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2015年春季班高中数学竞赛综合试题


2015cSG? ?n?ù?(? ?g‘).
(§ùJ?:2015cSG?1???? C—(,?H????\1 ?9 ,?m6 ?m?)

1. (20?) a, b, c > 0,??n /ABC ,|^·?ù n?y?:? ? √ 3 3 (a + b)(b + c)(c + a) a √ ≤ 4 ab + bc + ac a+b cyc

?n ? ? √ 3 3 sin A cos B + sin B cos C + sin C cos A ≤ 4 ?(y???=?)

? d . ?…y?ù??

2. (20?)

n ≥ 2?‰?

ê,

S = {ai |ai ≥ 0, i = 1, 2, · · · , n},÷v
n n

i=1 j =1

ai aj ≤ i+j

n

n

i=1 j =1

1 i+j

? ? max ?
ai ∈S i=1 j =1 n n

? ai + aj ? i+j

1

3. (20?)3 n ?.

/ABC ?,eAG, AH ?

? ?,B, C 3AG, AH ? ?? u :P ,? y:AP ? é

? K ? O A ?

?M, N ,LM, N ? O ? ü ^ ? 1AB, AC

4. (20?) m).b

b

n

/ABC ?,÷vAB < AC ,…D, E 3???÷vBD = CE (D3B, E ü:? P D//AE, ∠P AB = ∠EAC , ? y:∠P BA = ∠P CA(?

3?ABC S ? 3 ? :P ?

??[k^Eê‰,XJ??A?‰?5??±)

2

5. (20?)|^·?ù

?{:?¤k

êé(m, n),? (mn ? 1)|(n2 ? n + 1)2

6. (30?) m?‰? ?u1

ê,

ên÷ve?5?:é?? n|(am ? 1)

êa(?np?),÷v

?y: n ≤ 4m(2m ? 1)

7. (30?)

8?S ? {1, 2, · · · , 100},??éS ???ü???
k

?a, b,??3

êk ?S ? ????

ü

??? ?c, d(#N ua?b).?c < d,…a + b = c · d,?8?S ? ??ê

3

8. (30?) a1 , a2 , · · · , an ? ? ? ê

,é z ?k (1 ≤ k ≤ n),ak ∈ {0, 1},X Jak , ak+1 ü ê ? ??#ê ? ???. b1 , b2 , · · · , bn?1 , bk ∈ n /ê ?? d0?1ü ? ê i| ¤

?,Pbk = 0,X Jak , ak+1 ü ê ? ?,Pbk = 1,u ? {0, 1},ù pk = 1, 2, · · · , n ? 1- E ? ? $ ?, L,? ?1=??êi,?ù?êi|¤ n /êL1

4


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