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高中数学必修一导学案 3.1.2用二分法求方程的近似解教案 新人教版必修1


3.1.2 用二分法求方程的近似解(教学设计)
教学目标: 知识与技能:通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解的常用方法,从中体会 函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用. 过程与方法:能借助计算器用二分法求方程的近似解,并了解这一数学思想,为学习算法做准备. 情感、态度、价值观:体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一. 教学 重点: 重点 通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意 识. 难点 恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的 近似解. 一、复习回础,新课引入: 高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数 y ? f ( x) 的零点(即 f ( x) ? 0 的 根) ,对于 f ( x) 为一次或二次函数,我们有熟知的公式解法(二次时,称为求根公式) . 在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根公式,但对于高于 4 次的函数,类似的努力却一直没有成功,到了 十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式,亦即, 不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于 3 次和 4 次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂, 一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法,这 是一个在计算数学中十分重要的课题. 二、师生互动,新课讲解: 1、二分法: 上节(P88 例 1)课我们已经知道,函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间(2,3)内有零点,问题是:如何找出这个 零点呢?如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.下面 介绍一种求近似解的方法. 我们知道,函数 f ( x) 的图象与直角坐标系中 x 轴交点的横坐标就是方程 f ( x) ? 0 的解,利用上节课 学过的函数 零点存在的条件,我们用逐步逼近的方法,来求方程的近似解. (1)在区间(2,3)内,方程有解,取区间(2,3)中点 2.5; (2)用计算器计算 f (2.5) ? ?0.084 ,因为 f (2.5) ? f (3) ? 0 ,所以零点在区间 (2.5,3) 内; (3)再取区间 (2.5,3) 中 点 2.75,用计算器计算 f (2.75) ? 0.512 ,因为 f (2.5) ? f (2.75) ? 0 ,所以零点在区间

(2.5,2.75) 内.
(4)重复上面的过程,在有限次重复相同步骤后,零点所在区间长度在一定精度控制范围内,零点所在区间内的 任意一点都可以作为函数零点的近似值,特别地,可以将区间端点作为零点的近似值. 本例中,把取中点和判断零点的过程,用表格列出(课本第 89 页表 3-2) .

? 0.01 ,所以,我们可将 x ? 2.53125 作为函 当精确度为 0.01 时,由于 2.5390625 ? 2.53125 ? 0.0078125
数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 零点的近似值,也即方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 根的近似值. 对于在区间 [ a, b] 上连续不断且 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) , 通过不断地把函数 f ( x) 的零点所在的区间 一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection) .

给定精确度 ? ,用二分法求函数 f ( x) 零点近似值的步骤如下: 1)确定区间 [ a, b] ,验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ? ; 2)求区间 ( a, b) 的中点 c ; 3)计算 f (c) ; 4)判断: (1)若 f (c) ? 0 ,则 c 就是函数的零点; (2)若 f (a) ? f (c) ? 0 ,则令 b ? c (此时零点 x0 ? (a, c) ) ; (3)若 f (c) ? f (b) ? 0 ,则令 a ? c (此时零点 x0 ? (c, b) ) . 5)判断:区间长度是否达到精确度 ? ?即若 a ? b ? ? ,则得到零点近似值;否则重复 2——5. 说明:由函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方程的近似解.由于都是重复性的工作,所 以可以通过设计一定的计算程序,借助计算器或计算机完成计算. 例 1(课本 P90 例 2)借助计算器或计算机用二分法求方程 2 ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1 ) .
x

小结: 1) 结论:图象在闭区间 [a , b] 上连续的单调函数 f ( x) ,在 (a , b) 上至多有 一个零点. 2) 函数零点的性质 从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点. 3) 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件 f ( a ) · f (b) ? 0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点. 变式训练 1:求方程 x =2x+1 的一个近似解(精确度 0.1). 解 设 f(x)=x -2x-1. ∵f(2)=-1<0,f(3)=2>0, 2 ∴在区间(2,3)内,方程 x -2x-1=0 有一解,记为 x0. 取 2 与 3 的平均数 2.5,∵f(2.5)=0.25>0, ∴2<x0<2.5; 再取 2 与 2.5 的平均数 2.25, ∵f(2.25)=-0.437 5<0,∴2.25<x0<2.5; 再取 2.25 与 2.5 的平均数为 2.375, f(2.375)=-0.109 4<0, ∴2.375<x0<2.5,再取 2.375 与 2.5 的平均数为 2.437 5, f(2.437 5)=0.066 4>0. ∵|2.375-2.437 5|=0.062 5<0.1, 2 ∴方程 x =2x+1 的一个精确度为 0.1 的近似解可取为 2.437 5. 点评 对于求形如 f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如 F(x)=f(x)-g(x)=0 的方程的近似 解,然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之.
2 2

例 2:已知函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上是连续不断的曲线,判断下列结论,正确的是 ① 若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 ( a, b) 内有且只有一个零点 ② 若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 ( a, b) 内无零点 ③ 若 f ( x ) 在 ( a, b) 内有零点,则 f (a) ? f (b) ? 0 ④ 若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 ( a, b) 内有零点 ⑤ 若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 ( a, b) 内有零点 【解 析】①有条件 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在 ( a, b) 内可能不止一个零点,如 f ( x) ? x3 ? 4x 有(-3,3) 内有三个零点;②在 f (a) ? f (b) ? 0 下函数 f ( x ) 在 ( a, b) 内未必没有零点,如 f ( x) ? x2 ? 4 在(-3,3)内有两个零
2 点; ③ f ( x ) 在 ( a, b) 内有零点, f (a) ? f (b) ? 0 未必成立, 如 f ( x) ? x ? 4 在 (-3, 3) 内有零点, 但 f (?3) f (3) ? 0 ;

④注意端点问题,可能 a , b 恰好使得 f ( x ) =0.本题从多角度、多侧面考查对定理的理解,对培养学生思维的严密性 很有帮助.答案:⑤ 变式训练 2: (课本 P92 习题 3.1 A 组:NO:1)
2 例 3:已知函数 f ( x) ? kx ? 2x ? 1 ,当 k 为何值时,函数 f ( x ) 在 R 上有一个零点?两个零点?无零点?

