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2015届高考数学状元之路二轮复习专题知识突破课件1.1.3函数与方程及函数的应用


第一部分

高考专题串串讲

第一版块

专题知识突破

专题一

集合与常用逻辑用语、
函数与导数、不等式

第三讲

函数与方程及函数的应用

考情分析 真题体验

知识方法 考点串



高频考点 聚焦突破

多维探究 师生共研

考情分析· 真题体验
明确备考方向 实战高考真题

考情剖析 本讲内容是历年高考的重点和热点,对函数与方程的考查主要 体现在以下几个方面:一、找函数零点的个数;二、判断零点的范 围;三、利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或范围,预计 今后高考对函数与方程的考查仍会延续这一命题方向.对函数的实 际应用问题的考查,题目大多以社会实际生活为背景,设问新颖、 灵活、预测今后的高考以求函数的最值为热点.

真题感悟 1.(2013· 重庆卷)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x -c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( A.(a,b)和(b,c)内 )

B.(-∞,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

解析 由已知易得f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,故函数f(x)的两个零 点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
答案 A

2.(2013· 天津卷)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( A.1 C.3 B.2 D.4

)

解析 函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数即为函数y=|log0.5x| 1 与y= 2x 图象的交点个数.在同一直角坐标系中作出函数y=|log0.5x| 1 与y=2x的图象,易知有2个交点.
答案 B

3.(2014· 课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在 唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是( A.(2,+∞) C.(-∞,-2) B.(1,+∞) D.(-∞,-1) )

解析 当a=0时,显然f(x)有2个零点,不符合题意;当a>0 时,f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),易知函数f(x)在(-∞,0)上单调 递增.又f(0)=1,当x→-∞时,f(x)=x2(ax-3)+1→-∞,故不
? ?2 ? 2? 适合题意;当a<0时,f(x)在 ?-∞,a? 上单调递减,在 ?a,0? 上单调 ? ? ? ?

递增,在(0,+∞)上单调递减,只需f

?2? ? ? ?a?

>0就满足题意,由f

? 2? ? ? ? a?

8 12 >0,得 2- 2 +1>0,解得a<-2或a>2(舍去).故a<-2. a a
答案 C

4.(2014· 福建卷)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方 体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平 方米10元,则该容器的最低总造价是________(单位:元).

解析 设底面长为x m,宽为y m,由容积为4,高为1,得底 面积为4,故xy=4.容器的造价S=4×20+(2x+2y)×10≥80+ 40 xy =80+40×2=160,当且仅当x=y=2时,等号成立,故该

容器的最低总造价是160元.
答案 160

5.(2014· 江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时,f(x)=
? 1? 2 ?x -2x+ ? 2? ?

.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10

个零点(互不相同),则实数a的取值范围是________.

解析 作出函数y=f(x)与y=a的图象,根据图象交点个数得 出实数a的取值范围. 作出函数y=f(x)在[-3,4]上的图象,f(-3)=f(-2)=f(-1)= 1 1 f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=2,观察图象可得0<a<2.

答案

? 1? ?0, ? 2? ?

知识方法· 考点串联
连点串线成面 构建知识体系

1.函数零点的求法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (2)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y= f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点.

2.如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,并 且有f(a)· f(b)<0,那么,函数f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈ (a,b),使f(c)=0.特别地: (1)如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,并 且函数f(x)在区间[a,b]上是一个单调函数,那么当f(a)· f(b)<0时, 函数f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的c∈(a,b), 使f(c)=0.

(2)如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,那 么当函数f(x)在区间(a,b)内有零点时不一定有f(a)· f(b)<0,也可能 有f(a)· f(b)>0.例如函数f(x)=x3-5x2+6x在区间[1,4]上有零点2和3, 却有f(1)· f(4)>0. 3.由于函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,所以在研究 方程的有关问题时,如比较方程根的大小、确定方程根的分布、 证明根的存在性等,都可以将方程问题转化为函数问题,借助函 数的零点,结合函数的图象加以解决.

4.用二分法求函数零点的近似值时应注意以下几点 (1)二分法是求图象连续不间断的函数的变号零点的一种算 法,使用二分法求零点需满足:①y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象 连续不间断;②f(a)· f(b)<0,二分法不适合不变号零点的情况. (2)在第一步中要使:①区间长度尽量小;②f(a)、f(b)的值比 较容易计算且f(a)· f(b)<0. (3)根据函数的零点与相应方程的根的关系可知,求函数的零 点与求相应方程的根是等价的.对于求方程f(x)=g(x)的根,可以 构造函数F(x)=f(x)-g(x),函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的 根.

