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投影与直观图直观图


北师大必修2·§1.2

投影与直 观 图

知识探究(一):中心投影与平行投影

1.光是直线传播的,一个不透明物体 在光的照射下,在物体后面的屏幕上会 留下这个物体的影子,这种现象叫做投 影.其中的光线叫做投影线,留下物体影 子的屏幕叫做投影面.
2.我们把光由一点向外散射形成的 投影叫做中心投影,把在一

束平行光 线照射下形成的投影叫做平行投影.

A

A

A

A

B
C

D

A

B
C

D

中心 投影 A

B
C

D

平行投影 A

中心 投影

B
C

D

平行投影 A

中心 投影

B
C

D

平行投影 A

中心 投影

B
C

D

平行投影 A

中心 投影

B
C

D

平行投影 A

中心 投影

B
C

D

平行投影 A

中心 投影

B 正投影
C

D

平行投影 A

中心 投影

B 正投影
C

D

平行投影 A

中心 投影

B 正投影
C

D

平行投影

中心 投影

斜投影

A

B 正投影
C

D

在平行投影中,投影线正对着投影面叫做正投影, 否则叫做斜投影

想一想
1.如何将一个直立放置的平面图形画在纸上?

2. 将一个水平放置的平面图形

画在纸上,怎样画才有立体感呢? (立体图形)

感受立体图

问题提出
1.太阳光线(假定太阳光线是平行的)把一个长方形 形状的窗框投射到地板上,变成了什么图形?

影子与窗户
之间有区别吗?

问题提出 2.上述窗框的投影图形与原窗框图比较,哪些几何关 系或几何量发生了变化?哪些没有发生变化? A P M

B 平面图

P’ A’ M’ B’

直观图

归纳总结
直观图: 表示空间图形的平面图形,

叫做空间图形的直观图.

如何画空间图形的直观图?

斜二测画法

例题解析
例1 画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图.

例题解析
例1 画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图.

A

B

O

C

例题解析
例2 画正五棱锥的直观图.
五个步骤:取轴、画轴、取点、画点、连线.
y A B G E

y’

O

H

x

O’

x’

C

F

D

例题解析

例3 画水平放置的正六边形的直观图. /
F

y H

y

E

A

O
B

Dx
C
A/

A/

F

/

H/
/

E/

B
G

/

O / G C
/

D/

x

/

F/

E/ D/

五个步骤:取轴、画轴、取点、画点、连线.

B/

C/

例题解析

例4 画棱长为2cm的正方体的直观图.
z
A
/
/

D

/

C

/

D A
/

/

C

/

B

/

B/

y/

D A
x/ B

C

D A B

C

课内练习

1:下列说法是否正确? (1)水平放置的正方形的直观图可能是梯形.

(×)
(2) 两条相交直线的直观图可能平行. (3) 互相垂直的两条直线的直观图仍然互 相垂直. (×)

(×)

(4) 等腰三角形的水平放置的直观图仍 是等腰三角形. (×)

例题解析

例5 如图,直观图所示的平面图形是( B )
A.任意四边形 C.任意梯形 B.直角梯形 D.等腰梯形

y
A
B
D

C

o

x

课内练习 2:如图,直观图所示的平面图形是(C ) A.任意三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

y
A
B

C

o

x

课内练习
3:如图,直观图所示的平面图形是( A.正三角形 C.钝角三角形

D)

B.锐角三角形 D.直角三角形

y

A

B

C

o

x

归纳整理

直观图最常用的画法是斜二测法,由其规则能画出水 平放置的图形的直观图,其实质就是在坐标系中确定点的 位置的画法,其基本步骤如下: 1、建系: 在已知图形中取互相垂直的的X轴和Y轴,得到 直角坐标系XOY,直观图中画成斜坐标系X‘O’Y 在空间坚直方向上的 ‘,两轴的夹角为450,X’轴水平. 线段画成垂直于X’轴需要画立体图时,过O‘点画Z ‘轴,且使其垂直于X’轴 2、平行不变:已知图形中平行于X轴或Y轴的线段, 在直观图中分别画成平行于X’轴或Y‘的线段。
3、长度规则: 已知图形中平于X轴的的线段,在直观 图中保持长度不变;平行于Y轴的线段,长度变为原来 的一半。 在空间坚直方向上的长度也不变。

由直观图恢复到平面图形的步骤: (1)先作一个正三角形

(2)然后以BC所在直线为x轴,以BC边上的高为y轴建立坐标系, 画对应的x‘、y’轴,使夹角为45°画直观图时与x轴平行的线段长 度保持不变,与y轴平行的线段程度变为 原来的一半

结论:

S 直观图 ? S 原图形

2 ? 4

当堂检测
如图Δ A‘B‘C’是水平放置的Δ ABC的直观图, 则在Δ ABC的三边及中线AD中,最长的线 段是( ) AC

课堂小结
?掌握斜二侧画法的一般步骤与作图规则. ?学会由特殊到一般,再由一般到特殊的思

维方式.


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