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明德中学数学竞赛培训第4讲 高斯函数


第 4 讲 函数 ? x ? 和 ? x?
一、知识要点:
(1) ? x ? 表示实数 x 的整数部分,或者说, ? x ? 是不超过 x 的最大整数,也称为高斯函数. (2) ? x? 表示实数 x 的“小数部分”或者“尾数部分” ,其范围为 0 ? ? x? ? 1 . (3)函数 ? x ? 与 ? x? 的相关性质. (4)勒让德定理

二、例题剖析
例题 1:画出函数 ? x? 与 ? x ? 的图象,并且根据图象给总结出其函数性质. 例题 2:解方程 3x3 ? ? x ? ? 3 . 例题 3:在项数为 1987 的数列 ?
? 12 ? ? 22 ? ?1987 2 ? ,? ,?? ? ? ? ? 中有多少个不同的整数. ?1987 ? ?1987 ? ? 1987 ?
n ?1

例题 4:若 n 是正整数, x ? R ,求证: ? ? x ? ? ? ? nx ? . n? ?
k ?0

?

k?

例题 5:已知 n 为正整数,求证: ? n ? n ? 1? ? ? 4n ? 1? ? ? 4n ? 2 ? ? ? 4n ? 3 ? . ? ? ? ? ? ? ? ? 例题 6:若 n 是正整数,求证:
2 ? 2n? ? 4n .

?1 ? 例题 7:若 x ? R? ,解方程 ? x? ? ? ? ? 1 ,求证: x 不是有理数. ?x?

例题 8:求证:对任意实数 x ,有 ? x? ? ? x ? ? ? ? 2 x? 2? ? 变式:对任意实数 ? , ? ,有 ? 2? ? ? ? 2? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? . 例题 9:求所有正整数 n 使得 min(k 2 ? ?
k?N ?

?

1?

?n? ) ? 1991 . 2 ? ?k ?

例题 10:若实数满足 ? x ? 例题 11:计算和式 ? ?
100

? ?

19 ? ? 20 ? 91 ? ? ? ? ? x ? 100 ? ? ? ? ? x ? 100 ? ? 546 ,求 ?100x ? . 100 ? ? ? ? ?

? 23n ? ? 的值. n ?1 ? 101 ?

三、习题演练
1 1.(2006 年清华大学)(1)求直线 x ? y ? 60 , y ? x , y ? 0 所围成三角形上的整点个数. 2
? y ? 2x ? 1 ? (2)求方程组 ? y ? x 的整数解的个数. 2 ? ? x ? y ? 60 ?

2.(2009 年南京大学)求所有满足 tan A ? tan B ? tan C ? ? tan A? ? ? tan B? ? ? tan C ? 的非直角三角形
?ABC .

3.(2005 年上海交大)对于数列 ?an ? :1,3,3,3,5,5,5,5,5,? 即正奇数 k 的个数有 k 个,是否存 在整数 r , s, t ,使得对于任意的正整数 n ,都有 an ? r ? n ? s ? ? t 恒成立. ? ? 4.已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? x ?? ? 的定义域为 ? 0, 4 ? ,求其值域. ?? ? ?
? ?? 补充题:当 x ? ? 0, ? ,则数 M ? 3cos x ? 3sin x 的整数部分. M ? 3cos x ? 3sin 2
2 2 2 2

x

?

?

5.对于任意正整数 m ,求证: ? 6.设 S ? ?
i ?1 9999

?? x? ? ? x ? ??? ? ? m ? ?m?

1 i ? i ?1

,求 ? S ? .
2005 1 1 , xk ?1 ? xk 2 ? xk , k ? N ? ,求下列和数的整数部分: ? 1 ? xi 2 i ?1

7.数列定义如下: x1 ?
n

8.用 n 和 n 表示 ? ? i ? ? ? i ?1
n ?1 ? ia ? b ? n ? 1 9.设 n 是一个正整数, a 是与 n 互质的正整数, b 是任意正整数,求证: ? ? . ?? n ? 2 i ?0 ?

10.当 x ? ?0,100? 时,函数 f ( x) ? ? x ? ? ? 2 x ? ? ? x ? ? ?3x ? ? ? 4 x ? 的值集的元素个数是多少. ?3 ? 11. 方程 2005 x ? ? x? ?
1 的实数解的个数是多少. 2006

?5 ?

12.若对于任意整数 n , a, b, c 都满足 ? na ? ? ? nb? ? ? nc ? ,证明: a, b, c 中至少有一个是整数. 13. 120! 的末尾的十进制表达式中有多少个 0.


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