5.解决实际问题的解题过程 (1)对实际问题进行抽象概括:研究实际问题中量与量之间的 关系,确定变量之间的主、被动关系,并用x、y分别表示问题中 的变量. (2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学数学中, 我们建立的函数模型一般都是函数的解析式. (3)求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数式 的结构特点,正确选择函数知识来求得函数模型的解,并将其还 原为实际问题的解.

(4)解析并回答实际问题. 这些步骤用框图表示如下:

高频考点· 聚焦突破
热点题型剖析 构建方法体系

考点一 【例1】

函数零点的判定及应用 则当k>0时,函数y

? ?kx+1,x≤0, (1)若函数f(x)= ? ? ?lnx,x>0,

=f[f(x)]+1的零点个数为( A.1 C.3 B.2 D.4

)

(2)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的 区间是( ) B.(1,2) D.(3,4)

A.(0,1) C.(2,3)

课堂笔记 =t1∈

(1)结合图象分析:当k>0时,f[f(x)]=-1,则f(x) 或f(x)=t2∈(0,1),对于f(x)=t1,存在两个零点

? 1? ?-∞,- ? k? ?

x1,x2;对于f(x)=t2存在两个零点x3,x4,共计存在4个零点.故选 D.

1 1 (2)函数的导数为f′(x)= x ,所以g(x)=f(x)-f′(x)=lnx- x .因 1 为g(1)=ln1-1=-1<0,g(2)=ln2- 2 >0,所以函数g(x)=f(x)- f′(x)的零点所在的区间为(1,2).选B.
答案 (1)D (2)B

[方法规律] 确定函数零点的个数及所在区间的三种方法 (1)直接求零点:令f(x)=0,若能求出解,则有几个解就有几 个零点. (2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是 连续的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调 性)才能确定函数有多少个零点.

(3)数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常 会通过分解转化为两个函数图象,然后数形结合,看其交点的个 数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的 零点.

对点训练 1.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( A.0 C.2 B.1 D.3

)

解析 函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数即为函数 y=2x,y=2-x3在区间(0,1)内的图象的交点个数,作出图象(如图) 即可知两个函数图象在区间(0,1)内有1个交点,故原函数在区间 (0,1)内的零点个数是1.

答案 B

2.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为 ( )
? 1 ? A.?-4,0? ? ? ?1 1? C.?4,2? ? ? ? 1? B.?0,4? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ?

解析 因为f′(x)=e +4>0,f

x

? 1? ?- ? ? 4?

<0,f(0)<0,f

?1? ? ? ?4?

<0,f

? 1? ? ? ? 2?

?3? ?1 1? >0,f?4?>0,由零点存在性定理知f(x)在?4,2?上存在零点,故选C. ? ? ? ?

答案

C

考点二

函数与方程的应用 e2 x

【例2】 已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). (1)若g(x)=m有零点,求实数m的取值范围; (2)确定实数m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实 根.

e2 课堂笔记 (1)∵g(x)=x+ x ≥2 e2=2e(x>0), e2 当且仅当x= x 取等号. ∴当x=e时,g(x)有最小值2e. 因此g(x)=m有零点,只需m≥2e. ∴m∈[2e,+∞). (2)若g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.

e2 如图所示,作出函数g(x)=x+ x (x>0)的大致图象.

∵f(x)=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2,

∴其对称轴x=e,f(x)max=m-1+e2. 若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点, 必须有m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1. 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴实数m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).

[方法规律] 由函数零点的情况求参数值(或取值范围)的方法 (1)利用零点存在性定理及已知条件构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求某函数的值域或最值. (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系,从而构建不等式 (组)求解.

对点训练 3.函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个为正实数的零点,则实 数m的取值范围是( A.(-∞,1] C.(-∞,0)∪(0,1] ) B.(-∞,0]∪{1} D.(-∞,1)

1 解析 当m=0时,x= 2 为函数的零点;当m≠0时,若Δ=0, 即m=1时,x=1是函数唯一的零点,若Δ≠0,显然函数x=0不是 函数的零点,这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2- 2x+1=0有一个正根和一个负根,即mf(0)<0,即m<0.故选B.
答案 B

2 ? ? ,x≥2, 4.已知函数f(x)= ?x 3 ? ??x-1? ,x<2.

