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北京市2017年春季普通高中会考数学试卷 Word版含解析


北京市 2017 年春季普通高中会考数学试卷(解析版)

一、在每小题给出的四个备选答案中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={﹣1,1},B={1,﹣1,3},那么 A∩B=等于( A.{﹣1} B.{1} C.{﹣1,1} ,那么 C. , C. D. D. ,且 ,那么 x 的值是( ) D.{1,﹣1,3} 等于( ) )

2.已知向量 A. B.

3.已知向量 A.﹣3 B.3

4.某小学共有学生 2000 人,其中一至六年级的学生人数分别为 400,400,400, 300,300,200.为做好小学放学后“快乐 30 分”活动,现采用分层抽样的方法从中 抽取容量为 200 的样本进行调查,那么应抽取一年级学生的人数为( A.120 B.40 C.30 D.20 5.已知点 A(2,m),B(3,3),直线 AB 的斜率为 1,那么 m 的值为( A.1 B.2 C.3 D.4 ) ) )

6.直线 x+2y﹣4=0 与直线 2x﹣y+2=0 的交点坐标是( A.(2,0) 7.已知向量 ( A.1 ) B. C.3 D. B.(2,1) 满足 C.(0,2) ,

D.(1,2) 等于

,且 与 夹角为 30°,那么

8.在△ABC 中,a=2,c=1,∠B=60°,那么 b 等于( A. B. C.1 D.



9.如果直线 l1:2x﹣y﹣1=0 与直线 l2:2x+(a+1)y+2=0 平行,那么 a 等于( A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 的公共点的个数为(



10.当 x∈[0,2π]时,函数 y=sinx 的图象与直线 A.0 B.1 C.2 D.3
-1-



11.已知 f(x)=log3x,f(a)>f(2),那么 a 的取值范围是( A.{a|a>2} B.{a|1<a<2} C. D.



12.不等式组

,表示的平面区域是(



A.

B.

C.

D.

13. A. B.

等于( C. D.



14.给出下面四个命题: ①三个不同的点确定一个平面; ②一条直线和一个点确定一个平面; ③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④两条平行直线确定一个平面. 其中正确的命题是( )

A.① B.② C.③ D.④ 15.在“二十四节气入选非遗”宣传活动中,从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍 一年中时令、气候、物候等方面的变化规律,那么甲同学被选中的概率为( A.1 B. C. D. ) )

16.如果 a+b=1,那么 ab 的最大值是( A. 17. A. B. B. C. 等于( C. D.1 ) D.

18.已知函数

.关于 f(x)的性质,给出下面四个判断:

-2-

①f(x)的定义域是 R; ②f(x)的值域是 R; ③f(x)是减函数; ④f(x)的图象是中心对称图形. 其中正确的判断是( )

A.① B.② C.③ D.④ 19.如果圆 C:(x﹣a)2+(y﹣3)2=5 的一条切线的方程为 y=2x,那么 a 的值为 ( ) B.﹣1 或 4 C.1 或﹣4 D.﹣1 或﹣4

A.4 或 1

20.中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为,到二○二○年全面建 成小康社会, 是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会 提出了全面建成小康社会新的目标要求:经济保持中高速增长,在提高发展平衡 性、包容性、可持续性的基础上,到二○二○年国内生产总值和城乡居民人均收 入比二 0 一 0 年翻一番,产业迈向中高端水平,消费对经济增长贡献明显加大, 户籍人口城镇化率加快提高. 设从二 0 一一年起,城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%.下面给出了依 据“到二 0 二 0 年城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番”列出的关于 p 的四个关系 式: ①(1+p%)×10=2; ②(1+p%)10=2; ③lg(1+p%)=2; ④1+10×p%=2. 其中正确的是( )

A.① B.② C.③ D.④ 21.甲乙两名篮球运动员在 4 场比赛中的得分情况如图所示.v1,v2 分别表示甲、 乙二人的平均得分,s1,s2 分别表示甲、乙二人得分的方差,那么 v1 和 v2,s1 和 s2 的大小关系是( )

-3-

A.v1>v2,s1>s2

B.v1<v2,s1>s2

C.v1>v2,s1<s2

D.v1<v2,s1<s2 )

