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15最新圆锥曲线选择题填空题解答题配详解


高考专题---圆锥曲线的方程详细解析
一.选择题
1. 已知直线

x y ? ? 1 ( a, b 是非零常数)与圆 x2 ? y 2 ? 100 有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那 a b
B.66 条 C.72 条 D.78 条

么这样的直线共有 A.60 条

解:可知直线的横、纵截距都不为零,即与坐标轴不垂直,不过坐标原点,而圆 x2 ? y 2 ? 100 上的整数点共有 12 个,分别为 ? 6, ?8? , ? ?6, ?8? , ?8, ?6? , ? ?8, ?6? , ? ?10,0? , ? 0, ?10? ,前 8 个点中,过任意一点的圆的切线满足,
2 有 8 条;12 个点中过任意两点,构成 C12 ? 66 条直线,其中有 4 条直线垂直 x 轴,有 4 条直线垂直 y 轴,还有 6 条

过原点(圆上点的对称性) ,故满足题设的直线有 52 条。综上可知满足题设的直线共有 52 ? 8 ? 60 条,选 A 2.已知平面区域 D 由以 A(1,3), B(5, 2), C (3,1) 为顶点的三角形内部&边界组成。若在区域 D 上有无穷多个点 ( x, y ) 可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m ? A.-2 B.-1 C .1 解: 依题意, 令 z=0, 可得直线 x+my=0 的斜率为-

D .4

1 , 结合可行域可知当直线 x+my=0 与直线 AC 平行时, m

线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 z=x+my 取得最小值,而直线 AC 的斜率为-1,∴m=1,选 C 3.若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的
2 2

取值范围是 A.[
2

? ?
12 4 ,

]

B.[

? 5? , ] 12 12

C.[

? ?

, ] 6 3

D. [0,

?
2

]

解:圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 整为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 ,∴圆心坐标为(2,2),半径为 3 2 ,
2

要求圆上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则圆心到直线的距离应小于等于 2 , ∴

| 2a ? 2b |

a a a a ≤ 2 ,∴ ( ) 2 ? 4( ) ? 1 ≤ 0 ,∴ ?2 ? 3 ≤ ( ) ≤ ?2 ? 3 , k ? ? ( ) , b b b b a 2 ? b2

∴ 2 ? 3 ≤k ≤ 2 ? 3 ,直线 l 的倾斜角的取值范围是 [
2 2

, ] ,选 B. 12 12

? 5?

4. 从圆 x ? 2x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ? 3, 2 ? 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为

A.

1 2
2 2

B.

3 5

C.

3 2

D. 0

解:圆 x ? 2x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 的圆心为 M(1,1),半径为 1,从外一点 P(3, 2) 向这个圆作两条切线,则点 P 到

1 圆心 M 的距离等于 5 ,每条切线与 PM 的夹角的正切值等于 ,所以两切线夹角的正切值为 tan ? ? 2
角的余弦值等于

1 2 ? 4 ,该 1 3 1? 4 2?

3 ,选 B. 5
1

5. 某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1 、 生产乙产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a2 、 b1 千克,

b2 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1 、 d2 元。月初一次性购进本月用原料 A、B 各 c1 、 c2 千克。要计划本
月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。 在这个问题中, 设全月生产甲、 乙两种产品分别为 x 千 克、 y 千克,月利润总额为 z 元,那么,用于求使总利润 z ? d1 x ? d2 y 最大的数学模型中,约束条件为

?a1 x ? a2 y ? c1 ?b x ? b y ? c ?1 2 2 (A) ? x?0 ? ? y?0 ?

?a1 x ? a2 y ? c1 ?b x ? b y ? c ?1 2 2 (D) ? x?0 ? ? y?0 ? 解:设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克, y 千克,月利润总额为 z 元,那么,
?a1 x ? a2 y ? c1 ?b x ? b y ? c 1 2 2 ,选 C. 用于求使总利润 z ? d1x ? d2 y 最大的数学模型中,约束条件为 ? ? x?0 ? ? y?0 ?

? a1 x ? b1 y ? c1 ?a x ? b y ? c ? 2 2 2 (B) ? x?0 ? ? y?0 ?

?a1 x ? a2 y ? c1 ?b x ? b y ? c ?1 2 2 (C ) ? x?0 ? ? y?0 ?

?x ? 0 ?y ? 0 ? 6.在约束条件 ? 下,当 3 ? x ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是 ?y ? x ? s ? ? y ? 2x ? 4
A. [6,15] 解:由 ? B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

?x ? y ? s ?x ? 4 ? s 交点为 A(0,2), B(4 ? s,2s ? 4), C (0, s), C ?(0,4) , ?? ? y ? 2 x ? 4 ? y ? 2s ? 4

(1)当 3 ? s ? 4 时可行域是四边形 OABC,此时, 7 ? z ? 8 ; (2)当 4 ? s ? 5 时可行域是△OA C ? 此时, z max ? 8 ,故选 D.

7. 由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为 A.1 B.2 2 C. 7 D.3

解:切线长的最小值是当直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距离 为 d=

| 3 ? 0 ?1| 2

? 2 2 ,圆的半径为 1,故切线长的最小值为 d 2 ? r 2 ? 8 ? 1 ? 7 ,选 C.

8. 要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪 都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都 是半径为 6 米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解:因为龙头的喷洒面积为 36π ? 113 ,正方形面积为 256,故至少三个龙头。由于 2 R ? 16 ,故三个龙头肯定不 能保证整个草坪能喷洒到水。当用四个龙头时,可将正方形均分四个小正方形,同时将四个龙头分别放在它们的中心, 由于 2R ? 12 ? 8 2 ,故可以保证整个草坪能喷洒到水。答案:B. 9.已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程为
2 2

2

(A) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 (C) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1

(B) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1 (D) ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =1

? a ?1 b ?1 ? ?1 ? 0 ? ?a ? 2 ? 2 2 解:设圆 C2 的圆心为(a,b) ,则依题意,有 ? ,解得: ? ,对称圆的半径不变为 1,故 ?b ? ?2 ? b ? 1 ? ?1 ? a ?1 ?
选 B。. 10.直线 y= 角之和为 A.

? x ? 3 ? 3 cos ? , 3 ? x ? 2 与圆心为 D 的圆 ? ?? ? ? ?0, 2? ? ? 交与 A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜 3 y ? 1 ? 3 sin ? ? ?
5 ? 4 4 ? 3 5 ? 3


7 ? 6

B.
?

C.

D.

? 解 : 数形结合 ?1 ? ? ? 30 , ?2 ? 30 ? ? ? ?

由圆的性质可

?1 ? ? 2 ,?? ? 30? ? 30? ? ? ? ? ,故 ? ? ? ?

