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茂名市2015届第二次高考模拟考试(理数)


绝密★启用前

试卷类型:A

茂名市 2015 届第二次高考模拟考试 数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案的序号填在答题卡相应的位置上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要 求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卷的整洁. 考试结束后,将答题卷交回。 参考公式:锥体的体积公式是: V锥体 ?

1 S ? h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高。 3 底

第一部分

选择题(共 40 分)

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 ) 1. 设集合 M ? ?1, 4,5? , N ? ?0,3,5? ,则 M A. ?1, 4? B. ?0,3? 2. 复数 1 ?

N=



). D. ?5? ). D. (?1, ?1)

C. ?0,1,3,4,5?

1 (i 为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标是 ( i3
C. (?1,1)

A. (1,1) B. (1, ?1) 3. 若离散型随机变量 X 的分布列为

则 X 的数学期望 E ( X ) =( A.2

). D.1 ) .

1 B.2 或 2
4 3

1 C. 2
8 3

4. 某三棱锥的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( A.

2 3

B.

C.

D.4

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ? 3 ?
A. -3 A. 2 7. 在△ ABC 中, sin A ? B. -1 B.3 C.13 C.4 D.-5 ). D.5 ). 6. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a2 ? 2 , S4 ? 12 ,则 a3 ? (

).

4 , AB ? AC ? 6 ,则△ ABC 的面积为( 5
1

A.3

B.

12 5

C.6

D.4

8. 若函数 y ? f ( x) 在实数集 R 上的图象是连续不断的,且对任意实数 x 存在常数 t 使得

f (t ? x) ? tf ( x) 恒成立,则称 y ? f ( x) 是一个“关于 t 函数”.现有下列“关于 t 函数” 1 x 的结论:①常数函数是“关于 t 函数”;②“关于 2 函数”至少有一个零点;③ f ( x) ? ( ) 2
是一个“关于 t 函数”.其中正确结论的个数是 A.1 B .2 C.3 ( ). D.0

第二部分
(一)必做题(9~13 题) 9. 不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? 1 的解集为

非选择题(共 110 分)

二、填空题: (考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) .

10. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x >0 时,

1 f ( x) =1+ ( ) x ,则 f (?2) = . 2 11. 如图所示的流程图,若输入 x 的值为 2,则输出 x 的值为 12. 已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x 3 ? ax ? b 相切于点(1,3), 则 b 的值为 .
13. 已知抛物线 y 2 ? 4 x 与双曲线

.

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相 a2 b2

同的焦点 F , O 是坐标原点,点 A 、 B 是两曲线的交点,若

(OA ? OB) ? AF ? 0 ,则双曲线的实轴长为

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都答的,只计算第一题的得分) 。 14. (坐标系与参数方程选做题)已知圆的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? 的距离为 .

? x ? ?2 2 ? t ? ( t 为参数),则圆心到直线 l ? ? y ? 1? t

15. (几何证明选讲选做题)如图, CD 是圆 O 的切线,切点为 C ,点 B
0 在圆 O 上, BC ? 2 3 , ?BCD ? 60 ,则圆 O 的面积为

.

2

三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共 80 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? , ? ? [ ?

?
6

)( A ? 0, ? ? 0) 图象的一部分如图所示. 10 , 13

?

f (3? ?

5? 6 ) ? ,求 sin(? ? ? ) 的值. 2 5

2

,0] , f (3? ? ? ) ?

17. (本小题满分 12 分) 从某企业的某种产品中随机抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分 布直方图: (1)求这 500 件产品中质量指标值落在区间 ? 185 ,205? 内的产品件数; (2)以这 500 件产品的样本数据来估计总体数据,若从该企业的所有该产品中任取 2 件,记产品质量指 标值落在区间 ?215 ,235? 内的件数为 ? ,求随机变量 ? 的概率分布列.

18. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? 平面 PDC ,

PD ? DC ,底面 ABCD 是梯形, AB ∥ DC , AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 (1)求证:平面 PBC ? 平面 PBD ; (2)设 Q 为棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值使得二面角 Q ? BD ? P 为 60? .

