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1.2.1.2学案设计


学案设计

第一章 1.2
1.2.1

三角函数

任意角的三角函数

任意角的三角函数(第二课时)
学习目标

1.了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、 余弦、 正切函数值分别用正 弦线、余弦线、正切线表示出来. 2.掌握作已知角 α 的正弦线、余弦线和正切线.

学习过程
一、复习准备 问题 1:什么叫单位圆?

问题 2:三个三角函数是怎样定义的?

问题 3:我们在定义三个比值为角的三角函数值的时候经历了哪两个关键的步骤?

二、自主探究 问题 4:在初中,我们知道锐角三角函数可以看成线段的比 ,那么,任意角的三角函数是否 也可以看成是线段的比呢?

问题 5:在三角函数定义中,是否可以在角 α 的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表 达式更为简单?

问题 6:有向线段、有向线段的数量、有向线段长度的概念如何?

问题 7:如何作正弦线、余弦线、正切线?

学案设计 三、典型例题 【例 1】作出下列各角的三角函数线. (1)
11π 2π ;(2)- 3 . 6

【例 2】比较下列各组数的大小. (1)sin1 和 sin3;(2)cos 7 和 cos 7 ; (3)tan 8 和 tan 7 ;(4)sin5和 tan5.
9π 9π π π π 4π 5π

变式训练①:若 α 是锐角(单位为弧度),试利用单位圆及三角函数线,比较 α,sinα,tanα 之间 的大小关系.

变式训练②:根据单位圆中的正弦线,你能发现正弦函数值有怎样的变化规律吗?

【例 3】利用单位圆分别写出符合下列条件的角 α 的集合. (1)sinα=- ;(2)sinα>- ;(3)|tanα|≥ 3.
1 2 1 2

变式训练①:已知角 α 的正弦线和余弦线分别是方向一正一反、长度相等的有向线段,则 α 的终边在( ) A.第一或第二象限角平分线上 B.第二或第四象限角平分线上 C.第三或第四象限角平分线上 D.第一或第四象限角平分线上 变式训练②:当角 α,β 满足什么条件时有 sinα=sinβ?

变式训练③:sinα>cosα,则 α 的取值范围是 . 变 式 训 练 ④: 已 知 集 合 E={θ|cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ|tanθ<sinθ,θ≤θ≤2π}. 求 集 合 E∩F.

四、巩固练习 1.若4<θ<2,则下列不等式中成立的是(
π π

)

学案设计

A.sinθ>cosθ>tanθ B.cosθ>tanθ>sinθ C.tanθ>sinθ>cosθ D.sinθ>tanθ>cosθ 2.角 α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异.那么 α 的值为( A.4
π

)

B. 4



C. 4
3 1



D. 4 或



7π 4

3.若 0<α<2π,且 sinα< 2 ,cosα>2.利用三角函数线,得到 α 的取值范围是( A.(-3 , 3)
π 6 7π 6 π π

)

B.(0,3)
π 4 π 4

π

C.( 3 ,2π)
π 8 3π 8 3π 5



D.(0,3)∪( 3 ,2π)
4π 5

π



4.依据三角函数线,作出如下四个判断: ①sin =sin ;②cos(- )=cos ;③tan =tan ;④sin =sin . 其中判断正确的有( ) A.1 个 B.2 个 五、小结反思

C.3 个

D.4 个

六、达标检测 1.若角 α(0<α<2π)的正弦与余弦线的长度相等且符号相同,那么角 α 的值为( A.
π 4

)

B.

5π 4

C. 或

π 4

5π 4

D.以上都不对 )

2.用三角函数线判断 1 与|sinα|+|cosα|的大小关系是( A.|sinα|+|cosα|>1 B.|sinα|+|cosα|≥1 C.|sinα|+|cosα|=1 D.|sinα|+|cosα|<1 3.利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的集合. (1)cos x= ;(2)cos x> ;(3)|cos x|≤ .
1 2 1 2 3 2

4.已知角 α 的终边是 OP,角 β 的终边是 OQ,试在图中作出 α,β 的三角函数线,然后用不等 号填空:

(1)sinα (2)cosα (3)tanα
2π π

sinβ; cosβ; tanβ. .

5.若- 3 ≤θ≤6,利用三角函数线,可得 sinθ 的取值范围是

参考答案
一、复习准备 问题 1:以原点为圆心,单位长为半径作的圆. 问题 2:在角 α 的终边上任取一点 P(x,y),则

学案设计 sinα=
2 +2

,cosα=


2 +2

,tanα= . 当 P 为 角 α 的 终 边 和 单 位 圆 的 交 点 时 , 有



sinα=y,cosα=x,tanα= . 问题 3:点 P 在角的终边上移动时,比值不变;角的终边变化时,比值发生变化.进而得到三 个比值只与角的终边的位置有关系. 二、自主探究 (请同学们课本上找答案) 三、典型例题 【例 1】 解:(1)

(2)

【例 2】解:(1)1 和 的终边如图(1)所示,则 sin1<sin ;

π 3

π 3

(2) 7 和 (3)



5π 的终边如图(2)所示,则 7

cos 7 >cos 7 ; tan >tan ;
9π 7 9π 8





9π 9π 和 的终边如图(3)所示,则 8 7

(4)5的终边如图(4)所示,则 tan5>sin5.

π

π

π

学案设计 变式训练①:解:如图所示,S△OAP<S 扇形 OAP<S△OAT,而 S△OAP=2|OA|· |MP|=2sinα,S 扇形 OAP=2|OA|· α=2α, S△OAT=2|OA|· |AT|=2tanα 所以,sinα<α<tanα. 变式训练②:解:由-2+2kπ,k∈Z 的终边逆时针转到2 +2kπ,k∈Z 的终边时,正弦值增大;由
π π +2kπ,k∈Z 的终边逆时针转到- +2kπ,k∈Z 的终边时,正弦值减少. 2 2 π π 1 1 1 1 1 1

【例 3】解:(1){α|α=-6+2kπ,或 α=- 6 +2kπ,k∈Z}; (2)(- +2kπ, π+2kπ)(k∈Z); (3)(-2+kπ,-3+kπ]∪[3+kπ,2+kπ)(k∈Z). 变式训练①:B 变式训练②:α=β+2kπ,k∈Z 或 α=π-β+2kπ,k∈Z. 变式训练③:( +2kπ, +2kπ)(k∈Z). 变式训练④:解:因为 E=[0,4)∪( 4 ,2π],F=(2,π)∪( 2 ,2π),所以 E∩F=( 2 ,2π). 四、巩固练习 1.C 2.D 3.D 4.A 五、小结反思 1.正弦线、余弦线、正切线,它们分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示.三角函数线 是有向线段,在用字母表示这些线段时,注意它们的方向. 2.利用数形结合来比较三角函数值的大小,关键应注意正负. 六、达标检测 1.C
5π π 5π π 3π 3π π 4 5π 4 π π π π π 6 7 6

π



2.B
π

3.(1){x|x=±

π 3

+2kπ,k ∈ Z};(2){x|π 5π

π 3

+2kπ<x<

π 3

+2kπ,k ∈

Z};(3){x|- 6 +2kπ<x<-6+2kπ,k∈Z}∪{x|6+2kπ<x< 6 +2kπ,k∈Z}. 4.图略.(1)> (2)< (3)< 5.[-1,2]
1


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