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第二章基本初等函数(I)综合测试(一)(人教A版版必修1)


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基本初等函数(I)综合测试(一)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.对任意实数 x ,下列等式恒成立的是( ) .
2 1 1 1 2 1 3 1 1

A.

( x 3 ) 2 ? x 3

B. ( x 2 ) 3 ? x 3

C. ( x 5 ) 3 ? x 5

?

1 3

?

3 5

1

D. ( x

)

? x5

2.函数 f ( x ) ? log a x ( a ? 0, 且 a ? 1) 对任意正实数 x , y 都有( A. f ( xy ) ? f ( x ) f ( y ) C. f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ) 3.设 x ? (lo g 1
2

) .

B. f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) D. f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y )
1 3
?1

1 3

)

?1

? (lo g 1
5

)

,则 x 属于区间(

) .

A. ( ? 2, ? 1)
2

B. (1, 2)
m ?m?2
2

C. ( ? 3, ? 2 )

D. ( 2, 3) ) .

4.如果幂函数 y ? ( m ? 3 m ? 3) x A. ? 1 ? m ? 2 5.化简 A. 4
2

的图象不过原点,则 m 取值是( C. m ? 2 D. m ? 1

B. m ? 1 或 m ? 2 的值等于( C. 12
2

8

10 4

?4

10 11

8 ?4

) . D. 16 ) .

B. 8
2

6.已知 lo g 1 b ? lo g 1 a ? lo g 1 c ,则( A. 2 ? 2 ? 2
b a c

B. 2 ? 2 ? 2
a b

c

B. 2 ? 2 ? 2
c b

a

D. 2 ? 2 ? 2
c a

b

7.已知函数 f (3 x ) ? lo g 2

9x ? 5 2

,那么 f (1) 的值为(
1 2

) .

A. lo g 2
? ?

7
1 ? ?

B. 2

C. 1

D.

1, 3 8.设 a ? ? ? 1, ,? ,则使函数 y ? x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 a 值为(
a

) .

2

A. 1 , 3 9.已知 f ( x ) ? lg A.
xy x? y

B. ? 1 , 1
1? x 1? x

C. ? 1 , 3

D. ? 1 , 1 , 3 ) .
xy x? y

,且 f ( x ) ? f ( y ) ? f ( z ) ,则 z ? (
x? y 1 ? xy

B.

C.

x? y 1 ? xy

D.

10.下列函数中,是偶函数且在区间 (0, ? ? ) 上单调递减的是(

) .

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1

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C. y ? lo g 3 x
2

A. y ? ? 3

|x|

B. y ? x 3
2

D. y ? x ? x

2

11.函数 f ( x ) ? lo g 1 ( x ? 2 x ? 5) 的值域是(
2

) . D. ( ? ? , 2 ] ) .

A. [ ? 2, ? ? )

B. ( ? ? , ? 2 ]

C. (0,1)

12.函数 f ( x ) ? lo g a x ? 1 在 (0,1) 上递减,那么 f ( x ) 在 (1, ?? ) 上(

A.递增且无最大值 B.递减且无最小值 C.递增且有最大值 D.递减且有最小值 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.若集合 M ? { y | y ? 2 } , N ? { y | y ? x } ,则下列结论① M ? N ? {2, 4} ;
x 2

② M ? N ? {4,16} ;③ M ? N ? [0, ? ? ) ;④ M ? N ;⑤ M 的序号为_____________. 14.若 a ? 1, b ? 0 ,且 a ? a
b ?b

N ,其中正确的结论

? 2 2 ,则 a ? a
b

?b

? __________.

15.函数 f ( x ) ?

3x

2

1? 2x

? lg ( 2 x ? 1) 的定义域是__________.

16.若函数 F ( x ) ? (1 ?

2 2 ?1
x

) f ( x ) 是偶函数,且 f ( x ) 不恒为 0 ,则 f ( x ) 是_____函数

(填奇或偶) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)
lg 5(lg 8 ? lg 1 0 0 0 ) ? (lg 2
3

) ? lg
2

1 6

? lg 0 .0 6 ;

18. (本小题满分 12 分) 比较下列各组数的大小:

(1) (

7 4

)

? 0 .1

和 (

7 4

)

? 0 .2



(2) ( ) 和 ( )
6

3 4

1

4 3

?

1 5

; (3) (0 .8) 和 ( )
3

?2

5

?

1 2



19. (本小题满分 12 分)
2 m 已知函数 f ( x ) ? ( m ? 2 m ) x
2

? m ?1

, m 为何值时, f ( x ) 是(1)正比例函数;

(2)反比例函数; (3)二次函数; (4)幂函数. 20. (本小题满分 12 分) 已知 2 ? 256 且 log
x

2

x ?

1 2

,求函数 f ( x ) ? log

x
2

? log

x
2

的最大值和最小值.