4 ? 3

11.动点 A? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周。已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐 标是 ( ,

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调递增区间是 2 2
B、 ?1,7? C、 ?7,12? D、 ?0,1? 和 ?7,12?

A、 ?0,1?

3 3? 7? , ] ,动点 A 的纵坐标 y 关于 t 都是单调递增的。 在 ?7,12? 上 ? ? [ 2 3
12.已知双曲线

解:画出图形,设动点 A 与 x 轴正方向夹角为 ? ,则 t ? 0 时 ? ?

?

,每秒钟旋转

? ? ? ,在 t ??0,1? 上 ? ? [ , ] , 6 3 2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个 a2 b2
C.[2,+∞] D.(2,+∞)

交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) 解:双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直线与双曲线的右支有且只有一 a 2 b2

2 a 2 ? b2 b b 2 c ≥ 4 ,∴ e≥2, 个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ,∴ ≥ 3 ,离心率 e = 2 ? a a a a2

选 C. 13.设过点 P ( x, y ) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐 标原点,若 BP ? 2 PA 且 OQ?AB ? 1 ,则点 P 的轨迹方程是
3

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

2 A. 3 x ?

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

2 B. 3 x ?

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

C.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

D.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

解:设 P(x,y) ,则 Q(-x,y) ,又设 A(a,0) ,B(0,b) ,则 a?0,b?0,于是

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 =2PA 可得 a= x,b=3y,所以 x?0,y?0, ,由 BP BP =(x,y-b), PA =(a-x,-y) 2 ??? ? ???? ??? ? 3 3 2 2 又 AB =(-a,b)=(- x,3y) ,由 OQ ? AB =1 可得 x ? 3 y ? 1( x ? 0, y ? 0) ,故选 D. 2 2

y2 14.过双曲线 M: x ? 2 ? 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于 B、C,且 b
2

|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 A. 10 B. 5 C.

10 3

D.

5 2

解:过双曲线 M : x ?
2

y2 ? 1 的左顶点 A (1,0)作斜率为 1 的直线 l :y=x-1, 若 l 与双曲线 M 的两条渐近线 b2

y2 x ? 2 ? 0 分别相交于点 B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) , 联立方程组代入消元得 (b2 ?1) x2 ? 2x ?1 ? 0 , b
2

2 1 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? 2 ? ? ? ? 1? b 4 ∴ ? ,x1+x2=2x1x2,又 | AB |?| BC | ,则 B 为 AC 中点,2x1=1+x2,代入解得 ? ,∴ b2=9,双曲 ? x ?x ? 1 ?x ? ? 1 2 ? ? 1 2 1 ? b2 ? 2 ?
线 M 的离心率 e=

c ? 10 ,选 A. a

x 2 y2 1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和 15.P 是双曲线 - = 9 16
(x-5)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 A. 6 B.7 C.8 D.9 解:设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0) ,则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点 P 与 M、 F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9 故 选B 16.直线 y ? 2k 与曲线 9k x ? y ? 18k x
2 2 2 2

(k ? R ,且k ? 0 )的公共点的个数为
(C)3 (D)4
2 2 2

(A)1

(B)2
2 2 2 2

解:将 y ? 2k 代入 9k x ? y ? 18k x 得: 9k x ? 4k ? 18k x ? 9 | x | ?18 x ? 4 ? 0 ,显然该关于 | x| 的
2 2

方程有两正解,即 x 有四解,所以交点有 4 个,故选择答案 D。 17. 抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是
2

A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

4

| 4m ? 3m2 ? 8 | 2 解: 设抛物线 y ? ? x 上一点为(m, -m ), 该点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离为 , 当 m= 时, 3 5
2
2

取得最小值为

4 ,选 A. 3

18.若双曲线

1 x2 ? y 2 ? 1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m= 3 m
(B)

(A)

1 2

3 2

(C)

1 8

(D)

9 8

1 1 m ?1 x2 ? 9 ,m= ,选 ? y 2 ? 1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则离心率 e=3,∴ 解:双曲线 3 8 m m
C. 19. 设 A( x1 , y1 ), B (4, ), C ( x2 , y2 ) 是右焦点为 F 的椭圆 则“ AF , BF , CF 成等差数列”是“ x1 ? x2 ? 8 ”的 (A)充要条件 (C)充分不必要条件 解:a=5,b=3,c=4,e= (B)必要不充分条件 (D)既非充分也非必要

9 5

x2 y 2 ? ? 1 上三个不同的点, 25 9

4 4 4 9 ,F(4,0) ,由焦半径公式可得|AF|=5- x1,|BF|=5- ×4= ,|CF|=5 5 5 5 5 4 4 4 9 - x2,故 AF , BF , CF 成等差数列 ?(5- x1)+(5- x2)=2× ? x1 ? x2 ? 8 故选 A 5 5 5 5
20. 设 F1,F2 分别是双曲线 则双曲线离心率为 (A)

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点。若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90? ,且|AF1|=3|AF2|, a 2 b2

5 2

(B)

10 2

(C)

15 2

(D)

5

解:设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点。若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90? ,且|AF1|=3|AF2|, a 2 b2
2 2

设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中 2a ?| AF 1 | ? | AF2 | ? 10 ,∴ 离心率 e ? 1 | ? | AF 2 |? 2 , 2c ? | AF

10 ,选 B。 2

21. 如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 r 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆 a2 b2

心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形,则双 曲线的离心率为 (A ) 3 (B) 5 (C )

5 2

(D)1 ? 3

5

x2 r 2 解:如图, F1 和 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 a b
O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形,连接 AF1 ,∠AF2F1=30° , |AF1|=c ,
|AF2|= 3 c,∴ 2a ? ( 3 ?1)c ,双曲线的离心率为 1 ? 3 ,选 D。

22. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N ,若 MN ≤ ? F1F2 ,则该 a 2 b2
? ? ? 2? ? 2 ? ? 2 ? , 1? ? ? 2 ?

椭圆离心率的取值范围是 A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

B. ? 0,

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

D. ?

解:椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N , a 2 b2

若 | MN |? 2

? 2 ? a2 a2 2 , 1? ? 2c ,该椭圆离心率 e≥ , | F1F2 |? 2c , MN ≤ ? F ,则 ,取值范围是 ? 1F 2 ? ,选 D。 2 c c 2 ? ?

x2 y 2 23. 设 F1,F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线上存在 P, 使 a b
线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是 A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

B. ? 0, ? ?

? ?

3? 3 ?

C. ?

? 2 ? , 1? ? ? 2 ?

D. ?

? 3 ? , 1? ? ? 3 ?

