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2014届高三数学(理)二轮强化训练:专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(1) Word版含解析]


课时强化训练(一) 一、选择题 1.(2013· 江西卷)已知集合 M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复 数 z=( ) A.-2i B.2i C.-4i D.4i 4 4i 解析:由 M∩N={4},知 4∈M,故 zi=4,故 z= = 2 =-4i. i i 答案:C 2.(2013· 四川卷)设 z∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B

是偶数集.若命题 p:?x∈A,2x ∈B,则( ) A.綈 p:?x∈A,2x?B B.綈 p:?x?A,2x?B C.綈 p:?x?A,2x∈B D.綈 p:?x∈A,2x?B 解析:“?”的否定为“?”,“2x∈B”的否定为“2x?B”,即綈 p:?x∈A,2x?B, 选 D. 答案:D 3.已知命题 p1:?x∈R,x2+x+1<0;p2:?x∈[1,2],x2-1≥0.以下命题为真命题的 是( ) A.(綈 p1)∧(綈 p2) B.p1∧(綈 p2) C.(綈 p1)∧p2 D.p1∧p2 解析:∵方程 x2+x+1=0 的判别式 Δ=12-4=-3<0, ∴x2+x+1<0 无解,故命题 p1 为假命题,綈 p1 为真命题;由 x2-1≥0,得 x≥1 或 x≤ -1, ∴?x∈[1,2],x2-1≥0,故命题 p2 为真命题,綈 p2 为假命题. ∵綈 p1 为真命题,p2 为真命题, ∴綈 p1∧p2 为真命题,选 C. 答案:C 4. (2013· 吉林一模)若集合 A={x||x|>1, x∈R}, B={y|y=2x2, x∈R}, , 则(?RA)∩B=( ) A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} D.? 解析:依题意得,?RA={x|-1≤x≤1},B={y|y≥0}, ∴(?RA)∩B={x|0≤x≤1},故选 C. 答案:C 5 . (2013· 安徽卷 )“a≤0”是“函数 f(x) = |(ax - 1)x|在区间 (0 ,+∞) 内单调递增”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:①a=0 时,f(x)显然在(0,+∞)内为增函数. ②当 a<0 时,f(x)=|(ax-1)x|的图象如图所示,f(x)在(0,+∞)内单调递增;

反之,f(x)=|(ax-1)x|的图象可能为 或 ,要使 f(x)在(0,+ ∞)内为增函数,只有 a<0;故选 C. 答案:C 6 . (2013· 银川质检 )命题“? x∈ [1,2], x2- a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( ) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 解析:命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是 a≥4.故其充分不必要条件 是集合[4,+∞)的真子集,正确选项 C. 答案:C 二、填空题 7.(2013· 哈尔滨模拟)命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围 是________. 解析:“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则“?x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题, 因此 Δ=9a2-4×2×9≤0,故-2 2≤a≤2 2. 答案:[-2 2,2 2] 8.(2013· 广东一模)已知函数 y=lg(4-x)的定义域为 A,集合 B={x|x<a},若 P:“x ∈A”是 Q:“x∈B”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是__________. 解析:本题是常用逻辑用语问题.A={x|x<4},由图易得 a>4.本题主要考查充要条件 及对数定义域的求法,先求出 A 的解集,然后根据充分不必要条件,可推出 a 的取值范围, 本题是容易题.

答案:a>4 9.(2013· 长沙一模)已知命题 p:m∈R,且 m+1≤0,命题 q:?x∈R,x2+mx+1>0 恒成立,若 p∧q 为假命题,则 m 的取值范围是__________. 解析: 先求 p∧q 是真命题时 m 的取值范围, 再求其补集. 命题 p 是真命题时, m≤-1, 2 命题 q 是真命题时,m -4<0,解得-2<m<2,所以 p∧q 是真命题时,-2<m≤-1,故 p∧q 为假命题,则 m 的取值范围是 m≤-2 或 m>-1. 答案:m≤-2 或 m>-1 三、解答题 10.(2013· 苏州调研)已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0, x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??R B,求实数 m 的取值范围. 解析:由已知得 A={x|-1≤x≤3}, B={x|m-2≤x≤m+2}. ?m-2=0, ?m=2, ? ? (1)∵A∩B=[0,3],∴? ∴? ∴m=2. ? ? ?m+2≥3. ?m≥1. (2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2}. ∵A??RB,∴m-2>3 或 m+2<-1. ∴m>5 或 m<-3. 11.(2013· 广东联考)已知下列两个命题: P:函数 f(x)=x2-2mx+4(m∈R)在[2,+∞)单调递增;Q:关于 x 的不等式 4x2+4(m -2)x+1>0(m∈R)的解集为 R.若 P∨Q 为真命题,P∧Q 为假命题,求 m 的取值范围. 解析:函数 f(x)=x2-2mx+4(m∈R)的对称轴为 x=m,故 P 为真命题?m≤2. Q 为真命题?Δ=[4(m-2)]2-4×4×1<0?1<m<3.

∵P∨Q 为真,P∧Q 为假,∴P 与 Q 一真一假. 若 P 真 Q 假,则 m≤2,且 m≤1 或 m≥3,∴m≤1; 若 P 假 Q 真,则 m>2,且 1<m<3,∴2<m<3. 综上所述,m 的取值范围为{m|m≤1 或 2<m<3}. 12.(2013· 海淀期末)若集合 A 具有以下性质: ①0∈A,1∈A; 1 ②若 x,y∈A,则 x-y∈A,且 x≠0 时, ∈A, x 则称集合 A 是“好集”. (1)分别判断集合 B={-1,0,1},有理数集 Q 是否是“好集”,并说明理由; (2)设集合 A 是“好集”,求证:若 x,y∈A,则 x+y∈A; (3)对任意的一个“好集”,分别判断下面命题的真假,并说明理由. 命题 p:若 x,y∈A,则必有 xy∈A; y 命题 q:若 x,y∈A,且 x≠0,则必有 ∈A. x 解析:(1)集合 B 不是“好集”. 理由是:假设集合 B 是“好集”, 因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B. 这与-2?B 矛盾. 有理数集 Q 是“好集”.因为 0∈Q,1∈Q, 1 对任意的 x,y∈Q,有 x-y∈Q,且 x≠0 时, ∈Q. x 所以有理数集 Q 是“好集”. (2)证明:因为集合 A 是“好集”,所以 0∈A. 若 x,y∈A,则 0-y∈A,即-y∈A. 所以 x-(-y)∈A,即 x+y∈A. (3)命题 p,q 均为真命题.理由如下: 对任意一个“好集”A,任取 x,y∈A, 若 x,y 中有 0 或 1 时,显然 xy∈A. 1 1 下设 x,y 均不为 0,1.由定义可知 x-1, , ∈A. x-1 x 1 1 1 所以 - ∈A,即 ∈A. x x-1 x?x-1? 所以 x(x-1)∈A. 由(2)可得 x(x-1)+x∈A,即 x2∈A.同理可得 y2∈A. 若 x+y=0 或 x+y=1,则显然(x+y)2∈A. 若 x+y≠0 且 x+y≠1,则(x+y)2∈A. 所以 2xy=(x+y)2-x2-y2∈A. 1 所以 ∈A. 2xy 1 1 1 由(2)可得 = + ∈A. xy 2xy 2xy 所以 xy∈A. 综上可知,xy∈A,即命题 p 为真命题. 1 若 x,y∈A,且 x≠0,则 ∈A. x y 1 所以 =y·∈A,即命题 q 为真命题. x x


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