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不等关系与不等式 系统复习


第1课时

不等关系与不等式

温故夯基·面对高考 第 课 时 不 等 关 系 与 不 等 式 考点探究·挑战高考 1

考向瞭望·把脉高考

温故夯基·面对高考

1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a- b<0?a

<b. 2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b?_____; b<a a>c (2)传递性:a>b,b>c?____; (3)加法性质:a>b?a+c___b+c; > a>b,c>d?a+c___b+d; >

(4)减法性质:a>b,c<d?a-c__b-d; > (5)乘法性质:a>b,c>0?ac__bc; > < a>b,c<0?ac__bc; a>b>0,c>d>0?ac__bd; >

1 1 (6)倒数法则:a>b,ab>0? __ ; < a b 1 1 < ,ab>0?a__b;(a,b 同号即可,而不要 > a b 求均大于 0) > (7)乘方性质:a>b>0?an___bn(n∈N,n>1).

思考感悟

1 1 a>b?a<b成立吗?
提示:不成立.只有当a、b同号时才成立.

考点探究·挑战高考

考点突破
用不等式表示不等关系 将实际的不等关系写成对应的不等式时, 应注意实际问题中关键性的文字语言与对

应的数学符号之间的正确转换,这关系到
能否正确地用不等式表示出不等关系.

某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽 车,计划使用不超过1000万元的资金购买单价分 别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车.根据 需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆, 写出满足上述所有不等关系的不等式. 【思路分析】 把握关键点,不超过1000万元, 且A、B两种车型分别至少5辆、6辆,则不等关系 不难表示,同时要注意取值范围.

例1

【解】 设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、 y 辆,

?40x+90y≤1000, ? ?x≥5, 则? ?y≥6, ?x,y∈N*. ?

?4x+9y≤100, ? ?x≥5, 即? ?y≥6, ?x,y∈N*. ?

【名师点评】

注意区分“不等关系”和“不

等式”的异同,不等关系强调的是关系,可用
“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”表示,不

等式则是表现不等关系的式子,对于实际问题
中的不等关系可以从“不超过”、“至少”、

“至多”等关键词上去把握,并考虑到实际意
义.

互动探究 将本例中有关内容作如下修改:计 划使用不少于500万元的资金来购买单价分别 为40万元和90万元的A型和B型汽车且A型汽车 不多于5辆,B型汽车不多于6辆,又该如何表 达不等关系?

解:设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆和 y 辆,则

? ?x≤5 ?y≤6 ?x,y∈N ?

40x+90y≥500

*

? ?x≤5 ,即? y≤6 ? x,y∈N ?

4x+9y≥50

*

不等式的性质

解决与不等式相关的命题真假的判断问题
大致有两个途径,一是根据不等式的性质

进行严格的逻辑推理;再是利用比较法进
行证明,总的原则是:真命题要依据正确

的理论和方法进行论证,假命题可举反例
说明.

例2 (2011 年江门调研)对于实数 a、b、c,判断下

列命题的真假. (1)若 a>b, ac>bc; 则 (3)若 a<b<0,则 a2>ab>b2;
【思路分析】

(2)若 a>b,则 ac2>bc2; 1 1 (4)若 a<b<0,则 > . a b

可利用不等式的性质判断一个命

题为真命题,要说明一个命题为假,可通过举反
例说明.

【解】 (1)因未知 c 的正负或是否为零,无法确定 ac 与 bc 的大小,所以是假命题. (2)因为 c2≥0,所以只有 c≠0 时才能正确.c=0 时, ac2=bc2,所以是假命题. 变式:若 ac2>bc2,则 a>b,命题是真命题. (3)a<b,a<0?a2>ab;a<b,b<0?ab>b2,命题是真 命题. 1 1 (4)由性质定理 a<b<0? > ,命题是真命题. a b

【名师点评】

(1)要注 意不等式性质成立的条 1 1 件.例如,重要结论 a>b,ab>0? < ,不能弱化 a b 1 1 条件得 a>b? < . a b (2)要正确处理带等号的情况.如由 a>b,b≥c 或 a≥b,b>c 均可得出 a>c;而由 a≥b,b≥c 可能 有 a>c,也可能有 a=c,当且仅当 a=b 且 b=c 时,才会有 a=c.