解:由已知 P (

a2 b2 y , y ) ,所以 F1 P 的中点 Q 的坐标为 ( , ) ,由 2c 2 c

kF1P ?

cy cy b4 2 2 , k ? , k ? k ? ? 1, ? y ? 2 b ? . QF2 FP QF2 b2 b2 ? 2c 2 1 c2

? y 2 ? (a 2 ? c 2 )(3 ?

1 1 3 ) ? 0 ? (3 ? 2 ) ? 0,1 ? e ? . 当 kF1P ? 0 时 , kQF2 不 存 在 , 此 时 F2 为 中 点 , 2 e e 3

a2 3 3 ? c ? 2c ? e ? . 综上得 ? e ? 1. c 3 3
1 x2 y 2 0) ,方程 24. 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,右焦点为 F (c, 2 a b

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 )
A.必在圆 x ? y ? 2 内
2 2

B.必在圆 x ? y ? 2 上
2 2

6

C.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外 解:由 e ?

D.以上三种情形都有可能

1 c b 3 c 1 = 得 a=2c,b= 3c ,所以 x1 ? x 2 ? ? , x1 x2 ? ? ,所以点 P( x1,x2 ) 到圆心(0,0) 2 a a 2 a 2
2

的距离为 x1 ? x2 ?
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ?

3 7 ?1 ? ? 2 ,所以点 P 在圆内,选 A. 4 4

25. 双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别为 F1 和 F2 ;抛 a 2 b2

物线 C2 的准线为 l ,焦点为 F2;C1 与 C2 的一个交点为 M ,则 A. ? 1 B. 1 C. ?

F1F2 MF1

?

MF1 MF2
D.

等于

1 2

1 2

解:由题设可知点 M 同时满足双曲线和抛物线的定义,且在双曲线右支上,故 由定义可得
? ? MF1 ? MF2 ? 2a ? ? MF2 ? MD ? ? MF1 ? c MD a ?

? MF1 ?

2ac 2ac 2a 2 ,故原式 2c , MF2 ? c a ? c ? a ? c ? ?1 ,选 A. ? ? ?2 c?a c?a 2ac 2a a a c?a c?a

26. 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 是 准 线 上 一 点 , 且 PF1 ? PF2 , a 2 b2

PF1 ?PF2 ? 4ab ,则双曲线的离心率是
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

解:设准线与 x 轴交于 A 点. 在 Rt?PF1 F2 中,? PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? PA ,

? PA ?

4ab 2ab ? 2c c

又? PA ? F1 A ? F2 A

2

?

4a 2 b 2 a2 a2 ? ( c ? )( c ? ) ,化简得 c 2 ? 3a 2 2 c c c

,? e ?

3

故选答案 B. 27. 已知以 F1(2,0) ,F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 (A) 3 2 (B) 2 6
2 2

(C) 2 7
2 2 ? ?mx ? ny ? 1

(D) 4 2

解:设椭圆方程为 mx ? ny ? 1(m ? n ? 0). ? ?

? ?x ? 3y ? 4 ? 0

, 消 x 得:
联立解得

(3m ? n) y2 ? 8 3my ?16m ?1 ? 0, ? ? 0 ? 3m ? n ? 16mn, 即:

3 1 1 1 ? ? 16. 又 c ? 2 ? ? ? ?4. n m m n

7

1 ? m? ?m ? 1 ? ? 7 ? 或? 1 . 由焦点在 x 轴上,故长轴长为 2 7. ? n? ?n ? 1 ? 5 ? ? 3 ?
28. 为 A. 6 3 B. 12 C. 12 3 D. 24 设 P 为双曲线 x ?
2

y2 ? 1 上的一点, F1,F2 是该双曲线的两个焦点,若 | PF1 |:| PF2 |? 3: 2 ,则 △PF1F2 的面积 12

解:因为 | PF1 |:| PF2 |? 3: 2 ,设 | PF 1 |? 3x, | PF 2 |? 2 x , | PF 1 | ? | PF 2 |? 3x ? 2 x ? x ? 2a ? 2 ,

| PF1 |? 6, | PF2 |? 4, | F1 F2 |? 2 13 , (2 13) 2 ? 52 ? 62 ? 42 , △PF1F2 为直角三角形,其面积


1 ? 6 ? 4 ? 12 ,选 B. 2

29. 已知抛物线 y ? ? x2 ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A 、 B ,则 AB 等于 (A)3 (B)4 (C) 3 2 (D ) 4 2

解:设直线 AB 的方程为 y ? x ? b ,由 ? 点 M (?

? y ? ? x2 ? 3 ?y ? x ?b

? x 2 ? x ? b ? 3 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?1 ,进而可求出 AB 的中

1 1 1 1 , ? ? b) ,又由 M ( ? , ? ? b) 在直线 x ? y ? 0 上可求出 b ? 1 ,∴ x 2 ? x ? 2 ? 0 ,由弦长公式可求出 2 2 2 2

AB ? 1 ? 12 12 ? 4 ? (?2) ? 3 2 .
30. 已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,则|AB|等于 A.3 B.4 C.3 2 D.4 2

解:设直线 AB 的方程为 y ? x ? b ,由 ? 点 M (?

? y ? ? x2 ? 3 ?y ? x ?b

? x 2 ? x ? b ? 3 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?1 ,进而可求出 AB 的中

1 1 1 1 , ? ? b) ,又由 M ( ? , ? ? b) 在直线 x ? y ? 0 上可求出 b ? 1 ,∴ x2 ? x ? 2 ? 0 ,由弦长公式可求出 2 2 2 2

AB ? 1 ? 12 12 ? 4 ? (?2) ? 3 2 .选 C.
31. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率等于 a 2 b2
(B)2
'

(A) 3

(C ) 5

(D ) 6

解:设切点 P( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 y

|x ? x0 ? 2 x0 .由题意有

y0 ? 2 x0 又 y0 ? x02 ?1 ,解得: x0

8

b b x0 2 ? 1,? ? 2, e ? 1 ? ( )2 ? 5 . a a
32.已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 2

B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | =
(A)

??? ?

??? ?

???? ?

2

(B) 2

(C)

3

(D) 3

解:过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意 FA ? 3FB ,故 | BM |? 圆的第二定义,得 | BF |?

??? ?

??? ?

