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高中数学 基础题型——《平面向量》


《数学》必会基础题型——《平面向量》
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.共线定理: a ? ? b ? a / /b 。当 ? ? 0 时, a与b 同向;当 ? ? 0 时, a与b 反向。 2.向量的模:若 a ? ( x, y) ,则 ,

3.数量积: ;夹角公式: 4.平行与垂直: ;平行: ;垂直: 题型 1.向量的

坐标运算 1.已知 AB ? (4,5) , A(2,3) ,则点 B 的坐标是 。

2.已知 A(1, 2), B(3, 2) ,向量 a ? ( x ? 2, x ? 3 y ? 2) 与 AB 相等,求 x, y 的值。 3.已知 O 是坐标原点, A(2, ?1), B(?4,8) ,且 AB ? 3BC ? 0 ,求 OC 的坐标。 题型 2.求数量积 1.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,求(1) a ? b , (2) a ? (a ? b ) , (3) (a ?

1 b) ?b , (4) (2a ? b ) ? (a ? 3b ) 。 2

2.已知 a ? (2, ?6), b ? (?8,10) ,求(1) | a |,| b | , (2) a ? b , (3) a ? (2a ? b ) , (4) (2a ? b ) ? (a ? 3b ) 。

题型 3.求向量的夹角 1.已知 | a |? 8,| b |? 3 , a ? b ? 12 ,则 a 与 b 的夹角为 2.已知 a ? ( 3,1), b ? (?2 3, 2) ,则 a 与 b 的夹角为 3.已知 A(1, 0) , B(0,1) , C (2,5) ,则 cos ?BAC 为 。 。 。 ;

4.已知 a ? (m,3) , b ? (2, ?1) , (1)若 a 与 b 的夹角为钝角,则 m 的范围为 (2)若 a 与 b 的夹角为锐角,则 m 的范围为 。

5.已知 | a |? 3,| b |? 4,| a ? b |? 5 ,求 | a ? b | 和向量 a, b 的夹角。 6.已知 x ? a ? b , y ? 2a ? b ,且 | a |?| b |? 1 , a ? b ,求 x, y 的夹角的余弦。

1

题型 4.求向量的模 1.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,求(1) | a ? b | , (2) | 2a ? 3b | 。

2.已知 a ? (2, ?6), b ? (?8,10) ,求(1) | a |,| b | , (5) | a ? b | , (6) | a ?

1 b |。 2

3.已知 | a |? 1 , | b |? 2 , | 3a ? 2b |? 3 ,求 | 3a ? b | 。

题型 5.向量的平行与垂直 1.已知 a ? (6, 2) , b ? (?3, m) ,当 m 为何值时, (1) a / / b ?(2) a ? b ?

2.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3, 2) , (1) k 为何值时,向量 ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) k 为何值时,向量 ka ? b 与 a ? 3b 平行?

题型 6.三点共线问题 1.已知 A(0, ?2) , B (2, 2) , C (3, 4) ,求证: A, B, C 三点共线。

2.设 AB ?

2 (a ? 5b), BC ? ?2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) ,求证: A、B、D 三点共线。 2

3.已知 A(1, ?3) , B(8, ?1) ,若点 C (2a ? 1, a ? 2) 在直线 AB 上,求 a 的值。

题型 7.平面向量的综合应用 1.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)· c=30,则 x= 2

1 ? 2.已知向量 a=? ?8+2x,x?,b=(x+1,2),其中 x>0,若 a∥b,则 x 的值为 3.已知向量 a ? (1, 2k ), b ? (1 ? k ,1), 若a ? b , 则实数 k 等于______. 4.设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (2,1) , a ? 2b ? (4, 5) ,则 cos ? 等于 5.| a |=1,| b |=2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为 6.若向量 a ? (1,2), b ? (1,?1) ,则 2a ? b 与 a ? b 的夹角等于 7.已知 a与b 同向, b ? (1, 2) ,则 a ? b ? 10 ,则 a 的坐标为 。 . .

?

?



8.已知向量 a , b 满足 | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 b 在 a 上的投影是
? 9.已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____ .

10.设非零向量 a , b 的夹角为 120 ,且 | a |? 1 ,则 | 2a ? b | 的最小值为 11.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 16, AB ? AC ? AB ? AC ,则
2

AM ? (

)A. 8

B. 4

C. 2

D.1

12.已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 .若存在实 m 使得 AB ? AC ? m AM 成 立,则 m =( A.2 ) B.3 C.4 D.5

13.△ABC 中,∠C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足 BM ? 2 AM ,则 CM · CA = 14.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM=1, 点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2PM , 则 AP ? ( PB ? PC) 等于( ) B.

4 A. 9

4 3

C. ?

4 3
o

D.

?

4 9

15. 如 图 , 边 长 为 l 的 菱 形 ABCD 中 , ? DAB=60 , CM ? MD, ND ? 2 BN , 则

AM ? AN ?



16.设向量 a,b,c 满足 a = b =1, a ? b ? ?

1 , 2
) C. 2 D.

a ? c, b ? c = 60 0 ,则 c 的最大值等于(
A.2 B. 3

3


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