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东北三省四市教研联合体高考模拟(三)数学试题(文)及答案


2015 年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷 (三) 文科

数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1、已知全集 U ? {1,2,3,4}, A ? {1,4}, B ? {2,4}, 则(CU A) ?B ?

A

. ?
2、若复数

B. {2}

C.

{4}

D.

{2,3,4}

1 ? bi 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ? 2?i 1 A. ?2 B. ? 2 1 C. D. 2 2 3、执行 下面的程序框图,那么输出的 S 等于 A. 42 B. 56

C. 72

D. 90

4、在区间 ?? 3,5? 上随机取一个实数 a ,则使函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 无零点的概率是

A.

1 3

B.

1 2
? 1 2

C.
,则

1 4

D.

1 8

5、设 a ? log3 3 , b ? ln 2 , c ? 5

A.

c?b?a D. a ? b ? c

B.

b?a?c

开始

C. a ? c ? b

K=1 S=0

6、已知 ?an ? 为等差数列且公差 d ? 0 ,其首项 a1 ? 20 ,且 则 S10 a3 , a7 , a9 成等比数列,S n 为 ?an ? 的前 n 项和,n ? N ,
*

K ≤8

否 输出 S 结束

的值为(

)



A. ? 110
D. 110

B. ? 90

C.

90

S = S +2 K K = K+1

7、某抛物线的通径与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 11 ? 0 的半径相
2 2

等,则该抛物线的焦 点到其准线的距离为

A. 2

B. 4

C.

6

D. 8

8、棱长均为 4 的三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为

A.

8 ? 3

B. 6?

C.

16?

D. 24?

9、函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ), ( A ? 0,? ? 0) 的一 个最高点坐标为(2,2),相邻的对称轴与对称中 心之间的距离为 2,则 f (2015 )=

A. 1

B.

2

C. -1

D. ? 2

10.偶函数 f ( x) ? loga | x ? b | 在 (??,0) 上单调递减,则 f (a ? 1)与f (2 ? b) 的大小关系是

A. f (a ? 1) ? f (2 ? b) C. f (a ? 1) ? f (2 ? b)
11、 F 为双曲线

B. f (a ? 1) ? f (2 ? b)
D. 不能确定

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 P 在双曲线右支上, ?POF ( O为坐标原点)是面积 a2 b2

为 3 的等边三角形,则双曲线的离心率为

A.

3

B. 2

C. 5

D. 3 ? 1
x

12. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x)满足f ( x ? 2) ? f ( x ) ? 1, 且x ? [0,1]时, f ( x) ? 4 , x ? (1, 2) 时 ,

f ( x) ?

A. 6

f (1) ,令 g ( x) ? 2 f ( x) ? x ? 4 x ? [?6,2] ,则 函 数 g ( x) 的零点个数为( x B. 7 C. 8 D. 9



二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13、边长为 2 的正方形 ABCD ,对角线的交点为 E ,则 ( AB ? AD) ? AE = . .

14.如右图是一个空间几何体的三视图(俯视图外框为正方形),则这个几何体的体积为

? x ? 2 y ? 0, ? 15、 设z ? x? y, 其中实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0, 若 z 的 ?0 ? y ? m , ?

最小值为

-3,则 z 的最大值为 . 16、棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M , N , P 分别为 AB1 , BC1 , DD1 的中点,给出下 列结论: ①异面直线 AB1 , BC1 所成的角为 ②

? 3

MN ∥ 平面ABCD
1 4

③ 四面体 A ? A1 B1 N 的体积为 ④ MN ⊥ BP 则正确结论的序号为 .

17. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x , ?ABC 的三边 a, b, c 对应的角分别为 A, B, C ,其中 f ( A) ? 2 . (1) 求角 A 的大小; (2)当 a ? 2 时,求 ?ABC 面积的最大值.

18.(本小题满分 12 分) 某地区有小学 18 所,中学 12 所,大学 6 所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学 校对学生进行视力调查. (1) 若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, 求抽取的 2 所学校均为小学 的概率; (2)若某小学被抽取,该小学五个年级近视眼率 y 的数据如下表: 0.1 0.15 0.2 0.3 0.39 y 根据前四个年级的数据,利用最小二乘法求 关于 x 的线性回归直线方程,并计算五年级近视眼率 的估计值与实际值之间的差的绝对值. 年级号 x 近视眼率 y 1 2 3 4 5

x ( 附 : 回 归 直 线 y? b+
?

?

?

?

a 斜率和 截距的最小二乘法 估计 公式分别为 : 的
?

b?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

,a ? y ?b x )

?

19. (本小题满分 12 分) 如图:四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形 ,平面 PCD ⊥底面 ABCD ,且

PC ? PD ? a .
(1) 求证: PD ⊥ BC ; (2)当 a 的值为多少时满足 PC ⊥ 平面PAD ?并求出此时该四棱锥 P ? ABCD 的体积.

