ( x ? R) , 且 f (a 2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) ,则满足条件的所有整数 a 的和是__________ 下列命题中真命题的序号是 _. (1) f ( x ) 是偶函数;

(2) f ( x ) 在 ? 0, ??? 上是增函数; (3)不等式 f ( x) ? 2010 ? 2011 的解集为 ? ; (4)方程 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1) 有无数个实数解 拓展:已知函数 f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+?+|100x-1|,则当 x= 解
1 1 1 f(x)= | x ? 1| ? | x ? | ? | x ? | ? | x ? | ? 2 2 3 1项
2项 3项

时,f(x)取得最小值.
1 |? 100 ?| x? 1 |, 100

1 ?| x? |? 3

?| x?

100 项

f(x)共表示为 5050 项的和,其最中间两项均为 | x ? x=

1 |. 71

1 1 1 ,同时使第 1 项|x-1|与第 5050 项 | x ? | 的和, 第 2 项 | x ? | 与 第 5049 项 71 100 2 1 第 3 项与第 5048 项的和, ?, 第 2525 项与第 2526 项的和, 取得最小值. 故 | 的和, 100 1 . 71

|x?

所求的 x 为 注

1.一般地,设 a1≤a2≤a3≤?≤an(n∈N*),f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+?+|x-an|.
2 2 2 ?1

若 n 为奇数,当 x= a1? n 时,f(x)取最小值;若 n 为偶数,则 x∈ [an , an ] 时,f(x)取最小值. 函数模型二: f ( x) ? x ? 函数 f ( x) ? x ?

c 型函数 x

c 的图像和性质如何研究? x c ? ?? ,若对任意的 x ? N * ,都有 f ( x) ? f (2) , 引例:函数 f ( x) ? x ? 的定义域是 ?0, x
则实数 c 的取值范围是__________ ?2,6? a 练习:已知函数 f(x)=|ex+ x|(a∈ R)在区间[0,1]上单调递增,则实数 a 的取值范围是______ e 函数模型三:牛顿三叉曲线
17

18

在数学史上, y ? x ?
2

a (a ? 0) 成为牛顿三叉曲线.运用数学方法,总结“牛顿三叉”函数 x a 在 ?2,??? 上为增函数,则 a 的取值范围为 x

的图像和性质 练习:1:已知函数 f ( x ) ? x ?
2

变式:若条件改为①?? ?,?2?上为减;②?? 2,0? 上为增;③(0,2) 上为减,结论分别如何? 2:已知二次函数 y ? f1 ( x) 的图像以原点为顶点,且过点(1,1) ,反比例函数 y ? f 2 ( x) 的图像与 y ? x 的两个交点间的距离为 8, f ( x) ? f ( x1 ) ? f 2 ( x) 。试判断当 a ? 3 时,关 于 x 的方程 f ( x) ? f (a) 的实数解的个数为 函数模型四:仅含绝对值的复合函数 引例 1:已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,请说明理由; (2)求函数 f ( x) 在区间 ?1,2? 上的最小值; (3)设 a ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m, n 的取 值范围. (只要写出结果,不需要写出解题过程) 解: (1) 当 a ? 0 时, f ( x) ? x x , 则 f ( x) 为奇函数; 当a ? 0 ? f (? x) ? ? x x ? ? f ( x) , 时, f ( x) ? x x ? a , f (a) ? 0, f (?a) ? ?2a a ,∵a ? 0

f (?a) ? f (a) ,且 f (?a) ? ? f (a) ,则 f ( x) 既不是奇函数又不是偶函数.
(2)① 当 1 ? a ? 2 时, f ( x) ? 0, 且当 x ? a 时,有 f (a) ? 0, ∴ f ( x) min ? 0 ;

a 2 a2 , x ? ?1,2? , ② 当 a ? 1 时, f ( x) ? x( x ? a) ? x ? ax ? ( x ? ) ? 2 4
2

对称轴 x ?

a ? 1 , f ( x) 在 ?1,2? 增,∴ f ( x) min ? f (1) ? 1 ? a ; 2

2 ③ 当 a ? 2 时, f ( x) ? x(a ? x) ? ? x ? ax ? ?( x ?

a 2 a2 ) ? , x ? ?1,2? 2 4
18

19

对称轴 x ?

a , 若 2 ? a ? 3, f ( x)nm ? f (2) ? 2a ? 4 ,若 a ? 3, f ( x) min ? f (1) ? a ? 1 , i 2

综上所述: f ( x) min

?1 ? a, ?0, ? ?? ?2a ? 4, ? ?a ? 1,

a ?1 1? a ? 2 ; 2?a?3 a?3
2 ?1 2 ?1 a a ; a ? 0 时, a ? m ? a, ? n ? 0 . 2 2 2

(3) a ? 0 时, 0 ? m ?

a ,a ? n ? 2

2 引例 2:已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a .求函数 y ? f ( x) 在区间[1,2]上的最小值.

f ( x) min

?1 ? a, a ? 1 ?0,1 ? a ? 2 ? ? ? ?4a ? 8,2 ? a ? 7 3 ? ? 7 ?a ? 1, a ? 3 ?

练习: 1. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? ax ( x ? R) 有最小值,则实常数 a 的取值范围是

?- 2,2?

变式:函数 f ( x) ? x ? a x ? 1 在 ?0,??? 上有最大值,则实数 a 的取值范围是___ a ? ?1
2 2. 已知函数 f ( x ) ? x x ? 3 , x ? ?0, m? ,其中 m ? R ,且 m ? 0 .

(1)如果函数 f ( x) 的值域是 ?0,2? ,则实数 m 的取值范围为___________;
2 (2)如果函数 f ( x) 的值域是 0, ?m ,实数 ? 的最小值为_________

?

?

19

20

3. 已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2x . (1)若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)求所有的实数 a ,使得对任意 x ? [1, 2] 时,函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) ? 2 x ? 1 图 象的下方; (3)若存在 a ?[?4, 4] ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a) 有三个不相等的实数根,求实数

t 的取值范围.
? x2 ? (2 ? a) x, x ≥ a, ? 解: (1) f ( x) ? x x ? a ? 2 x ? ? 2 ? ?? x ? (2 ? a) x, x ? a,

20

21

2?a ? a≥? , ? ? 2 即 ?2 ≤ a ≤ 2 ,则 范围为 ?2 ≤ a ≤ 2 ;…4 分 由 f ( x) 在 R 上是增函数,则 ? a ?a ≤ 2 ? a , ? 2 ?
(2)由题意得对任意的实数 x ?[1, 2] , f ( x) ? g ( x) 恒成立,

1 1 1 ,? ? x?a? , x x x 1 1 1 1 x ? ? a ? x ? ,故只要 x ? ? a 且 a ? x ? 在 x ?[1, 2] 上恒成立即可, x x x x 1 1 在 x ?[1, 2] 时,只要 x ? 的最大值小于 a 且 x ? 的最小值大于 a 即可, x x
即 x x ? a ? 1 ,当 x ?[1, 2] 恒成立,即 x ? a ?

1? 3 1 ?? 1 1 ? ? 而当 x ?[1, 2] 时, ? x ? ? ? 1 ? 2 ? 0 , x ? 为增函数, ? x ? ? ? ; x ?max 2 x? x x ? ? 1? 1 ?? 1 1 3 ? ? 当 x ?[1, 2] 时, ? x ? ? ? 1 ? 2 ? 0 , x ? 为增函数, ? x ? ? ? 2 ,所以 ? a ? 2 ; x ?min x? x x 2 ? ?
(3)当 ?2 ≤ a ≤ 2 时, f ( x) 在 R 上是增函数,则关于 x 的方程 f ( x) ? t f (a) 不可能有三个 不等的实数根; 则当 a ? (2 , 4] 时,由 f ( x) ? ?
x ≥ a 时, f ( x) ? x2 ? (2 ? a) x 对称轴 x ?
2 ? ? x ? (2 ? a) x, x ≥ a, 得 2 ? ?? x ? (2 ? a) x, x ? a

a?2 ?a, 2 a?2 ?a, 2

则 f ( x) 在 x ? [ a, ? ?) 为增函数,此时 f ( x) 的值域为 [ f (a), ? ?) ? [2a, ? ?) ,

x ? a 时, f ( x) ? ? x2 ? (2 ? a) x 对称轴 x ?

? a ? 2? (a ? 2)2 ? ? f ( x ) 则 f ( x) 在 x ? ? ??, 为增函数,此时 的值域为 ?? , ? ?, 2 ? 4 ? ? ? ?
?a ? 2 , f ( x) 在 x ? ? ? 2

? (a ? 2)2 ? ? a ? 为减函数,此时 f ( x) 的值域为 ? 2a, ?; 4 ? ? ?

? (a ? 2)2 ? 由存在 a ? (2 , 4] ,方程 f ( x) ? t f (a) ? 2ta 有三个不相等的实根,则 2ta ? ? 2a, ?, 4 ? ? ? (a ? 2)2 ? (a ? 2)2 1 ? 4 ? ? ? a ? ? 4? , 即存在 a ? (2 , 4] ,使得 t ? ?1, ? 即可,令 g (a) ? 8a 8? a 8a ? ? ?
21

22

只要使 t ? ? g (a) ?max 即可,而 g (a) 在 a ? (2 , 4] 上是增函数, ? g (a) ?max ? g (4) ?

9 , 8

? 9? ? 9? 故实数 t 的取值范围为 ?1, ? ; 同理可求当 a ?[?4, ? 2) 时, t 的取值范围为 ?1, ? ; ? 8? ? 8? ? 9? 综上所述,实数 t 的取值范围为 ?1, ? . ? 8?
函数模型五:对数和绝对值函数的复合型函数 引例:已知函数 f ( x) ? x2 ? a | ln x ?1| , g ( x) ? x | x ? a | ?2 ? 2ln 2, a ? 0 . (Ⅰ )当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最大值;

3 a, x ? [1, ??) 恒成立,求 a 的取值范围; 2 (Ⅲ ) 对任意 x1 ? [1, ??) ,总存在惟一的 ...x2 ?[2, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 a 的取值
(Ⅱ )若 f ( x) ? 范围.
2 解: (Ⅰ )当 a ? 1 , x ? [1, e] 时 f ( x) ? x ? ln x ? 1 , f ?( x) ? 2 x ?

1 ? f ?(1) ? 1 , x

所以 f ( x ) 在 [1, e] 递增,所以 f ( x)max ? f (e) ? e 2
2 (Ⅱ )① 当 x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

a ,? a ? 0 ,? f ( x) ? 0 恒 x

2 成立, ② 当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

a 2 a a ? (x ? )(x ? ), x x 2 2

(i)当

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ?( x) 在 x ? (1, e) 时为正数,所以 f ( x) 在区间 [1, e) 上 2

2 为增函数,故当 x ? 1 时, y min ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e) ? e …

(ii)当 1 ?

a a a ? e ,即 2 ? a ? 2e 2 时, f ?( x) 在 x ? (1, ) 时为负数,在间 x ? ( , e ) 2 2 2 a a a ) 上为减函数, , e] 上为增函数,故当 x ? 在( 时, 2 2 2
22

时为正数,所以 f ( x) 在区间 [1,

23

y min ?

3a a a a a ? ln ,且此时 f ( ) ? f (e) ? e2 …… (iii)当 ? e ,即 a ? 2e 2 时, 2 2 2 2 2

f ?( x) 在 x ? (1, e) 时 为 负 数 , 所 以 f ( x) 在 区 间 [1,e] 上 为 减 函 数 , 故 当 x ? e 时 ,

ym i n ? f (e) ? e 2
? 1 ? a,0 ? a ? 2 ? 3a a a 综上所述,函数 y ? f ( x) 的最小值为 y min ? ? ? ln ,2 ? a ? 2e 2 … ?2 22 2 e , a ? 2e 2 ? 3 3 a a 3 2 所 以 当 1 ? a ? a 时 , 得 0 ? a ? 2 ; 当 a ? ln ? a ( 2 ? a ? 2e ) 时 , 无 解 ; 当 2 2 2 2 2
e2 ? 3 2 a ( a ? 2e 2 )时,得 a ? e 不成立. 综上,所求 a 的取值范围是 0 ? a ? 2 …… 2 3

? 6 ? 2a ? 2ln 2 ? 1 ? a , (Ⅲ )① 当 0 ? a ? 2 时, g ( x) 在 [2, ??) 单调递增,由 g (2)
5 2 ? ln 2 ? a ? 2 3 3 a 3a a a ? 2a ? 2 ? 2 ln 2 ? ? ln , ② 当 1 ? ? 2 时, g ( x) 在 [2, ??) 先减后增,由 g (2) 2 2 2 2 a a a 得 ? ln ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 , 2 2 2 a 设 h(t ) ? t ? t ln t ? 2 ? 2 ln 2(t ? ) , h?(t ) ? 2 ? ln t ? 0(1 ? t ? 2) , 2
得 所 以 h(t ) 单 调 递 增 且 h(2) ? 0 , 所 以 h(t ) ? 0 恒 成 立 得 y

a a a ? e 2 时, f ( x) 在 [2, ] 递增,在 [ , a] 递 2 2 2 a 3a a a ? ln , 减,在 [ a, ??) 递增,所以由 g ( ) ? 2 2 2 2
2 ? a ? 4 …③ 当2 ?


a 2

a

x

a 2 3a a a ? ? ln ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 4 2 2 2
2 2

设 m(t ) ? t ? 3t ? t ln t ? 2 ? 2ln 2 ,则 m?(t ) ? 2t ? 2 ? ln t ? 0(t ? (2, e ) ,所以 m(t ) 递增, 且 m(2) ? 0 ,所以 m(t ) ? 0 恒成立,无解.
23

24
2 ④ 当 a ? 2e 时, f ( x ) 在 [2, ] 递增, 在 [ , a ] 递减, 在 [ a, ??) 递增,所以由 g ( ) ? e 得

a 2

a 2

a 2

a2 ? e2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 无解 4

综上,所求 a 的取值范围是 a ? [ ?

5 3

2 ln 2, 4) 3

函数模型六:指数和绝对值函数的复合型函数 引例: (2008 江苏卷 20)若 f1 ? x ? ? 3 且 f ? x? ? ?
x? p1

, f 2 ( x) ? 2 ? 3

x? p2

, x ? R, p1 , p2 为常数,

? ? f1 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? ? f 2 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ?