2

2

21. (本小题满分 12 分)

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解方程: (1) 9
?x

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(2) 6 ? 4 ? 9 .
x x x

? 2 ?3

1? x

? 27

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? lo g a
x?b x?b
( a ? 0 且 a ? 1, b ? 0 ) .

(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (3)讨论 f ( x ) 在( b ,+ ? ) 上的单调性.

答案与解析: 一、选择题
2 1 1 1 2 1

1.C 对于 A. ( x 3 ) 2 ? x 3 的左边恒为非负,而右边为一切实数;对于 B. ( x 2 ) 3 ? x 3 的 左边恒为非负,而右边为一切实数;对于 D. ( x 2.B 3.D 4.B
? 1 3 ? 3 5 1

)

? x 5 的左边的 x ? 0 .

f ( xy ) ? log a ( xy ) ? log a x ? log a y ? f ( x ) ? f ( y ) .

x ? (lo g 2 3)
2

?1

? (lo g 5 3)

?1

? lo g 3 2 ? lo g 3 5 ? lo g 3 1 0 , log 3 9 ? log 3 10 ? log 3 27 .
2

m ? 3 m ? 3 ? 1 ,得 m ? 1 或 m ? 2 ,再验证 m ? m ? 2 ? 0 .

5.D

8

10 4

?4

10

8 ?4

11

?

2 2

30 12

?2 ?2

20 22

?

2 (1 ? 2 )
20 10

2 (1 ? 2 )
12 10

?

2 ? 16 .
8

6.A 7.C

由已知 b ? a ? c ,因为 y ? 2 在定义域内是单调递增的,所以 2 ? 2 ? 2 .
x
b a c

由 f (3 x ) ? lo g 2

9x ? 5 2

,得 f ( x ) ? lo g 2

3x ? 5 2

? f (1) ? lo g 2

3?5 2

? lo g 2 2 ? 1 .

a 8.A 函数 y ? x 的定义域为 R ,而当 a ? ? 1 时, y ? x

?1

?

1 x

的定义域不为 R ,即

a ? ?1 .

9.B

lg

1? x 1? x

? lg

1? y 1? y

? lg

1? z 1? z



1? x 1? y 1? z (1 ? x )(1 ? y ) 1 ? z ? ? ? ,即 , 1? x 1? y 1? z (1 ? x )(1 ? y ) 1 ? z

(1 ? x )(1 ? y )(1 ? z ) ? (1 ? x )(1 ? y )(1 ? z ) , (1 ? x )(1 ? y ) ? (1 ? x )(1 ? y ) z ? (1 ? x )(1 ? y ) ? (1 ? x )(1 ? y ) z

z ?

(1 ? x )(1 ? y ) ? (1 ? x )(1 ? y ) (1 ? x )(1 ? y ) ? (1 ? x )(1 ? y )

?

2x ? 2y 2 ? 2 xy

?

x? y 1 ? xy



10.A 是偶函数排除了 B,D;在区间 (0, ? ? ) 上单调递减排除了 C.
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11.B
2 2

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1 2 ? 1, lo g 1 ( x ? 2 x ? 5) ? lo g 1 4 ? ? 2 .
2 2 2

x ? 2 x ? 5 ? ( x ? 1) ? 4 ? 4, 而 0 ?

12.A 令 u ? x ? 1 , (0,1) 是 u 的递减区间,即 a ? 1 , (1, ?? ) 是 u 的递增区间, 即 f ( x ) 递增且无最大值. 二、填空题 13.③,⑤ 14. 2 15. ( ?
b

M ? { y | y ? 2 ? 0 }? ( 0? ? N ? { y | y ? x ? 0} ? [0, ? ? ) . , ; )
x 2

(a ? a
1 1 , ) 2 2

?b

) ? (a ? a
2 b

?b

) ? 4 ? 4 ,而 a ? a
2
b

?b

,即 a ? a
b

?b

?0.

由?

?1 ? 2 x ? 0 ?2 x ? 1 ? 0
2 2 ?1
x

? ?

1 2

? x?

1 2



16.奇

令 g (x) ? 1 ?

?

2 ?1
x

2 ?1
x

, g (? x) ?

2 2

?x ?x

?1 ?1

?

1? 2 1? 2

x x

? ? g (x) .

三、解答题 17.解:原式 ? lg 5(3 lg 2 ? 3) ? ( 3 lg 2 ) ? lg 0 .0 1
2

? 3 lg 2 ? lg 5 ? 3 lg 5 ? 3 lg 2 ? 2
2

? 3 lg 2(lg 5 ? lg 2) ? 3 lg 5 ? 2
? 3?2

?1
7 4
7 4
1

18.解:(1) y ? (

) 在 ( ? ? , ? ? ) 上是减函数,又 ? 0.1 ? ? 0.2 ,
x

故(

)

? 0 .1

?(

7 4
1

)

? 0 .2



3 4 ? 4 ? 4 ? 4 x (2) ( ) 6 ? ( ) 6 ,由 y ? ( ) 的单调性可得, ( ) 6 ? ( ) 5 4 3 3 3 3 3 4
1

1

1



即 ( )6 ? ( )
3

4

?

