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高一数学必修三1.1.1算法的概念


1.1算法的概念
算法是计算机工作的 基础,算法的发展推 动了计算机的发展

【学习目标】 1.了解算法的含义,体会算法的思想; 2.能够用自然语言叙述算法; 3.掌握正确的算法应满足的特征。 【学习重点】 算法的含义、解二元一次方程组和判断一 个数为质数的算法设计 【学习难点】 把自然语言转化为算法语言。

算法的数学史

r />算法自古就有,中国古 代数学在世界数学史上一度 占居领先地位.她注重实际 问题的解决,以算法为中心, 寓理于算,其中蕴涵了丰富 的算法思想。算筹是中国古代的计算工具,在 春秋时期已经很普遍,算盘在明代开始盛行。

中国古代涌现了许多著名的数学家,如 三国、两晋的赵爽、刘徽,南北朝的祖冲之、 祖暅父子,宋、元的秦九韶、杨辉、朱世杰 等。 著名的数学专著有《九章算术》、《周 髀算经》、《黄帝九章算法细草》、和《杨 辉算法》等.

随着计算科学和信息技术的飞速发展,算 法思想已经渗透到社会的方方面.在以前的学 习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上

在数学学习中已经渗透了大量的算法思想,如
四则运算的过程、求解方程的步骤等等.完成

这些工作都需要一系列程序化
的步骤,这就是算法的思想.

下述步骤构成了把大象 放进冰箱的算法

第一步、把冰箱门打开 第二步、把大象装进去 第三步、把冰箱门关上
2000年春晚小品《钟点工》

问题:有一个农夫带一条狼、一只羊和一筐白菜 过河。如果没有农夫看管,则狼要吃羊,羊要吃 白菜。但是船很小,只够农夫带一样东西过河。 问农夫该如何解此难题?

解决步骤: 1、带羊到对岸,返回; 2、带菜到对岸,并把羊带回; 3、带狼到对岸,返回; 4、带羊到对岸。

数学中的算法: 按照一定规则解决某一类问题的 明确 和 有限 的步骤。

x ? 2 y ? 1 (1) ? 写出解二元一次方程组 ? 的求解过程, ?2 x ? y ? 3 (2) 并从中理解算法的含义:

x ? 2 y ? 1 (1) ? 3、写出解二元一次方程组 ? 的求解过程, ?2 x ? y ? 3 (2) 并从中理解算法的含义:

第一步,(2) ? 2+( 1)得 5x=7 (3) 7 第二步, 解(3)得, x= 5 第三步,( 1) ? 2-(2)得 5y=1 (4)
1 第四步, 解(4)得,y= 5 ?x ? 7 ? ? 5 第五步,得到方程组的解 ? ?y ? 1 ? ? 5

探究:写出求解下列方程组的步骤。
? a1 x ? b1 y ? c1 (1) ? ? a2 x ? b2 y ? c2 (2)

? a1b2 ? a2b1 ? 0 ?
(3)

第一步, (1) ? b2 ? (2) ? b 1 得:

? a1b2 ? a2b1 ? x ? c1b2 ? c2b1
第二步,解(3)得
c1b2 ? c2b1 x? a1b2 ? a2b1

第三步, (1) ? a2 ? (2) ? a1 得: ? a2b1 ? a1b2 ? y ? a2c1 ? a1c2 (4) a2 c1 ? a1c2 y? 第四步,解(4)得 c1b2 ? c2b1 ? a2b1 ? a1b2 x? 第五步,得到方程组的解为
? a1b2 ? a2b1 ? ? ? y ? a2 c1 ? a1c2 ? a2b1 ? a1b2 ?

算法的含义
(数学中)算法通常是指按照一定规则解决 某一类问题的明确和有限的步骤.
(广义)完成某项工作的方法和步骤
? 菜谱是做菜的算法; ? 歌谱是一首歌曲的算法; ? 空调说明书是空调使用的算法等

(现代)可以用计算机来解决的一类问题的程序和 步骤.

例题讲解

例1:设计一个算法,判断7是否为质数.
第一步,用2除7,得到余数1,所以2不能整除7. 第二步,用3除7,得到余数1,所以3不能整除7. 第三步,用4除7,得到余数3,所以4不能整除7.

第四步,用5除7,得到余数2,所以5不能整除7.
第五步,用6除7,得到余数1,所以6不能整除7.

因此,7是质数.

例题讲解

例2:设计一个算法,判断35是否为质数.
第一步,用2除35 7 ,得到余数1,所以2不能整除35 7.
35 35 第二步,用3除7 ,得到余数1, 2 所以3不能整除7.

第三步,用4除7 ,得到余数3, 3 所以4不能整除7. 35 35

第四步,用5除 7,得到余数0 2,因为余数为 所以5不能整除 7. 35 0,所以 35
算法结束 第五步,用 6除7,得到余数1,所以6不能整除7. 不是质数

因此,7是质数.

例题讲解

例2:设计一个算法,判断1997是否为质数.
第一步,用2除1997 7 ,得到余数1,所以2不能整除1997 7. 第二步,用3除1997 7,得到余数2 1,所以3不能整除1997 7. 第三步,用4除 7,得到余数1 3,所以4不能整除1997 7. 1997

第四步,用5除7,得到余数2,所以5不能整除7. …….
第1995步,用1996除1997,得到余数1,所以1996不能整 第五步,用6除7,得到余数1,所以6不能整除7. 除1997.所以1997是质数

因此,7是质数.

