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回归分析与独立性检验(精)


回归分析与独立性检验
知识要点及解析 1.函数关系与相关关系的区别? 函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系.
n n

?? 2.回归公式 b

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

? (x ? x)
i ?1 i

n

?

? x y ? nxy
i ?1 n i i

2

?x
i ?1

2 i

? nx 2

3.回归分析的步骤: 4.回归直线的性质 ⑴回归直线 y ?x ? a ? ?b ?过样本点的中心 ?x , y ?

? 个单位. ? 的意义:解释变量 x 每增加一个单位,预报变量 y 就增加 b ⑵回归直线的估计值 b
5.如何衡量模型的拟合效果? 方法 1:在残差图中,残差点比较均匀落在带状水平区域内,说明选用的模型比较合适;带 状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高

?i 的平方和越小,回归模型拟合效果越好. 方法 2:残差平方和:残差 e

方法 3:相关指数 R :

2

R2 ? 1?

? ?y
i ?1 n i ?1

n

i

?i ? ?y ? y?

2

? ?y

其中

2

?0 ? R
2

2

?1

?

i

R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,相关指数 R 越接近于 1(越大),回归模型拟 合效果越好。 例题 1: 在两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同的模型,它们的相关指数 R 如 下,其中拟合效果最好的模型是(
2 2 2

2

) C. 模型 3 的 R =0.50 D. 模型 4 的 R =0.25
2 2

A. 模型 1 的 R =0.98 B. 模型 2 的 R =0.80

例题 2:根据一位母亲记录儿子 3~9 岁身高数据,建立儿子身高(单位:cm)对年龄(单位:岁)

? ? 7.19x ? 73.93 ,若用此方程预测儿子 10 岁时的身高,下列有关叙述正 的线性回归方程 y
确的是( ) A.身高一定为 145.83cm; B.身高大于 145.83cm; C.身高小于 145.83cm; D.身高在 145.83cm 左右 例题 3:下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的 能耗 y(吨标准煤)的几组数据:

?x ? a ? ?b ? ⑴求出线性回归方程 y
⑵已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤,试根据(2)问求出的线性回
1 回归分析与独立性检验(精)

归方程预测(估计)生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5
2

6.独立性检验的定义:利用随机变量 K 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性 检验

n(ad ? bc) 2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

其中 n ? a ? b ? c ? d

7.独立性检验的步骤: ⑴制定判别规则:根据实际问题的需要,确定容许推断 “两个分类变量有关系” 犯错误概率的 上界 ? ,然后查表确定临界值 k 0 ⑵利用公式计算随机变量 K 的观测值 k ⑶如果 K 的观测值 k 很大,说明“X 与 Y 有关系”,观测值 k 很小,说明“X 与 Y 没有关系” 如果 k≥k 0 ,就推断 “X 与 Y 有关系” ,这种推断犯错误的概率不超过 ? ,即有 1 ? ? 的把握认 为“X 与 Y 有关系” 例 1、 针对某地区的一种传染病与饮用水进行抽样调查发现:饮用干净水得病 5 人,不得病 50 人,饮用不干净水得病 9 人,不得病 22 人。 ⑴作出 2×2 列联表 ⑵能否有 90%的把握认为该地区中得传染病与饮用水有关? 例 2、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如 下的列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 10 50 不喜爱打篮球 5 合计
2 2

已右在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . ⑴请将上面的列联表补充完整; ⑵是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; ⑶已知喜爱打篮球的 10 位女生中,A1,A2,A3,A4,A5 还喜欢打羽毛球,B1,B2,B3 还 喜欢打乒乓球,C1,C2 还喜欢踢足球,现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球 的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率。 下面的临界值表供参考:

3 5

p( K 2 ? k )
P

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

2

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