19. (本小题满分 14 分)

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)试比较 Tn 与

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且有 Sn ? 1 ? an (n ? N ) , 点 (an , bn ) 在直线 y ? nx 上.
?

n?2 的大小,并加以证明. 2n
3

20. (本小题满分 14 分) 已知中心在原点, 焦点在坐标轴上的椭圆 E :

1 x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 P( 3, ) , 离心率为 , 2 2 a b 2

过直线 l : x ? 4 上一点 M 引椭圆 E 的两条切线,切点分别是 A 、 B . (1)求椭圆 E 的方程; (2)若在椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 上的任一点 N ? x0 , y0 ? 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 .求证:直线 2 a b a b

AB 恒过定点 C ,并求出定点 C 的坐标;
(3)是否存在实数 ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 恒成立?(点 C 为直线 AB 恒过的定点)若存在,求 出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分)

(1)当 a ? 1 时,求函数 g ? x ? 的单调区间;

设函数 f ? x ? ? ln x,

g ? x? ? ? 2 ? a ?? x?1 ? ?2 ?f ? x.

(2)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 是函数 y ? f ? x ? 图象上任意不同的两点,线段 AB 的中点为 C ? x0 , y0 ? ,直 线 AB 的斜率为 k . 证明: k ? f ? ? x0 ? ; (3)设 F ? x ? ? f ? x ? ?

b ?b ? 0 ? ,对任意 x1, x2 ?? 0,2?, x1 ? x2 ,都有 x ?1

F ? x1 ? ? F ? x2 ? ? ?1 ,求实数 b 的取值范围. x1 ? x2

4

数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 A 6 C 7 D 8 B

提示:8. ① ③正确,①对任一常数函数 f ( x) ? a ,存在 t ? 1 ,有 f (1 ? x) ? a

1 ? f ( x) ? a 所以有 f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) ,所以常数函数是“关于 t 函数”②“关于 2 函数”为

f (2 ? x) ? 2 ? f ( x) ,当函数 f ( x) 不恒为 0 时有

f (2 ? x) ? 2 ? 0 ? f (2 ? x) 与 f ( x) 同号 f ( x)

? 定义在实数集 R 上的函数 y ? f ( x) 的图象是连续不断的,? y ? f ( x) 图象与 x 轴无交点,即无零点。
③对于 f ( x ) ? ( ) 设存在 t 使得 f ( t ? x) ? tf ( x),即存在 t 使得 ( )

1 x 1 t?x 1 ? t ( ) x ,也就是存在 t 使得 2 2 2 1 1 1 1 ( )t ? ( ) x ? t ( ) x ,也就是存在 t 使得 ( )t ? t ,此方程有解,所以③正确。 2 2 2 2

二、填空题(本大题每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题后的横线上) 9. ?0,??? ;

10. ?

5 ; 11. 7 ;12. 3; 13. 2 2 ? 2 ; 4

14. 2 ;

15. 4?

提示:13. ? 抛物线 y 2 ? 4 x 与双曲线

x2 y2 ? F 点的坐标为 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F , (1, 0) , a2 b2

? (OA ? OB) ? AF ? 0 ,? AF ⊥ x 轴.设 A 点在第一象限,则 A 点坐标为(1,2)设左焦点为 F ' ,则
FF ' =2,由勾股定理得 AF ' ? 2 2 ,由双曲线的定义可知 2a ? AF ' ? AF ? 2 2 ? 2 .
三、解答题(本大题共 80 分) 16. 解: (1)由图象可知 A ? 2 , …………………………………………………………1 分

3 11? 9 ? T? ?? ? ?, 4 2 2 2? 1 ? T ? 6? ? ?? ? . ………………………3 分 ? 3 1 ? ? f ( x) ? 2 sin( x ? ) . ………………………4 分 3 6 ? 10 5 , ∴ cos ? ? ,………………6 分 (2)∵ f (3? ? ? ) ? 2sin(? ? ) ? 2 cos ? ? 2 13 13 5? 6 3 ) ? 2 sin( ? ? ? ) ? ?2 sin ? ? 又∵ f (3? ? ∴ sin ? ? ? ,……………8 分 2 5 5
∵ ? , ? ? [?

?

2

, 0] ,

5

5 12 ? sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? , 13 13 3 4 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (? ) 2 ? . 5 5
∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ………………………………………10 分

? (?

