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高一数学必修三1.1.1算法的概念


1.1算法的概念
算法是计算机工作的 基础,算法的发展推 动了计算机的发展

【学习目标】 1.了解算法的含义,体会算法的思想; 2.能够用自然语言叙述算法; 3.掌握正确的算法应满足的特征。 【学习重点】 算法的含义、解二元一次方程组和判断一 个数为质数的算法设计 【学习难点】 把自然语言转化为算法语言。

算法的数学史
算法自古就有,中国古 代数学在世界数学史上一度 占居领先地位.她注重实际 问题的解决,以算法为中心, 寓理于算,其中蕴涵了丰富 的算法思想。算筹是中国古代的计算工具,在 春秋时期已经很普遍,算盘在明代开始盛行。

中国古代涌现了许多著名的数学家,如 三国、两晋的赵爽、刘徽,南北朝的祖冲之、 祖暅父子,宋、元的秦九韶、杨辉、朱世杰 等。 著名的数学专著有《九章算术》、《周 髀算经》、《黄帝九章算法细草》、和《杨 辉算法》等.

随着计算科学和信息技术的飞速发展,算 法思想已经渗透到社会的方方面.在以前的学 习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上

在数学学习中已经渗透了大量的算法思想,如
四则运算的过程、求解方程的步骤等等.完成

这些工作都需要一系列程序化
的步骤,这就是算法的思想.

下述步骤构成了把大象 放进冰箱的算法

第一步、把冰箱门打开 第二步、把大象装进去 第三步、把冰箱门关上
2000年春晚小品《钟点工》

问题:有一个农夫带一条狼、一只羊和一筐白菜 过河。如果没有农夫看管,则狼要吃羊,羊要吃 白菜。但是船很小,只够农夫带一样东西过河。 问农夫该如何解此难题?

解决步骤: 1、带羊到对岸,返回; 2、带菜到对岸,并把羊带回; 3、带狼到对岸,返回; 4、带羊到对岸。

数学中的算法: 按照一定规则解决某一类问题的 明确 和 有限 的步骤。

x ? 2 y ? 1 (1) ? 写出解二元一次方程组 ? 的求解过程, ?2 x ? y ? 3 (2) 并从中理解算法的含义:

x ? 2 y ? 1 (1) ? 3、写出解二元一次方程组 ? 的求解过程, ?2 x ? y ? 3 (2) 并从中理解算法的含义:

第一步,(2) ? 2+( 1)得 5x=7 (3) 7 第二步, 解(3)得, x= 5 第三步,( 1) ? 2-(2)得 5y=1 (4)
1 第四步, 解(4)得,y= 5 ?x ? 7 ? ? 5 第五步,得到方程组的解 ? ?y ? 1 ? ? 5

探究:写出求解下列方程组的步骤。
? a1 x ? b1 y ? c1 (1) ? ? a2 x ? b2 y ? c2 (2)

? a1b2 ? a2b1 ? 0 ?
(3)

第一步, (1) ? b2 ? (2) ? b 1 得:

? a1b2 ? a2b1 ? x ? c1b2 ? c2b1
第二步,解(3)得
c1b2 ? c2b1 x? a1b2 ? a2b1

第三步, (1) ? a2 ? (2) ? a1 得: ? a2b1 ? a1b2 ? y ? a2c1 ? a1c2 (4) a2 c1 ? a1c2 y? 第四步,解(4)得 c1b2 ? c2b1 ? a2b1 ? a1b2 x? 第五步,得到方程组的解为
? a1b2 ? a2b1 ? ? ? y ? a2 c1 ? a1c2 ? a2b1 ? a1b2 ?

算法的含义
(数学中)算法通常是指按照一定规则解决 某一类问题的明确和有限的步骤.
(广义)完成某项工作的方法和步骤
? 菜谱是做菜的算法; ? 歌谱是一首歌曲的算法; ? 空调说明书是空调使用的算法等

(现代)可以用计算机来解决的一类问题的程序和 步骤.

例题讲解

例1:设计一个算法,判断7是否为质数.
第一步,用2除7,得到余数1,所以2不能整除7. 第二步,用3除7,得到余数1,所以3不能整除7. 第三步,用4除7,得到余数3,所以4不能整除7.

第四步,用5除7,得到余数2,所以5不能整除7.
第五步,用6除7,得到余数1,所以6不能整除7.

因此,7是质数.

例题讲解

例2:设计一个算法,判断35是否为质数.
第一步,用2除35 7 ,得到余数1,所以2不能整除35 7.
35 35 第二步,用3除7 ,得到余数1, 2 所以3不能整除7.

第三步,用4除7 ,得到余数3, 3 所以4不能整除7. 35 35

第四步,用5除 7,得到余数0 2,因为余数为 所以5不能整除 7. 35 0,所以 35
算法结束 第五步,用 6除7,得到余数1,所以6不能整除7. 不是质数

因此,7是质数.

例题讲解

例2:设计一个算法,判断1997是否为质数.
第一步,用2除1997 7 ,得到余数1,所以2不能整除1997 7. 第二步,用3除1997 7,得到余数2 1,所以3不能整除1997 7. 第三步,用4除 7,得到余数1 3,所以4不能整除1997 7. 1997

第四步,用5除7,得到余数2,所以5不能整除7. …….
第1995步,用1996除1997,得到余数1,所以1996不能整 第五步,用6除7,得到余数1,所以6不能整除7. 除1997.所以1997是质数

因此,7是质数.