2 .又由椭 3

2 2 2 ? ? ? | AF |? 2 .故选 A. 2 3 3

33.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 a 2 b2 ??? ? 1 ??? ? B, C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是 21 世纪教育网 2
A. 2 B. 3 C. 5 D. 10

解:对于 A? a,0? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C,

??? ? ? ? ab ? a2 2a 2b 2a 2b ??? ab ? ab ? a2 ab ,则有 BC ? ( , ? ), AB ? ?? , B? , , C ( , ? ) ? ?, 2 2 2 2 a ?b a ?b a ?b a ?b ? a?b a ?b ? ? a?b a?b ? ??? ? ??? ? 因 2 AB ? BC,?4a2 ? b2 ,?e ? 5 .
34.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则 抛物线方程为 A. y ? ? 4 x
2

B. y ? ? 8x
2

C. y ? 4 x
2

D. y ? 8x
2

2 解:抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 2( x ? ) ,它与 y 轴的交点为 A (0, ? ) ,

a 4

a 4

a 2

所以△OAF 的面积为

1 a a | | ? | |? 4 ,解得 a ? ?8 .所以抛物线方程为 y 2 ? ? 8x ,故选 B. 2 4 2

2 35.已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y ? 8x 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点。若 FA ? 2 FB ,则 k=

(A)

1 3

(B)

2 3

(C)

2 3

(D)

2 2 3

解:由直线方程知直线过定点即抛物线焦点(2,0) ,由 FA ? 2 FB 及第二定义知 x A ? 2 ? 2( xB ? 2) 联立方程用

根与系数关系可求 k=

2 2 。 3
9

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 y ? kx ? 2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是 36.已知双曲线 2 2 4 b
A. K ? ? ? , ? 2 2 C. K ? ? ?

? 1 1? ? ?
? ? 2 2? , ? 2 2 ?

B. K ? ? ??, ? ? 2 D. K ? ? ??, ?

? ?

1?

? ? 2 , ?? ? ? ? ?

?1

?

? ? ?

? 2? ? 2 , ?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

解:易得准线方程是 x ? ?

a2 2 x2 y 2 ? ? ? ?1 ,所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 即 b 2 ? 3 所以方程是 ? ?1 b 2 4 3

联立 y ? kx ? 2 可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A.

37.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲 2 b2

线上.则 PF PF2 = 1 · A. -12 B. -2 C. 0 D. 4

2 2 解:由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x ? y ? 2 ,于是两焦点坐标分别是(-2,

0)和(2,0) ,且 P( 3,1) 或 P( 3,?1) .不妨去 P( 3,1) ,则 PF 1 ? (?2 ? 3,?1) ,

PF2 ? (2 ? 3,?1) .∴ PF PF2 = (?2 ? 3,?1)(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0 1 ·
38.已知直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的
2

焦点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ?

A.

1 3
2

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

解:设抛物线 C : y ? 8 x 的准线为 l : x ? ?2 直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 恒过定点 P ? ?2,0 ? .如图过

A、B 分 别作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 N , 由 | FA |? 2 | FB | ,则 | AM |? 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点.连结 OB ,则

| OB |?

1 | AF | , ? | OB |?| BF | 点 B 的横坐标为1 , 故点 B 的坐标为 2

(1, 2 2) ? k ?

2 2 ?0 2 2 , 故选 D. ? 1 ? (?2) 3
x2 a y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线 b2

39.已知双曲线 C: 2 ?

交 C 于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为 w. m A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5
10

x2 y 2 解:设双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的右准线为 l ,过 A、B 分 别作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 N , a b
BD ? AM 于D ,由直线 AB 的斜率为 3 ,知直线 AB 的倾斜角为 60???BAD ? 60?,| AD |?
由双曲线的第二定义有 | AM | ? | BN |?| AD |? 又? AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |?

1 e

??? ?

? 5 ??? 6 | FB |? e ? ,故选 A. 2 5

? ??? ? ? ??? ? 1 ??? 1 1 ??? (| AF | ? | FB |) ? | AB |? (| AF | ? | FB |) . e 2 2

1 | AB | , 2

40.“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 解:将方程 mx2 ? ny 2 ? 1 转化为 (B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

x2 y2 1 1 ? ? 1 , 根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上必须满足 ? 0, ? 0, 所以 1 1 m n m n

1 1 ? ,故选 C. n m

x2 y 2 2 1相切,则该双曲线的离心率等于 41.设双曲线 2 - 2 =1? a>0,b>0 ? 的渐近线与抛物线 y=x + a b
(A) 3 (B)2 (C) 5 (D) 6

解:由题双曲线

bx x2 y 2 2 - 2 =1? a>0,b>0 ? 的一条渐近线方程为 y ? , 代入抛物线方程整得 ax ? bx ? a ? 0 , 2 a a b
2 2

2 2 因渐近线与抛物线相切,所以 b ? 4a ? 0 ,即 c ? 5a ? e ?

5 ,故选择 C。

??? ? ??? ? ??? ? x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F,右准线 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B。若 FA ? 3FB ,则 AF = 42.已知椭圆 C : 2
(A)

2

(B) 2

(C)

3

(D) 3

解:过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N, 易知 FN=1.由题意 FA ? 3FB ,故 | BM |? 的第二定义,得 | BF |?
2

??? ?

??? ?

2 .又由椭圆 3

2 2 2 ? ? ? | AF |? 2 .故选 A. 2 3 3

43.设抛物线 y =2x 的焦点为 F, 过点 M ( 3, 0) 的直线与抛物线相交于 A, B 两点, 与抛物线的准线相交于 C,BF =2, 则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S?BCF = S?ACF
2 3
(C)

(A)

4 5

(B)

4 7

(D)

1 2

11

S BC 解:由题知 ?BCF ? ? S ?ACF AC

1 2 ? 2 x B ? 1 ,又 | BF |? x ? 1 ? 2 ? x ? 3 ? y ? ? 3 B B B 1 2xA ? 1 2 2 xA ? 2 xB ?

由 A、B、M 三点共线有

0 ? 2xA yM ? yA y ? yB 0? 3 即 ,故 x A ? 2 , ? ? M 3 xM ? x A xM ? xB 3 ? xA 3? 2



S ?BCF 2 x B ? 1 3 ? 1 4 ? ? ? ,故选择 A。 S ?ACF 2 x A ? 1 4 ? 1 5

44.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值 是 A.2 B.3 C.

11 5

D.

37 16

解:直线 l2 : x ? ?1 为抛物线 y 2 ? 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F (1,0) 的 距离,故本题化为在抛物线 y 2 ? 4 x 上找一个点 P 使得 P 到点 F (1,0) 和直线 l2 的距离之和最小,最小值为 F (1,0) 到 直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,即 d min ?

|4?0?6| ? 2 ,故选择 A。 5

45.已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? 的取值范围为 A. (

? ?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ,其中 m ? 0 。若方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. ( , 7)

4 3

2 解:因为当 x ? (?1,1] 时,将函数化为方程 x ?

y2 ? 1( y ? 0) ,实质上为一个半椭圆,其图像如图所示,同时在 m2
其它部分

坐标系中作出当 x ? (1,3] 得图像,再根据周期性作出函数 的图像,由图易知直线 y?

x 与第二个椭圆 3

( x ? 4)2 ?

y2 ? 1( y ? 0) 相 交 , 而 与 第 三 个 半 椭 圆 m2
x y2 y2 2 y ? ? 1( y ? 0) ( x ? 4) ? ? 1( y ? 0) 得 无公共点时,方程恰有 5 个实数解,将 代入 3 m2 m2

( x ? 4)2 ?