若关于x的方程f(x)=k有两

个不同的实根,则实数k的取值范围是________.

解析 f(x)的图象如图所示,由图象可知若使f(x)的图象与y=k 有两个不同交点,则有0<k<1.

答案 (0,1)

考点三

函数模型的实际应用

【例3】 某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这 种食品价格控制在适当范围内,决定给这种食品生产厂家提供政 府补贴,设这种食品的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千 克,根据市场调查,当16≤x≤24时,这种食品日供应量p万千 克、日需量q万千克近似地满足关系:p=2(x+4t-14)(t>0),q= 20 24+8ln x .当p=q时的市场价格称为市场平衡价格.

(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值 域; (2)为使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为多少 元/千克?

课堂笔记 t>0),

20 (1)由p=q得2(x+4t-14)=24+8ln (16≤x≤24, x

13 1 20 即t= 2 -4x+ln x (16≤x≤24). 1 1 ∵t′=-4- x<0,∴t是x的减函数. 13 1 20 1 20 1 5 ∴tmin= - ×24+ln = +ln = +ln ; 2 4 24 2 24 2 6 13 1 20 5 5 tmax= - ×16+ln = +ln , 2 4 16 2 4
?1 5 5 5? ∴值域为?2+ln6,2+ln4?. ? ?

13 1 20 (2)由(1)知t= 2 -4x+ln x (16≤x≤24). 13 1 20 而当x=20时,t= 2 -4×20+ln20=1.5(元/千克), ∵t是x的减函数,∴欲使x≤20,必须t≥1.5(元/千克). 即要使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为1.5元 /千克.

[方法规律]

(1)关于解决函数的实际应用问题,首先要在阅

读上下功夫,一般情况下,应用题文字叙述比较长,要耐心、细 心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后 借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法 及导数法.

对点训练 5.(2014· 湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增 长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均 增长率为( p+q A. 2 C. pq ) ?p+1??q+1?-1 B. 2 D. ?p+1??q+1?-1

解析 设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p +1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则(1+x)2=(p +1)(q+1),解得x= ?p+1??q+1?-1,故选D.
答案 D

6.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特 点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下, 每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/ 立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当 4<x≤20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺氧等 原因,v的值为0千克/年.

(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数表达式; (2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米) 可以达到最大?并求出最大值.



(1)由题意得当 0<x≤4 时,v=2;

当 4<x≤20 时,设 v=ax+b,显然 v=ax+b 在(4,20]内是减函 数, 1 ? ? ?a=-8, ?20a+b=0, 由已知得? 解得? ? 4 a + b = 2 , ? ?b=5, ? 2 1 5 所以 v=-8x+2, 2,0<x≤4, ? ? 故函数 v=? 1 5 - x+ ,4<x≤20. ? ? 8 2

(2)设年生长量为 f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得 f(x)= 2x,0<x≤4, ? ? ? 1 2 5 - x +2x,4<x≤20, ? ? 8 当 0<x≤4 时,f(x)为增函数,故 f(x)max=f(4)=4×2=8; 1 2 5 1 2 1 当 4<x≤20 时,f(x)=- x + x=- (x -20x)=- (x-10)2+ 8 2 8 8 100 8 ,f(x)max=f(10)=12.5. 所以当 0<x≤20 时,f(x)的最大值为 12.5.

即当养殖密度为 10 尾/立方米时, 鱼的年生长量可以达到最大, 最大值为 12.5 千克/立方米.

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交汇点

“图”解函数的零点问题

函数的零点与相应方程的根,函数的图象与 x 轴的交点的 横坐标间有等价关系,所以函数零点问题常转化为两熟悉函数 的图象的交点问题求解. 注意事项:把零点问题转化为图象交点问题求解时,准确 地作出函数的图象是求解关键.

【典例】

已知函数

-x 2 ? ??x +2ax?e ,x<0, f(x)=? ? ?bx,x≥0.

x=- 2是函数 y=f(x)的极值点. (1)求实数 a 的值; (2)若方程 f(x)-m=0 有两个零点,求实数 m 的取值范围.