22.已知直线 m,n,l,平面 α,β.给出下面四个命题:( ① ② ③ ④ 其中正确是( ; ; . ) ;

A.① B.② C.③ D.④ 23.如果关于 x 的不等式 x2<ax+b 的解集是{x|1<x<3},那么 ba 等于( A.﹣81 B.81 C.﹣64 D.64 ) )

24.一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体是(

A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱 25.“远望嵬嵬塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几碗灯? ” 源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》,通过计算得到的答案是 ( A.2 ) B.3 C.4 D.5

二、解答题(共 5 小题,满分 25 分)

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26.(5 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC⊥CB,点 M 和 N 分别是 B1C1 和 BC 的中点. (1)求证:MB∥平面 AC1N; (2)求证:AC⊥MB.

27.(5 分)已知函数 (1)f(0)= ;

,其中 ω>0,x∈R.

(2)如果函数 f(x)的最小正周期为 π,当 28.(5 分)已知数列{an}, (1)判断数列{an}是否为等差数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

时,求 f(x)的最大值. .

29.(5 分)已知点 P(﹣2,2)在圆 O:x2+y2=r2(r>0)上,直线 l 与圆 O 交于 A,B 两点. (1)r= ; ,求直线 l 的方程.

(2)如果△PAB 为等腰三角形,底边

30.(5 分)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的实验:将一块质量 为 7 克的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组 数据, 其中在第 5 分钟末测得未溶解糖块的质量为 3.5 克. 联想到教科书中研究“物 体冷却”的问题,小明发现可以用指数型函数 S=ae﹣kt(a,k 是常数)来描述以上糖 块的溶解过程,其中 S(单位:克)代表 t 分钟末未溶解糖块的质量. (1)a= ;

(2)求 k 的值; (3)设这个实验中 t 分钟末已溶解的糖块的质量为 M,请画出 M 随 t 变化的函数

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关系的草图,并简要描述实验中糖块的溶解过程.

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2017 年北京市春季普通高中会考数学试卷
参考答案与试题解析

一、在每小题给出的四个备选答案中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={﹣1,1},B={1,﹣1,3},那么 A∩B=等于( A.{﹣1} B.{1} C.{﹣1,1} D.{1,﹣1,3} )

【考点】交集及其运算. 【分析】根据交集的定义写出 A∩B 即可. 【解答】解:集合 A={﹣1,1},B={1,﹣1,3}, 那么 A∩B={﹣1,1}. 故选:C. 【点评】本题考查了交集的定义与应用问题,是基础题目.

2.已知向量 A. B.

,那么 C. D.

等于(



【考点】向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义. 【分析】利用向量运算法则求解. 【解答】解: = 故选:C. 【点评】本题考查向量的运算,是基础题,解题时要认真审题,注意向量运算法 则的合理运用. = .

3.已知向量 A.﹣3 B.3 C.

, D.

,且

,那么 x 的值是(



【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.

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【分析】利用向量垂直的性质直接求解. 【解答】解:∵向量 ∴ =3﹣x=0, , ,且 ,

解得 x=3. 故选:B. 【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量垂直 的性质的合理运用.

4.某小学共有学生 2000 人,其中一至六年级的学生人数分别为 400,400,400, 300,300,200.为做好小学放学后“快乐 30 分”活动,现采用分层抽样的方法从中 抽取容量为 200 的样本进行调查,那么应抽取一年级学生的人数为( A.120 B.40 C.30 D.20 【考点】分层抽样方法. 【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论. 【解答】解:∵一年级学生 400 人, ∴ 抽 取 一 个 容 量 为 200 的 样 本 , 用 分 层 抽 样 法 抽 取 的 一 年 级 学 生 人 数 为 , 解得 n=40,即一年级学生人数应为 40 人, 故选:B. 【点评】本题主要考查分层抽样的应用,比较基础. )

5.已知点 A(2,m),B(3,3),直线 AB 的斜率为 1,那么 m 的值为( A.1 B.2 C.3 D.4



【考点】直线的斜率. 【分析】利用直线的斜率公式可得 =1,解方程求得 m 的值.

【解答】解:由于 A(2,m),B(3,3),直线 AB 的斜率为 1, ∴ =1,∴m=2,

故选:B.

