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+:3.2《简单的三角恒等变换》课件(1)(


3.2 简单的三角恒等变换

教学目标
? 1、体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想, 提高学生的推理能力。 ? 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会 利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变形在 数学中的应用。 ? 3、通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对 比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式, 如何根据问

题的条件进行公式变形,以及变换过程中 体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识, 从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. ? 4、通过三角恒等变形,形如的函数转化为的函数; ? 5、灵活利用公式,通过三角恒等变形,解决函数的最 值、周期、单调性等问题。 掌握.三角恒等变换在数学中的应用.

? 二、教学重点与难点 ? 教学重点:学习三角变换的内容、思路 和方法,在与代数变换相比较中,体会 三角变换的特点,提高推理、运算能 力.三角恒等变形的应用。 ? 教学难点:认识三角变换的特点,并能 运用数学思想方法指导变换过程的设计, 不断提高从整体上把握变换过程的能 力.三角恒等变形。

自主演练:
例1.试以 cos ? 表示 sin
2

?
2

, cos

2

?
2

, tan

2

?
2

(P139,例 1)



(P140,例2)

例2.求证:

1 (1) sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]; 2 ? ?? ? ?? (2) sin ? ? sin ? ? 2sin cos . 2 2

合作研讨:
例3.已知函数 y ? sin x ? 3 cos x , (1)求该函数的周期,最大值和最小值; (2)求该函数的单调递增区间。

(P140,例3)

探究;

(P141,例4)

例4.如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为 ? 的扇形,C是扇形 3 弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记∠COP= ? ,问当 角 ? 取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积。
Q

D

C

O

?
A B P

交流展示
练习.化简

1 ? cos 2 x x x cot ? t an 2 2

解:

1 ? cos 2 x 2cos 2 x 2cos 2 x sin x ? ? x x 2cos x 2 x 2 x cot ? tan cos ? sin 2 2 2 2 x x sin cos 2 2 1 ? sin 2 x 2

巩固提高:
2.化简:
2

1 sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? cos 2? cos 2 ? 2
2 2 2
2 2 2 2

解法1:
1 原式 ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? (2 cos 2 ? ? 1)( 2 cos 2 ? ? 1) 2

1 ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 2 1 2 2 2 2 2 ? sin ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? ? 2
2 2 2 2 2 2

1 ? sin ? ? cos ? ? 2
2 2

解法2:
1 1 原式 ? (1 ? cos 2? )(1 ? cos 2 ? ) ? (1 ? cos 2? )(1 ? cos 2 ? ) 4 4 1 ? cos 2? cos 2 ? 2
? 1 1 (1 ? cos 2? cos 2 ? ) ? cos 2? cos 2 ? 2 2

1 ? 2

解法3:

1 原式 ? sin ? sin ? ? (1 ? sin ? ) cos ? ? cos 2? cos 2 ? 2
2 2 2 2

1 ? cos ? ? sin ? cos 2 ? ? cos 2? cos 2 ? 2
2 2

1 ? cos 2 ? ? cos 2 ? (sin 2 ? ? cos 2? ) 2 1 1 ? cos 2 ? cos 2? ? (1 ? cos 2 ? ) ? cos 2 ? ( ? ) 2 2 2

解法4:

1 原式 ? (sin α sin β ? cos α cos β ) ? 2sin α sin β cos α cos β ? cos 2α cos 2 β 2
2

1 1 ? cos (? ? ? ) ? sin 2? sin 2 ? ? cos 2? cos 2 ? 2 2
2

1 ? cos (? ? ? ) ? cos( 2? ? 2 ? ) 2
2

小结:
对公式我们不仅要会直接的运用,还 要会逆用、还要会变形用,还要会与 其它的公式一起灵活的运用。

作业: p142, 4, p147,9,10,11,12.

2x+asinx- a 练习2.f(x)=cos

4

1 2

? (0≤x≤2 )

①用a表示f(x)的最大值M(a)
②当M(a)=2时,求a的值 解:

(1) f ( x) ? ?(sin x ? ) ?
a 2 2

a 4

2

? ?
1 2

a 4

? 0 ? x ? 2    x ? 1 0?
?

作业:
1.已知函数f(x)=log (sinx-cosx) (1)求它的定义域与值域 (2)求它的单调区间

(3)判断奇偶性
(4)判断它的周期性,如果是周期函数, 求出它的最小正周期

解 : (1) sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ? ) ? 0 4 ? 2 k? ? 4 ? x ? 2 k? ?
?
5? 4

k?z

? 定义域为:(2k? ? ? ,k? ? 54 )k ? z 2 4

0 ? sin x ? cos x ? 2 值域为[? , ??)
1 2

(2)增区间为 :
? ? [2k? ? 34 , 2k? ? 54 )k ? z

(3)f(x)定义域不关于原点对称。 即不是奇函数,也不是偶函数。

(4) ? f ( x ? 2? ) ? log1 [sin(x ? 2? ) ? cos(x ? 2? )]
2

? log1 (sin x ? cos x) ? f ( x)
2

T ? 2?

?  当0 ? ? 1即0 ? a ? 2时
a 2

f ( x) 大 ?
a 2

a2 4

? ?
1 2

a 4

  当 ? 1即a ? 2时 当sin x ? 1时 f ( x) 大 ? a ?
3 4 1 2

当 ? 0即a ? 0时
a 2

sin x ? 0时 f ( x)大 ? ?
1 2 3 4

a 4

a ? 1 (a ? 2) ? 2 ? a2 a 1 即M (a) ? ? 4 ? 4 ? 2 (0 ? a ? 2) ? 1 ? a (a ? 0) ?2 4 (2)当M (a) ? 2时, 解得a ?
10 3

或a ? ?6

? ? ? ? 2,,若 a ? (sin x, m), b ? (sin x ? 3 cos x,1) ,设 f ( x) ? a ? b ,
(1)写出函数 f(x)的解析式,并指出它的最小正周期;

? , f(x)的最小值为2,求m的值。 (2)若 x ? [0, ]
3

6,若

? ? a ? (sin x, m), b ? (sin x ? 3 cos x,1) ,设

? ? f ( x) ? a ?, b

(1)写出函数 f(x)的解析式,并指出它的最小正周期;

? , f(x)的最小值为2,求m的值。 (2)若 x ? [0, ]
3


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