(Ⅰ )求 f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) ; (Ⅱ )设 a , b 为两实数,a ? b 且 p1 , p2 ? a, b ? ,若 f ? a ? ? f ?b ? .求证: f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和为

b?a (闭区间 ?m, n? 的长度定义为 n ? m ) 2
x ? p1

【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用. (Ⅰ) f ? x ? ? f1 ? x ? 恒成立 ? f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? 3

?2 3

x ? p2

?3

x ? p1 ? x ? p2

? 3log3 2

? x ? p1 ? x ? p2 ? log3 2 (*)因为 x ? p1 ? x ? p2 ? ? x ? p1 ? ? ? x ? p2 ? ? p1 ? p2
所以,故只需 p1 ? p2 ? log3 2 (*)恒成立 综上所述, f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件是: p1 ? p2 ? log3 2 (Ⅱ)1° 如果 p1 ? p2 ? log3 2 ,则的图象关于直线 x ? p1 对称.因为 f ? a ? ? f ?b ? ,所 以区间 ? a, b? 关于直线 x ? p1 对称. 因为减区间为 ? a, p1 ? ,增区间为 ? p1 , b? ,所以单调增区间的长度和为 2° 如果 p1 ? p2 ? log3 2 .
x ? p ? log 2 x? p ? ? ?3 1 , x ? ? p1 , b ? ? 3 2 3 , x ? ? p2 , b ? (1)当 p1 ? p2 ? log3 2 时. f1 ? x ? ? ? p ? x , f 2 ? x ? ? ? p ? x ? log 2 2 3 1 , x ? ? a, p2 ? ? ? ?3 , x ? ? a, p1 ? ?3

b?a 2

24

25

当 x ?? p1 , b? ,

f1 ? x ? ? 3 p2 ? p1 ?log3 2 ? 30 ? 1, 因 为 f1 ? x ? ? 0, f2 ? x ? ? 0 , 所 以 f2 ? x ?

f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,故 f ? x ? ? f1 ? x ? = 3x ? p1
当 x ?? a, p2 ? ,

f1 ? x ? ? 3 p1 ? p2 ?log3 2 ? 30 ? 1, 因 为 f1 ? x ? ? 0, f2 ? x ? ? 0 , 所 以 f2 ? x ?

f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,故 f ? x ? ? f2 ? x ? = 3 p2 ? x ? log3 2
因为 f ? a ? ? f ?b ? ,所以 3
b ? p1

? 3 p2 ?a ?log3 2 ,所以 b ? p1 ? p2 ? a ? log3 2, 即

a ? b ? p1 ? p2 ? log3 2
当 x ?? p2 , p1 ? 时,令 f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ,则 3 当 x ? ? p2 ,
p1 ? x

? 3x ? p2 ?log3 2 ,所以 x ?

p1 ? p2 ? log 3 2 , 2

? ?

p1 ? p2 ? log3 2 ? x ? p ? log 2 时, f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ,所以 f ? x ? ? f 2 ? x ? = 3 2 3 ? 2 ?

? p ? p2 ? log3 2 ? x?? 1 , p1 ? 时, f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,所以 f ? x ? ? f1 ? x ? = 3 p1 ? x 2 ? ?

f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和 b ? p1 ?
=b ?

p1 ? p2 ? log3 2 a?b b?a ?b? ? 2 2 2

p1 ? p2 ? log 3 2 ? p2 2

x ? p ? log 2 x? p ? ? ?3 1 , x ? ? p1 , b ? ? 3 2 3 , x ? ? p2 , b ? (2)当 p2 ? p1 ? log3 2 时. f1 ? x ? ? ? p ? x , f 2 ? x ? ? ? p ? x ? log 2 2 3 1 , x ? ? a, p2 ? ? ? ?3 , x ? ? a, p1 ? ?3

当 x ?? p2 , b? ,

f1 ? x ? ? 3 p2 ? p1 ?log3 2 ? 30 ? 1, 因 为 f1 ? x ? ? 0, f2 ? x ? ? 0 , 所 以 f2 ? x ?

f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,故 f ? x ? ? f2 ? x ? = 3x ? p2 ?log3 2
当 x ?? a, p1 ? ,

f1 ? x ? ? 3 p1 ? p2 ?log3 2 ? 30 ? 1, 因 为 f1 ? x ? ? 0, f2 ? x ? ? 0 , 所 以 f2 ? x ?

f1 ? x ? ? f2 ? x ? 故 f ? x ? ? f1 ? x ? = 3 p1 ? x
25

26

因为 f ? a ? ? f ?b ? ,所以 3

p1 ? a

? 3b? p2 ?log3 2 ,所以 a ? b ? p1 ? p2 ? log3 2
x ? p1

当 x ?? p1, p2 ? 时,令 f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ,则 3 当 x ? ? p1 ,

? 3 p2 ? x ?log3 2 ,所以 x ?

p1 ? p2 ? log 3 2 , 2

? ?

p1 ? p2 ? log3 2 ? x? p 时, f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ,所以 f ? x ? ? f1 ? x ? = 3 1 ? 2 ?

? p ? p2 ? log3 2 ? x?? 1 , p1 ? 时, f1 ? x ? ? f2 ? x ? ,所以 f ? x ? ? f2 ? x ? = 3 p2 ? x ? log3 2 2 ? ?

f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和 b ? p2 ?
=b ?

p1 ? p2 ? log3 2 a?b b?a ?b? ? 2 2 2

p1 ? p2 ? log 3 2 ? p1 2

综上得 f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和为 函数模型七:对数与双曲线型函数的复合型函数

b?a 2

引例:设 f ( x ) 是定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x ) .如果存在实数 a 和函数

h( x) ,其中 h( x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h( x) >0,使得 f ' ( x) ? h( x)(x 2 ? ax ? 1) ,则
称函数 f ( x ) 具有性质 P ( a ) . (1)设函数 f ( x ) ? ln x ?

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数。 x ?1

(i)求证:函数 f ( x ) 具有性质 P (b) ; (ii)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)已知函数 g ( x) 具有性质 P (2) 。给定 x1 , x2 ? (1, ??), x1 ? x2 , 设 m 为实数,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,
若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,求 m 的取值范围. 解: (1)(i) f '( x ) ?

1 b?2 1 ? ? ( x 2 ? bx ? 1) 2 2 x ( x ? 1) x( x ? 1) 1 ? 0 恒成立, x( x ? 1) 2
26

∵ x ? 1 时, h( x) ?

27

∴函数 f ( x ) 具有性质 P (b) ;

b b2 (ii)(方法一)设 ? ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ? ( x ? ) 2 ? 1 ? , ? ( x) 与 f ' ( x ) 的符号相同。 2 4
当1 ?

b2 ? 0, ?2 ? b ? 2 时, ? ( x) ? 0 , f ' ( x ) ? 0 ,故此时 f ( x ) 在区间 (1,??) 上递增; 4

当 b ? ?2 时,对于 x ? 1 ,有 f ' ( x ) ? 0 ,所以此时 f ( x ) 在区间 (1,??) 上递增; 当 b ? ?2 时, ? ( x) 图像开口向上,对称轴 x ?

b ? ?1 ,而 ? (0) ? 1 , 2

对于 x ? 1 ,总有 ? ( x) ? 0 , f ' ( x ) ? 0 ,故此时 f ( x ) 在区间 (1,??) 上递增; (方法二)当 b ? 2 时,对于 x ? 1 , ? ( x) ? x2 ? bx ? 1 ? x2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 0 所以 f ' ( x ) ? 0 ,故此时 f ( x ) 在区间 (1,??) 上递增; 当 b ? 2 时 , ? ( x) 图 像 开 口 向 上 , 对 称 轴 x ?

b ? 1 , 方 程 ? ( x ) ? 0的 两 根 为 : 2

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ? 1, ? ? (0,1) ,而 , 2 2 2 2 b ? b2 ? 4
当 x ? (1,

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ) 时,? ( x) ? 0 , f ' ( x ) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (1, ) 2 2 b ? b2 ? 4 , ??) 上递增。 2

上递减;同理得: f ( x ) 在区间 [

综上所述,当 b ? 2 时, f ( x ) 在区间 (1,??) 上递增;
2 2 当 b ? 2 时, f ( x ) 在 (1, b ? b ? 4 ) 上递减; f ( x ) 在 [ b ? b ? 4 , ??) 上递增。

2

2

(2)(方法一)由题意,得: g '( x) ? h( x)( x ? 2x ? 1) ? h( x)( x ?1)
2

2

又 h( x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h( x) >0, 所以对任意的 x ? (1,??) 都有 g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上递增。 又 ? ? ? ? x1 ? x2 ,? ? ? ? (2m ?1)( x1 ? x2 ) 。
27

28

当m ?

1 , m ? 1 时,? ? ? , 且 ? ? x1 ? ( m ?1 )x 1 ? ( 1 ? m ) x, 2 ?x?2 ( 1?m )? x (1 m? 1 ) x?2 2



综合以上讨论,得:所求 m 的取值范围是(0,1) 。 (方法二)由题设知, g ( x) 的导函数 g '( x) ? h( x)( x ? 2 x ? 1) ,其中函数 h( x) ? 0 对于
2

任意的 x ? (1,??) 都成立。所以,当 x ? 1 时, g '( x) ? h( x)( x ? 1) ? 0,从而 g ( x) 在区
2

间 (1,??) 上单调递增。 ①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,得 ? ? ( x1, x2 ) ,同理可得 ? ? ( x1, x2 ) ,所
以由 g ( x) 的单调性知 g (? ) 、 g ( ? ) ? ( g ( x1 ), g ( x2 )) , 从而有| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,符合题设。 ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 于 是 由 ? ? 1,? ? 1及 g ( x) 的 单 调 性 知
28

29

g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (? ) ,所以| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,与题设不符。
③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 ,进而得| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,与题 设不符。因此综合①、②、③得所求的 m 的取值范围是(0,1) 。 思考: (1)设函数 f(x)在其定义域 D 上的导函数为 f′(x).如果存在实数 a 和函数 h(x),其 中 h(x)对任意的 x∈D 都有 h(x)>0,使得 f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数 f(x)具有性质 1 4 P(a).给出下列四个函数:① f(x)= x3-x2+x+1;② f(x)=lnx+ ; 3 x+1 x2+x ③ f(x)=(x -4x+5)e ;④ f(x)= ,其中具有性质 P(2)的函数是 ____ 2x+1
2 x

(2)已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的单调函数,实数 x1 ? x 2 , ? ? -1 , ? ?

x1 ? ?x 2 , 1? ?

??

x 2 ? ?x1 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? ) ? f (? ) ,则 ? 的取值范围为_____________ 1? ?

函数模型八:对数与二次函数的复合型函数
2 引例:已知函数 f ( x) ? ax ? 2bx ? 2 ln x(a ? 0) ,且 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值.

(1)试找出 a,b 的关系式;

1 2 1 (3)求函数 f ( x) 在 x ? (0, ] 的图像上任意一点处的切线斜率 k 的最大值 2 2 解: (1) f ( x) = a x 2 + 2 b x–2lnx,得 f ?( x ) ? 2ax ? 2b ? 因为 f ( x) 在 x=1 处取得极值, x
(2)若函数 f ( x) 在 x ? (0, ] 上不是单调函数,求 a 的取值范围; 所以 f ?(1) ? 0 ,故 2a+2b – 2 =0,即 b=1–a; 1 1 ( 2 )因为函数 f ( x) 在 x∈(0 , ] 上不是单调函数,所以 f ?( x ) =0 在 (0 , ] 内有解,即 2 2
2 2 ax2 ? bx ? 1 ? 0 , 亦即 ax ? (1 ? a) x ?1 ? 0 在(0, ]内有解, 由 ax ? (1 ? a) x ?1 ? 0 得: 2

1

x=1,或 x ? ?

1 1 1 , 所以 0 ? ? ? ,解得:a ? –2; a a 2
29

30

(3)因为 k= f ?( x) ? 2ax ? 2b ?

2 1 ? 2(ax ? ? 1 ? a) , x x 1 1 ) ,因为 x ? (0, ] ,所以 k ? ? 0 恒成立, 2 2 x
1 时, kmax ? ?a ? 2 ; 2

①当 ? 4 ? a ? 0 或 a ? 0 时, k ? ? 2(a ?

所以 k 在 x ? (0, ] 上单调递增,所以 x ? ②当 a ? ?4 时,有 0 ?

1 2

?

1 1 1 ? ,所以 ? ax ? ? 2 ? a , x a 2

所以 ax ?

1 1 ? ?2 ? a ,此时“=”成立的条件是:x= ? , x a
1 ? 1 ? a) ? 2(1 ? a ? 2 ? a ) ? 2 ? 2a ? 4 ? a , x

所以 k= 2(ax ?

综合得: k max ? ?

?? a ? 2, (?4 ? a ? 0或a ? 0) ?2 ? 2a ? 4 ? a , (a ? ?4)

专题 6:含参二次函数综合问题研究 引例:已知函数 f ( x) ? x ? mx ? m ? 1
2

(1)若函数 y ? lg[ f ( x)]定义域为 R ,求实数 m 的取值范围;若值域为 R ,结论如何? (2)若函数 f ( x) 在区间 ?? 1,0? 和 ?2,4? 上单调递减,求实数 m 的取值范围; (3) 是否存在整数 a , b (其中 a ? b ) , 使得关于 x 的不等式 a ? f ( x) ? b 的解集为 ?a, b? ? 若存在,求出 a , b 的值;若不存在,请说明理由 (3)存在 a ? ?1, b ? 2

解: (2)前者: m ? ?2 或 m ? 1 ,后者: m ? 3 或 m ? 8 取交集 m ? ?2 或 m ? 8 专题 7:高中数学中具有将指数下移功能的运算方式有哪些? 引例 1: (教 L11 例 3)已知均不为 1 的正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,且
x y z

1 1 1 ? ? ? 0, x y z

则 abc ? ______ 1

30

31

引例 2:已知等式 ( x2 ? 2x ? 2)5 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ai(i=0,1,2,…,10)为实常数,则

? a9 ( x ? 1)9 ? a10 ( x ? 1)10 ,其中

? na
n ?1

10

n

的值为_____________
lg a

练习 1: (2012 江苏数学联赛初赛) 设 a 为正实数,k ? a 练习 2:设实数 x,y 满足 3≤ xy 2 ≤8,4≤

, 则 k 的取值范围是_________

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是 y y

【解】 (

1 1 1 x2 2 x3 x2 2 1 x3 ? [ , ] , , , 的最大值是 27 ) ?[16,81] ? ( ) ? 2 ? [2, 27] xy 2 8 3 y4 y y4 y xy

专题 8:函数与方程的三种等价语言刻画 引例 1: (教 L14 例 3)已知函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 在区间 ?0,1? 内有零点,则实数 a 的 取值范围是__________ 转化为方程的有解问题较好 a ? 引例 2: (教 L14 例 4(3) )设函数 f ( x) ?