12 4 5 3 33 ) ? ? ? (? ) ? ? . ………………………………12 分 13 5 13 5 65

17. 解: (1)产品质量指标值落在区间 ? 185 ,205? 内的频率为(0.022+0.033)×10=0.55 ∴质量指标值落在区间 ? 185 ,205? 内的产品件数为 0.55×500=275 …………………4 分 (2)根据样本频率分布直方图,每件产品质量指标值落在区间 ?215 ,235? 内的概率为 0.1, …………………………………………………………………………………6 分 由题意可得: ? ~B(2,0.1) ∴ P(? ? 0) ? c2 0.9 ? 0.81 ,
0 2

P(? ? 1) ? c1 2 0.1? 0.9 ? 0.18 ,
2 P(? ? 2) ? c2 0.12 ? 0.01 .

∴ ? 的概率分布列为

?
P

0 0.81

1 0.18

2 0.01 …………………………12 分

18. (1)证明:∵ AD ? 平面 PDC , PD ? 平面PCD, DC ? 平面PDC ∴ AD ? PD, AD ? DC 在梯形 ABCD 中,过点作 B 作 BH ? CD于H , 在 ?BCH 中, BH ? CH ? 1,??BCH ? 45?. 又在 ?DAB 中, AD ? AB ? 1,??ADB ? 45?.

??BDC ? 45?, ??DBC ? 90?? BC ? BD .……3 分

PD ? AD, PD ? DC, AD DC ? D .

AD ? 平面ABCD, DC ? 平面ABCD. ? PD ? 平面ABCD, BC ? 平面ABCD,? PD ? BC, BD PD ? D, BD ? 平面PBD, PD ? 平面PBD . ? BC ? 平面PBD,
………………………………………………………………………6 分 ……………………………5 分

BC ? 平面PBC,?平面PBC ? 平面PBD …………………………………………7 分
(2)法一:过点Q 作QM ∥BC 交PB 于点M ,过点M 作MN 垂直于BD 于点N ,连QN . ……8 分 由(1)可知 BC ? 平面 PDB ,? QM ? 平面 PDB ,? QM ? BD ,? QM
6

MN ? M

? BD ? 平面 MNQ ,? BD ? QN ,
??QNM 是二面角 Q ? BD ? P 的平面角,
??QNM ? 60?
…………………10 分

? PQ ? ? PC
?

?

PQ ? ? ? QM ‖ BC , PC

PQ QM PM ? ? ?? PC BC PB

? QM ? ?BC ,

由(1)知 BC = 2 ,?QM ?

2? ,又? PD ? 1
? MN ? BM PB ? PM PM ? ?1? ?1? ? PB PB PB
……12 分

? MN ∥PD
? tan ?MNQ ?

?

MN BM ? PD PB

QM MN

?

2? ? 3, 1? ?

?? ? 3 ? 6 . …………………………………14 分
(2)法二:以 D 为原点, DA, DC , DP 所在直线为

x, y, z 轴建立空间直角坐标系 (如图)
则 P ? 0,0,1?,C ? 0,2,0?,A?1,0,0?,B ?1,1,0? . 令 Q ? x0 , y0 , z0 ? ,则

PQ ? (x0,y0 , z0 ?1 ), PC ? (0,2, ?1 )
(0, 2? ,1 ? ?) . ?Q?

P Q? ? P C ,? ( 0, x 0, y 0? z) 1? ? ( 0 ,? 2) , 1

………………………………………………………………9 分

BC ? 平面 PBD , ? n ? 是平面 PBD 的法向量. ……………………10 分 (? 1,1,0)
设平面 QBD 的法向量为 m ? . (x,y,z)

?x ? ? y ? ?x ? y ? 0 ?n ? DB ? 0 ? 则? ,即 ? 即 ? . 2? 2 ? y ? (1 ? ? ) z ? 0 z ? y n ? DQ ? 0 ? ? ? ? ? ?1 ?
令 y ? 1 ,得 m ? ? ?1,1,

? ?

2? ? ? ?1 ? ?

………………………………………………………12 分

二面角 Q ? BD ? P 为 60 ? , ∴ cos m, n ?