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【点评】本题考查直线的斜率公式的应用,是一道基础题.

6.直线 x+2y﹣4=0 与直线 2x﹣y+2=0 的交点坐标是( A.(2,0) B.(2,1) C.(0,2)



D.(1,2)

【考点】两条直线的交点坐标. 【分析】将二直线的方程联立解出即可. 【解答】解:联立 ,解得 x=0,y=2,

直∴线 x+2y﹣4=0 与直线 2x﹣y+2=0 的交点坐标是(0,2). 故选:C. 【点评】正确理解方程组的解与直线的交点的坐标之间的关系是解题的关键.

7.已知向量 ( A.1 ) B.

满足



,且 与 夹角为 30°,那么

等于

C.3

D.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】利用已知条件,通过向量的数量积公式求解即可. 【解答】解:向量 那么 =| || |cos 满足 =2 , =3. ,且 与 夹角为 30°,

故选:C. 【点评】本题考查平面向量的数量积的应用,考查计算能力.

8.在△ABC 中,a=2,c=1,∠B=60°,那么 b 等于( A. B. C.1 D.



【考点】余弦定理. 【分析】由题意和余弦定理列出式子求出 b 的值. 【解答】解:因为在△ABC 中,a=2,c=1,∠B=60°, 所以由余弦定理得,b2=a2+c2﹣2accosB

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=4+1﹣ 解得 b= 故选 B. ,

=3,

【点评】本题考查了余弦定理的简单应用,属于基础题.

9.如果直线 l1:2x﹣y﹣1=0 与直线 l2:2x+(a+1)y+2=0 平行,那么 a 等于( A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2



【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【分析】直接由两直线平行的条件列式求解 a 的值. 【解答】解:∵直线 l1:2x﹣y﹣1=0 与直线 l2:2x+(a+1)y+2=0 平行, ∴a+1=﹣1,解得 a=﹣2. 故选:A. 【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系,关键是熟记由直线的 一般式方程得到直线平行的条件,是基础题.

10.当 x∈[0,2π]时,函数 y=sinx 的图象与直线 A.0 B.1 C.2 D.3

的公共点的个数为(



【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】根据曲线与方程之间的关系,直接作图即可得到结论. 【解答】解:由 y=sinx 与 y= ,如图:

两条曲线的图象的交点个数为 2 个.方程有 2 个解. 故选:C. 【点评】本题主要考查函数交点个数的判断,利用函数和方程之间的关系,直接 进行求解即可,比较基础.

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11.已知 f(x)=log3x,f(a)>f(2),那么 a 的取值范围是( A.{a|a>2} B.{a|1<a<2} C. D.



【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】由题意,f(x)=log3x,函数单调递增,即可得出结论. 【解答】解:由题意,f(x)=log3x,函数单调递增, ∵f(a)>f(2),∴a>2, 故选 A. 【点评】本题考查对数函数的单调性,考查学生的计算能力,比较基础.

12.不等式组

,表示的平面区域是(



A.

B.

C.

D.

【考点】简单线性规划;二元一次不等式(组)与平面区域. 【分析】利用直线确定边界,特殊点判断区域,求解即可. 【解答】解:在判吗直角坐标系中,画出直线 x=1,x+y﹣3=0,x﹣y﹣3=0, 判断(2,0)满足不等式组 所以不等式组不是的可行域为: ,

故选:D.

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【点评】本题主要考查了二元一次不等式表示平面区域的确定,一般是找特殊点 代入进行检验,属于基础试题.

13. A. B.

等于( C. D.



【考点】二倍角的正弦. 【分析】利用二倍角的正弦函数公式,特殊角的三角函数值即可计算得解. 【解答】解: 故选:B. 【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式,特殊角的三角函数值在三角函 数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题. = sin = = .