【解析】 当 k =0时, f ( x ) 是一 次函数,在 R 上有且只有一个零点;当 k ? 0 时, f ( x ) 是二次函数,其零点 个数由 ? 的符号决定.又 ? ? 4 ? 4k ,当 k ? 1 时, ? ? 0 , f ( x ) 无零点;当 k ? 1 时, ? ? 0 , f ( x ) 有一个零点;当

k ? 1, k ? 0 时, ? ? 0 , f ( x) 有两个零点.综上所述,当 k =0或 k ? 1 时,函数有一个零点;当 k ? 1, k ? 0 时,函
数有两个零点;当 k ? 1 时,函数没有零点. 变式训练 3:函数 f ( x) ? x ? ax ? b 的零点是-1和2,求函数 g ( x) ? ax ? bx 的零点.
2 3

解:由已知得 ?1, 2 是方程 x ? ax ? b ? 0 的两根,
2

?1 ? a ? b ? 0 ,解得: a ? ?1, b ? ?2 ?? ?4 ? 2a ? b ? 0
3 2 由 ? x ? 2 x ? 0 得: x( x ? 2) ? 0 ,即 x ? 0 .

故函数 g ( x) 的零点是 0. 三、课堂小结,巩固反思: 1.二分法的理论依据是什么? 二分法的理论依据是:如果函数 f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上连续不断,且 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么一定存在 c ? (a, b) , 使 f (c ) ? 0 .

2.二分法的实施要点是什么? 二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间 [ a, b] 平分为两个小区间,判断哪个小区间内含有零点,再将该小 区间平分,??,通过 n 次的平分、判断,使零点存在于一个长度 l ? 确度的允许范围,于是小区间内的值可作为函数零点的近似值. 四、布置作业: A 组: 1.下列函数中不能用二分法求零点的是(
3

b?a 的小区间.当 n 适当大时, l 满足精 2n

)

A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x C.f(x)=|x| D.f(x)=lnx 答案 C 解析 对于选项 C 而言,令|x|=0,得 x=0, 即函数 f(x)=|x|存在零点; 当 x>0 时,f(x)>0,当 x<0 时,f(x)>0, ∴f(x)=|x|的函数值非负,即函数 f(x)=|x|有零点但零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点. 2.若函数 y=f(x)在 R 上递增,则函数 y=f(x)的零点( B ). A.至少有一个 B.至多有一个 C.有且只有一个 D.可能有无数个 x 3.(2011·新课标全国)在下列区间中,函数 f(x)=e +4x-3 的零点所在的区间为( ). ? 1 ? ? 1? ?1 1? ?1 3? A .?- ,0? B. ?0, ? C.? , ? D.? , ? ? 4 ? ? 4? ?4 2? ?2 4? 1 1 1 1 ?1? 1 ?1? 1 x 解析 因为 f? ?=e +4× -3=e -2<0,f? ?=e +4× -3=e -1>0,所以 f(x)=e +4x-3 的 零点所在的区 4 2 4 4 4 2 2 2 ? ? ? ? 1 1 ? ? 间为? , ?. ?4 2? 答案 C 4.若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,参考数据如下:

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根为 。 (答案:1.437 5 ) 5.若函数 f(x)在(1,2)内有一个零点,要使零点的近似值满足精确度为 0.01,则对区间(1,2)至少二等分( A.5 次 B.6 次 C.7 次 D.8 次

)

1 1 解析:设对区间(1,2)至少二等分 n 次,此时区间长为 1,第 1 次二等分后区间长为 ,第 2 次二等分后区间长为 2, 2 2 1 1 1 第 3 次二等分后区间长为 3, ?, 第 n 次二等分后区间长为 n.依题意得 n<0.01, ∴n>log2100.由于 6<log2100<7, ∴n≥7, 2 2 2 即 n=7 为所求. 答案:C 6 6.[2014·北京卷] 已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)的零点的区间是(

x

)

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,4)

D.(4,+∞)

6 6.C [解析] 方法一:对于函数 f(x)= -log2x,因为 f(2)=2>0,f(4)=-0.5<0,根据零点的存在性定理知选

x

C. 7.方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 在区间上的根必定属于区间( B ) A. (?2,1) B. ( , 4)

5 2

C. (1, )

7 4

D. ( , )

7 5 4 2

8.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

2 的零点所在的大致区间是( C ) x

A. (3,4) B. (2,e) C. (1,2) D. (0,1) 2 9.已知函数 f(x)=x +x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取值范围是________. 2 解析 函数 f(x)=x +x+ a 在(0,1)上递增.由已知条件 f(0)f(1)<0,即 a(a+2)<0,解得-2<a<0. 答案 (-2,0)

B 组:
? ?x +2x-3,x≤0 1.(2010·福建)函数 f(x)=? ?-2+ln x,x>0 ?
2

的零点个数为(

). (提示:作图)

A.3 B.2 C.7 D.0 分析:函数零点的个数?f(x)=0 解的个数?函数图象与 x 轴交点的个数. 解析 法一 由 f(x)=0 得
?x≤0, ? ? 2 ?x +2x-3=0 ?

或?

?x>0, ? ?-2+ln ?

x=0,

解得 x=-3,或 x=e .

2

因此函数 f(x)共有两个零点.


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