? ?

m?n m n

?

2 ? 2? ? 2? 2?? ? ? ? ?1 ?
2

?

1 解得 ? ? 3 ? 6 , 2

Q 在棱 PC 上, 0 ? ? ?????? ? ?? 6 为所求. …………………………………14 分
19. 解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? s1 ? 1 ? a1 , 解得: a1 ?
7

1 2

………………………………1 分

当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (1 ? an ) ? (1 ? an?1 ) , 则有 2an ? an?1 ,即: ∴ ?an ? 是以 a1 ?

an 1 ? an ?1 2

1 1 为首项, 为公比的等比数列. …………………………………3 分 2 2
………………………………………………………………4 分

∴ an ? ? ? (n ? N * ) .

?1? ?2?

n

(2) ∵点 (an , bn ) 在直线 y ? nx 上

n . …………………………………………………5 分 2n 1 2 3 n 1 1 2 3 n 因为 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ①,所以 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ?1 ②. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 由①-②得, Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 1 1? n 1 1 1 n 2 ? n ? 2 ? n ? 2 . ……………8 分 所以 Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? ??? ? n ?1 ? n ? 1 2n 2 2 2 2 2n 1? 2
∴ bn ? nan ? 因为 Tn ?

n?2 2(n ? 2) 2 2n ? (n ? 2) ? 2 ? ? 2n 2n 2n

?

?

所以确定 Tn 与

n?2 n 的大小关系等价于比较 2 与 n ? 2 的大小. ………………9 分 n 2
当 n ? 2 时, 2 ? 2 ? 2 ;
2

当 n ? 1 时, 2 ? 1 ? 2 ;
1

当 n ? 3 时, 2 ? 3 ? 2 ;
3 n

当 n ? 4 时, 2 ? 4 ? 2
4

可猜想当 n ? 3 时, 2 ? n ? 2 ……………………………………………………10 分
0 1 n?1 n 证明如下:当 n ? 3 时, 2n ? (1 ?1)n ? Cn ? Cn ???? ? Cn ? Cn

0 1 n ?C n ?Cn ? Cn ? n ? 2 . ……………………………………13 分 n?2 综上所述, 当 n ? 1 时, Tn ? ; 2n n?2 当 n ? 2 时, Tn ? ; 2n n?2 当 n ? 3 时, Tn ? . ……………………………………………14 分 2n

( 3) 2 3 ) ,可得 2 ? 20、解: (1)由椭圆 E 过点 P( 3, a 2


(

3 2 ) 2 ? 1 ……………………1 分 b2

c 1 ? , b2 ? c 2 ? a 2 a 2

………………………………………………………………2 分 ……………………………………………………………………3 分
8

解得: a ? 2, b ? 3 .

x2 y2 ? ? 1 . …………………………………………………………4 分 所以椭圆 E 方程为 4 3
(2)证明:设切点坐 标为 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ?4, t ? ,

x1 x y1 y x x y y ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 …………………………………5 分 4 3 4 3 t t 又因为两切线均过点 M ,则 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ……………………………6 分 3 3 t 即点 A, B 的坐标都适合方程 x ? y ? 1 ,而两点确定唯一的一条直线, 3
则切线方程分别为 故直线 AB 的方程是 x ?

t y ? 1 …………………………………………………………7 分 3
……8 分

显然对任意实数 t ,点(1,0)都适合这个方程,故直线 AB 恒过定点 C ?1,0? (3)将直线 AB 的方程 x ? ?
2

t y ? 1 ,代入椭圆方程,得 3

? t2 ? 2 ? t ? 2 ? 4? 3? ? y ? 1? ? 4 y ? 12 ? 0 ,即 ? ? ? y ? 2ty ? 9 ? 0 ,………………………9 分 ? 3 ? ?3 ?
所以 y1 ? y2 ?

6t ? 27 , y1 y2 ? 2 t ? 12 t ? 12
2

………………………………………………10 分

不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0 , 因为 AC ?

?x1 ? 1?2 ? y12

? t2 ? 2 t2 ? 9 t2 ? 9 ? ? ? ? 1 y ? y ,同理 BC ? ? y2 ……11 分 1 ?9 ? 1 3 3 ? ?