14.给出下面四个命题: ①三个不同的点确定一个平面; ②一条直线和一个点确定一个平面; ③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④两条平行直线确定一个平面. 其中正确的命题是( )

A.① B.② C.③ D.④ 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①,三个不共线的点确定一个平面,故错; ②,一条直线和直线外一个点确定一个平面,故错; ③,空间两两相交的三条直线,且不能交于同一点,确定一个平面,故错; ④,两条平行直线确定一个平面,正确. 【解答】解:对于①,三个不共线的点确定一个平面,故错; 对于②,一条直线和直线外一个点确定一个平面,故错; 对于③,空间两两相交的三条直线,且不能交于同一点,确定一个平面,故错; 对于④,两条平行直线确定一个平面,正确.

- 12 -

故选:D. 【点评】本题考查了命题真假的判定,属于基础题.

15.在“二十四节气入选非遗”宣传活动中,从甲、乙、丙三位同学中任选两人介绍 一年中时令、气候、物候等方面的变化规律,那么甲同学被选中的概率为( A.1 B. C. D. )

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】先求出基本事件总数 n= m= =3,再求出甲同学被选中包含听基本事件个数

=2,由此能求出甲同学被选中的概率.

【解答】解:在“二十四节气入选非遗”宣传活动中,从甲、乙、丙三位同学中任选 两人介绍一年中时令、气候、物候等方面的变化规律, 基本事件总数 n= =3, =2,

甲同学被选中包含听基本事件个数 m= ∴甲同学被选中的概率 p= = . 故选:D.

【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件 概率计算公式的合理运用.

16.如果 a+b=1,那么 ab 的最大值是( A. B. C. D.1



【考点】基本不等式. 【分析】由于求 ab 的最大值,只考虑 a,b>0 时即可.利用基本不等式的性质即 可得出. 【解答】解:由于求 ab 的最大值,只考虑 a,b>0 时即可. ∵a+b=1,∴ ,解得 ab≤ ,当且仅当 a=b= 时取等号.

那么 ab 的最大值是 .

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故选:B. 【点评】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题.

17. A. B.

等于( C.

) D.

【考点】运用诱导公式化简求值. 【分析】直接利用诱导公式化简求值即可. 【解答】解:由 cos 故选:B. 【点评】本题考查诱导公式的应用,考查计算能力,属于基础题. =cos(672π+ )=cos = .

18.已知函数 ①f(x)的定义域是 R; ②f(x)的值域是 R; ③f(x)是减函数;

.关于 f(x)的性质,给出下面四个判断:

④f(x)的图象是中心对称图形. 其中正确的判断是( )

A.① B.② C.③ D.④ 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】 函数 性质可判定. 【解答】解:函数 的图象可由函数 y= 向右平移一个单位得到,所以值 的图象可由函数 y= 向右平移一个单位得到, 类比 y= 的

域为{y|y≠0};单调减区间为(﹣∞,0),(0,+∞);对称中心为(1,0) 故④正确,故选:D. 【点评】本题考查了函数的定义域、值域、对称性,属于基础题.

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19.如果圆 C:(x﹣a)2+(y﹣3)2=5 的一条切线的方程为 y=2x,那么 a 的值为 ( ) B.﹣1 或 4 C.1 或﹣4 D.﹣1 或﹣4

A.4 或 1

【考点】圆的切线方程. 【分析】由题意,圆心到直线的距离 d= 【解答】解:由题意,圆心到直线的距离 d= ∴a=﹣1 或 4, 故选 B. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,属于中档题. = ,即可求出 a 的值. = ,

20.中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为,到二○二○年全面建 成小康社会, 是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会 提出了全面建成小康社会新的目标要求:经济保持中高速增长,在提高发展平衡 性、包容性、可持续性的基础上,到二○二○年国内生产总值和城乡居民人均收 入比二 0 一 0 年翻一番,产业迈向中高端水平,消费对经济增长贡献明显加大, 户籍人口城镇化率加快提高. 设从二 0 一一年起,城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%.下面给出了依 据“到二 0 二 0 年城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番”列出的关于 p 的四个关系 式: ①(1+p%)×10=2; ②(1+p%)10=2; ③lg(1+p%)=2; ④1+10×p%=2. 其中正确的是( )

A.① B.② C.③ D.④ 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】设从二 0 一一年起,城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%.则由 到二 0 二 0 年城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番,可得:(1+p%)10=2;进 而得到答案.
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【解答】解:设从二 0 一一年起,城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%. 则由到二 0 二 0 年城乡居民人均收入比二 0 一 0 年翻一番,可得: (1+p%)10=2; 正确的关系式为②; 故选:B 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了函数模型的选择与应用, 难度基础

21.甲乙两名篮球运动员在 4 场比赛中的得分情况如图所示.v1,v2 分别表示甲、 乙二人的平均得分,s1,s2 分别表示甲、乙二人得分的方差,那么 v1 和 v2,s1 和 s2 的大小关系是( )

A.v1>v2,s1>s2 【考点】茎叶图.