1 2

x x?2

? ax2 , 其中 a ? R .若函数 f ( x) 有四个

不同的零点,则实数 a 的取值范围是___________ 转化为图像的交点问题较好 a ? 1 练习 1:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? (b ? a) x(b ? 2a 且 ab ? 0) ,试就 a , b 的不同取值 情况,讨论函数 f ( x) 的零点个数 转化为方程的有解问题较好

当 a ? b 时,此时函数有 2 个零点 0 和-1; 当 a ? b 时,此时函数有 3 个零点 0,-1,

a?b . a

x 2:若函数 f ( x) ? a ? x ? a(a ? 0 且 a ? 1) 有两个零点,则 a 的取值范围是_____ a ? 1
m

变式: 若存在实数 m 使得 a
1 ? ? ? ?0,1? ? ?1,e e ? ? ?

?m (其中 a ? 0且a ? 1) 成立, 则实数 a 的取值范围是______

(转化为数形结合问题较好)

思考:方程的有解和有几解问题处理时有何不同?
31

32

专题Ⅲ

导数中相关问题的再研究

本专题的认知地图,游览完本景点,你应该了解: 1. “函数在某区间上是增函数(减函数) ”和“函数在某区间上存在单调增区间(减 区间”分别如何处理? 2. 你知道什么是洛必达法则(L·Hospital)?它可以用来优化什么问题?

【易错题】
1.(教 L17 基 1)水波的半径以 50cm/s 的速度向外扩展,当半径为 250 cm 时,圆面积的 膨胀率是________ cm / s
2

2 5 0 0? 0

(注意瞬时变化率和平均变化率的区别)

2.(教 L17 巩 1)半径为 R 的圆受热均匀膨胀,若半径增加了 r ,则圆面积的平均膨胀率 是__________

?r ? 2?R

(注意瞬时变化率和平均变化率的区别)

3. (教 L17 巩 4) 已知点 P 在曲线 y ?

4 上,? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则? e ?1
x

的取值范围_____

?3 ? ? , ? ? (注意斜率与倾斜角的关系图像的画图) ? ?4 ?

3 2 2 4. (教 L18 练 6) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10 , 则 a ? b ? ___

-7

a=4,b=-11

注意检验方程的解是否为函数的极值点
4 3 2

变式:已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 2x ? b ,其中 a, b ? R .若函数 f ? x ? 仅在 x ? 0 处有 极值,则 a 的取值范围是

? 8 8? ? , ? ? 3 3? ?
ex ,其中 a 为正实数.若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,则 a 的 1 ? ax 2

5.(教 L18 练 8)设 f ( x) ?

取值范围为________________ 6. 已知函数 f ( x) ?

?0,1?

注意变形转化的等价

1 4 x ? 6 x 2 ? cx ? d 既有极大值又有极小值,实数 c 的取值范围是__ 4

?? 16,16?

首先转化为导函数(三次函数)至少有两个互异实数根 极小值小于等于 0 小
32

33

于等于极大值 7. (教 L19 基 2)函数 f ( x) ? 1 ?

x ? sin x, x ? ?0, ? ? ,则它的单调递增区间为_______ 2

?? ? ? , ? ? (左边可为闭,但右边必须是开) ?3 ?
8.(公切线问题)曲线 C1 : y ? ln(x ? a) ;曲线 C 2 : y ? ? 线过点 ?? a,0? ,则实数 a ? ______

1 1 ? (a ? 0) 的一条公切 x?a a

e 掌握研究切线问题的方法:设切点、列方程 2

9.(教 L19 基 8)对于函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x ? 1的极值情况,4 位同学有下列说法: 甲:该函数必有 2 个极值; 丙:该函数的极小值必小于 1; 乙:该函数的极大值必大于 1 丁:方程 f ( x) ? 0 一定有 3 个不等的实数根 3 个 只有丁错误

这四种说法中,正确的个数为_________

变式:下列关于函数 f(x)=(2x-x2)ex 的判断正确的是___________ ① f(x)>0 的解集是{x|0<x<2}; ③f(x)没有最小值,也没有最大值. f(- 2 )是极小值,f( 2 )是极大值;

【专题研究、方法梳理】
专题 1:导数问题中两类问题的辨析 引例:设 f ( x ) ? ? (1)若函数在 ? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2ax 3 2

? 1 2? (转化时等号勿忘) , ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围; ? 2 3? ? ?
1 9

(2)若函数在 ? ,?? ? 上存在单调递增区间,求实数 a 的取值范围; a ? ? 练习:设函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2ax ? a , a ? R ,
2 2

?2 ?3

(1)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 在 ?1, e? 上的最小值;
33

34

(2)若函数 f ( x ) 在 ? , 2 ? 上存在单调递增区间,求实数 a 的取值范围; 2 (3)求函数 f ( x ) 的极值点. 解: (1) f ( x)min ? 1; (2)使 f ?( x) ? 0 在 ? , 2 ? 上有解,得 a ? 4 ?2 ? (3)当 a ?

?1 ?

? ?

?1

?

9

2 时, f ( x) 没有极值点;

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 当 a ? 2 时, x ? 是函数的极大值点, x ? 是函数的极小值点. 2 2
专题 2:洛必达法则(L·Hospital)简介 引例 1: (2010 年新课标全国卷(理) )设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax2 (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围. 引例 2: (2010 年湖北理科卷)设函数 f ( x) ? ax ?

b ? c(a ? 0) 的图像在点 ?1, f (1)? 处的 x

切线方程为 y ? x ? 1 (1)用 a 表示出 b, c ; (2)若 f ( x) ? ln x 在 ?1,??? 上恒成立,求 a 的取值范围. 练习 1: (2007 年全国理科卷)

2. 设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范 围
34

35

专题Ⅳ

三角函数、平面向量中相关问题的再研究

本专题的认知地图,游览完本景点,你应该了解: 1. 单位圆问题的一般处理方法是什么? 2. 三角函数中三角函数值怎么确定?已知三角函数值如何求出满足条件的角? 3. 和三角函数有关的参数取值问题如何解决? 4. 平面向量中算两次思想如何应用?一类向量系数和的取值范围问题如何优化? 5. 向量有哪两种运算方式?坐标法处理向量问题有何优越性? 6. 如何利用平面向量等式刻画三角形四心?

【易错题】
n i ? ?c o s ??_ _ _ _ _ _ 1. (教 L20 基 7) 已知角 ? 的终边上有一点 P(4t ,?3t )(t ? 0) , 则 2s
? 2 3 (注意分类讨论的数学思想方法)将条件改为“已知角 ? 的终边在直线 y ? ? x 5 4

上“结论一样 2.(教 L20 基 8)函数 y ?

sin x sin x

?

tan x cos x 的值域为________ ? tan x cos x

?1,?3?

考察三角函数在各象限内的符号; 3. (教 L20 巩 4) 函数 y ? sin x ? ? cos x 的定义域为_____ ? ? 2k? , ? ? 2k? ? k ? Z ?2 ? 变式 1:函数 y ? lg(2 sin x ? 1) ? 1 ? 2 cos x 的定义域为_______ ?

??

?

5 ?? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? 6 ?3 ?

k ?Z
变式 2:若 cos ? ?

2x ? 3 3? ? ,又 ? 是第二、三象限角,则 x 的取值范围是______ ? ? 1, ? 4? x 2? ?

三个问题都是考察三角不等式的解法和有界性的问题,应引起足够重视 4.(教 L22 基 3:三角函数中的图像重合对称问题)设函数 f ? x ? ? cos ? x ?? ? 0? ,将
35

36

y ? f ? x ? 的图像向右平移

? 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等 3
6 ;3

于_______;所得图像关于 x 轴对称,则 ? 的最小值等于__________ 5.(教 L22 基 4:三角函数中的图像平移问题)将函数 y ? sin(2 x ? 少 个单位,可得一个偶函数的图像.

2? ) 的图像向左平移至 3

5 ? 12

6.(教 L22 巩 3)函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ?0,2? ? ) 的图像如图所示,则 ? ? ______ 7. (教 L22 练 10) 若函数 y ? sin 2 ( x ?

?
6

) 与函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x
. ?

的图象的对称轴相同,则实数 a 的值为

3 3
?? ? ,? , ?2 ? ?

8. (教 L24 练 8) 已知函数 f ( x) ? 2a sin 2x ? 2 3a sin x cos x ? a ? b 的定义域是 ? 值域是 ?2,5? ,则 a , b 的值分别为______ 注意培养学生的分类讨论的意识 9.(教 L25 巩 3)化简: 2 ? 2cos8 ? 2 1 - sin8 的结果是_______ 10.(教 L27 基 6)在 ?ABC 中,已知 cos A ? a=1、b=1 或者 a=-1、b=6

- 2 sin 4

5 3 16 , sin B ? ,则 cos C ? _______ 13 5 65

11.(教 L27 基 8)在锐角三角形 ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A ,则 AC 的取值范围是______

?

2, 3

?

变式 1:已知 sin x ? sin y ?

1 2 ,则 sin y ? cos x 的最大值为 . 3 1 2 1 11 sin y ? cos 2 x ? ? sin x ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin x ? ? (sin x ? ) 2 ? 3 3 2 12
所以函数的最大值为

? 2 ? sin x ? ?? ,1? ? 3 ?

4 9

变式 2. 在周长为 16 的三角形 ABC 中, AB =6, A, B 所对的边分别为 a , b ,则 ab cos C 的
36

37

取值范围是

. ? 7,16 ?

12.若 a ? (1,2),b ? (2 ? m,1 ? m) ,若两向量夹角为钝角,则实数 m 的取值范围是_______

m?

4 且m ? 3 3

13.(教 L32 巩 32)若复数 z 满足 z ? i ? 1,则 z ? i ? 1 的最大值为______ 14.(教 L30 练 6)已知两点 P(3, ,4), Q(12,7) ,点 R 在直线 PQ 上,且 PR ? 点 R 的坐标是________ (6,5)或(0,3)

5 ?1
1 PQ ,则 3

15. 对于 ? ABC ,有如下六个命题: (1)若 sin 2 A ? sin 2 B ,则 ? ABC 为等腰三角形 (2)若 sin B ? cos A ,则 ? ABC 是直角三角形;

(3)若sin 2 A ? sin 2 B ? cos2 C ? 1 ,则?ABC一定为钝角三角形 ;

(4)若 tan A ? tan B ? tan C ? 0, 则?ABC一定为锐角三角形. 2 2 2 (5)若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ? ABC 是钝角三角形
(6)若

b c , 则 ? ABC 是等边三角形 其中正确命题的序号为_____ ? ? A B C cos cos cos 2 2 2
(基本不等式)

a

2 ?0,π?,则函数 y=2sin x+1的最小值为________. 3 16. 设 x∈ ? 2? sin 2x

17. 若平面向量 a, b 满足: 2a ? b ? 3 ;则 a ? b 的最小值是______________. ?

9 8

18. △ABC 中, AB 边上的高与 AB 边的长相等, 则

AC BC AB 2 ? ? 的最大值为 2 2 BC AC BC ? AC

19. 在 ?ABC 中,若 tan A tan B ? tan A tan C ? tan C tan B ,且 c ? 3 ,则该三角形的面 积的最大值为____(三角恒等变换和基本不等式的综合考察,是好题) 答案:

9 n t 5; 将a 4

Aa n t B ?a n t

Aa n t C ?a n t Ca n t B 化为边的关系可得 a 2 ? b 2 ? 27 ;

S?

1 ab sin C 2

S2 ?

1 2 2 1 1 324 1 a 2 ? b 2 2 182 272 - 182 9 a b sin 2 C ? a 2 b 2 (1 - cos2 C ) ? a 2 b 2 ? ( ) ? ? 5 4 4 4 16 4 2 16 16 4
37

变式:在 ?ABC 中,若 tan A tan B ? tan A tan C ? tan C tan B ,且 c ? 2 ,则该三角形的

38

面积的最大值为____ 5

【专题研究、方法梳理】
专题 1:三角函数中的单位圆问题 引例 1:点 P 是单位圆上的一个顶点,它从初始位置 P 0 开始沿单 位圆按 逆时针方向运动角 ? ( 0 ? ? ? 逆时针方向运动 等于 ___

y
P2 P1 P0 O

?
2

)到达点 P1 ,然后继续沿单位圆

? 4 到达点 P ,则 cos ? 的值 2 ,若点 P 2 的横坐标为 ? 3 5

x

引例 2:如图, 单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原点,单位圆与 y 轴的正半轴交 与点 A ,与钝角 ? 的终边 OB 交于点 B( xB , yB ) ,设 ?BAO ? ? . (1)用 ? 表示 ? ; (2)如果 sin ? ?

y
A B

? 角终边

4 ,求点 B( xB , y B ) 的坐标; 5

(3)求 xB ? yB 的最小值. 解:1. 如图 ?AOB ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ,?? ? 3? ? 2? . 2 2

O

x

2.

sin ? ?

3? yB ,r ? 1 ,得 yB ? sin ? ? sin( ? 2? ) ? ? cos 2? ? 2 sin 2 ? ? 1 ? 2 ? ( 4 ) 2 ? 1 ? 7 . r 2 5 25

由钝角 ? ,知 xB ? cos? ? ? 1 ? sin2 ? ? ? 24 , ? B ( ? 24 , 7 ) 25 25 25 (3) 【法一】 xB ? yB ? cos? ? sin ? ? 2 cos( ??
cos(? ?

? ) , 又 ? ? ( ? , ? ), ? ? ? ? ( 3? , 5? ) , 4 2 4 4 4

?

? 2 ) ? ?? 1,? 4 2 ?

? ,? x ? B ? ?

? yB 的最小值为 ? 2 .
2 2

【法二】 ? 为钝角,? xB ? 0, yB ? 0, xB ? yB ? 1 , xB ? yB ? ?(? xB ? yB ) ,

(? xB ? yB )2 ? 2( xB ? yB ) ? 2 ,? xB ? yB ? ? 2 ,? xB ? yB 的最小值为 ? 2 .
练习:
38

2

2

39

1:角 ? ( 0 ? ? ? 2? )的终边过点 P (sin

19 3 3 ? ? , cos ? ) ,则 ? ? ______ 10 5 5
y B A

2:如图, O 为坐标原点,A、B 是单位圆 O 上的动点, C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,设 ?COA ? ? .

?3 4? (Ⅰ )当点 A 的坐标为 ? , ? 时,求 sin ? 的值; ?5 5?
(Ⅱ )若 0 ? ? ?

π ,且当点 A、B 在圆 O 上沿逆时 2 π ,试求 BC 的取值范围. 3

O

C

x

针方向移动时,总有 ?AOB ?

3 4 ?3 4? 解:解: (Ⅰ)因为 A 点的坐标为 ? , ? ,根据三角函数定义可知 x ? , y ? , r ?1 , 5 5 ?5 5?
所以 sin ? ?

y 4 ? r 5

(Ⅱ)因为 ?AOB ?