例题讲解

例2:设计一个算法,判断1997是否为质数.
1997 令i=2 第一步,用 2除7 ,得到余数1,所以2不能整除1997 7. 1997 用 i除 1997 得到余数r; 第二步,用 3除 7,得到余数 1,所以3不能整除1997 7. 2 1 第三步,用 4除 7,得到余数 3,所以4不能整除1997 7. 1997 若r=0 ,则 1997不是质数,算法结束; ……. 否则,给i增加1仍用i来表示;

第四步, 判断 i>1996, 则1997 是质数,否则 第 1995步,用 1996 除1997 ,得到余数 1,所以1996不能整 第五步,用6除7,得到余数1,所以6不能整除7. 除1997.所以 1997 是质数 返回 第二步 .

因此,7是质数.

例题讲解

例2:设计一个算法,判断1997是否为质数.
1997 令i=2 第一步,用 2除7 ,得到余数1,所以2不能整除1997 7. 1997 用 i除 1997 得到余数r; 第二步,用 3除 7,得到余数 1,所以3不能整除1997 7. 2 1 第三步,用 4除 7,得到余数 3,所以4不能整除1997 7. 1997 若r=0 ,则 1997不是质数,算法结束; ……. 否则,给i增加1仍用i来表示;

第四步, 判断 i>1996, 则1997 是质数,否则 第 1995步,用 1996 除1997 ,得到余数 1,所以1996不能整 第五步,用6除7,得到余数1,所以6不能整除7. 除1997.所以 1997 是质数 返回 第二步 .

因此,7是质数.

探究:你能写出“判断整数 n(n ? 2) 是否为质数” 的算法吗? 算法分析:
第一步,给定大于2的整数n。 第二步,令 i ? 2 第三步,用i 除 n,得到余数r。

第四步,判断“r=0”是否成立,若成立,则n不是质数, 结束算法;否则,将i增加 1,仍用 i 表示。 第五步,判断“i >( n - 1)”是否成立,若是,结束 算法;否则,返回第三步

小结:①初值 ②赋值 ③计数

例2: 任意给定一个大于1的整数n,设计一个算 法求出n的所有因数

算法分析:
第一步,给定大于1的整数n。 第二步,令 i ? 1 第三步,用i 除 n,得到余数r。

第四步,判断“r=0”是否成立,若成立,则i是n的因 数,结束算法;否则,将i增加 1,仍用 i 表示。
第五步,判断“i > n”是否成立,若是,结束算法;否 则,返回第三步

例题讲解 例3:用二分法设计一个求方程

的近似解的算法.

思考?
1.“二分法”的基本思想是什么?

把函数f(x)的零点所在的区间[a,b](满足 f(a)· f(b)<0)“一分为二”,得到[a,m]和 [m,b].根据“f(a)· f(m)<0”是否成立,取出零 点所在的区间[a,m]或[m,b],仍记为 [a,b].对所得的区间[a,b]重复上述步骤,直 到包含零点的区间[a,b]“足够小”,则[a,b] 内的数可以作为方程的近似解

第一步,取函数f ( x) ? x ? 2, 给定精确度d.
2

第二步,确定区间[a,b],满足f(a)· f(b)<0.
a+b 第三步,取区间中点 m= . 2

第四步,若f(a)· f(m)<0,则含零点的区间 为[a,m],否则,含零点的区间为[m,b]. 将新得到的含零点的区间仍记为[a,b]; 判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是 第五步,返回第三步 否等于0. 若是,则m是方程的近似 解;否则,返回第三步.

算法的基本特征
?明确性:算法的每一个步骤都是确切的,能 有效执行且得到确定的结果,不能模棱两可。 ?有限性:算法应在有限步内结束,并给出 计算结果。

?顺序性与准确性:算法从初始步骤开始, 分为若干明确的步骤,每一步都只能有一个 确定的继续,只有执行完前一步才能进入到 后一步,并且每一步都确定无误后,才能解 决问题。

?不唯一性:求解某一个问题的算法不一定 是唯一的,对于同一个问题可以有不同的算 法。 ? 普遍性:很多具体的问题,都可以设计 合理的算法去解决某一类问题,如计算器计 算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以 解决。

当堂检测 巩固知识 1.下面能看成算法的是: ( B ) A.张宁数学测试成绩是100分 B.张宁按题号的顺序做完了全部数学测试题 C.张宁上课迟到了 D.今天,张宁因病没有去上学

课后作业 1.下面对算法描述正确的一项是: ( C ) A.求解某一类问题的算法是唯一的 B.一个算法可以无止境地运算下去 C.同一问题可以有不同的算法 D.同一问题的算法不同,结果必然不同 2.下列特征中:①无序性;②有穷性;③确定性;④有 效性。能表示算法特征的有:( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知一个学生的语文、数学、英语成绩分别为89,96, 99,求他的平均分的一个算法为: 第一步,取A=89,B=96,C=99; 第二步, 计算S=A+B+C ; 第三步, 计算P=S/3 ; 第四步,输出计算的结果。

4.任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径 的圆的面积。 算法步骤: 第一步,给定一个正实数r; 2 第二步,计算以r为半径的圆的面积 s ? r ;

?

第三步,输出圆的面积S。 6.一位商人有9枚银元,其中有1枚略轻的是假银元。你 能设计用天平(不用砝码)将假银元找出来的算法吗? 7.两个大人和两个小孩一起渡河,渡口只有一条小船, 每次只能渡1 个大人或两个小孩,他们四人都会划船, 但都不会游泳。试问他们怎样 渡过河去?请写出一个渡 河方案。


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