B.v1<v2,s1>s2

C.v1>v2,s1<s2

D.v1<v2,s1<s2

【分析】由茎叶图先求出平均数,再计算方差. 【解答】解:由茎叶图性质得: V 1= V 2= S 1= S 2= =14, =13, [(9﹣14)2+(13﹣14)2+(14﹣14)2+(20﹣14)2]= [(8﹣13)2+(9﹣13)2+(13﹣13)2+(22﹣13)2]= , .

∴V1>V2,S1<S2. 故选:C. 【点评】本题考查两组数据的平均数和方差的大小的比较,是基础题,解题时要 认真审题,注意茎叶图的性质的合理运用.

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22.已知直线 m,n,l,平面 α,β.给出下面四个命题:( ① ② ③ ④ 其中正确是( ; ; . ) ;



A.① B.② C.③ D.④ 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系; 平面与平面之间的位置关系. 【分析】在①中,m∥β 或 m? β;在②中,m 与 n 相交、平行或异面;在③中, 由线面平行的判定定理知 n∥β;在④中,n∥α 或 n? α. 【解答】解:由直线 m,n,l,平面 α,β,知: 在①中, 在②中, 在③中, 在④中, 故选:C. 【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中 线线、线面、面面间的位置关系的合理运用. m∥β 或 m? β,故①错误; m 与 n 相交、平行或异面,故②错误; ,由线面平行的判定定理知 n∥β,故③正确; n∥α 或 n? α,故④错误.

23.如果关于 x 的不等式 x2<ax+b 的解集是{x|1<x<3},那么 ba 等于( A.﹣81 B.81 C.﹣64 D.64



【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】根据一元二次不等式的解集,利用根与系数的关系求出 a、b 的值,再计 算 ba 的值. 【解答】解:不等式 x2<ax+b 可化为 x2﹣ax﹣b<0,
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其解集是{x|1<x<3}, 那么,由根与系数的关系得 解得 a=4,b=﹣3; 所以 ba=(﹣3)4=81. 故选:B. 【点评】本题考查了一元二次不等式的解集以及指数的计算问题,是基础题目. ,

24.一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体是(



A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱 【考点】简单空间图形的三视图. 【分析】由三视图可得,直观图为正方体中的一个正四面体,即可得出结论. 【解答】解:由三视图可得,直观图为正方体中,面上对角线构成的一个正四面 体, 故选 A. 【点评】本题考查三视图与直观图的转化,考查数形结合的数学思想,比较基础.

25.“远望嵬嵬塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几碗灯? ” 源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》,通过计算得到的答案是 ( A.2 ) B.3 C.4 D.5

【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】设尖头 a 盏灯,根据题意由上往下数第 n 层有 2n﹣1a 盏灯,由此利用等比 数列性质能求出结果.

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【解答】解:由题意设尖头 a 盏灯, 根据题意由上往下数第 n 层有 2n﹣1a 盏灯, 所以一共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381 盏灯, 解得 a=3. 故选:B. 【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际运用,是基础题,解题时要认真 审题,注意等比数列的性质的合理运用.

二、解答题(共 5 小题,满分 25 分) 26.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC⊥CB,点 M 和 N 分别是 B1C1 和 BC 的中点. (1)求证:MB∥平面 AC1N; (2)求证:AC⊥MB.