π π , ?COA ? ? ,所以 ?COB ? ? ? . 3 3 2 2 2 由余弦定理得 BC ? OC ? OB ? 2OC ? OB cos ?BOC
π? π? ? ? ? 1 ? 1 ? 2cos ? ? ? ? ? 2 ? 2cos ? ? ? ? . 3? 3? ? ?

3 π 1 π π π 5π ? cos(? ? ) ? . ,所以 ? ? ? ? ,所以 ? 2 3 2 2 3 3 6 π 于是 1 ? 2 ? 2cos(? ? ) ? 2 ? 3 ,即 1 ? BC 2 ? 2 ? 3 .BC 的范围是 ?1, ? ? 3
因为 0 ? ? ? 专题 2:三角函数值和求角问题 引例 1:已知 -

2? 3?. ? ?

?
2

? x ? 0 , sin x ? cos x ?

7 1 ,则 sin x - cos x ? _______ 5 5
1 2

变式 1:已知 ? ? ?

1 1 ? ?? ? ? ? 2 2 ,则 sin (2? ? ) ? _____ , ? ? ,且 sin ? cos ? 3 ?2 ?

变式 2:已知 tan( ? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? ,且 ? , ? ? ?0, ? ? ,求 2? ? ? 的值 2 7

3 ? ? 4

思考:已知三角函数求角选用函数遵循什么原则? 练习:

39

40

1 13 ? 1:已知 cos ? ? ,cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 7 14 2
2: (苏州 2013 届零模)已知 ? 为锐角, sin(? ? 15 ) ?
?

1 2

4 ,则 cos(2? ? 15? ) ? _____ 5
______

?? 4 ? ? 练习:设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2? ? ) 的值为 6? 5 12 ? ?? 4 ? ? ? 详解:由 ? 为锐角及 cos ? ? ? ? ? 知 0 ? ? ? ? , 6? 5 6 3 ?

? ? ? 3 4 24 , cos( 2? ? ? ) ? 2 cos 2 (? ? ? ) ? 1 ? 7 ? sin( 2? ? ) ? 2 sin(? ? ) cos( ? ? ) ? 2 ? ? ? 3 6 25 3 6 6 5 5 25

? sin( 2? ?

? ? ? 2 ? ? 17 2 ) ? sin[( 2? ? ) ? ] , ? [sin(2? ? ) ? cos(2? ? )] ? 12 3 4 2 3 3 50

专题 3:和三角函数有关的参数取值问题 引例 1: (教 L23 基 7)有一种波,其波形为函数 y ? sin

?
2

x 的图像,若在区间 ?0, t ? 上至

少有 2 个波峰(图像的最高点) ,则正整数 t 的最小值为_________ 5 引例 2:已知 f ( x) ? sin(? x ?

?

)(? ? 0), f ( ) ? f ( ) ,且 f ( x) 在区间 ( , ) 有最小 6 3 3 6 3

?

?

? ?

值,无最大值,则 ? =_________.14/3 练习: 1.已知函数 y ? 2 cos
2

? ?? 则正整数 ?x ? 2 sin ?x cos?x(? ? 0) 在区间 ?0, ? 上是单调函数, ? 8?
3 4

k 的值为_______ 1,2,3
2.函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间 ?0,

? ?? 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值 ? 2? ?

??

?
2

;? ?

2 或2 3

专题 4:平面向量中的算两次思想 引例:

40

41

练习:在 ?ABC 中,点 D, E 分别在边 BC 、AC 上,且 BD ?

1 1 BC , CE ? CA , AD 与 4 3

BE 交于 R 点,求

RD RE 及 的值 AD BE

专题 5:平面向量中一类向量系数和的取值范围问题的优化 引例 1: (2009 年全国高中数学联赛湖北省预赛题)已知 O 为锐角三角形 ?ABC 的外心,

AB ? 6, AC ? 10 ,若 AO ? x AB ? y AC ,且 2 x ? 10y ? 5 ,则 cos?BAC ? _____
引例 2:如图,在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AD=DC=1, AB=3,动点 P 在△ABC 内运动(含边界) ,设 AP ? ? AB ? ? AD(? , ? ? R) ,则 ? ? ? 的取值范围是 练习 1:如图,在正方形 ABCD 中, E 为 AB 的中点, P 为以 A 为 圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点, 设向量 AC ? ? DE ? ? AP , 则 ? ? ? 的最小值为 2. .

A, B, C 是圆上三点, CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D ,若

OC ? mOA ? nOB ,则 m ? n 的取值范围是_______ k ? ?? 1,0?
解析: k OD ? mOA ? nOB ,由题易得: k ? ?? 1,0? 且 k ? m ? n 3. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向 OA ? a, OB ? b, 其中 a ? (3,1),b ? (1,3).若

OC ? ? a ? ?b,0 ? ? ? ? ? 1且 ? , ? ? 0 ,C 点所有可能的位置区域的面积为
解答:考查三点共线模型,C 点的位置区域即为三角形 AOB

4



4. 若 ?ABC 内接于以 O 为圆心, 以 1 为半径的圆, 且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 , 则该 ?ABC
41

42

的面积为

6 讲评建议:注意两种思路,数和形,数-------移项转化为数量积,通过 5

数量积计算得到三个向量两两夹角;-----------借助于平行四边形法则也易得结论 专题 6:平面向量中坐标法的运用举例

?ABC ? 引例 1: (12 年苏州市期中考试试题) 在梯形 ABCD 中,AD //BC ,

?
3

,AD ? 1 ,

BC ? 2 , P 是腰 AB 所在直线上的动点,则 3PC ? 2 PD 的最小值为___________
法 1:坐标法(可以取特殊的梯形:直角梯形或者等腰梯形均可) 坐标法的一般化:设 B(0,0) , A(a, 3a) , D(a ? 1, 3a) , P(b, 3b) , C (2,0)

3PC ? 2PD ? 2a ? 8 ? 5b,2 3a ? 2 3b ,可构造 x ? 2a ? 5b ? 8 ,则 3x ? 8 ,可求得最小值为 4 3

? 3PC ? 2PD ? ?x,

?

?

法 2:基底法(也可以取特殊的情形:直角梯形或者等腰梯形均可) 均用 AB , BC 线性表示 引例 2: (2012 南京一模)在面积为 2 的 ?ABC 中,E,F 分别是 AB,AC 的中点,点 P 在 直线 EF 上,则 PC ? PB ? BC 的最小值是______________ 2 3 解析:向量有两种运算形式:一种是定义运算;一种是坐标运算 建立平面直角坐标系解决 练习 1:如图,梯形 ABCD 中, AD // BC , AD ? AB, AD ? 1, BC ? 2, AB ? 3 , C
2

P 是 AB 上的一个动点, ?CPB ? ? , ?DPA ? ?
(Ⅰ )当 PD ? PC 最小时,求 tan ?DPC 的值; (Ⅱ )当 ?DPC ? ? 时,求 PD ? PC 的值. D A

B

P 解: 【解析】 :(Ⅰ)以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系。 则 A?0,0?, B?3,0?, C?3,2?, D?0,1? ,令 P?x,0?,0 ? x ? 3 有 PD ? ?? x,1?, PC ? ?3 ? x,2?
42

43
2 2 所以 PD ? PC ? x ? 3 x ? 2 ? ( x ? ) ?

3 2

1 , 4
y
C D A O P B

3 时, PD ? PC 最小 2 3 2 4 此时 P ( ,0) ,在 ?CPB 中, tan ? ? ? , 3 3 2 2 1 2 在 ?DPA 中, tan ? ? ? 3 3 2
当x?

x

4 2 ? tan? ? tan ? 所以 tan?DPC ? ? tan?? ? ? ? ? ? 3 3 ? ?18 tan? tan ? ? 1 4 2 ? ?1 3 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, P?x,0?, PD ? PC ? x 2 ? 3x ? 2 , tan ? ?

? ?DPC ? ? ,?? ? ? ? 2? , tan ? ? ? tan 2?

2 1 , tan ? ? 3? x x 1 2? 2 x 整理得: x ? 1 ? ?? 1 3? x 3 1? 2 x

2 此时 PD ? PC ? ( ) ? 1 ? 2 ?

1 3

10 9
? 4 5

B C 2: 在 ?A

中, 两中线 AD 与 BE 相互垂直, 则 cos( A ? B) 的最大值为

专题 7:三角形中一个三角恒等式的研究 引例:在斜三角形中,求证: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C

思考 1: 一般地, 当 A, B, C 满足什么条件时,tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 能 成立?(是怎么推导的?)

练习:在△ABC 中,若 tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 ,则 A ?

▲ .π 4

思考 2: (2012 年江苏高考 15 题)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5
43

44

思考 3:在 ?ABC 中,请你探究 tan A tan B tan C 的取值范围 思考 4:设 x ? tan ? , y ? tan ? , z ? tan ? ,证明下列问题: (1)已知 x, y, z ? R ,且 一个式子的值为 0; (2)已知 x ? y ? z ? xyz ,求证:

x? y y?z z?x ? ? ? 0 ,求证:条件的三个式子中至少有 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx

x y z 4 xyz ? ? ? 2 2 2 2 1? x 1? y 1? z (1 ? x )(1 ? y 2 )(1 ? z 2 )

专题 8:三角恒等变换公式的研究---一个错误引发的若干思考 引例: (1)等式 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 能成立吗?恒成立吗? (2)等式 cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? 能成立吗?恒成立吗? 思考 1:设 ? , ? 为锐角, (1)比较 sin(? ? ? )与sin ? ? sin ? 的大小,并说明理由; (2)比较 cos(? ? ? )与cos? ? cos? 的大小,并说明理由. 思考 2:试着探究等式 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 成立的充要条件. 专题 9:平面向量与三角形四心问题的相关研究 思考题:已知点 G 是 ?ABC 内任意一点,点 M 是 ?ABC 所在平面内一点.试分别根据下列 条件判断 G 点可能通过 ?ABC 的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”). (1) (2003 年全国高考题)若存在常数 ? ,满足 MG ? MA ? ? ( G 通过 ?ABC 的_____ (2) 若点 D 是 ?ABC 的底边 BC 上的中点,满足 GD GB ? GD GC ,则点 G 通过 ?ABC 的 ______
44

AB AB

?

AC AC

)(? ? 0) ,则点

45

( 3 )若存在常数 ? , 满足 MG ? MA? ? (

AB AB sin B

?

)(? ? 0), 则点 G 通过 AC sin C

AC

?ABC 的__________.
(4)若存在常数 ? ,满足 MG ? MA ? ? (

AB AB cos B

?

AC AC cos C

)(? ? 0) ,则点 G 通过

?ABC 的__________.
总结:关于三角形“四心”的向量表达式,若 P 点为 ?ABC 内任意一点,若 P 点满足:

? AB AC ? ), ? ? 0 ? AP ? ? ( AB AC ? ? 1. ? ? P为 ABC的内心 ; BA BC ? BP ? t ( ? ),t ? 0 ? BA BC ? ?
2. D、E 两点分别是 ?ABC 的边 BC、CA 上的中点,且

? ? DP PB ? DP PC ? P为 ABC的外心 ; ? EP PC ? EP PA ? ?
1 ? AP ? ( AB ? AC ), ? ? 3 ? P为 ABC的重心 ; 3. ? 1 ? BP ? ( BA ? BC ), ? 3 ?
4. ?

? ? AP BC ? 0 ? ? BP AC ? 0

? P为 ABC的垂心 .

专题Ⅴ

数列中相关问题的再研究
45

46

本专题的认知地图,游览完本景点,你应该了解: 1. 数列的单调性问题如何研究? 3. 数列的周期性问题如何研究? 2. 数列的有界性问题如何研究? 4. 数列中的数阵(数表)问题如何研究?

5. 数列中的一类最值问题如何研究? 6. 数列中的奇偶分析如何处理? 7. 数列中的项数问题如何研究? 9. 数列中的探索性问题如何研究? 8. 一类交错数列问题如何研究? 10. 数列问题中子数列问题如何研究?

11. 数列中等差数列和等比数列的公共项问题如何研究? 12. 等比数列求和问题的分类讨论意识 13. 证明最值问题的解题结构如何? 14. 如何理解数列的函数特性解决数列问题?

【易错题】
1. 在数列{an}中,已知 a1=1,an=an-1+an-2+ ?? a2+a1 ( n ? 2) ,则 an ? 答: an ? ? .

?1, n ? 1 ?2
n?2

,n ? 2
768

变式:数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn (n ? 1) ,则 a 6 = 注:求数列通项公式的注意点(从哪一项开始递推)
2 2. 数列 ?an ? 是等比数列是 an 是等比数列的________条件(充分不必要)

? ?

3. 已知三角形 ?ABC 的三边长 a, b, c 成等差数列,且 a ? b ? c ? 84 ,则实数 b 的取
2 2 2

值范围是_____ 2 6 ,2 7

?

?
1 , 若 an , an?2 , an?k (k ? N* , k ? 2) 成等差数列,则 k n

2 2 解答:不妨设 d ? 0 ,由题易得: 3b ? 2d ? 84 , b ? 2 d ,则易得答案

4. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 的取值集合是______________.解

2 1 1 8 , ? ? ? n ? 2? n?2 n n?k k ?4

k ? 4 ? 1, 2, 4,8 ,从而可得 (n, k ) ? (10,5),(6,6),(4,8),(3,12) . 答案为 ?5,6,8,12? .
5. 已知等差数列

{an } 的前 n 项和为 S n ,若 ? a2 ? 1? ? 2012 ? a2 ? 1? ? 1 ,
3

? a2 0 1 ? 1 1?

3

? 2 0 1?2 a

2011

?

1? ??

1 ,则下列四个命题中真命题的序号为

_____
46

47

① S2011 ? 2011 ;② S2012 ? 2012 ;③ a2011 ? a2 ;④ S2011 ? S2 解析:② ③ 由题可得 a2 ? a2011 ? 2 ,且 a2 ? 1 , a2011 ? ?0,1? 所以①不好判断;④应为大于 (一种结构的思维! ) 6. 已知数列 {an } 是等比数列, 首项 a1 =8, 令 bn = l o g 大,且 S 7 ? S8 ,则数列 {an } 的公比 q 的取值范围是 可知充要条件是 b7 ? 0, b8 ? 0 变式:已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列,Sn 是其前 n 项和,若 S10 是数列 ?Sn ? 中的 唯一最小项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 7. 记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 { 的值为 1或
2

若数列{ bn }的前 7 项的和 S7 最 an ,

[2 2 , 2 7 )

?

1

?