例题讲解

例2:设计一个算法,判断1997是否为质数.
1997 令i=2 第一步,用 2除7 ,得到余数1,所以2不能整除1997 7. 1997 用 i除 1997 得到余数r; 第二步,用 3除 7,得到余数 1,所以3不能整除1997 7. 2 1 第三步,用 4除 7,得到余数 3,所以4不能整除1997 7. 1997 若r=0 ,则 1997不是质数,算法结束; ……. 否则,给i增加1仍用i来表示;

第四步, 判断 i>1996, 则1997 是质数,否则 第 1995步,用 1996 除1997 ,得到余数 1,所以1996不能整 第五步,用6除7,得到余数1,所以6不能整除7. 除1997.所以 1997 是质数 返回 第二步 .

因此,7是质数.

例题讲解

例2:设计一个算法,判断1997是否为质数.
1997 令i=2 第一步,用 2除7 ,得到余数1,所以2不能整除1997 7. 1997 用 i除 1997 得到余数r; 第二步,用 3除 7,得到余数 1,所以3不能整除1997 7. 2 1 第三步,用 4除 7,得到余数 3,所以4不能整除1997 7. 1997 若r=0 ,则 1997不是质数,算法结束; ……. 否则,给i增加1仍用i来表示;

第四步, 判断 i>1996, 则1997 是质数,否则 第 1995步,用 1996 除1997 ,得到余数 1,所以1996不能整 第五步,用6除7,得到余数1,所以6不能整除7. 除1997.所以 1997 是质数 返回 第二步 .

因此,7是质数.

探究:你能写出“判断整数 n(n ? 2) 是否为质数” 的算法吗? 算法分析:
第一步,给定大于2的整数n。 第二步,令 i ? 2 第三步,用i 除 n,得到余数r。

第四步,判断“r=0”是否成立,若成立,则n不是质数, 结束算法;否则,将i增加 1,仍用 i 表示。 第五步,判断“i >( n - 1)”是否成立,若是,结束 算法;否则,返回第三步

小结:①初值 ②赋值 ③计数

例2: 任意给定一个大于1的整数n,设计一个算 法求出n的所有因数

算法分析:
第一步,给定大于1的整数n。 第二步,令 i ? 1 第三步,用i 除 n,得到余数r。

第四步,判断“r=0”是否成立,若成立,则i是n的因 数,结束算法;否则,将i增加 1,仍用 i 表示。
第五步,判断“i > n”是否成立,若是,结束算法;否 则,返回第三步

例题讲解 例3:用二分法设计一个求方程

的近似解的算法.

思考?
1.“二分法”的基本思想是什么?

把函数f(x)的零点所在的区间[a,b](满足 f(a)· f(b)<0)“一分为二”,得到[a,m]和 [m,b].根据“f(a)· f(m)<0”是否成立,取出零 点所在的区间[a,m]或[m,b],仍记为 [a,b].对所得的区间[a,b]重复上述步骤,直 到包含零点的区间[a,b]“足够小”,则[a,b] 内的数可以作为方程的近似解

第一步,取函数f ( x) ? x ? 2, 给定精确度d.
2

第二步,确定区间[a,b],满足f(a)· f(b)<0.
a+b 第三步,取区间中点 m= . 2

第四步,若f(a)· f(m)<0,则含零点的区间 为[a,m],否则,含零点的区间为[m,b]. 将新得到的含零点的区间仍记为[a,b]; 判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是 第五步,返回第三步 否等于0. 若是,则m是方程的近似 解;否则,返回第三步.

算法的基本特征
?明确性:算法的每一个步骤都是确切的,能 有效执行且得到确定的结果,不能模棱两可。 ?有限性:算法应在有限步内结束,并给出 计算结果。

?顺序性与准确性:算法从初始步骤开始, 分为若干明确的步骤,每一步都只能有一个 确定的继续,只有执行完前一步才能进入到 后一步,并且每一步都确定无误后,才能解 决问题。

?不唯一性:求解某一个问题的算法不一定 是唯一的,对于同一个问题可以有不同的算 法。 ? 普遍性:很多具体的问题,都可以设计 合理的算法去解决某一类问题,如计算器计 算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以 解决。

当堂检测 巩固知识 1.下面能看成算法的是: ( B ) A.张宁数学测试成绩是100分 B.张宁按题号的顺序做完了全部数学测试题 C.张宁上课迟到了 D.今天,张宁因病没有去上学

课后作业 1.下面对算法描述正确的一项是: ( C ) A.求解某一类问题的算法是唯一的 B.一个算法可以无止境地运算下去 C.同一问题可以有不同的算法 D.同一问题的算法不同,结果必然不同 2.下列特征中:①无序性;②有穷性;③确定性;④有 效性。能表示算法特征的有:( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知一个学生的语文、数学、英语成绩分别为89,96, 99,求他的平均分的一个算法为: 第一步,取A=89,B=96,C=99; 第二步, 计算S=A+B+C ; 第三步, 计算P=S/3 ; 第四步,输出计算的结果。

4.任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径 的圆的面积。 算法步骤: 第一步,给定一个正实数r; 2 第二步,计算以r为半径的圆的面积 s ? r ;

?

第三步,输出圆的面积S。 6.一位商人有9枚银元,其中有1枚略轻的是假银元。你 能设计用天平(不用砝码)将假银元找出来的算法吗? 7.两个大人和两个小孩一起渡河,渡口只有一条小船, 每次只能渡1 个大人或两个小孩,他们四人都会划船, 但都不会游泳。试问他们怎样 渡过河去?请写出一个渡 河方案。


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