比较实数(或代数式)的大小 (1)作差比较法. 可直接作差或间接作差,作差后要注意变形彻 底,即差式易于与0进行大小比较. (2)作商比较法. 当要比较的式子中含指数时,多用作商法比较, 注意变形以及与1进行比较大小.

例3 已知 a>0,b>0,试比较 a + b 与 a+ b的大小.

b

a

【思路分析】

可利用作差法或作商法进行判断.

a b 【解】 ( + )-( a+ b) b a a a+b b- ab? a+ b? = ab a a+b b-a b-b a = ab



a? a- b?-b? a- b?

ab ? a- b??a-b? ? a+ b?? a- b?2 = = . ab ab ∵a>0,b>0,∴ a+ b>0, ab>0. 又∵( a- b)2≥0(当且仅当 a=b 时等号成立), ? a+ b?? a- b?2 ∴ ≥0. ab a b 即 + ≥ a+ b(当且仅当 a=b 时等号成立). b a

【规律方法】 (1)“作差法”的一般步骤是:① 作差;②变形;③判断符号;④得出结论.用 “作差法”比较两个实数大小的关键是判断差 的正负,常采用配方、因式分解、有理化等方 法.常用的结论有x2≥0,-x2≤0,|x|≥0,- |x|≤0等.当两个式子都为正时,有时也可以先 平方再作差. (2)作商法的一般步骤是: ①作商; ②变形; ③判断商与1的大小; ④得 出结论.

方法感悟 方法技巧 在使用不等式的性质时需要注意的问题 (1)在应用传递性时,如果两个不等式中有 一个带等号而另一个不带等号,那么等号是 传递不过去的,如a≤b,b<c?a<c. (2)在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号 ”,例如当c≠0时,有a>b?ac2>bc2;若无c≠0 这个条件,则a>b?ac2>bc2就是错误结论(当 c=0时,取“=”).(如例2(2))

(3)“a>b?an>bn”成立的条件是“n 为大于 1 的自然 数,b>0”,假如去掉“n 为大于 1 的自然数”这个 条件,取 n=-1,a=3,b=2,那么就会出现“3
-1

1 1 >2 ,即 > ”的错误结论;假如去掉“b>0”这个 3 2
-1

条件,取 a=3,b=-4,n=2,那么就会出现 “32>(-4)2”的错误结论.

失误防范
1.a>b?ac>bc 或 a<b?ac<bc,当 c≤0 时不成立. 1 1 1 1 2.a>b? < 或 a<b? > ,当 ab≤0 时不成立. a b a b 3.a>b?an>bn 对于正数 a、b 才成立. a 4. >1?a>b,对于正数 a、b 才成立. b 5.注意不等式性质中“?”与“?”的区别,如: ?a>b a>b,b>c?a>c,其中 a>c 不能推出? . ?b>c

考向瞭望·把脉高考

考情分析 从近几年的高考试题来看,不等关系,不等式的性 质及应用等是高考的热点,题型既有选择题,又有 填空题,难度为中低档;客观题突出对不等式性质 的灵活运用,与不等式有关的集合的运算,也是常 考题型;主观题注重考查绝对值不等式、不等式性 质的应用,有时考查转化思想、数形结合思想. 预测2012年广东高考仍将以不等关系、不等式性质 及应用为主要考查点,重点考查逻辑推理能力.

真题透析
(2010 年 高 考 广 东 卷 )“x>0” 是 “ x2 >0” 成 立 的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.非充分非必要条件 D.充要条件



3

【解析】 当 x>0 时, x >0 成立;但当 x2>0 时,得 x2>0,则 x>0 或 x<0,此时不能得到 x>0.

3

2

3

【答案】

A

【名师点评】 本题考查了不等式的性质,题目难度较小, 试想“x>0”是“ x3>0”成立的什么条件?

名师预测
1.若 a2<b2,则下列不等式成立的是( ) 1 1 A.a<b B. 2> 2 a b C.|a|<|b| D.以上均不对

答案:C
2.“a+b>2c”的一个充分不必要条件是( A.a>c 或 b>c B.a>c 或 b<c C.a>c 且 b>c D.a>c 且 b<c )

答案:C

3.下列命题中的真命题是( A.若 a>b,c>d,则 ac>bd C.若 a>b,则 a2>b2

) B.若|a|>b,则 a2>b2 D.若 a>|b|,则 a2>b2

答案:D
1 1 4.若 a>b,且 a,b 同号,则 ____ (用不等号“>”或“<” a b 填空).

答案:<

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