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2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:5-1数列的概念与简单表示法


05 限时规范特训
A级 基础达标 1 . [2014· 绵 阳 调 研 卷 ] 已 知 数 列 {an} 满 足 a1 = 1 , an + 1 =
? ?2an?n为正奇数? ? ,则其前 6 项之和是( ?an+1?n为正偶数? ?

)

A.16 C.33

B.20 D.120


解析:a2=2a1=2,a3=a2+1=3,a4=2a3=6,a5=a4+1=7, a6=2a5=14,所以 S6=1+2+3+6+7+14=33,选 C. 答案:C 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1, 那么 a10=( A. 1 C. 10 ) B. 9 D. 55

解析:a10=S10-S9=(S1+S9)-S9=S1=a1=1,故选 A. 答案:A 2 2 3. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 对任意的 n∈N*有 Sn=3an-3, 且 1<Sk<12,则 k 的值为( A.2 C.3 或 4 ) B.2 或 4 D.6

解析:本题考查等比数列的前 n 项和,考查考生对数列知识的综 2 2 合运用能力,属于中档题.首先要根据 Sn=3an-3,推出数列{an}是 等比数列并求出其通项公式, 然后用前 n 项和公式表达出 Sn, 再对选

项中 k 的值逐一进行验证. 2 2 2 ∵a1=3a1-3,∴a1=-2.∵an+1=Sn+1-Sn=3(an+1-an),∴an+1 =-2an, 数列{an}是以-2 为首项, -2 为公比的等比数列, ∴an=(- 2 2 2)n,Sn=3(-2)n-3.逐一检验即可知 k=4 或 2. 答案:B Sn 4.[2014· 金版原创]设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n, n )(n∈ 1 1 N*)均在函数 y=2x+2的图象上,则 a2014=( A.2014 C.1012 B.2013 D.1011 )

Sn 1 1 1 1 解析:由题意得 n =2n+2,即 Sn=2n2+2n,当 n≥2 时,an=Sn 1 1 1 1 -Sn-1=2n2+2n-[2(n-1)2+2(n-1)]=n;当 n=1 时,a1=S1=1.∴ an=n,故 a2014=2014,选 A. 答案:A 5.在正项数列{an}中,若 a1=1,且对所有 n∈N*满足 nan+1-(n +1)an=0,则 a2014=( A.1011 B.1012 C.2013 D.2014 an+1 n+1 a2 2 解析: 由 a1=1, nan+1-(n+1)an=0 可得 a = n , 得到a =1, n 1 an+1 n+1 a3 3 a4 4 a2 a3 a4 = , = , … , = ,上述式子两边分别相乘得 a2 2 a3 3 an n a1×a2×a3 an+1 n+1 2 3 4 ×…× a =an+1=1×2×3×…× n =n+1,故 an=n,所以 a2014 n )

=2014,故选 D. 答案:D 7 6.[2014· 赤峰模拟]已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)(8)n, 则当 an 取得最大值时,n 等于( A.5 C.5 或 6
? ?an≥an-1, 解析:由题意知? ?an≥an+1, ?

) B.6 D.7

7n 7n ? ??n+2??8? ≥?n+1??8? ∴? 7n 7n ? ? n + 2 ?? ? ≥ ? n + 3 ?? ? 8 8?
? ?n≤6, ∴? ∴n=5 或 6. ?n≥5. ?

-1

, .

+1

答案:C 7.[2014· 北京质检]已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n =an,n∈N*,则 a2009=________;a2014=________. 解析:a2009=a503×4-3=1,a2014=a2×1007=a1007=a4×252-1=0. 答案:1 0 8.在一个数列中,如果?n∈N*,都有 anan+1an+2=k(k 为常数), 那么这个数列叫做等积数列,k 叫做这个数列的公积.已知数列{an} 是等积数列,且 a1=1,a2=2,公积为 8,则 a1+a2+a3+…+a12= ________. 解析:依题意得数列{an}是周期为 3 的数列,且 a1=1,a2=2, a3=4,因此 a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 答案:28

1 9.[2014· 石家庄模拟]数列{an}中,a1=2,前 n 项的和 Sn=n2an, 则 an+1=________. 解析:an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1(n≥2), ∴(n2-1)an=(n-1)2an-1(n≥2), 故 an n-1 = (n≥2), an-1 n+1 an an-1 a2 · · …· · a an-1 an-2 a1 1

∴an= = =

n-1 n-2 1 1 · · …· 3· 2 n+1 n 1 (n≥2), n?n+1?