3

? ?30, ?27 ? (注意:唯一)

Sn } 是公差为 d 的等差数列,则 {an } 为等差数列时 d an

1 2

8. 等差数列{an}和{bn}的前 n 项的和分别是 Sn 和 Tn, 且

a a Sn 2n , 则 5 =___, 5 =__ ? Tn 3n ? 1 b5 b6
S n 7n ? 45 a , 则使得 n ? bn Tn n?3

变式: 已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项的和分别是 Sn 和 Tn, 且 为正整数的 n 的个数为________ 5

9. (教 L35 练 7) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 am ? n, an ? m , 则 am? n ? ____,

S m?n ? ____;若 S m ? n, S n ? m(m ? n) ,则 S m?n ? ______
解析:0;

(m ? n)( m ? n ? 1) ; ? (m ? n) 2
2 n-1

关注证明方法

10. 求 S n ? 1 ? 2x ? 3x ? ?? ? nx

* n n ?1 n?2 2 n 变式:已知 a , b 是不为 0 的常数, a ? b, n ? N ,则 a ? a b ? a b ? ? ? b ?

11. 在等差数列 {an } 中,前 n 项和 Sn ?

n m ,前 m 项和 Sm ? ,其中 m ? n ,则 S m ? n 的取值 m n
47

48

范围是

?4, ? ??

.

【专题研究、方法梳理】
专题 1:数列单调性问题研究 引例 1:数列 ?an ? 满足 an ? ?n 2 ? 5n ? 3 ( ? 为实常数) ,其中 n ? N ,且数列 ?an ? 为
*

单调递增数列,则求实数 ? 的取值范围为_________ 变式 1: 通项公式为 an ? an2 ? n 的数列 ?an ? , 若满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , 且 an ? an?1 对 n ? 8 恒成立,则实数 a 的取值范围是______ 变式 2:数列 ?an ? 满足 an ? ______项 变式 3: 数列 ?an ? 满足 a n ? _______
*

n ? 2011 n ? 2012

(n? N ) ,最小项为第_______项;最大项为第

n?? * ( ? 为实常数,n ? N ) , 最大项为 a8 , 最小项为 a9 , 2n ? 17

则实数 ? 的取值范围为__________ 变式 4:数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? k ? n ? 2k ,若对任意正整数 n ,an ? a3 ? a4 均成立,则实数 k 的取值范围是______________

1 , 若对于一切 n ? 1 的自然数,不等式 n 1 2 a n ?1 ? a n ? 2 ? ... ? a 2 n ? log a (a ? 1) ? 恒成立,则实数 a 的取值范围为________ 12 3 1 1 1 ? ? ??? ? 解: an ?1 ? an ? 2 ? ??? ? a2 n ? n ?1 n ? 2 2n 令 bn ? an?1 ? an?2 ???? ? a2n ,∴ bn?1 ? an?2 ? an?3 ???? ? a2n?2 1 1 1 1 ? ? ? ∴ bn ?1 ? bn ? a2 n ? 2 ? a2 n ?1 ? an ?1 ? 2n ? 2 2n ? 1 n ? 1 2(2n ? 1)(n ? 1) ∴ ?n ? 1, n ? N , bn?1 ? bn ? 0 恒成立; ∴数列 ?bn ? 对 n ? 2 , n ? N 上单调递增.
引例 2:已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 1 7 1 2 ? ? ;∴由题意可知 log a (a ? 1) ? ? (bn ) min 3 4 12 12 3 1 1? 5 ∴ loga (a ?1) ? ?1 又 a ? 1 ;∴ 0 ? a ? 1 ? ; ∴ 1 ? a ? . a 2
∴ (bn ) min ? b2 ? a3 ? a4 ?
48

49

练习:设函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) ,数列 ? f ( xn )? (n ? N * ) 是首项为 f (a4 ) ,公差 为 2 的等差数列,又 g (n) ? xn f ( xn ) ,数列 g (n) 是递减数列,则 a 的取值范围是 0<a< 6 3 .

引例 3: (教 L34 例 4) 已知 a , b 为两个正数, 且a ? b , 设 a1 ? 且 n ? N 时, a n ?
*

a?b , 当n ? 2 b1 ? ab , 2

a n ?1 ? bn ?1 , bn ? an?1bn?1 2

(1)证明:数列 {an } 为单调递减数列;数列 {bn } 为单调递增数列 (2)证明: a n ?1 ? bn ?1 ?

1 (a n ? bn ) 2

2 2 练习:已知数列{an}的首项 a1=a,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且满足:S2 n=3n an+Sn-1,

an≠0,n≥2,n∈N*. (1)若数列{an}是等差数列,求 a 的值; (2)确定 a 的取值集合 M,使 a∈M 时,数列{an}是递增数列.
2 2 解: (1)在 S2 n=3n an+Sn-1中分别令 n=2,n=3,及 a1=a 得

(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2, 因为 an≠0,所以 a2=12-2a,a3=3+2a. 因为数列{an}是等差数列,所以 a1+a3=2a2,即 2(12-2a)=a+3+2a,解得 a=3.经检 3n(n+1) 3n(n-1) 2 2 验 a=3 时,an=3n,Sn= ,Sn-1= 满足 S2 n=3n an+Sn-1. 2 2
2 2 2 2 2 2 (2)由 S2 n=3n an+Sn-1,得 Sn-Sn-1=3n an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n an,

即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因为 an≠0,所以 Sn+Sn-1=3n2,(n≥2),① 所以 Sn+1+Sn=3(n+1)2,② ②-①,得 an+1+an=6n+3,(n≥2).③ 所以 an+2+an+1=6n+9,④ ④-③,得 an+2-an=6,(n≥2) 即数列 a2,a4,a6,?,及数列 a3,a5,a7,?都是公差为 6 的等差数列, 因为 a2=12-2a,a3=3+2a.

? ?a,n=1, 所以 an=?3n+2a-6,n为奇数且n≥3, ?3n-2a+6,n为偶数, ?
要使数列{an}是递增数列,须有 a1<a2,且当 n 为大于或等于 3 的奇数时,an<an+1,且当 n 为偶数时,an<an+1,
49

50

即 a<12-2a,3n+2a-6<3(n+1)-2a+6(n 为大于或等于 3 的奇数), 9 15 3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n 为偶数),解得 <a< . 4 4 9 15 所以 M=( , ),当 a∈M 时,数列{an}是递增数列. 4 4 专题 2:数列有界性问题研究 引例:已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an ?1 ?

an ? bn an ? bn
2 2

, n ? N? .

2 ? bn ?? bn ? ? ? ? (1)设 bn ?1 ? 1 ? ,n ? N ,求证:数列 ?? ? ? 是等差数列; a an ? ?? n ? ? ?

(2)设 bn ?1 ? 2 ?

bn ,n ? N? ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

证:(1) 由 an ?1 ?

an ? bn an ? bn
2 2

, n ? N? , bn ?1 ? 1 ?

bn ,n ? N? , an

?(

2 2 2 bn?1 2 bn 2 b a 2 ? bn bn 2 an ? bn b ) ? ( ) ? (1 ? n ) 2 n ? ( ) ? ? ?( n ) 2 ? 1, 2 2 an?1 an an (an ? bn ) an an an

2 ? ?? bn ? ? ? 所以数列 ?? ? ? 是公差为 1 的等差数列. ?? an ? ? ? ?

(2)? an ? 0, bn ? 0 ,?

(a n ? bn ) 2 a ?b 2 2 ? an ? bn ? (a n ? bn ) 2 ,从而 an ?1 ? n n , n ? N? 2 2 2 an ? bn

1 ? a n ?1 ?

a n ? bn
2 2 an ? bn

? 2 * ,设等比数列 {an } 公比 q ,由 an ? 0 知 q ? 0 .下证 q ? 1 .

若 q ? 1 ,则 a1 ?

a2 1 ? a 2 ? 2 ,故当 n ? logq 时, an?1 ? a1q n ? 2 与*矛盾, a1 q a2 1 ? a 2 ? 1 ,故当 n ? logq 时, an?1 ? a1q n ? 1 与*矛盾, a1 q

若 0 ? q ? 1 ,则 a1 ?

* 综上 q ? 1 , 故 an ? a1 , (n ? N ) , ?1 ? a1 ? 2 , ? bn?1 ? 2

bn 2 ? bn ,(n ? N * ) an a1
50

51

?{bn } 公 比 为
a1 ? a1 ? bn
2 a12 ? bn

2 2 的 等 比 数 列 , 若 a1 ? 2 , 则 ? 1 . 于 是 b1 ? b2 ? b3 , 又 由 a1 a1
得 bn ?

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1

, ? b1 , b2 , b3 中 至 少 有 两 项 相 同 矛 盾 ,

? a1 ? 2 ,从而 bn ?

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1

? 2 ,? a1 ? b1 ? 2

关于(1)的变式(抓住式子的整体结构特征证明数列问题,是整体思想的体现) : 变式: (09 重庆)设 a1 ? 2 , an ?1 ? 式 bn =____ 练习 1:各项都为正数的数列 ?an ? ,其前 n 项的和为 Sn , Sn ? ( Sn?1 ? a1 )2 (n ? 2) ,

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N ,则数列 ?bn ? 通项公 an ? 1 an ? 1

a a 若 bn ? n ?1 ? n ,且数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn ,则 Tn = an an?1

4n 2 ? 6n . 2n ? 1

2:已知数列 ?an ? 满足 3an?1 ? an ? 4 ? n ? N? ? ,且 a1 ? 9 ,其前 n 项和为 Sn ,则满足不 等式 S n ? n ? 6 ?

1 的最小正整数 n ? 125

.7

关于(2)的变式(数列有界性问题) : N*)是整数,且 an+1-an 是关于 x 的方程 x2+( an+1-2)x-2an+1 设数列{an}满足:an(n∈ =0 的根. (1)若 a1=4,且 n≥2 时,4≤an≤8,求数列{an}的前 100 项和 S100; N*) (2)若 a1=-8,a6=1,且 an<an+1(n∈ ,求数列{an}的通项公式.
2 解: (1)由 an+1-an 是关于 x 的方程 x +( an+1-2)x-2an+1=0 的根,

可得: ? an?1 ? an ? 2?? 2an?1 ? an ? ? 0(n ? N ) ,
*

所以对一切的正整数 n , an?1 ? an ? 2 或 an?1 ?

1 an , 2

若 a1=4,且 n≥2 时,4≤an≤8,则数列{an}为: 4,6,8,4,6,8, ???

51

52

所以,数列{an}的前 100 项和 S100 ? 33(4 ? 6 ? 8) ? 8 ? 598 ; N*) an<an+1 N*) (2) 若 a1=-8, 根据 an (n∈ 是整数, (n∈ , 且 an?1 ? an ? 2 或 an?1 ?

1 an 2

?8, ?6, ?4, ?2,0,2 或 ?8, ?6, ?4, ?2, ?1,1 或 ?8, ?6, ?3, ?1,1,3 可知, 数列 {an } 的前 6 项是:
或 ?8, ?6, ?2,0,2,4 或 ?8, ?6, ?2, ?1,1,3 因为 a6=1,所以数列 {an } 的前 6 项只能是 ?8, ?6, ?4, ?2, ?1,1 且 n>4, n ? N * 时,

an?1 ? an ? 2 所以,数列{an}的通项公式是: an ?
专题 3:数列周期性问题研究 思考:数列的周期性如何定义? 引例:已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 1 ( n ? N )
*

2n ? 10, n ? 4 2n ? 11, n ? 5

(1)若 a1 ?

9 ,求数列的通项公式 an ; 5
*

(2)若 a1 ? a ? ?k , k ? 1? ( k ? N ) ,用 k , a 表示 ?an ? 的前 3k 项的和 S 3k ; (3)是否存在 a1 , n0 (n0 ? N * ) ,使得当 n ? n0 时 an 恒为常数?若存在,求出 a1 和 n0 ; 若不存在,说明理由;

? an ? 1 , an ? 1, ? ? 练习:数列 ?an ? 满足 a1 ? a ? ? 0,1? ,且 an ?1 ? ? an 若对于任意的 n ? N ,总 ?2a , a ? 1. n ? n
有 an?3 ? an 成立,则 a 的值为 . 1或

1 2

专题 4:数列中的数阵(数表)问题研究 引例 1: (2008 年江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵:

52

53
1 1 1 1 1 1 ? 4 3 6 2 3 4 1 1 l 1 1

1 2 4 7 8 5 9 3 6 10
第 3

5 10 10 5 1 ? ? ? ? ? ?

按照以上排列的规律,第 n 行 (n ? 3) 从左向右的 个数为

n2 ? n 【解】前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n-1)个,即 个,因此第 n 行第 3 个 2
数是全体正整数中第

n2 ? n n2 ? n ? 6 +3 个,即为 . 2 2

练习:如上右图,在杨辉三角中,斜线 l 的上方,从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形 数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前 n 项和为 Sn,则 S19 等于____________ 引例 2: 我们在下面的表格内填写数值: 先将第 1 行的所有空格填上 1; 再把一个首项为 1, 公比为 q 的数列 ?an ? 依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的 数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格. 第1列 第1行 第2行 第3行 ? 第n行 1 第2列 1 第3列 1 ? ? 第n列 1

q

q2
?

q n?1 , Bn ,试用 n, q 表示 B1 ? B2 ? ? Bn 的值;

(1)设第 2 行的数依次为 B1 , B2 ,

(2) 设第 3 列的数依次为 c1 , c2 , c3 ,

, cn ,求证:对于任意非零实数 q , c1 ? c3 ? 2 c2 ;

(3)请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题,如果都选,被认为选 择了第一问) .
53

54

①能否找到 q 的值,使得(2) 中的数列 c1 , c2 , c3 ,

, cn 的前 m 项 c1 , c2 ,

, cm ( m ? 3 )

成为等比数列?若能找到,m 的值有多少个?若不能找到,说明理由. ②能否找到 q 的值,使得填完表格后,除第 1 列外,还有不同的两列数的前三项各自依次 成等比数列?并说明理由. 练习: 已知整数数列 {an } 满足:a1 ? 1, a2 ? 2 ,2an ?1 ? an?1 ? an?1 ? 2an ? 1(n ? N , n ? 2) . (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 将数列 {an } 中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表:

依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和,设由这些和按原来行的前后顺序构成的数 列为 {bn } ,求 b5 ? b100 的值; (3) 令 cn ? 2 ? ban ? b ? 2
an ?1