(9m2 ? 1) x2 ? 72m2 x ? 135m2 ? 0, 令 t ? 9m2 (t ? 0)则(t ? 1) x2 ? 8tx ? 15t ? 0
由 ? ? (8t ) ? 4 ?15t (t ? 1) ? 0, 得t ? 15,由9m ? 15, 且m ? 0得m ?
2 2

15 3
12

同样由 y ?

x y2 2 与第二个椭圆 ( x ? 8) ? 2 ? 1( y ? 0) 由 ? ? 0 可计算得 m ? 7 . 3 m

综上知 m ? (

15 , 7) . 3

46.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k (k>0) 的直线与 C 相交于 A、B 两 2 a b 2

点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (A)1 (B) 2 (C ) 3 (D)2

??? ?

??? ?

解:设直线 l 为椭圆的有准线,e 为离心率,过 A,B 分别作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B 为垂足,过 B 作 BE 垂直 于 AA1 与 E , 由 第 二 定 义 得 , , 由 , 得 ,

即 k=

,故选 B.

47.设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条 渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C )

3 ?1 2

(D )

5 ?1 2

解:选 D.不妨设双曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为: 渐近线斜率为:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则一个焦点为 F (c,0), B(0, b) ,一条 a 2 b2

b b b b ,直线 FB 的斜率为: ? ,? ? (? ) ? ?1 ,? b 2 ? ac a c a c

c 2 ? a 2 ? ac ? 0 ,解得 e ?

c 5 ?1 ? . a 2

48. 设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离 心率为 (A)

2

(B) 3

(C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2

解:设双曲线方程为

b x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 F(c,0),B(0,b).直线 FB:bx+cy-bc=0 与渐近线 y= x 垂直, 2 a a b

所以 ? ? ? ?1,即 b2=ac,所以 c2-a2=ac,即 e2-e-1=0,所以 e ?

b b c a

1? 5 1? 5 或e ? (舍去) 2 2
13

x2 y 2 3 49.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线于 C 相交于 A、B 两 a b 2
点,若 AF ? 3FB 。则 k = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

??? ?

??? ?

解 :B : A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ∵ AF ? 3FB , ∴ y1 ? ?3 y2 , ∵ e ?

??? ?

??? ?

3 , 设 a ? 2 t , c? 2

3 t, b ? t ,

∴ x2 ? 4 y 2 ? 4t 2 ? 0 ,直线 AB 方程为 x ? sy ? 3t 。代入消去 x ,∴ (s2 ? 4) y 2 ? 2 3sty ? t 2 ? 0 , ∴ y1 ? y2 ? ?

1 2 3st t2 2 3st t2 2 2 , ,解得 s ? , k ? 2 . , y y ? ? ? 2 y ? ? , ? 3 y ? ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 s ?4 s ?4 s ?4 s ?4

50.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平 a 2 b2
? ? 2? ? 2 ?

分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是 (A) ? ? 0, (B) ? 0, ? ? 2?
? 1?

(C) ? ? 2 ?1,1?

(D) ? ,1?

?1 ? ?2 ?

解:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F ,即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而|FA|=

a2 b2 b2 ? c ? ,|PF|∈[a-c,a+c],于是 ∈[a-c,a+c],即 ac-c2≤b2≤ac+c2. c c c

?c ?1 2 2 2 ? ? ac ? c ? a ? c ?a ? ?1 ? ∴? 2 ?? ,又 e∈(0,1),故 e∈ ? ,1? 2 2 ?2 ? ? ? a ? c ? ac ? c ? c ? ?1或 c ? 1 ? a 2 ?a
x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一 51.若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 3
点,则 OP?FP 的最大值为 A .2 B.3 C.6 D.8

??? ? ??? ?

解: 由题意,F(-1,0) ,设点 P ( x0 , y0 ) ,则有

x0 2 y0 2 x2 ? ? 1 ,解得 y0 2 ? 3(1 ? 0 ) , 4 3 4

因为 FP ? ( x0 ?1, y0 ) , OP ? ( x0 , y0 ) ,所以 OP ? FP ? x0 ( x0 ? 1) ? y02 = OP ? FP ? x0 ( x0 ?1) ? 3(1 ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

x0 2 x2 ) = 0 ? x0 ? 3 ,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0 ? ?2 ,因为 ?2 ? x0 ? 2 , 4 4 22 ? 2 ? 3 ? 6 ,选 C。 4
14

所以当 x0 ? 2 时, OP ? FP 取得最大值

??? ? ??? ?

2 2 P F2 = 60 0 ,则 | PF1 |? 52. 已知 F | PF2 |? 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F 1

(A) 2 解: cos∠ F 1 P F2 =

(B) 4

(C) 6

(D) 8

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 |2 2 | PF1 || PF2 |

? cos 600

? PF ?
?

1

? PF2

?

2

? 2 PF1 PF2 ? F1F2

2

2 PF1 PF2

?

1 ? 2

22 ? 2 PF1 PF2 ? 2 2 2 PF1 PF2

?

?

2

, | PF | PF2 |? 4. 1 |?

解析二: 由焦点三角形面积公式得:

S?F1PF2

600 1 1 3 , | PF ? b cot ? 1 cot ? 3 ? PF1 PF2 sin 600 ? PF1 PF2 | PF2 |? 4. 1 |? 2 2 2 2 2
2 2

53.椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a>b>0 ? 的右焦点为 F,其右准线与 x 轴的交点为 A .在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直 a 2 b2

平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是 (A ) (0,

2 ] 2

(B) (0,

1 ] 2

(C)[ 2 ? 1 ,1)

(D)[

1 ,1) 2

解:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F ,即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等. 而|FA|=

a2 b2 b2 ? c ? ,|PF|∈[a-c,a+c],于是 ∈[a-c,a+c],即 ac-c2≤b2≤ac+c2 c c c

?c ?1 2 2 2 ? ? ac ? c ? a ? c ?a ? ?1 ? ∴? 2 ?? ,又 e∈(0,1),故 e∈ ? ,1? 2 2 ?2 ? . ? ? a ? c ? ac ? c ? c ? ?1或 c ? 1 ? a 2 ?a
54.若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是 A. ? ?1,1 ? 2 2 ?

?

?

B. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ?

?