1 5



(3)由 (0.8)

?2

? 1 而( ) 3

5

?

1 2

? 1 ,可知 (0 .8 )

?2

?( ) 3

5

?

1 2



19.解: (1)当 m ? m ? 1 ? 1 ,且 m ? 2 m ? 0 时,即 m ? 1 , f ( x ) 是正比例函数;
2 2

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2

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2

(2)当 m ? m ? 1 ? ? 1 ,且 m ? 2 m ? 0 时,即 m ? ? 1 , f ( x ) 是反比例函数;
?1 ? 2 13

2 2 (3)当 m ? m ? 1 ? 2 ,且 m ? 2 m ? 0 时,即 m ?

, f ( x ) 是二次函数;

(4)当 m ? 2 m ? 1 时,即 m ? ? 1 ?
2

2 , f ( x ) 是幂函数.
1 2 ? lo g 2 x ? 3 , 3 2 ) ?
2

20.解:由 2 ? 2 5 6 得 x ? 8 , lo g 2 x ? 3 ,即
x

f ( x ) ? (lo g 2 x ? 1) ? (lo g 2 x ? 2 ) ? (lo g 2 x ?

1 4

.

当 lo g 2 x ?

3 2

, f ( x ) m in ? ?

1 4



当 lo g 2 x ? 3, f ( x ) m ax ? 2 . 21.解: (1) (3 ) ? 6 ? 3
2 ?x ?x

? 27 ? 0 ,

(3

?x

? 3)(3

?x

? 9) ? 0 ,

?3

?x

?3? 0,
?x

3

?x

? 9 ? 0, 3

?3 ,
2

x ? ?2 .

(2) ( ) ? ( ) ? 1 ,
x x

2 3

4

2 2x x ( ) ? ( ) ?1 ? 0 , 3 3
2 x 2 x ( ) ? 0 ,( ) ? 3 3

9 2

5 ?1 2



x ? lo g 2
3

5 ?1 2



22.解: (1)

x?b x?b

? 0 ,即 ( x ? b )( x ? b ) ? 0 ,而 b ? 0 ,

得 x ? b ,或 x ? ? b , 即 f ( x ) 的定义域( - ? , ? b ) ? ( b , + ? ) ; (2) f ( ? x ) ? lo g a
?x ? b ? lo g a x?b ? lo g a ( x?b x?b )
?1

?x ? b x?b x?b ? ? f (x) , 即 f ( ? x ) ? ? lo g a x?b



得 f ( x ) 为奇函数;
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(3) f ( x ) ? lo g a 令t ? 1 ?
2 x?b x?b x?b

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2b x?b ),

? lo g a (1 ?

,在( b ,+ ? ) 上, t 是减函数,

当 a ? 1 时, f ( x ) 在( b ,+ ? ) 上是减函数, 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在( b ,+ ? ) 上是增函数.

备用题: 1.设 P ? log
4

5 , Q ? log

5

4 , R ? lo g 4 (lo g 5 4 ) ,则(

) . D. R ? P ? Q .

A. R ? Q ? P 1.A

B. P ? R ? Q

C. Q ? R ? P

0 ? Q ? lo g 5 4 ? 1 , R ? lo g 4 (lo g 5 4 ) ? 0 , P ? log 4 5 ? 1 .
2

2.若 lg a , lg b 是方程 2 x ? 4 x ? 1 ? 0 的两个实根,则 (lg A. 2 2.A
(lg a b
2

a b

) 的值等于(

2

) .

B.

1 2
2

C. 4
2

D.
2

1 4

) ? (lg a ? lg b ) ? (lg a ? lg b ) ? 4 lg a lg b ? 2 ? 4 ?
? ?
1

1 2

? 2.

3.若集合 A ? ? y | y ? 3 1 ? x ? , B ? x | y ?
?

?

?

2 x ? 1 ,则集合 A ? B ? _________.

?

3. [ ,1) ? (1, ? ? )
2

1

A ? ( 0 , 1?)
2

?1 , B ? , (? )

1 2

?? , A ? B ? [ [ , )

1 2

,1) ? (1, ? ? ) .

4.函数 y ? x lg( x ?
2

x ? 1) 的奇偶性为(

) . D.不能判断
l g x( ?
2

A.偶函数 4.C 奇函数

B.非奇非偶函数
f (? x) ? x l g ? x ? (
2 2

C.奇函数
x ? 1 ) ? ?x
2

x

? 1 )? ?f. x(

)

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