【考点】直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 【分析】(1)证明 MC1NB 为平行四边形,所以 C1N∥MB,即可证明 MB∥平面 AC1N; (2)证明 AC⊥平面 BCC1B1,即可证明 AC⊥MB. 【解答】证明:(1)证明:在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,因为点 M,N 分别是 B1C1, BC 的中点, 所以 C1M∥BN,C1M=BN. 所以 MC1NB 为平行四边形. 所以 C1N∥MB. 因为 C1N? 平面 AC1N,NB?平面 AC1N, 所以 MB∥平面 AC1N;

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(2)因为 CC1⊥底面 ABC, 所以 AC⊥CC1. 因为 AC⊥BC,BC∩CC1=C, 所以 AC⊥平面 BCC1B1. 因为 MB? 平面 BCC1B1, 所以 AC⊥MB. 【点评】本题考查线面平行的判定,考查线面垂直的判定与性质,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题.

27.已知函数 (1)f(0)= ;

,其中 ω>0,x∈R.

(2)如果函数 f(x)的最小正周期为 π,当

时,求 f(x)的最大值.

【考点】三角函数的最值;三角函数的周期性及其求法. 【分析】(1)直接计算可得结论; (2)求出函数的解析式,再利用三角函数的性质求 f(x)的最大值. 【解答】解:(1) 故答案为: . .…(2 分)

(2)因为 f(x)的最小正周期为 π,ω>0, 所以 所以 因为 所以 可得 所以当 , . . 时,f(x)的最大值是 1.…(5 分) .解得 ω=2. .

【点评】本题考查特殊角三角函数值,考查三角函数的图象与性质,考查学生分 析解决问题的能力,属于中档题.
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28.已知数列{an}, (1)判断数列{an}是否为等差数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 【考点】数列的求和.



【分析】(1)利用等差数列的定义,反例判断即可. (2)通过数列的项数分别求解数列的和即可. 【解答】解:(1)a2﹣a1=1,a8﹣a7=7﹣8=﹣1,数列不是等差数列.…(1 分) (2)解:①当 n≤7 时, ②当 n>7 时, 分) 【点评】本题考查数列求和,等差数列的判断,考查计算能力. = = . = .…(5

29.已知点 P(﹣2,2)在圆 O:x2+y2=r2(r>0)上,直线 l 与圆 O 交于 A,B 两 点. (1)r= 2 ; ,求直线 l 的方程.

(2)如果△PAB 为等腰三角形,底边 【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】(1)利用点 P(﹣2,2)在圆 O:x2+y2=r2(r>0)上,即可求出 r; (2)利用弦长公式,即可求直线 l 的方程. 【解答】解:(1)∵点 P(﹣2,2)在圆 O:x2+y2=r2(r>0)上, ∴r=2 .…(1 分)

(2)因为△PAB 为等腰三角形,且点 P 在圆 O 上, 所以 PO⊥AB. 因为 PO 的斜率 ,

所以可设直线 l 的方程为 y=x+m.

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得 2x2+2mx+m2﹣8=0.△=4m2﹣8×(m2﹣8)=64﹣4m2>0,

解得﹣4<m<4. 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 可得 所以 解得 m=±2. 所以直线 l 的方程为 x﹣y+2=0,x﹣y﹣2=0.…(5 分) 【点评】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题 的能力,属于中档题. . .

30.在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的实验:将一块质量为 7 克 的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据, 其中在第 5 分钟末测得未溶解糖块的质量为 3.5 克.联想到教科书中研究“物体冷 却”的问题,小明发现可以用指数型函数 S=ae﹣kt(a,k 是常数)来描述以上糖块的 溶解过程,其中 S(单位:克)代表 t 分钟末未溶解糖块的质量. (1)a= 7 ;

(2)求 k 的值; (3)设这个实验中 t 分钟末已溶解的糖块的质量为 M,请画出 M 随 t 变化的函数 关系的草图,并简要描述实验中糖块的溶解过程. 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】(1)由题意,t=0,S=a=7; (2)因为 5 分钟末测得未溶解糖块的质量为 3.5 克,可求 k 的值; (3)根据函数解析式可得函数的图象,即可得出结论. 【解答】解:(1)由题意,t=0,S=a=7.…(7 分) (2)因为 5 分钟末测得未溶解糖块的质量为 3.5 克, 所以 3.5=7e﹣5k. 解得 .…(2 分)

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(3)M 随 t 变化的函数关系的草图如图所示.溶解过程,随着时间的增加,逐渐 溶解.

…(5 分)

故答案为:7. 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查指数型函数,属于中档题.

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