P

D

C

A 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

B

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是短轴的一个顶点, ?PF1 F2 是 a2 b2

顶角为

2 ? 且面积为 3 的等腰三角形. 3

(1)求椭圆的标准方程;

) 交椭圆于另一点 C .若 (2)过点 A(?a,0) 斜率为 k 的直线交椭圆于点 B .直线 BO(O为坐标原点
1 k ? [ ,1] ,求 ?ABC 的面积的最大值. 2
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

x ?1 . x ?1

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程; (2)当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围; (3)证明:

1 1 1 1 ? ??? ? ln( n ? 1) ( n ? N * ). 3 5 2n ? 1 2

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 如图, AD 是 ?ABC 的高, AE 是 ?ABC 的外接圆的直径,过点 A 作圆的切线交 BC 的延长线于点

F
(1) 求证: ?ABE ∽ ?ADC ; (2) 若 BD ? 4CD ? 4CF ? 8 ,求 ?ABC 的外接圆的半径.

23. (本小题满分 10 分) 直角坐标系中曲线 C 的参数方程为 ? (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)经过点 M (2,1) 作直线 l 交曲线 C 于 A, B 两点,若 M 恰好为线段 AB 的三等分点,求直线 l 的 斜率. 24. (本小题满分 10 分) 已知 a ? 1, b ? 1, c ? 1, 且 ab ? 10 . (1) 求 lg a ? lg b 的最大值; (2)求证: loga c ? logb c ? 4 lg c .

? x ? 4 cos? (?为参数) . ? y ? 2 sin ?

2015 年东北 三省四市教研联合体高考模拟试卷(三) 文科数学答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 B 6 D 7 A 8 D 9 D 10 A 11 D 12 C

13、 4 14、 15、 16、①②④ 17.(1) ……………(1 分)



……………(3 分)



……………(4 分)

,……………(5 分)

……………(6 分)

(2) ……………(8 分) 又 (当且仅当 时取等号)……………(9 分)

面积 所以 面积的最大值为

……………(10 分) ……………(12 分) 为

18. 解: (1) 18:12:6=3:2:1, 故抽取的 6 所学校中有 3 所小学、 2 所中学、 1 所大学, 分别 ,……………(1 分)

6 所学校抽取 2 所所有基本事件为 共 15 种,……………(2 分) 设事件 A 为抽取的 2 所学校均为小学,则 A 事件有 ……………(4 分) 共 3 种,



.

答:抽取的 2 所学校均为小学的概率为

.……………(5 分)

(2)

, ……………(10 分) 时,

……………(8 分)

.……………(12 分) , = ,

19.(1) 且 所以 ⊥

⊥ ,



, ……………(3 分)

⊥ (2)取

……………(5 分) ,连接 , , , ⊥ ……………(8 分) ⊥ ,……………(10 分) = ,

的中点为 ⊥

且 所以 ⊥

由题意可得

此时该四棱锥的体积为

……………(12 分)

20.(1) 由题意可得

……………(1 分)

的面积 得

,……………(2 分) ……………(3 分)

所以椭圆的标准方程为

……………(4 分)

(2)设直线 得

的方程为

,代入椭圆方程得 ……………(5 分)



……………( 6 分)

的面积

……………(8 分)





……………(9 分)

, 所以当 时求

在[1,2]上单调递减,……………(10 分) 的面积的最大值为 ……………(12 分)

21. (1)解:当

时,



……………(1 分)

……………(3 分)

所以



处的切线方程为

。……………(4 分)

(2)解:

,……………(5 分)

依题知

,故

。……………(6 分)

令 ……………(7 分)





,则

,即



单调递增,……………(8 分)



,所以

。……………(9 分)

(3)证明:当

时,令

,则

,……………(10 分)

累加不等式,所以

。……………(12 分)

22. (1) 又

是直径,

……………(1 分) ……………(2 分)

∽ (2)

……………(4 分)

,……………(5 分) ……………(7 分) ……………(8 分) ,……………(9 分)

由(1)得

所以

的外接圆的半径为

……………(10 分)

23.(1 )由 曲线

的参数方程为





……………(2 分)

所以曲线

的直角坐标方程为

……………(4 分)

(2)设直线 的倾斜角为

直线 的参数方程为 代入曲线 的直角坐标方程得

,……………(5 分)

……………(6 分)

……………(7 分) 由题意可知 代入上式得 ,……………(8 分)



……………(9 分)

所以直线 的斜率为

……………(10 分)

24.(1)由题意可知 即

,……………(1 分) ……………(2 分)

(当且仅当



的最大值为 (2) 要证:

……………(4 分)

即证: 由于 即证: 已知, 即证: 则 则

……………(5 分)

……………(7 分)

……………(9 分)

由(1)知成立 ,所以原不等式成立 ……………(10 分)


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