?

C. ?1 ? 2 2,3?

?

?

D. ?1 ? 2,3?

?

?

解:曲线方程可化简为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4(1 ? y ? 3) ,即表示圆心为(2,3)半径为 2 的半圆,依据数形结合, 当直线 y ? x ? b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线 y=x+b 距离等于 2,解得
b ? 1 ? 2 2或b ? 1 ? 2 2 ,因为是下半圆故可得 b ? 1 ? 2 2 (舍) ,当直线过(0,3)时,解得 b=3,

故 1 ? 2 2 ? b ? 3, 所以 C 正确. 55.若点 O 和点 F (?2,0) 分别是双曲线 的取值范围为 A. [3-2 3, ??) B. [3 ? 2 3, ??) C. [-

??? ? ??? ? x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 OP ? FP 2 a
7 , ?? ) 4
D. [ , ??)

7 4

15

x2 ? y 2 ? 1 ,设点 解:因为 F (?2, 0) 是已知双曲线的左焦点,所以 a ? 1 ? 4 ,即 a ? 3 ,所以双曲线方程为 3
2 2

P ( x0 , y0 ) ,则有

??? ? ??? ? x0 2 x2 ? y0 2 ? 1( x0 ? 3) ,解得 y0 2 ? 0 ? 1( x0 ? 3) ,因为 FP ? ( x0 ? 2, y0 ) , OP ? ( x0 , y0 ) ,所 3 3
x0 2 4x 2 3 ? 1 ? 0 ? 2 x0 ? 1 ,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0 ? ? , 4 3 3

以 OP ? FP ? x0 ( x0 ? 2) ? y02 = x0 ( x0 ? 2) ?

??? ? ??? ?

因 为 x0 ? 3 , 所 以 当 x0 ? 3 时 , OP? FP取 得 最 小 值

???? ??? ?

???? ??? ? 4 ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 ? 2 3 , 故 OP? FP的 取 值 范 围 是 3

[3 ? 2 3, ??) ,选 B。
二. 填空题
?x ? y ? 4 ? 1.已知点 P ( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? x ,点 O 为坐标原点,那么 | PO | 的最小值等于 ? x ?1 ?
____________.最大值等于____________. 解:画出可行域,如图所示:易得 A(2,2) ,OA= 2 2 ,B(1,3) ,OB= 10 , ,C(1,1) ,OC = 2 ,故|OP|的最大值为 10 ,最小值为 2 . 2.已知实数 x 、 y 满足 ?

? ? y ? 1, 则 x ? 2 y 的最大值是____________. ? ? y ? x ?1 , ? ? y ? 1, 在坐标系中画出可行域,三个顶点分别是 A(0,1),B(1,0), ? ? y ? x ?1 ,

解:已知实数 x 、 y 满足 ?

C(2,1),∴ x ? 2 y 的最大值是 4.

? x ? 1, ? 2 2 3.已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是____________. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? 1 ? 2 2 解:由 ? x ? y ? 1 ? 0 ,画出可行域,得交点 A(1,2),B(3,4),则 x ? y 的最小值是 5. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
4.已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1,直线 l:y=kx,下面四个命题: (A)对任意实数 k 与 ?,直线 l 和圆 M 相切; (B) 对任意实数 k 与 ?,直线 l 和圆 M 有公共点; (C)对任意实数 ?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切 (D)对任意实数 k,必存在实数 ?,使得直线 l 与和圆 M 相切 其中真命题的代号是____________.(写出所有真命题的代号) 解:选(B) (D)圆心坐标为(-cos?,sin?) ,

16

d?

|-k cos ?-sin ? | 1+k 2



1+k 2 |sin (?+?) | =|sin (?+?) | ?1. 1 +k 2

5. (I)过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直 线 l 的斜率 k=____________. 解:由图形可知点 A (1, 2) 在圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 的内部, 圆心为 O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直 线 l ? OA ,所以 kl ? ?

1 1 2 ?? ? kOA 2 ? 2

6. 设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、B 两点, 且弦 AB 的长为 2 3 , 则 a ? ____________. 解:设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则圆心(1,2) 到直线的距离等于 1,

| a ? 2?3| a2 ? 1

? 1 , a ? 0.

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 7.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 。若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点 (3, 0) 处取得最大值, ? y ?1 ? 0 ?
则 a 的取值范围为____________. 解:画出可行域如图所示,其中 B(3,0) ,C(1,1) ,D(0,1) ,若目标函数 z ? ax ? y 取得最大 值,必在 B,C,D 三点处取得,故有 3a?a+1 且 3a?1,解得 a?

1 2

8.已知两圆 x2 ? y 2 ? 10 和 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 20 相交于 A, B 两点,则直线 AB 的方程 ____________. 解:两圆方程作差得 x ? 3 y ? 0 .
2 2 9.与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是_____________.

2 2 解:曲线化为 ( x ? 6) ? ( y ? 6) ? 18 ,其圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

6?6?2 2

? 5 2. 所求的最小圆

的圆心在直线 y ? x 上,其到直线的距离为 2 ,圆心坐标为 (2, 2). 标准方程为

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 。
10.如图, A, B 是直线 l 上的两点,且 AB ? 2 .两个半径相等的动圆分别与 l 相切于
A, B 点, C 是这两个圆的公共点,则圆弧 AC , CB 与线段 AB 围成图形面

C
l

积 S 的取值范围是



B A 解:如图,当 ? O1与 ? O2 外切于点 C 时, S 最大,此时,两圆半径为 1, S 等于矩形 ABO2O1 的面积减去两扇形
面积, ? S max ? 2 ? 1 ? 2? ( ? ? ? 1 ) ? 2?
2

1 4

?
2

,随着圆半径的变化, C 可以向直线 l 靠近,当 C 到直线 l 的距离

17

d ? 0时, S ? 0,? S ? (0, 2 ? ] 。 2
11.设有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1)2 ? ( y ? 3k )2 ? 2k 4 (k ? N* ) .下列四个命题: A.存在一条定直线与所有的圆均相切 C.存在一条定直线与所有的圆均不 相交 . 其中真命题的代号是 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 D.所有的圆均不 经过原点 .

?

. (写出所有真命题的代号)
2

解:圆心为(k-1,3k)半径为 2k ,圆心在直线 y=3(x+1)上,所以直线 y=3(x+1)必与所有的圆相交,B 正确;由 C1、C2、C3 的图像可知 A、C 不正确;若存在圆过原点(0,0) ,则有

(?k ? 1) 2 ? 9k 2 ? 2k 4 ? 10k 2 ? 2k ? 1 ? 2k 4 ( k ? N *) 因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在 k
使上式成立,即所有圆不过原点。填 B、D. 12.已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的 公共弦, AB ? 4 .若 OM ? ON ? 3 ,则两圆圆心的距离 MN ? ____________.

