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点到直线的距离公式的七种推导方法


点到直线的距离公式的七种推导方法
湖南省 黄爱民 赵长春

已知点 P( x0 , y0 ) 直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A ? 0, B ? 0) 求点 P 到直线 l 的距离。 (因为 特殊直线很容易求距离,这里只讨论一般直线) 一、 定义法 证:根据定义,点 P 到直线 l 的距离是点 P 到直线 l 的垂线段的长,如图 1

, 设点 P 到直线 l 的垂线为 l ' ,垂足为 Q,由 l ' ? l 可知 l ' 的斜率为

B A

y

B ? l ' 的方程: y ? y0 ? ( x ? x0 ) 与 l 联立方程组 A 2 B x0 ? ABy0 ? AC A2 y0 ? ABx0 ? BC , ) 解得交点 Q( A2 ? B 2 A2 ? B 2

P

l
Q
l'

x
图1

B x0 ? ABy0 ? AC A y0 ? ABx0 ? BC ? x0 ) 2 ? ( ? y0 ) 2 2 2 2 2 A ?B A ?B 2 2 ? A x0 ? ABy0 ? AC 2 ? B y0 ? ABx0 ? BC 2 ?( ) ?( ) A2 ? B 2 A2 ? B 2 A2 ( Ax0 ? By0 ? C ) 2 B 2 ( Ax0 ? By0 ? C ) 2 ( Ax0 ? By0 ? C ) 2 ? ? ? ( A2 ? B 2 ) 2 ( A2 ? B 2 ) 2 A2 ? B 2 | Ax0 ? By0 ? C | ? PQ |? A2 ? B 2 | PQ |2 ? (
2 2

二、 函数法 证:点 P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点 P 到直线 l 的距离。在 l 上取任意点 Q( x, y) 用两点的距离公式有,为了利用条件 Ax ? By ? C ? 0 上式变形一下,配凑系数处理 得:

( A2 ? B 2 )[( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ] ? A2 ( x ? x0 )2 ? B2 ( y ? y0 )2 ? A2 ( y ? y0 )2 ? B2 ( x ? x0 ) 2 ? [ A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 )]2 ? [ A( y ? y0 ) ? B( x ? x0 )]2 ? [ A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 )]2 ? ( Ax0 ? By0 ? C ) 2 ( Ax ? By ? C ? 0) ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2
| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

当且仅当 A( y ? y0 ) ? B(x ? x0) 时取等号所以最小值就是 d ?

三、不等式法 证:点 P 到直线 l 上任意一点 Q ( x, y ) 的距离的最小值就是点 P 到直线 l 的距离。由柯西不 等式: ( A ? B )[( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ] ? [ A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 )] ? ( Ax0 ? By0 ? C)
2 2 2 2 2 2

Ax ? By ? C ? 0,? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2 | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2
P
M

当且仅当 A( y ? y0 ) ? B(x ? x0) 时取等号所以最小值就是 d ? 四、转化法 证:设直线 l 的倾斜角为

?

过点 P 作 PM∥ y 轴交 l 于 M

y

l Q

l y
Q

P
M

x
图2
图3

x

Ax0 ? C Ax Ax ? B ? y C 0 ? C 0 ?| P M ? | |y ?| | 0 | 0 ? b B B 易得∠MPQ= ? (图 2)或∠MPQ= 1800 ? ? (图 3) A2 2 2 在 两 种 情 况 下 都 有 所 以 tan ?MPQ ? tan ? ? 2 B 1 | B| cos ?MPQ ? ? 2 1 ? tan ? A2 ? B 2 Ax ? By0 ? C | Ax0 ? By0 ? C | |B| | PQ |?| PM | cos ?MPQ ?| 0 | ? 2 2 B A ?B A2 ? B 2

( x1 , y1 ) 显然 x1 ? x0 所以 y1 ? ?

五、三角形法 证:P 作 PM∥ y 轴交 l 于 M,过点 P 作 PN∥ 由解法三知 | PM |?|

x 轴交 l 于 N(图 4)

y

P
M

N

Ax0 ? By0 ? C Ax ? By0 ? C | ;同理得 | PN |?| 0 | B A

Q

在 Rt△MPN 中,PQ 是斜边上的高

l

x
图4

? | PQ |?

| PM | ? | PN | | PM |2 ? | PN |2

?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B2

六、参数方程法 证:过点 P( x0 , y0 ) 作直线 l ' : ?

? x ? x0 ? t cos ? 交直线 l 于点 Q。(如图 1) y ? y ? t sin ? 0 ?

由 直 线 参 数 方 程 的 几 何 意 义 知 | t |?| PQ | , 将

l' 代 入

l 得

Ax0 ? At cos? ? By0 ? Bt sin ? ? C ? 0
Ax0 ? By0 ? C | ...........(1) ? A cos ? ? B sin ? 当 l ' ? l 时,我们讨论 ? 与 l 的倾斜角 ? 的关系: A 0 当 ? 为锐角时 ( tan ? ? ? ? 0, 不妨令A>0,B<0 )有 ? ? 90 ? ? (图 2) B tan ? B A cos ? ? ? sin ? ? ? ?? ?? 2 2 2 2 1 ? tan ? A ?B A ? B2 1 |B| ?B sin ? ? cos ? ? ?? ? 2 2 2 1 ? tan ? A ?B A2 ? B 2 A 0 当 ? 为钝角时 ( tan ? ? ? ? 0, 不妨令A>0,B>0 )有 ? ? ? ? 90 (图 3) B
整理后得 | t |?| 得到的结果和上述形式相同,将此结果代入①得

| t |? |

| Ax0 ? By0 ? C | | Ax0 ? By0 ? C | ? 2 2 A B A2 ? B 2 ? | A2 ? B 2 A2 ? B 2

y

P

Q

n
l
图五

七、向量法 ? C ?0 ( A ? 0, B ? 0的 ) 一个法向量 证 : 如 图 五 , 设 直 线 l : A x? B y

x

B n ? (1, ) ,Q 直线上任意一点,则 PQ ? ( x1 ? x0 , y1 ? y0 ) 。从而点 P 到直 A
线的距离为:

| n ? PQ | d? ? |n|

B ( y1 ? y0 ) | | A( x ? x ) ? B( y ? y ) | 1 0 1 0 A ? 2 2 2 B A ?B 1? 2 A | Ax1 ? By1 ? Ax0 ? By0 | | Ax0 ? By0 ? C | P点在直线l上,? Ax1 ? By1 ? C ? 0, 从而d ? ? A2 ? B 2 A2 ? B 2 | x1 ? x0 ?

附: 方案一: 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由 PQ ⊥ l 可知,直线 PQ 的斜率为

B (A≠0) ,根据点斜式 A

y R d Q o S x l P(x0,y0)

写出直线 PQ 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的 坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点 P 到直线 l 的距离为 d
新疆

王新敞
学案

方案二:设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都 相交,过点 P 作 x 轴的平行线,交 l 于点 R( x1 , y0 ) ;作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y2 ) , 由?

? By0 ? C ? Ax0 ? C ? A1 x1 ? By0 ? C ? 0 , y2 ? 得 x1 ? . A B ? Ax0 ? By2 ? C ? 0

所以,|PR|=| x0 ? x1 |=

Ax0 ? By0 ? C A

|PS|=| y0 ? y2 |=

Ax0 ? By0 ? C B
?
新疆 学案

|RS|= PR ? PS
2

2

A2 ? B 2 ×| Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知: AB
王新敞

d ·|RS|=|PR|·|PS|
所以 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2
新疆 学案

可证明,当 A=0 时仍适用

王新敞


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