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§1.1.2 弧度制 (1)


身高:2.26米 体重:125千克
1米=3.28043英尺

1千克=0.4536磅
在角度的度量里面, 也有类似的情况,一个 是角度制,另外一种度 量制---弧度制.

一、知识回顾
? 1、角度制的定义
?

规定周角的1/360为1度的角,这种用度作为单位
<

br />来度量角的单位制叫做角度制。

n ? r 2、弧长公式: l ? 180
3、扇形的面积公式:



l

r

S扇形

n? 2 ? R 360

O R

S

l

二、弧度制
1 、弧度制的定义

我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧 度的角,这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫 做弧度制。“弧度”常用“rad”表示,读作弧度。

设弧AB的长为L,
若L=r, L = 1 弧度 则∠AOB=

B O

r

L=r 1弧度 A r

L = 2 弧度 若L=2r,则∠AOB = r

3r

L = 3 弧度 若L=3r,则∠AOB = r
若圆心角∠AOB表示一个负角,且 它所对的弧的长为3r,则∠AOB的弧度 数的绝对值是 L =

3rad

r

L = -3弧度 即∠AOB=- r

r

3,

O

r

A

B

-3弧度
L=3r

3、新知
正角的弧度数 负角的弧度数 零角的弧度数
正角
负角 零角 任意角的集合

正数 负数 零
正数
负数 0 实数集R

4、任一已知角α的弧度数的绝对值

l ? ? r
其中 l 为以角 作为圆心角时所对圆弧的 长,r为圆的半径.

α

1 1 2 S ? lR ? ? R 扇形面积公式: 2 2

l

= |α| r

(弧长计算公式)

5、 弧度与角度的换算

L 若L=2 π r,则∠AOB= = 2π弧度 r
此角为周角 即为360°

L=2 π r

360°= 2π 弧度 180°= π 弧度

O

r

(B) A

180°= 1°× 180
由180°= π 弧度 还可得
π 1°= —— 弧度 ≈ 0.01745弧度 180

180 )°≈ 57.30°= 57°18′ 1弧度 =(—— π

探究一: 探究一 :为什么可以用弧长与其半 为什么可以用弧长与其半 径的比值来度量角的大小呢?即这 B 个比值是否与所取的圆的半径大小 有关呢? L B`
O r R A`


l A

结论:当半径不同时,同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数(这个 常数称为弧度数)

6、角度制与弧度制的比较
引进弧度制后,我们应将它与角度制 进行比较,同学们应明确:①弧度制是以 “弧度”为单位度量角的制度,角度制是 以“度”为单位度量角的制度;②1弧度是 长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 ;③不论是以“弧度”还是以“度”为单 位的角的大小都是一个与半径大小无关的 定值.

三、经典案例
例1:(1)把67°30′化成弧度。
? 1? 解:67 30' ? ? 67 ? ? 2?
? ?

1 3 67 30' ? rad ? 67 ? ?rad 180 2 8
?

?

3 (2)把 —π 弧度化成度。 5
3 3 ? ? ? rad ? ? 180 ? 108 解: 5 5

例2用弧度制表示:
1、终边在x轴上的角的集合 解:?x x ? k? , k ? Z? 2、终边在y轴上的角的集合
? ? 解:? ? x x ? k? ? , k ? Z ? ? 2 ?

3、终边在坐标轴上的角的集合
? ? 解:? ? x x ? k? , 或x ? k? ? , k ? Z ? ? 2 ?

填一填:
度数
弧度 数

注意:
0?

1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
30? 45? 60? 90? 120? 135? 150? 180? 270? 360?

0

? 6

? 4

? 3

? 2? 3? 5? 2 3 4 6

? 3? 2?
2

2、用弧度为单位表示角的大小时, “弧度”二字通常省略不 写,但用“度”(°)为单位不能省略。 3、用弧度为单位表示角时,通常写 成“多少π”的形式。如无 特别要求,不用将π化成小数。


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