?1 1 ? 3 y ?y 1 1 3 3 ? 所以 ? ? ?? ? ? ? ? 2 1 ?? AC BC t2 ? 9 t 2 ? 9 ? y1 y2 ? t 2 ? 9 y1 y2
108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ? 27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 2 t ? 12
2

? y2 ? y1 ?
y1 y2

2

…12 分

4 AC ? BC ………………………………………………………13 分 3 4 故存在实数 ? ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 恒成立. ………………………14 分 3
即 AC ? BC ? 21、解: (1)当 a ? 1 时, g ? x ? ? x ?1 ? 2ln x ,定义域为 ?0,???

g?? x? ? 1?

2 x?2 ? x x

………………………………………………………2 分

当 x ? ? 0,2? 时, g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减; 当 x ? ? 2, ??? 时, g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增, 综上, g ? x ? 的单调递增区间为 ? 2, ??? ,单调递减区间为 ? 0, 2 ? …………… 4 分
9

(2)证明: k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ,……………………………………………………5 分 ? x2 ? x1 x2 ? x1

又 x0 ?

x1 ? x2 1 2 ,所以 f ? ? x0 ? ? ? ln x ?? ,……………………………6 分 ? ? 2 x0 x1 ? x2 x ? x0

要证 k ? f ? ( x0 ) , 即证

ln x2 ? ln x1 2 , ? x2 ? x1 x1 ? x2

?x ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? x2 ? x1 ? x ? x1 ? , 不妨设 0 ? x1 ? x2 ,即证 ln x2 ? ln x1 ? ,即证 ln 2 ? x2 x1 x1 ? x2 ?1 x1
设t ?

2 ? t ? 1? 4 x2 ? 2? , …………………………………………7 分 ? 1 ,即证: ln t ? t ?1 t ?1 x1

4 ? 2 ? 0 ,其中 t ? ?1, ??? , t ?1 4 ? 2 ? t ? ?1, ?? ? ? , 事实上:设 k ? t ? ? ln t ? t ?1
也就是要证: ln t ?

? t ? 1? ? 4t ? ? t ? 1? ? 0 , 1 4 ? 则 k? ?t ? ? ? 2 2 2 t ? t ? 1? t ? t ? 1? t ? t ? 1?
2 2

所以 k ? t ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,因此 k ?t ? ? k ?1? ? 0 ,即结论成立. ………………9 分 (3)由题意得

F ? x1 ? ? x1 ? ? F ? x2 ? ? x2 ? F ? x1 ? ? F ? x2 ? ? 1 ? 0 ,即 ? 0, x1 ? x2 x1 ? x2
b ?x, x ?1

若设 G ? x ? ? F ? x ? ? x ,则 G ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递减,…………………………………10 分 ①当 x ??1, 2? 时, G ? x ? ? ln x ?

G? ? x ? ?

1 b ? ?1 ? 0, x ? x ? 1?2
2

b?

? x ? 1?
x

1 2 ? ? x ? 1? ? x 2 ? 3x ? ? 3 在 ?1, 2? 恒成立, x
2

设 G1 ? x ? ? x ? 3 x ?

1 1 ? 3 ,则 G1? ? x ? ? 2 x ? 3 ? 2 , x x 27 , 2
10

当 x ??1, 2? 时, G1? ? x ? ? 0

?G1 ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递增, G1 ? x ? ? G1 ? 2 ? ?

?b ?

27 ……………………………………………………………………………………12 分 2 b ?x, ②当 x ? ? 0,1? 时, G ? x ? ? ? ln x ? x ?1

1 b G? ? x ? ? ? ? ?1 ? 0 , x ? x ? 1?2

? x ? 1? b??
x

2

1 2 ? ? x ? 1? ? x2 ? x ? ? 1 在 ? 0,1? 恒成立, x
1 1 ? 1 , G2? ? x ? ? 2 x ? 1 ? 2 ? 0 , x x

设 G2 ? x ? ? x ? x ?
2

即 G2 ? x ? 在 ? 0,1? 单调递增,故 G2 ? x ? ? G2 ?1? ? 0 ,

?b ? 0 ,
综上所述: b ?

27 . …………………………………………………………………………14 分 2

11


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