( b 为大于等于 3 的正整数), 问数列 {cn } 中是否存在连续三项

成等比数列?若存在,求出所有成等比数列的连续三项;若不存在,请说明理由. 解: (1)因为数列 {an } 是整数列,所以 an 是整数, 所以 2an ? 1, an?1 ? an?1 , 2an ? 1 都是 整数, 又 2an ? 1 ? an?1 ? an?1 ? 2an ? 1(n ? N , n ? 2) ,所以 2an ? an?1 ? an?1 即数列 {an } 是首项为 1,公差 d ? a2 ? a1 ? 1 的等差数列, 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n . (2)设每一个循环(4 行)记为一组,由于每一个循环含有 4 行,故 b100 是第 25 个循环 中第 4 行中各数之和. 由循环分组规律知,每个循环共有 10 项,故第 25 个循环中的第 4 行内的 4 个数分别为数 列 {an } 的第 247 项至第 250 项,又 an ? n ,所以 b100 ? 247 ? 248 ? 249 ? 250 ? 994
54

55

又 b5 ? a11 ? 11,所以 b5 ? b100 ? 11 ? 994 ? 1005 . (3)因为 cn ? 2 ? ban ? b ? 2
an ?1

? 2 ? bn ? b ? 2n?1 ,
2

设数列 {cn } 中, cn , cn?1 , cn?2 成等比数列,即 cn?1 ? cn ? cn?1 , 所以 (2 ? nb ? b ? b ? 2n )2 ? (2 ? nb ? b ? 2n?1 )(2 ? nb ? 2b ? b ? 2n?1 ) . 化简得 b ? 2n ? (n ? 2) ? b ? 2n?1 . (*) 当 n ? 1 时, b ? 1 ,等式(*)成立,而 b ? 3 ,故等式(*)不成立; 当 n ? 2 时, b ? 4 ,等式(*)成立; 当 n ? 3 时, b ? 2n ? (n ? 2) ? b ? 2n?1 ? (n ? 2) ? b ? 2n?1 ? 4b ,这与 b ? 3 矛盾, 这时等式(*)不成立. 综上所述,当 b ? 4 时,数列 {cn } 中不存在连续三项成等比数列;

当 b ? 4 时,数列 {cn } 中的第二、三、四项成等比数列,这三项依次是 18,30,50. 专题 5:数列中的一类最值问题研究 引例 1:设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 d ? 0 , a3 ? 7 , S12 ? 0 , S13 ? 0 . (1)求公差 d 的取值范围; (2)求 S1 , S 2 , S 3 ,?S13 中的最大值 【思考 1】等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , d ? 0 ,若 S 9 ? S 23 ,则前多少项的和最大? 【思考 2】若把条件改为“ S10 ? S 23 ” ,有类似的结论吗? 【思考 3】一般地,若 a1 ? 0 , d ? 0 , S p ? S q ,则前多少项的和最大? 【思考 4】若 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 0 , d ? 0 , S p ? S q ,求证: S p ?q ? 0 ; 【思考 5 】探究 5 的逆命题是否成立?即若 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 0 , d ? 0 ,且

S p?q ? 0 ,则 S p ? S q 成立吗?为什么?
练习 1: (教 L35 基 6)已知 {an } 为等差数列,若

a11 ? ?1 ,且它的前 n 项和 S n 有最大值, a10
55

56

那么当 S n 取得最小正值时, n ? ______

19

2:等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S16 ? 0 , S17 ? 0 ,则当 n ? ____ 时,S n 最大 8
2 3:在等差数列 {an } 中,公差 d ? 0 , a2011 、 a2012 是方程 x ? 3x ? 5 ? 0 的两个根. S n 是

数列 {an } 的前 n 项和,那么满足条件 S n ? 0 的最大自然数 n ? ____ 专题 6:数列中的奇偶分析法 引例:已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2012 ,公比 q ? ?

4021

1 ,数列 {an } 前 n 项和记为 Sn , 2

前 n 项积记为 ? ( n) .(Ⅰ )求数列 ?Sn ? 的最大项和最小项; (Ⅱ )判断 ?(n) 与 ?(n ? 1) 的大小,并求 n 为何值时, ? ( n) 取得最大值; (Ⅲ )证明 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,如果所有这些 等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为 d1 , d2 , d3 ,

dn ,证明:数列 {dn } 为等比数列。

a1[1 ? (? 1 ) n ] 2 ? 2 a [1 ? (? 1 ) n ] 解: (Ⅰ ) Sn ? 1 3 1 2 1 ? (? ) 2
2 n (1)当 n 是奇数时, Sn ? 2 a1[1 ? ( 1 ) ] , 单调递减,? S1 ? S3 ? S5 ? ??? ? S 2 n ?1 ? a1 ,

3 3

2

3

2 n (2)当 n 是偶数时, Sn ? 2 a1[1 ? ( 1 ) ] , 单调递增,? S 2 ? S 4 ? S6 ? ??? ? S 2 n ? a1 ;

2

3

综上,当 n=1 时, Sn有最大值为S1 ? 2012 ; 当 n=2 时, Sn有最小值为S2 ? 1006 (Ⅱ ) | ?(n) |?| a1a2a3

an | ,?

| ? (n ? 1) | ?| an ?1 |? 2012( 1 ) n , | ? ( n) | 2

2012 ? 1 ? 2012 , 211 210
则当 n ? 10 时, | ?(n ? 1) |?| ?(n) | ;当 n ? 11 时, | ?(n ? 1) |?| ?(n) | , 又 ?(10) ? 0, ?(11) ? 0, ?(9) ? 0, ?(12) ? 0 ,
56

57

? ?(n) 的最大值是 ?(9)和?(12) 中的较大者.
? (12) ? a10 a11a12 ? a113 ? [2011(? 1 )10 ]3 ? 1 ,??(12) ? ?(9) , ? (9) 2
因此当 n=12 时, ? ( n) 最大. (Ⅲ ) | an | 随 n 增大而减小,数列 {an } 的奇数项均正数且递减,偶数项均负数且递增. ① 当 n 是奇数时,调整为 an ?1 , an ? 2 , an .则

a a , 2an?2 ? 2a1 (? 1 )n?1 ? 1 , an?1 ? an ? a1 (? 1 )n ? a1 (? 1 )n?1 ? 1 n 2 2 2 2 2n
? an?1 ? an ? 2an? 2 , an?1 , an? 2 , an 成等差数列;
② 当 n 是偶数时,调整为 an , an ? 2 , an ?1 ;则

a a , 2an?2 ? 2a1 (? 1 )n?1 ? ? 1 , an?1 ? an ? a1 (? 1 )n ? a1 (? 1 )n?1 ? ? 1 n 2 2 2 2 2n
? an?1 ? an ? 2an? 2 , an , an? 2 , an?1 成等差数列;
综上可知,数列 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列.14 分

3a1 ; 2 2 2n?1 3a ② n 是偶数时,公差 dn ? an?2 ? an ? a1[(? 1 )n?1 ? (? 1 )n?1 ] ? n?11 . 2 2 2
① n 是奇数时,公差 dn ? an?2 ? an?1 ? a1[(? 1 )n?1 ? (? 1 )n ] ? 无论 n 是奇数还是偶数,都有 dn ?

d 3a1 ,则 n ? 1 , n ?1 d 2 2 n ?1

因此,数列 {dn } 是首项为 3 a1 ,公比为 1 的等比数列. 4 2 练习: 1: 数列 ?

an ?

满足 an ?1 + an =4n-3(n∈ N ), 当 a1 =2 时, 则数列 ?
?
? ?

an ?

的通项公式为______

由 an ?1 + an =4n-3(n∈ N ), 得 an ? 2 + an ?1 =4n+1(n∈ N ).两式相减,得 an ? 2 - an =4. 所以数列 ?

a2n?1?

是首项为 a1 ,公差为 4 的等差数列.数列 ?

a2 n ?

是首项为 a2 ,公差为 4 的
57

58

n=2k ? 1 ?2n, ? 2n ? 5, n=2k 等差数列.由 a2 + a1 =1, a1 =2,得 a2 =-1.所以 an = ? (k∈Z).
2:数列 ?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 .数列 ?bn ?满足 bn ? an?1 ? (?1)n an , n ? N ? . (1)若数列 ?an ?是等差数列,求数列 ?bn ?的前 6 项和 S6 ; (2)若数列 ?bn ?是公差为 2 的等差数列,求数列 ?an ? 的通项公式; (3)若 b2n ? b2n?1 ? 0 , b2 n ?1 ? b2 n ? 专题 7:数列中的项数问题研究 引例:已知等比数列 {an } 的首项是 1 ,公比为 2,等差数列 {bn } 的首项是 1 ,公差为1 ,把

6 , n ? N ? ,求数列 ?an ? 的前 2 n 项的和 T2 n . 2n

{bn } 中的各项按照如下规则依次插入到 {an } 的每相邻两项之间,构成新数列 {cn } : a1 , b1 , a2 , b2 , b3 , a3 , b4 , b5 , b6 , a4 ,……,即在 an 和 an ?1 两项之间依次插入 {bn } 中 n 个项,
则 c2013 ? ______ 1951

讲评建议:该题题目文字较多,学生容易过不了文字关,就放弃,另外该题如果思路不妥, 运算量比较大.可以引导学生考虑两个问题第一数列 {cn } 怎么构成,第二下标 2013 指的什么 意义?对数列 {cn } 分组(a1), (b1,a2),(b2,b3,a3),(b4, b5 , b6 , a4 ), ……, 前 n 组的个数之和靠近 2013 即可,可能前 63 组之和为 2016,学生在这可能倾向正面计算 bn 共有几项,其实用 2013 个数剔除 an 中的项即可. 练习: 数列 ?an ? 的的前 n 项和是 Sn , 且满足的前 n 项和是 2Sn ? pan ? 2n(n ? N *, p ? 2) (1) 证明:数列 ?an ?1 ? 为等比数列;(2) 若 a2 ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 对 于 ( 2 ) 中 的 数 列 ?an ? , 若 数 列 ?bn ? 满 足 bn ? log an ? 1)( n ? N* , ) 在 bk 与 2 (

bk ?1 (k ? N * ) 之间插入 2 k ?1 个 2,得到一个新的数列 ?cn ? ,试问:是否存在正整数 m ,使
得数列 ?cn ? 的前 m 项和 Tn ? 2011 ?如果存在,求出 m 的值;如果不存在,说明理由. ”

58

59

解析: (1)数列 ?an ? 是等比数列,且公比为 (2) an ? ( ) , bn ? n, cn ?
n

1 . 2

1 2

9 (n ? 2)2 ,数列 ?cn ? 是一个递减数列,所以 t ? c1 ? . n?2 8 2

(3)存在,且 m ? 668 . 专题 8:交错数列求和问题研究 引 例 : 已 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 为 1 , 公 差 为 2 , 若 a1 a2 ? a2 a3? a3 a4? a4 a5 ????

?a2n a2n?1 ? t ? n2 对 n ? N * 恒成立,则实数 t 的取值范围是 _____ (??, ?12]
a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ??? ? a2n a2n?1 ? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ???? ? a2n (a 2n?1 ?a2n?1 ) ? ?4(a2 ? a4 ?
t ? ?8 ?

? a2n ) ? ?4 ?

a2 ? a2 n ? n ? ?8n 2 ? 4n ,所以 ?8n2 ? 4n ? tn2 , 所以 2

4 * 对 n ? N 恒成立, t ? ?12 , n 3 练习:变式:已知数列 {an } 满足 a1 ? ? , an ?1 ? 2an ? 1, 数列 {bn } 满足 bn ? an ? 1 ,数列 4
(2) 令 dn ? (?1)n cncn?1 ,Tn {cn } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 4n(1) 求数列 {bn } 的通项公式; 为数列 {dn } 的前 n 项和, 求 T2 n?1 ; (并项求和法) (3) 若使不等式

2cn? p cn

?

bn?1 ? p ? 8 bn

成立的自然数 n 恰好有 4 个,求正整数 p 的值. 解答:(1) 列? bn ? 由 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 即 bn?1 ? 2bn ,?{bn } 为首项是

1 ,公比为 2 的等比数 4

??3???????????n ? 1 1 n ?1 2 ? 2n ?3 ;(2) cn ? ? ? ?cn ? 2n ? 5 , T2n?1 ? ?8n2 ? 4n ? 3 4 ?2n ? 5?????n ? 2 cn ?
4p p ?8 bn?1 ? p ? 8 ? n ?3 , n ? 1, 2 时上式成立. n ? 3 时,原式变 得 2n ? 5 2 bn
n ? 4 时,
59

(4)由

2cn? p



2n ? 5 4p 2n ? 5 f (n ? 1) 2n ? 3 2n?3 2n ? 3 ? n ?3 令 f ( n ) ? n ?3 则 ? n?2 ? 2 p ?8 2 f (n) 2 2n ? 5 2(2n ? 5)

60

f (n ? 1) ?1 f ( n)
f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? f (7) ?
3 5 7 f (3) ? 1, f (4) ? , f (5) ? , f (6) ? 2 4 8

5 ? 4p ? p ?8 ? 4 ? 8 40 ? 由? 解得 ? p ? ,所以 p ? 3 3 11 ? 4p ? ?1 ? ? p ?8
专题 9:数列中的探索性问题研究 引例:设数列 {an } ,对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2
*

? an ) ,(其 ? an ;

中 k 、 b 、 p 是常数)(1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ?

(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (3)探究数列 ?an ? 为封闭数列的充要条件 (4) 若数列 ?an ? 中任意 (不同) 两项之和仍是该数列中的一项, 则称该数列是“封闭数列”. 当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否 存在这样的“封闭数列”

?an ? , 使 得 对 任 意

n ? N * , 都 有 Sn ? 0 , 且

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 2 S1 S2 S3
存在,请说明理由

?

1 11 ?.若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所有取值;若不 18 nS

解: (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时, 3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 用 n ?1 去 代 n 得 , 3 ( a1 ? a ) n? 1 ?

? an ) ,



? 4

2 a1 ? (

a2 ?

n

a ?

?n

,) a1

② ② -①得 ,

中令 n ? 1 得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴ 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an ,在①

an ?1 ? 3, an
60

61

∴ 数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列,∴a1 ? a2 ? a3 ? (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ④ -③ 得,

3n ? 1 ? an = 2
③ ④

? an ) ,

? an ? an?1 ) ,

(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,

⑤ ⑥

用 n ? 1 去代 n 得, nan?2 ? (n ? 1)an?1 ? a1 ? 0 ,

⑥ -⑤ 得, nan?2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,∴ 数列 {an } 是等差数列 ∵a3 ? 3 , a9 ? 15 ,∴ 公差 d ?

a9 ? a3 ? 2 ,∴an ? 2n ? 3 9?3

(3)

a1 a a ? p ? m ? n ? 1, 则 1 ? m ? n ? 1 ? p ? 1 恒成立, 则 1 ? ?1 恒成立, 则 a1 ? ?2 2 2 2

的偶数 (4)由(2)知数列 {an } 是等差数列,∵a2 ? a1 ? 2 ,∴an ? a1 ? 2(n ? 1) 又 ?an ? 是“封闭数列”,得:对任意 m, n ? N ? ,必存在 p ? N ? 使

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数,
又由已知,

18 18 1 1 11 ? ? ,故 ? a1 ? 12 . 一方面,当 ? a1 ? 12 时, 11 11 12 S1 18

Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? 0 ,对任意 n ? N * ,都有

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3

?

