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新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)


应用一:求最值 1 例:求下列函数的值域(1)y=3x 2+ 2 2x 1 (2)y=x+

x

解题技巧 技巧一:凑项 例 已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

技巧二:凑系数 例: 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

/>
技巧三: 分离 技巧四:换元

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例:求 y ? x ?1

技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数 f ( x ) ? x ? 例:求函数 y ?

a 的单调性。 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

技巧六:整体代换 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 例:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值 x y

技巧七

例:已知 x,y 为正实数,且 x +

2

y2
2

=1,求 x 1+y

2

的最大值.

技巧八: 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 1

ab

的最小值.

技巧九、取平方 例: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。
2 2

应用二:利用均值不等式证明不等式 例:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?
?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

应用一:求最值

例:求下列函数的值域 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 解:(1)y=3x 2+ 2 ≥2 2x 1 (2)当 x>0 时,y=x+ ≥2 x 1 (2)y=x+

x

1 3x 2· 2 = 2x 1 x· x =2;

6 ∴值域为[

6 ,+∞)

1 1 当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知 x ?

1 x· x

=-2

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5
1 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行拆、凑项, 4x ? 5

解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)

5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?
当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x

技巧二:凑系数 例: 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 解析:由 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积 的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。



,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。

变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

2 3 2x ? 3 ? 2x ? 9 ? 解:∵ 0 ? x ? ∴ 3 ? 2 x ? 0 ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? 2 2 2 ? ?

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ?

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

技巧三: 分离 技巧四:换元

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例:求 y ? x ?1
解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 y? = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t
技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数 f ( x ) ? x ? 例:求函数 y ?

a 的单调性。 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2 解:令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x2 ? 4

1

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数,故 y ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。 技巧六:整体代换 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 例 : 已 知 x ? 0 ,y ? 0, 且

1 t

1 t

1 t

5 。 2

?5 ?2

? ?

1 9 ? ?1 , 求 x ? y 的 最 小 值 错 .解 .: x y

x ? 0, y ? 0 , 且

1 9 ? ?1 , x y

1 9? 9 ? x? y ?? 2 xy ? 12 故 ? ? ?? x ? y? ? 2 ?x y? xy

? x ? y ?min ? 12



错因:解法中两次连用均值不等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在 1 ? 9 ? 2 9 等号成立条
x y xy

件是

1 9 ? 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号 x y

成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解:

? 1 9 ? y 9x 1 9 x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y

当且仅当 技巧七

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
y2
2

例:已知 x,y 为正实数,且 x +

2

=1,求 x 1+y

2

的最大值.

分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 1 2

a 2+b 2
2

。 1+y 2 2· = 2 1 2

同时还应化简

1+y 1 2

2

中 y2 前面的系数为



x 1+y 2 =x

2 x·



y2
2

下面将 x,



y2
2

分别看成两个因式: 1 2 2 y2 2 y2 1 x 2+ + 2 2 3 = = 2 4


2

1 2



y2
2

x 2+( ≤



)2

即x

1+y

2



2 ·x

1 2



y2
2



3 4

技巧八: 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 1

ab

的最小值.

分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性 或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中 既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径 进行。 30-2b 法一:a= , b+1 由 a>0 得,0<b<15 -2t 2+34t-31 16 16 令 t=b+1,1<t<16,ab= =-2(t+ )+34∵t+ ≥2 16

ab=

30-2b

b+1

·b=

-2 b 2+30b

b+1

t

t

t



t

=8

∴ ab≤18

∴ y≥

1 18

当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 2 ab ∴ 30-ab≥2 2 ab

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2

令 u= ∴

ab

则 u2+2

2 u-30≤0, -5 1 18

2 ≤u≤3

2

ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥

点评:①本题考查不等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) 的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式 2

ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围,关键是寻找到 a ? b与ab 之间的关系,由此想到不等式 (a, b ? R ?)

技巧九、取平方

a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将已知条件转换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 2
2 2

例: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 解析:注意到 2 x ? 1 与 5 ? 2 x 的和为定值。

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2 x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2 x ,即 x ?

3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。

应用二:利用均值不等式证明不等式 例:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?
?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

分析:不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又
1 1 ? a b ? c 2 bc ,可由此变形入手。 ?1 ? ? ? a a a a

解:

a、b、c ? R , a ? b ? c ? 1 。?

?

1 2 ac 1 1 1 ? a b ? c 2 bc 2 ab 。同理 ? 1 ? , ?1 ? 。 ?1 ? ? ? b b a a a a c c

上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?
应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y 1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1 ,? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,

?1 ?

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k

应用四:均值定理在比较大小中的应用:

例:若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

.

分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0

Q?

1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2

∴R>Q>P。


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