? AB ? 解: 设 E 为 AB 的中点, 则 O, E, M, N 四点共面, 如图, ∵ AB ? 4 , 所以 OE ? R ? ? ∴ ME= 3 , ? ?2 3, ? 2 ?
2

2

由球的截面性质,有 OM ? ME,ON ? NE ,∵ OM ? ON ? 3 ,所以 ?MEO 与 ?NEO 全等,所以 MN 被 OE 垂直

ME?MO ?3 OE 13.已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的 公共弦, AB ? 4 ,若 OM ? ON ? 3 ,则两圆圆心的距离 MN ? ____________.
平分,在直角三角形中,由面积相等,可得, MN=2 解:∵ON=3,球半径为 4,∴小圆 N 的半径为 7 ,∵小圆 N 中弦长 AB=4, 于 AB,∴ NE= 3 ,同可得 ME ? 3 ,在直角三角形 ONE 中, ∵ NE= 3 ,ON=3,∴ ?EON ? 14.已知 F1,F2 为双曲线 作 NE 垂直 O B N M E A

?
6

,∴ ?MON ?

?
3

,∴ MN=3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0且a ? b) 的两个焦点,P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O a 2 b2
2. △PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x ? b 上; 4. △PF1F2 的内切圆必通过点 ? a, 0? .

为坐标原点.下面四个命题 1. △PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 x ? a 上; 3. △PF1F2 的内切圆的圆心必在直线 OP 上;

其中真命题的代号是____________.(写出所有真命题的代号) . 解:设 △PF1F2 的内切圆分别与 PF1、PF2 切于点 A、B,与 F1F2 切于点 M,则|PA|=|PB|,|F1A|=|F1M|,|F2B| =|F2M|,又点 P 在双曲线右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,故|F1M|-|F2M|=2a,而|F1M|+|F2M|=2c,设 M 点坐标 为(x,0) ,则由|F1M|-|F2M|=2a 可得(x+c)-(c-x)=2a 解得 x=a,显然内切圆的圆心与点 M 的连线垂直 于 x 轴,故 1、4 正确。 15 . 如 图 , 把 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 的 长 轴 AB 分 成 8 等 份 , 过 每 个 分 点 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 25 16
18

F 是椭圆的一个焦点, P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点,

PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7 F ? ____________.
解:如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的 长 轴 AB 分 成 8 等 份 , 过 每 个 分 点 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 25 16

F 是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知, P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点,

2 a ,又 | P4 F1 |? a , | PF 1 1 |?| P 7F 1 |?| PF 1 1 | ? | PF 1 2 |? 2a ,同其余两对的和也是

7 a =35. ∴ PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ?
16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 顶点 A(?4, 0) 和 C (4, 0) ,顶点 B 在椭圆

x2 y2 ? ?1 25 9

上,则

sin A ? sin C ? ____________. sin B sin A ? sin C a ? c 10 5 ? ? ? . sin B b 8 4

解:利用椭圆定义和正弦定 得 a ? c ? 2 ? 5 ? 10 ,b=2*4=8,
2 2
0

17.过双曲线 x ? y ? 4 的右焦点 F 作倾斜角为 105 的直线,交双曲线于 P、Q 两点, 则|FP| ? |FQ|的值为____________. 解:? F (2 2,0), k ? tan1050 ? ?(2 ? 3). ?l : y ? ?(2 ? 3)( x ? 2 2). 代入 x ? y ? 4 得
2 2

(6 ? 4 3) x2 ? 4 2(7 ? 4 3) x ? 60 ? 32 3 ? 0.
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ). ? x1 ? x2 ?

4 2(7 ? 4 3) 60 ? 32 3 , x1 ? x2 ? . 6?4 3 6?4 3

2 2 又 | FP |? 1 ? k | x1 ? 2 2 |,| FQ |? 1 ? k | x2 ? 2 2 |,

x??

25 3

?| FP | ? | FQ |? (1 ? k 2 ) | x1 x2 ? 2 2( x1 ? x2 ) ? 8 |? (8 ? 4 3)? | ? (8 ? 4 3)(?4) 8 3 ? . 3 6?4 3

60 ? 32 3 16(7 ? 4 3) ? ?8| 6?4 3 6?4 3

18.设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左准线的距离为 10, F 是该椭圆的左焦点,若点 M 25 16
? ???? ???? ? 1 ??? (OP ? DF ) ,则 | OM | =____________. 2

满足 OM ?

???? ?

解:椭圆

x2 y 2 5 8 2 2 4 2 ? ? 1 左准线为,左焦点为(-3,0) ) ,由已知 M 为 PF 中点,M( ? ,? ), ,P( ,? 25 16 3 3 3 3

所以 | OM |?

???? ?

2 4 2 2 (? ) 2 ? (? ) ? 2. 3 3
19

19.若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两 圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是____________. 解: 由题知 O1 (0,0), O2 (m,0) ,且 5 ?| m |? 3 5 ,又 O1 A ? AO2 ,所以有

m 2 ? ( 5 ) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5 ,∴ AB ? 2 ?

5 ? 20 ? 4。 5

x2 y 2 20.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) ,若椭圆上 a b
存在一点 P 使

a c ,则该椭圆的离心率的取值范围为____________. ? sin PF1F2 sin PF2 F1 PF2 PF1 a c ,则由已知,得 , ? ? sin PF1F2 sin PF2 F1 PF PF 1 2 1 1

解:因为在 ?PF1 F2 中,由正弦定得

即.设点 ( x0 , y0 ) 由焦点半径公式,得 PF 1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 则 a(a ? ex0 ) ? c(a ? ex0 ) 记 x0 ?

a(c ? a) a(e ? 1) ? e(c ? a) e(e ? 1)

由 椭 圆 的 几 何 性 质 知 : x0 ? ?a则 ,故椭圆的离心率 ? (0 , 1) e ? ( 2 ?1,1)

a(e ? 1) ? ?a , 整 得 e2 ? 2e ? 1? 0 解 , 得 e(e ? 1)

e? ? 2 ? 1 或 e ? 2 ,又 ? 1 e
解法二: 由解析 1 知: PF1 ?

c c 2a 2 PF2 , PF1 ? PF2 ? 2a则 PF2 ? PF2 ? 2a即PF2 ? . a a c?a

由椭圆的几何性质知 PF2 ? a ? c, 则

2a 2 ? a ? c, 既c 2 ? 2c ? a 2 ? 0, 所以 e2 ? 2e ? 1 ? 0, 以下同解析 1. c?a

x2 y 2 21.已知双曲 aPF1 ? cPF2 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) ,若双 a b
曲线上存在一点 P 使

sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是____________. sin PF2 F1 c PF2 PF1 a c ,则由已知,得 ,即 aPF1 ? cPF2 ,且知点 P 在双曲线的 ? ? sin PF1F2 sin PF2 F1 PF PF 1 2 1 1