1 1 1 ? ? 。 Sn S1 12

另 一 方 面 , 当

a1 ? 2 时 , Sn ? (n ? n 1 , )
1 ?1 S

1 1 1 ? ? , 则 Sn n n ? 1

1 ? S1

1 ? S2

1 ? S3

n

1 1 1 1 2 11 ? ,取 ? n ? 2 ,则 ? ? 1 ? ? ? ,不合题意 ?1 n S1 S2 3 3 18
61

62

当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3

?

11 1 11 1 1 1 1 , ? ? ( ? ? )? Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18

当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3

1 1 1 ? ? ? S1 S2 S3


?

1 11 1 1 1 1 11 ? ? ( ? ? )? , Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18

18 ? a1 ? 12 ,∴a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 11

练习:若数列 ?an ? 对任意的正整数满足: “等差比数列”.

a n? 2 ? a n ?1 ,则该数列 ?an ? 称为 ? k (k 为常数) a n?1 ? a n

(1)若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2(an ? 1) ,求 ?an ? 的通项公式,并判断 ?an ? 是 否为“等差比数列”? (2)若数列 ?an ? 为等差数列,试判断 ?an ? 是否为等差比数列?并说明理由? (3)试写出一个“等差比数列”的通项公式 an ,使此数列既不是等差数列,也不是等比 数列? (4)类比“等差比数列”的定义,请你给出“等比差数列”的定义,并仿照(3)给出该 数列的一个通项公式? 专题 10:数列中的子数列问题研究(算两次和辗转相除) 引例 1: (教 L37 例 2)已知 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 0 , ?an ? 的部分项 a k1 、a k 2 、?、

a kn 恰为等比数列,若 k1 ? 1 , k 2 ? 5 , k 3 ? 17 ,求 k n
练习 1: 设数列 {an } 是公差不为零的等差数列,a1 ? 2 ,a3 ? 6 , 若自然数 n1 , n2 ,?nk ,?

62

63

满足 3 ? n1 ? n2 ? ? ? nk ? ? ,且 a1 , a3 , an1 ,?an ,? 是等比数列,则 nk =
k

3k ?1 ;提示: {an } 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,∴ an ? 2n ;∴ ank ? 2 nk

a1 , a3 , an1 ,?an ,? 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列,∴ ank ? 2 3k ?1 ,∴ nk ? 3k ?1 .
k

练习 2:已知各项均为正数的等差数列 {an } 的公差 d 不等于 0,设 a1 , a3 , ak 是公比为 q 的 等比数列 {bn } 的前三项, (I)若 k=7, a1 ? 2 (i)求数列 {anbn } 的前 n 项和 Tn;

(ii)将数列 {an } 和 {bn } 的相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列 {cn } ,设其前 n 项 和为 Sn,求 S2n ?n?1 ? 2
2n?1

? 3? 2n?1 (n ? 2, n ? N * ) 的值;
*

(II)若存在 m>k, m ? N 使得 a1 , a3 , ak , am 成等比数列,求证 k 为奇数.(研究子数列问 题的根本着力点是算两次) (Ⅰ) 因为 k ? 7 ,所以 a1 , a3 , a7 成等比数列,又 ?an ? 是公差 d ? 0 的等差数列, 所以 ? a1 ? 2d ? ? a1 ? a1 ? 6d ? ,整理得 a1 ? 2d ,又 a1 ? 2 ,所以 d ? 1 ,
2

b1 ? a1 ? 2 , q ?

b2 a3 a1 ? 2d ? ? ? 2 ,所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? 1, bn ? b1 ? qn?1 ? 2n , b1 a1 a1

①用错位相减法或其它方法可求得 ?anbn ? 的前 n 项和为 Tn ? n ? 2n ?1 ; ② 因为新的数列 {cn } 的前 2n ? n ? 1 项和为数列 ?an ? 的前 2 n ? 1 项的和减去数列 ?bn ? 前 n 项的和,所以 S 2n ? n ?1 ? 所以 S2n ?n?1 ? 2
2n?1

(2n ? 1)(2 ? 2n ) 2(2n ? 1) ? ? (2n ? 1)(2n ?1 ? 1) . 2 2 ?1

? 3? 2n?1 (n ? 2, n ? N * ) =1.
2

(Ⅱ) 由 (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? (k ? 1))d ,整理得 4d ? a1d (k ? 5) ,
2

因为 d ? 0 ,所以 d ?

a1 (k ? 5) a a ? 2d k ? 3 ? ,所以 q ? 3 ? 1 . a1 a1 2 4
3 3

? k ? 3? 因为存在 m>k,m∈ N 使得 a1 , a3 , ak , am 成等比数列,所以 am ?a1 q ? a1 ? ? , ? 2 ?
*

63

64

又在正项等差数列{an}中, am ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ?
3

a1 (m ? 1)( k ? 5) , 4
3

所以 a1 ?

a1 (m ? 1)(k ? 5) ? k ? 3? 又因为 a1 ? 0 , 有 2? 4? ( m? 1 ) ( k 5 ? ) (? k )? ? a1 ? ? 3 ?, 4 ? 2 ?



因为 2 ? 4 ? (m ? 1)(k ? 5)? 是偶数,所以 (k ? 3)3 也是偶数,即 k ? 3 为偶数,所以 k 为奇数. 引例 2:设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项的和为 S n ,已 知对任意整数 k ? M ,当 n ? k 时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立. (1)设 M ? {1} , a 2 ? 2 ,求 a5 的值; (2)设 M ? {3, 4} ,求数列 {an } 的通项公式. 【解】 (1) 由题设, 当 n ? 2时, Sn?1 ? Sn?1 ? 2(Sn ? S1 ) ,(Sn?1 ? Sn ) ? (Sn ? Sn?1 ) ? 2S1 , 从而 an?1 ? an ? 2a1 ? 2, 又a2 ? 2, 故当n ? 2时, an ? a2 ? 2(n ? 2) ? 2n ? 2. a5 的值为 8 (2)由题设知,当 k ? M ? {3, 4}, 且n ? k时,Sn?k ? Sn?k ? 2Sn ? 2Sk

且Sn?1?k ? Sn?1?k ? 2Sn?1 ? 2Sk ,两式相减 an?1?k ? an?1?k ? 2an?1 ,即an?1?k ? an?1?k ? an?1 ? an?1?k
所以当 n ? 8时, an?6 , an?3 , an , an?3 , an?6 成等差数列, 且 an?6 , an?2 , an?2 , an?6 也成等差数列 从而当 n ? 8 时, 2an ? an?3 ? an?3 ? an?6 ? an?6 . 且 an?6 ? an?6 ? an?2 ? an?2 , 所以当n ? 8时, 2an ? an?2 ? an?2 , 即 an?2 ? an ? an ? an?2 .于是当n ? 9时, an?3 , an?1 , an?1 , an?3 成等差数列, 从而 an?3 ? an?3 ? an?1 ? an?1 , 故由(*)式知 2an ? an?1 ? an?1 ,即an?1 ? an ? an ? an?1 . 当 n ? 9 时,设 d ? an ? an?1 . 当 2 ? m ? 8时, m ? 6 ? 8 ,从而由(*)式知 2am?6 ? am ? am?12
64

(*)

65

故 2am?7 ? am?1 ? am?13 . 从而 2(am?7 ? am?6 ) ? am?1 ? am ? (am?13 ? am?12 ) ,于是 am?1 ? am ? 2d ? d ? d . 因此, 又由 Sn?k ? Sn?k ? 2Sk ? 2Sk (k ?{3, 4}) 可 an?1 ? an ? d 对任意 n ? 2 都成立, 知 (Sn?k ? Sn ) ? (Sn ? Sn?k ) ? 2Sk , 故9d ? 2S3且16d ? 2S4 , 解得 a4 ?

7 3 d d , 从而a2 ? d , a1 ? . 2 2 2

因此,数列 {an } 为等差数列,由 a1 ? 1知d ? 2. 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1. 练习: 数列 ?an ? 的各项均为正数.若对任意的 n ? N , 存在 k ? N , 使得 an?k 2 ? an ? an?2k
* *

成立,则称数列 ?an ? 为“ J k 型”数列. (1)若数列 ?an ? 是“ J 2 型”数列,且 a2 ? 8, a8 ? 1,求 a2 n ; (2)若数列 ?an ? 既是“ J 3 型”数列,又是“ J 4 型”数列,证明:数列 ?an ? 是等比数列.
a 解: (1) 由题意得 a 2 , …成等比数列, 且公比 q ? 8 a4 , a6 , a8 , a2

? ?

1 3

?1, a ? a2 qn?1 ? 1 2 2n 2

??

n?4



(2)证明:由{ a n }是“ J 4 型”数列,得
a1 , a5 , a9 , a13 , a17 , a21 ,…成等比数列,设公比为 t .

由{ a n }是“ J 3 型”数列,得
a1 , a 4 , a 7 , a10 , a13 ,…成等比数列,设公比为 ? 1 ;

a 2 , a5 , a8 , a11 , a14 ,…成等比数列,设公比为 ? 2 ; a3 , a 6 , a9 , a12 , a15 ,…成等比数列,设公比为 ?3 ;



a13 a a ? ?14 ? t 3 , 17 ? ?24 ? t 3 , 21 ? ?34 ? t 3 . a1 a5 a9
65

66

所以 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ,不妨记 ? ? ?1 ? ?2 ? ?3 ,且 t ? ? 3 . 于是 a3k ?2 ? a1? k ?1 ? a1

4

? ??
3

(3 k ?2) ?1



a3k ?1 ? a5? k ? 2 ? a1t? k ? 2 ? a1?
a3k ? a9? k ?3 ? a1t 2? k ?3 ? a1?

k?2 3

? a1
? a1

? ??
3
3

(3k ?1) ?1



k ?1 3

? ??

3k ?1



所以 an ? a1

? ??
3

n ?1

,故{ a n }为等比数列.

专题 11:数列中等差数列和等比数列的公共项问题研究 引例:设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, 则 ?an ? 的前 n 项 和 Sn =_________________ 变式 1: (等比数列的某些项成等差数列问题) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a1 ,2 a2 ,a3 成等差数列,若 a1 =1,则 s 4 =_________ 变式 2: (等差数列中的某些项成等比数列问题) (教 L37 例 2)已知 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 0 , ?an ? 的部分项 a k1 、a k 2 、?、a kn 恰 为等比数列,若 k1 ? 1 , k 2 ? 5 , k 3 ? 17 ,求 k n 变式 3:既成等差数列又称等比数列的问题 (1)是否存在不相同的三个数,使得三个数既成等差数列又成等比数列? (2)是否存在这样的三元素集,使得三个元素既成等差数列又成等比数列? (3)设 a1 , a2 ,?, an 是各项不为零的 n(n ? 4) 项等差数列,且公差 d ? 0 ,若将数列删去 某一项后, 得到的数列 (按原来顺序) 是等比数列, 所有数对 ? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的集合为_____ d ?

(4) (I)设 a1 , a2 ,

an 是各项均不为零的等差数列 (n ? 4) ,且公差 d ? 0 ,若将此数

列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: 当 n ? 4 时,求

a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d
66

67

(II)求证:对于一个给定的正整数 (n ? 4) ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列

b1 , b2

bn ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列

【解】 :本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。 (1)①当 n=4 时, a1 , a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等 比数列,则推出 d=0 若删去 a2 ,则 a32 ? a1 ? a4 ,即 (a1 ? 2d )2 ? a1 ? (a1 ? 3d ) 化简得 a1 ? 4d ? 0 ,得 若删去 a3 ,则 a2 2 ? a1 ? a4 ,即 (a1 ? d )2 ? a1 ? (a1 ? 3d ) 化简得 a1 ? d ? 0 ,得 综上,得

a1 ? ?4 d

a1 ?1 d

a1 a ? ?4 或 1 ? 1 d d

②当 n=5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中同样不可能删去 a1 , a2 , a4 , a5 ,否则出现连续三项。 若删去 a3 ,则 a1 ? a5 ? a2 ? a4 ,即 a1 (a1 ? 4d ) ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 3d ) 化简得 3d ? 0 ,因为
2

d ? 0 ,所以 a3 不能删去;
当 n≥6 时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列 a1 , a2 , a3 ,

, an?2 , an?1, an 中,由于不

能删去首项或末项, 若删去 a2 , 则必有 a1 ? an ? a3 ? an?2 , 这与 d ? 0 矛盾; 同样若删去 an ?1 也 有 a1 ? an ? a 3? an? 2, 这 与 d ? 0 矛 盾 ; 若 删 去 a3 ,

, an?2 中 任 意 一 个 , 则 必 有

a1 ? an ? a2 ? an?1 ,这与 d ? 0 矛盾(或者说:当 n≥6 时,无论删去哪一项,剩余的项中必有
连续的三项)综上所述, n ? 4 (2)假设对于某个正整数 n,存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1 , b2 ,...... bn ,其中

bx?1 , by ?1 , bz ?1 ( 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 )为任意三项成等比数列,则 b2 y?1 ? bx?1 ? bz ?1 ,即
2 2 (b1 ? yd )2 ? (b 1 ? xd) ? ( b 1 ? zd) ,化简得 ( y ? xz)d ? ( x ? z ? 2 y)b 1d

(*)

由 b1d ? 0 知, y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 或同时不为 0
2 2 当 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 时,有 x ? y ? z 与题设矛盾

故 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时不为 0,所以由(*)得
2

b1 y 2 ? xz ? d x ? z ? 2y
67

68

因 0 ? x ? y ? z ? n ? 1,且 x、y、z 为整数,所以上式右边为有理数,从而 于是对于任意的正整数 n(n ? 4) ,只要

b1 为有理数 d

b1 为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列 d

例如 n 项数列 1, 1 ? 2 , 1 ? 2 2 ,……,1 ? (n ?1) 2 满足要求 变式 4:已知{an}是等差数列, {bn}是公比为 q 的等比数列,a1=b1,a2=b2≠a1,记 Sn 为 数列{bn}的前 n 项和; (1)若 bk=am(m,k 是大于 2 的正整数) ,求证:Sk-1=(m-1)a1; (2)若 b3=ai(i 是某个正整数) ,求证:q 是整数,且数列{bn}中每一项都是数列{an} 中的项; (3)是否存在这样的正数 q,使等比数列{bn}中有三项成等差数列?若存在,写出一个 q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由; 练习:在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且对任意的 k ? N * , a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等比数列,其公比 为 qk .(1)若 qk =2( k ? N * ),求 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a2 k ?1 ; ( 2 ) 若 对任 意 的 k ? N ,
*

a2 k , a2 k ?1 , a2k ? 2 成 等 差 数列 , 其公 差 为 d

k

,设

bk ?