[规范解答]

(1)当 x<0 时,f(x)=(x2+2ax)e

-x

∴f′(x)=(2x+2a)e-x-(x2+2ax)e-x =[-x2+(2-2a)x+2a]e-x. 由已知, 得 f′(- 2)=0, 即-2+(2-2a)· (- 2)+2a=0, 解得 a=1. (2)由(1)知当 x<0 时,f(x)=(x2+2x)e x,


∴f′(x)=(2-x2)e-x. 当 x≤- 2时, f′(x)<0, f(x)单调递减, f(x)∈[(2-2 2)e , +∞);
2

当 - 2 ≤x<0 时 , f′(x)>0 , f(x) 单调递增, f(x) ∈ [(2 - 2 2)e
2

,0).

①当 b<0 时,f(x)的大致图象如图(1)所示,若方程 f(x)-m =0 有两个不相等的实数根,则 m=0 或 m=(2-2 2)e. 2

图?1?

图?2?

图?3?

②当 b=0 时, f(x)的大致图象(包括 x 轴正半轴)如图(2)所示, 则 m∈((2-2 2)e
2

,0).

③当 b>0 时, f(x) 的大致图象如图 (3)所示,则 m∈ ((2 - 2 2)e
2

,+∞).
2 2 2

综上,当 b<0 时,m=0 或 m=(2-2 2)e;当 b=0 时,m ∈((2-2 2)e ,0);当 b>0,m∈((2-2 2)e ,+∞).

[名师点评]

在解答题中对函数性质的考查主要是利用导数研

究函数的单调性及函数的最值, 对函数单调性的考查侧重于已知函 数的解析式求函数的单调区间, 已知函数在某个区间上的单调性求 参数的取值范围, 已知函数存在单调减区间或单调增区间求参数的 取值范围.函数的单调性与导数的正负有关,函数存在最小值化归 为方程有解问题, 研究函数的零点问题通常利用分离参数的方法以 及数形结合思想. 对于初等函数的综合题,深入研究其特性是高考的热点,导数 作为研究函数性质的重要工具,需要多训练.

高 考 预 测 1.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)对任意的 x 都满足 f(x+1)=- f(x),当-1≤x<1 时,f(x)=x3,若函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 6 个零点,则实数 a 的取值范围是(
? 1? A.?0,5?∪(5,+∞) ? ? ?1 1? C.?7,5?∪(5,7) ? ?

)

? 1? B.?0,5?∪(5,+∞) ? ? ?1 1? D.?7,5?∪[5,7) ? ?

解析 由 f(x+1)=-f(x),得 f(x+2)=f(x),所以函数 f(x) 的周期是 2,由 g(x)=f(x)-loga|x|=0.得 f(x)=loga|x|,分别作出 函数 y=f(x),y=m(x)=loga|x|的图象.因为 m(5)=loga|5|=m(- 5),所以若 a>1,由图象可知要使函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 6 个零点,则满足 m(5)=loga5<1,此时 a>5.若 0<a<1,由图象 可知要使函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 6 个零点,则满足 m(-
? 1? 1 5)=loga5≥-1,此时 0<a≤5,所以实数 a 的取值范围是?0,5? ? ?

∪(5,+∞).

答案 A

2. 设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f′(x) π 是 f(x)的导函数,当 x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π)且 x≠2时,
? π? ?x- ?f′(x)>0.则函数 2? ?

y=f(x)-sinx 在[-2π,2π]上的零点个数为

(

) A.2 C.5 B.4 D.8

解析

? π? ∵?x-2?f′(x)>0,x∈(0,π)且 ? ?

π x≠ , 2

? π? π ∴当 0<x< 时,f′(x)<0,f(x)在?0,2?上单调递减. 2 ? ? ?π ? π 当2<x<π 时,f′(x)>0,f(x)在?2,π?上单调递增. ? ?

∵当 x∈[0,π]时,0<f(x)<1. ∴当 x∈[π,2π],则 0≤2π-x≤π. 又 f(x)是以 2π 为最小正周期的偶函数,

知 f(2π-x)=f(x). ∴x∈[π,2π]时,仍有 0<f(x)<1. 依题意及 y=f(x)与 y=sinx 的性质,在同一坐标系内作 y=f(x) 与 y=sinx 的简图.

则 y=f(x)与 y=sinx 在 x∈[-2π,2π]有 4 个交点. 故函数 y=f(x)-sinx 在[-2π,2π]上有 4 个零点.
答案 B


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