解:在 ?PF1 F2 中,∵

右支上,设点 ( x0 , y0 ) 由焦点半径公式,得 PF 1 ? a ? ex0 , PF 2 ? ex0 ? a 则 a(a ? ex0 ) ? c(ex0 ? a) ,解得 x0 ?
2

a(c ? a) a(e ? 1) a(e ? 1) ? ?a, 由双曲线的几何性质知 x0 ? a则 e(c ? a) e(e ? 1) e(e ? 1)

整得 e ? 2e ? 1 ? 0, 解得 ? 2 ? 1 ? e ? 2 ? 1 ,又e ? (1, ??) ,故椭圆的离心率 e ? (1, 2 ? 1) .

20

c c 2a 2 解法二: 由解析 1 知 PF1 ? PF2 , PF1 ? PF2 ? 2a则 PF2 ? PF2 ? 2a即PF2 ? a a c?a
由椭圆的几何性质知 PF2 ? c ? a, 则

2a 2 ? c ? a, 既c 2 ? 2ac ? a 2 ? 0, 所以 e2 ? 2e ? 1 ? 0, 以下同解析 1. c?a

22.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? _________; 9 2

?F1PF2 的小大为____________.
解: ∵ a2 ? 9, b2 ? 3 ,∴ c ? a2 ? b2 ? 9 ? 2 ? 7 ,∴ F1 F2 ? 2 7 , 又 PF 1 PF2 ? 1 ? 4, PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 6 ,∴ PF2 ? 2 ,由余弦定, cos ?F
? ? ∴ ?F 1PF 2 ? 120 ,故应填 2, 120 .

22 ? 42 ? 2 7 2? 2? 4

?

?

2

1 ?? , 2

23.如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个 a 2 b2

顶点, F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点, 则该椭圆的离心率为____________.

解:直线 A1B2 的方程为:

x y x y ? ? 1 ;直线 B1F 的方程为: ? ? 1 。二者联立解得: ?a b c ?b

T(

2ac b( a ? c ) x2 y 2 ac b(a ? c) , ) ,则 M ( , ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, a?c a?c a b a ? c 2(a ? c)

c2 ( a ? c) 2 ? ? 1, c 2 ? 10ac ? 3a 2 ? 0, e2 ? 10e ? 3 ? 0 ,解得: e ? 2 7 ? 5 (a ? c)2 4(a ? c)2
24.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8,则
2
?

p ? _____________.

? y 2 ? 2 px p p2 ? 2 解:由题意可知过焦点的直线方程为 y ? x ? ,联立有 ? ? x ? 3 px ? ? 0, p 2 4 y ? x ? ? ? 2
又 AB ? (1 ? 1 ) (3 p) ? 4 ?
2 2

p2 ?8? p ? 2。 4

25.以知 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 4 12

PF ? PA 的最小值为____________.
21

解:注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4,而|PA|+ |PF’|≥|AF’|=5, 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立.答案 9. 26.已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点,且 PF 1 F2 的 1 ? PF 2 .若 ?PF a2 b2

面积为 9,则 b =____________.

?| PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 解:依题意,有 ?| PF1 | ? | PF2 |? 18 ,可得 4c2+36=4a2,即 a2-c2=9,故有 b=3。 ? 2 2 2 ?| PF1 | ? | PF2 | ? 4c
27.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1, 0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ? ____________. 解: 过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E, ∵ AM ? MB , ∴M 为中点, ∴ BM ? ∴ BE ?

???? ?

????

???? ?

????

1 0 AB , 又斜率为 3 ,?BAE ? 30 , 2

1 AB ,∴ BM ? BE ,∴M 为抛物线的焦点,∴ p ? 2. 2 ??? ? ??? ? 28.已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 A、B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中点到准线的距离为___________.
解:设 BF=m,由抛物线的定义知 AA 1 ? 3m, BB 1 ? m ,? ?ABC 中,AC=2m,AB=4m, k AB ? 3 ,直线 AB 方程 为 y ? 3( x ? 1) 与抛物线方程联立消 y 得 3x ? 10x ? 3 ? 0 ,所以 AB 中点到准线距离为
2

x1 ? x 2 5 8 ?1 ? ?1 ? 2 3 3

29.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于 点 D , 且 BF ? 2FD ,则 C 的离心率为

uu r

uur

.

解:∵ | BF |? b2 ? c 2 ? a ,作 DD1 ? y 轴于点 D1,则由 BF ? 2FD ,得

uu r

uur

| OF | | BF | 2 ? ? ,所以 | DD1 | | BD | 3

| DD1 |?

3c 3 3 a 2 3c 3c 2 | OF |? c ,即 xD ? ,由椭圆的第二定义得 | FD |? e( ? ) ? a ? ,又 | BF |? 2 | FD | ,得 2 2 2 c 2 2a

a ? 2a ?

3c 2 3 , ?e? a 3 x2 y 2 ? ? 1 , 设 D ? x2 , y2 ? , F 分 BD 所 成 的 比 为 2 , a 2 b2

解析二:设椭圆方程为第一标准形式

3 yc ? b 3 ? 0 ? b 0 ? 2 x2 b ? 2 y2 3 3 b 9 c 2 1 b2 3 xc ? ? x2 ? xc ? c; yc ? ? y2 ? ? ? ? ,代入 ? ? 1,? e ? 2 2 1? 2 2 2 1? 2 2 2 2 4a 4b 3
30.已知椭圆 c :

x2 x2 2 ? y 2 ? 1 的两焦点为 F1 , F2 ,点 P( x0 , y0 ) 满足 0 ? 0 ? y0 ? 1 ,则 2 2
x0 x ? y0 y ? 1 与椭圆 C 的公共点个数____________. 2
22

| PF1 |+ PF2 |的取值范围为___________,直线

解:依题意知,点 P 在椭圆内部.画出图形,由数形结合可得,当 P 在原点处时 (| PF1 | ? | PF2 |)max ? 2 ,当 P 在椭 圆顶点处时,取到 (| PF1 | ? | PF2 |)max 为 ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) =2 2 ,故范围为 ? 2, 2 2 .因为 ( x0 , y0 ) 在椭圆 部,则直线

?

x2 ? y 2 ? 1 的内 2

x ? x0 ? y ? y0 ? 1上的点(x, y)均在椭圆外,故此直线与椭圆不可能有交点,故交点数为 0 个. 2

23


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