1 qk ? 1

① 求证: {bk }成等差数列,并指出其公差;

②若 d 1 =2,试求数列 {dk } 的前 k 项的和 Dk . 解: (1)因为 qk ? 2 ,所以

a2 k ?1 ? 4 ,故 a1 , a3 , a5 , ???, a2k ?1 是首项为 1,公比为 4 的等比数列, a2 k ?1
1 ? 4k 1 k ? (4 ? 1) 1? 4 3

所以 a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 k ?1 ?

(2)①因为 a2k , a2k ?1 , a2 k ?2 成等差数列,所以 2a2k ?1 ? a2k ? a2k ?2 , 而 a2 k ?

a2 k ?1 q ?1 1 , a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk ?1 ,所以 ? qk ?1 ? 2 ,则 qk ?1 ? 1 ? k qk qk qk

68

69



1 qk ?1 ? 1

?

qk 1 1 1 ? ? 1,所以 ? ? 1 ,即 bk ?1 ? bk ? 1 , qk ? 1 qk ? 1 qk ?1 ? 1 qk ? 1

所以 ?bk ? 是等差数列,且公差为 1
2 ②因为 d1 ? 2 ,所以 a3 ? a2 ? 2 ,则由 a2 ? 1? a3 ? a2 ? 2 ,解得 a2 ? 2 或 a2 ? ?1

(ⅰ)当 a2 ? 2 时, q1 ? 2 ,所以 b1 ? 1 ,则 bk ? 1 ? (k ?1) ?1 ? k ,即

1 ?k, qk ? 1

得 qk ?

k ?1 a (k ? 1)2 ,所以 2 k ?1 ? , k a2 k ?1 k2

则 a2 k ?1 ?

a2 k ?1 a2 k ?1 a (k ? 1)2 k2 22 ? ????? 3 ? a1 ? ? ????? ?1 ? (k ? 1)2 a2 k ?1 a2 k ?3 a1 k2 (k ? 1)2 12
a2 k ?1 (k ? 1) 2 k (k ? 3) ? ? k (k ? 1) ,则 dk ? a2k ?1 ? a2k ? k ? 1 ,故 Dk ? k ?1 2 qk k

所以 a2 k ?

(ⅱ) 当 a2 ? ?1 时 ,

q1 ? ?1 , 所 以 b1 ? ?

1 1 3 , 则 bk ? ? ? ( k ? 1) ? 1 ? k ? , 即 2 2 2

1 k? 1 3 2, ? k ? 得 qk ? 3 qk ? 1 2 k? 2 1 2 3 2 1 2 ( k ? ) ( k ? ) ( ) a2 k ?1 a2 k ?1 a3 1 2 2 2 所以 a2 k ?1 ? ? ????? ? a1 ? ? ????? ?1 ? 4(k ? )2 , 3 5 1 a2 k ?1 a2 k ?3 a1 2 (k ? ) 2 (k ? ) 2 (? ) 2 2 2 2
则 a2 k ?

a2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) ,所以 dk ? a2k ?1 ? a2 k ? 4k ? 2 ,从而 Dk ? 2k 2 . qk
k (k ? 3) 2 或 Dk ? 2k 2

综上所述, Dk ?

专题 12:等比数列求和问题中分类讨论问题研究 引例:已知数列 ?an ? 是由正数组成的等比数列, Sn 是其前 n 项和.

69

70

(1)当首项 a1 ? 2 ,公比 q ? 求 c 的取值范围;

1 S ?c 时,对任意的正整数 k 都有 k ?1 ? 2(0 ? c ? 2) 成立, 2 Sk ? c

2 * (2)判断 S n S n ? 2 ? S n ?1 n ? N 的符号,并加以证明;

?

?

(3)是否存在正常数 m 及自然数 n ,使 lg(Sn ? m) ? lg(Sn?2 ? m) ? 2lg(Sn?1 ? m) 成立? 若存在,请求出相应的 m, n ;若不存在,说明理由. 解: ( 1 ) S k ? 4(1 ?

1 ) ? 2 , ? Sk ?1 ? c ? 2Sk ? 2c 即 c ? 2Sk ? Sk ?1 , 代 入 计 算 得 2k

c ? 4?

6 ,因为对任意的 k 恒成立,所以 0 ? c ? 1 2k

2 2 2 (2) 符号为负证明: 当 q ? 1 时,Sn Sn?2 ? Sn ?1 ? na1 ? (n ? 2)a1 ? [(n ? 1)a1 ] ? ?a1 ? 0

当 q ? 1 时,

?an ? 是由正数组成的数列? q ? 0 ,则 q ? 0 且 q ? 1
2 n ?1

? Sn Sn? 2 ? S

a (1 ? q n ) a1 (1 ? q n ? 2 ) ? a1 (1 ? q n ?1 ) ? ? 1 ? ?? ? 1? q 1? q ? 1? q ?

2

a12 a12 n n?2 n ?1 2 ?(1 ? q )(1 ? q ) ? (1 ? q ) ? ? ? (?q n ? q n? 2 ? 2q n?1 ) ? ?a12qn ? 0 2 ? 2 ? (1 ? q) (1 ? q)
2 * 综上, S n S n ? 2 ? S n ?1 n ? N 为负

?

?

(3) 假设存在一个正常数 m 满足题意,则有

? Sn ? m ? 0 ?S ? m ? 0 ? n ?1 2 ? Sn Sn?2 ? Sn ? ?1 ? m(Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1 ) (*) ? Sn? 2 ? m ? 0 ?( S ? m)( S ? m) ? ( S ? m) 2 n?2 n ?1 ? n

Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1 ? (Sn ? m) ? (Sn?2 ? m) ? 2(Sn?1 ? m)

? 2 (Sn ? m)(Sn?2 ? m) ? 2(Sn?1 ? m) ? 0



? Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1 ? 0
2

? m(Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1 ) ? 0 ?(*)式不成立
故不存在正常数 m 使结论成立
70

由(1)得 Sn Sn?2 ? Sn?1 ? 0

71

专题 13:一类证明问题的再研究 引例:设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 公差为 d 的等差数列 (1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n , d 表示) ; (2) 设 c 为实数, 对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 S m ? S n ? cSk 都成立. 求证: c 的最大值为 (1)由题意知: d ? 0 ,

? S ?是
n

9 2.

Sn ? S1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d

2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3 ? 3(S2 ? S1 ) ? S3 , 3[( a1 ? d )2 ? a1 ]2 ? ( a1 ? 2d )2 ,
化简,得: a1 ? 2 a1 ? d ? d 2 ? 0, a1 ? d , a1 ? d 2

Sn ? d ? (n ?1)d ? nd , Sn ? n2d 2 ,
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2d 2 ? (n ?1)2 d 2 ? (2n ?1)d 2 ,适合 n ? 1 情形。 故所求 an ? (2n ?1)d 2 (2) (方法一)

Sm ? Sn ? cSk ? m2d 2 ? n2d 2 ? c ? k 2d 2 ? m2 ? n2 ? c ? k 2 , c ?
2 2 2 2 又 m ? n ? 3k且m ? n , 2(m ? n ) ? (m ? n) ? 9k ?

m2 ? n2 恒成立。 k2

m2 ? n 2 9 ? , k2 2

故c ?

9 9 ,即 c 的最大值为 。 2 2

2 2 (方法二)由 a1 ? d 及 Sn ? a1 ? (n ?1)d ,得 d ? 0 , Sn ? n d 。

于是,对满足题设的 m, n, k , m ? n ,有

71

72

( m ? n) 2 2 9 2 2 9 S m ? S n ? (m ? n )d ? d ? d k ? Sk 。 2 2 2
2 2 2

9 。 2 9 3 3 另一方面,任取实数 a ? 。设 k 为偶数,令 m ? k ? 1, n ? k ? 1 ,则 m, n, k 符合条 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 件,且 S m ? S n ? (m ? n )d ? d [( k ? 1) ? ( k ? 1) ] ? d (9k ? 4) 。 2 2 2
所以 c 的最大值 cmax ? 于是,只要 9k ? 4 ? 2ak ,即当 k ?
2 2

1 2 2 2 时, S m ? S n ? d ? 2ak ? aS k 。 2 2a ? 9

所以满足条件的 c ? 因此 c 的最大值为

9 9 ,从而 cmax ? 。 2 2

9 2

练习:如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a,b,c 都在函数 f(x)的定义域内,就有 f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称 f(x)为“保三角形函数”. (1)判断下列函数是不是“保三角形函数”,并证明你的结论: ① f(x)=

x;

② g(x)=sinx (x∈(0,π)).

(2)若函数 h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函数,求证:M 的最小值为 2. (1) 【答】f(x)= 【证明】① f(x)=

x是保三角形函数,g(x)=sinx (x∈(0,π))不是保三角形函数. x是保三角形函数.

对任意一个三角形的三边长 a,b,c,则 a+b>c,b+c>a,c+a>b, f(a)=

a,f(b)=

b,f(c)=

c.

因为( a+ b)2=a+2 ab+b>c+2 ab>( c)2,所以 a+ b> c. 同理可以证明: b+ c> a, c+ a> b. 所以 f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长,故 f(x)=

x是保三角形函数. 4 分

②g(x)=sinx (x∈(0,π))不是保三角形函数. 取 π ,5π ,5π ? ? 0,π ? ,显然这三个数能作 2 6 6 1 为一个三角形的三条边的长. 而 sin π =1,sin 5π = ,不能作为一个三角形的三边长. 2 2 6 所以 g(x)=sinx (x∈(0,π))不是保三角形函数. (2)【解】M 的最小值为 2.
72

73

(i)首先证明当 M≥2 时,函数 h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长 a,b,c∈[M,+∞),且 a+b>c,b+c>a,c+a>b, 则 h(a)=lna,h(b)=lnb,h(c)=lnc. 因为 a≥2,b≥2,a+b>c,所以(a-1)(b-1)≥1,所以 ab≥a+b>c,所以 lnab>lnc, 即 lna+lnb>lnc.同理可证明 lnb+lnc>lna,lnc+lna>lnb. 所以 lna,lnb,lnc 是一个三角形的三边长. 故函数 h(x)=lnx (x∈[M,+∞),M≥2),是保三角形函数.????? 13 分 (ii)其次证明当 0<M<2 时,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函数. 当 0<M<2 时,取三个数 M,M,M2∈[M,+∞), 因为 0<M<2,所以 M+M=2M>M2,所以 M,M,M2 是某个三角形的三条边长, 而 lnM+lnM=2lnM=lnM2,所以 lnM,lnM,lnM2 不能为某个三角形的三边长, 所以 h(x)=lnx 不是保三角形函数. 不是保三角形函数. 综上所述:M 的最小值为 2. 思考 1、如果 g ? x ? 是定义在 R 上的周期函数,且值域为 ? 0, ??? ,则 g ? x ? 是不是“保三 角形函数”? 设 T ? 0 为 g ? x ? 的一个周期,由于其值域为 ? 0, ??? ,所以,存在 n ? m ? 0 ,使得 所以,当 M<2 时,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))

g ? m? ? 1, g? n? ? 2,取正整数 ? ?

n?m ,可知 ?T ? m, ?T ? m, n 这三个数可作为一 T

个三角形的三边长,但 g ? ?T ?m ? ? 1 , g ? ?T ? m? ? 1, g ? n ? ? 2 不能作为任何一个三角 形的三边长.故 g ? x ? 不是“保三角形函数”. 思考 2、由解法可知 g ? x ? ? sin x 不是保三角形函数,但是在定义域的某个区间上能不能 成为保三角形函数? 比如 g ? x ? ? sin x x ? ? 0, A? 是保三角形函数,求 A 的最大值 (可以利用公式 sin x ? sin y ? 2sin 分析: A 的最大值为

?

?

5? . 6

x? y x? y cos ) 2 2

73

74

一方面,若 A ? 取

? 5? 5?
2 ,

5? ,下证 g ? x ? 不是“保三角形函数”. 6

sin

?
2

6

,

6

? ? 0, A ? ,显然这三个数可作为一个三角形的三边长,但 5? 1 5? 1 ? ,sin ? 不能作为任何一个三角形的三边长,故 g ? x ? 不是 6 2 6 2

? 1,sin

“保三角形函数”.

5? 时, g ? x ? 是“保三角形函数”. 6 5? ) ,则分类讨论如下: 对任意三角形的三边 a, b, c ,若 a, b, c ? (0, 6 (1) a ? b ? c …2? , ? 5? 5? ? ? ? ,同理, b, c ? , 此时 a …2? ? b ? c ? 2? ? 3 6 6 3 ? 5? 1 a , b, c ? ( , ) s a i b n c? , ∴ , 故 3 6 2 1 1 sin a ? sin b ? ? ? 1 …sin c . 2 2
另一方面,以下证明 A ? 同理可证其余两式. ∴ sin a,sin b,sin c 可作为某个三角形的三边长. (2) a ? b ? c ? 2? 此时,

s , i

n

a?b c ? ? ? ,可得如下两种情况: 2 2 a?b ? c a?b ? ≤ 时,由于 a ? b ? c ,所以, 0 ? ? ≤ . 2 2 2 2 2 ? c a?b ≤1 ; 由 sin x 在 (0, ] 上的单调性可得 0 ? sin ? sin 2 2 2 a?b ? c a?b ? ? 时, 0 ? ? ? ? ? , 2 2 2 2 2

同样,由 sin x 在 ? 0, 总之, 0 ? sin

? ?

??

c a?b ? 上的单调性可得 0 ? sin 2 ? sin 2 ? 1 ; 2?

c a?b ? sin ≤1 . 2 2 5? 又由 a ? b ? c ? 及余弦函数在 ? 0, ? ? 上单调递减,得 6

cos

a ?b a ?b c 5? ? cos ? cos ? cos ? 0, 2 2 2 12
74

75

∴ sin a ? sin b ? 2sin

a?b a ?b c c cos ? 2sin cos ? sin c . 2 2 2 2

同理可证其余两式, 所以 sin a,sin b,sin c 也是某个三角形的三边长. 故A?

5? 时, 6

g ? x ? 是“保三角形函数”.
综上, A 的最大值为

5? 6

专题 14:数列的函数结构问题研究 引例:设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若首项 a1 ? 3 ,公差 d ? 1 ,求满足 S 2 ? (S k ) 2 的正整数 k; 2 k
k2

(2)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 S

? (S k ) 2 成立.

75


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