当 n=1 时,也符合, 1 ∴an+1= . ?n+1??n+2? 1 答案: ?n+1??n+2? 10.[2014· 合肥模拟]已知数列{an}满足:a1=1,2n-1an=an-1(n∈ N*,n≥2). (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于1000? 解:(1)n≥2 时, an 1 =(2)n-1, an-1

an a3 a2 故 an= · …· ·· a an-1 a2 a1 1 1 1 1 11 =(2)n-1· (2)n-2· …· (2)2· (2)

1 =(2)1+2+…+(n-1) 1 ?n-1?n =(2) 2 , 1 当 n=1 时,a1=(2)0=1,即 n=1 时也成立. 1 ?n-1?n ∴an=(2) 2 . (2)∵(n-1)n 在[1,+∞)上单调递增, 1 ?n-1?n ∴(2) 2 在[1,+∞)上单调递减. 当 n≥5 时, ?n-1?n 1 ?n-1?n 1 ≥ 10 , a ≤ n=( ) 2 2 2 1024.

1 ∴从第 5 项开始及以后各项均小于1000. 11.[2014· 海南模拟]设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an
+1

=Sn+3n,n∈N*. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围. 解:(1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n, 即 Sn+1=2Sn+3n, 由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n), 即 bn+1=2bn,b1=S1-3=a-3. 因此,所求通项公式为 bn=b1· 2n-1=(a-3)2n-1,n∈N*.① (2)由①知 Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*, 于是,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1

=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2 =2×3n-1+(a-3)2n-2, an+1-an =4×3n-1+(a-3)2n-2 3 =2n-2· [12(2)n-2+a-3], 3 当 n≥2 时,an+1≥an?12(2)n-2+a-3≥0?a≥-9. 又 a2=a1+3>a1. 所以 a 的取值范围是[-9,+∞). 12.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-n-30. (1)求数列的前三项,60 是此数列的第几项? (2)n 为何值时,an=0,an>0,an<0? (3)该数列前 n 项和 Sn 是否存在最值?说明理由. 解:(1)由 an=n2-n-30,得 a1=1-1-30=-30, a2=22-2-30=-28, a3=32-3-30=-24. 设 an=60,则 60=n2-n-30. 解之得 n=10 或 n=-9(舍去). ∴60 是此数列的第 10 项. (2)令 an=n2-n-30=0, 解得 n=6 或 n=-5(舍去),∴a6=0. 令 n2-n-30>0, 解得 n>6 或 n<-5(舍去). ∴当 n>6(n∈N*)时,an>0.

令 n2-n-30<0,解得 0<n<6, ∴当 0<n<6(n∈N*)时,an<0. (3)Sn 存在最小值,不存在最大值. 1 1 由 an=n2-n-30=(n-2)2-304,(n∈N*) 知{an}是递增数列,且 a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…, 故 Sn 存在最小值 S5=S6,不存在 Sn 的最大值. B级 知能提升 1.[2014· 启东模拟]一函数 y=f(x)的图象在给定的下列图象中, 并且对任意 an∈(0,1),由关系式 an+1=f(an)得到的数列{an}满足 an+
1>an(n∈N *

),则该函数的图象是(

)

解析:由 an+1>an 可知数列{an}为递增数列,又由 an+1=f(an)>an 可知,当 x∈(0,1)时,y=f(x)的图象在直线 y=x 的上方,故选 A. 答案:A n 2.已知数列{an}满足 a1+3a2+32a3+…+3n-1an=3(n∈N*),则 数列{an}的通项公式为________. n 解析:∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=3,则 a1+3a2+32a3+…+

n+1 1 3n-1an+3nan+1= 3 ,两式左右两边分别相减得 3nan+1=3,∴an+1= 3
n+1(n∈N

1

*

1 1 1 ),∴an=3n,n≥2.由题意知 a1=3,符合上式,∴an=3n(n

∈N*). 1 答案:an=3n(n∈N*) 3. [2014· 西安中学月考]已知数列{2n-1· an}的前 n 项和 Sn=9-6n, 则数列{an}的通项公式是________. 解析:当 n=1 时,20· a1=S1=3,∴a1=3. 当 n≥2 时,2n-1· an=Sn-Sn-1=-6. 3 ∴an=- n-2. 2

?3,n=1 ∴数列{an}的通项公式为 an=? 3 - n 2,n≥2 ? 2


.

?3,n=1 答案:an=? 3 - n 2,n≥2 ? 2


Sn 4.设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 n =3n-2. (1)求数列{an}的通项公式; 3 m (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn<20对所 anan+1 有 n∈N*都成立的最小正整数 m. Sn 解:(1)由 n =3n-2,得 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n -5;

当 n=1 时,a1=S1=3×1-2=6-5=1. 所以 an=6n-5(n∈N*). 3 3 1 1 1 (2)由(1)得 bn= = =2( - ), anan+1 ?6n-5?[6?n+1?-5] 6n-5 6n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 故 Tn=2[(1-7)+(7-13)+…+( - )]=2(1- ). 6n-5 6n+1 6n+1 1 1 m 1 m 因此,使得2(1- )<20(n∈N*)成立的 m 必须满足2≤20,即 6n+1 m≥10,故满足要求的最小正整数 m 为 10.


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