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高中数学人教版教案:必修5第二章《数列》全章教案


课题: §2.1 数列的概念与简单表示法 授课类型:新授课 (第 1 课时) ●教学目标 知识与技能:理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通项公 式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法:通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概 括能力. 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数:1,3,6,10,? 正方形数:1,4,9,16,25,? Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它 们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) , 第 2 项,?,第 n 项,?. 例如,上述例子均是数列,其中①中, “4”是这个数列的第 1 项(或首项)“9”是这个数列中的第 6 , 项. ⒊数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,或简记为 ?an ? ,其中 an 是数列的第 n 项 结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义. ②中,这是一个数列,它的首项是“1”“ ,
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1 ”是这个数列 3

的第“3”项,等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公 式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式)对于上面的数列②,第一项 与这一项的序号有这样的对应关系: 1 1 1 1 1 项 2 3 4 5 ↓ 序号 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式: a n ?

1 来表示其对应关系 n

即:只要依次用 1,2,3?代替公式中的 n,就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子,练习找其对应关系 ⒋ 数列的通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公

式就叫做这个数列的通项公式. 注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列: 1,0,1,0,1,0,?它的通项公式可以是

an ?

n ?1 1 ? (?1) n ?1 ? |. ,也可以是 a n ?| cos 2 2

⑶数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项的一般表示.通项 公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出 数列的每一项. 5.数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集{1,2,3,?,n})为定义域的函数 an ? f (n) ,当自变量从
*

小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来,对于函数 y=f(x),如果 f(i)(i=1、2、3、4?)有意义,那么我们可以得到一个数列 f(1)、 f(2)、

f(3)、 f(4)?,f(n),?
6.数列的分类: 1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6。是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6?是无穷数列 2)根据数列项的大小分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 观察:课本 P33 的六组数列,哪些是递增数列,递减数列,常数数列,摆动数列? [范例讲解] 课本 P34-35 例 1 Ⅲ.课堂练习 课本 P36[练习]3、4、5 [补充练习]:根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1) 3, 5, 9, 17, 33,??; (2)

2 4 6 8 10 , , , , , ??; 3 15 35 63 99

(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,??; (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ??; (5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,??. 解:(1) an =2n+1; (2) an =

2n 1 ? (?1) n ; (3) an = ; 2 (2n ? 1)(2n ? 1)

(4) 将数列变形为 1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, ??,

1 ? (?1) n ∴ an =n+ ; 2
(5) 将数列变形为 1×2, -2×3, 3×4, -4×5, 5×6,??, ∴ an =(-1)
n ?1

n(n+1)

Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容:数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并会根据数列的前 n 项求一些 简单数列的通项公式。 Ⅴ.课后作业 课本 P38 习题 2.1A 组的第 1 题 ●板书设计 ●授后记

课题: §2.1 数列的概念与简单表示法 授课类型:新授课 (第2课时) ●教学目标 知识与技能:了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的 前几项;理解数列的前 n 项和与 an 的关系 过程与方法:经历数列知识的感受及理解运用的过程。 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项 ●教学难点 理解递推公式与通项公式的关系 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [复习引入] 数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课 数列的表示方法 1、 通项公式法

如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数 列的通项公式。
如数列 的通项公式为 的通项公式为 ; ;

的通项公式为 2、 图象法



启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数

为横坐标,相应的项

为纵坐标,

即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列

为例,做出一个数列的图 轴的右侧,而点的个数

象) ,所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在

取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势. 3、 递推公式法 知识都来源于实践,最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题. 观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型. 模型一:自上而下: 第 1 层钢管数为 4;即:1 ? 4=1+3 第 2 层钢管数为 5;即:2 ? 5=2+3 第 3 层钢管数为 6;即:3 ? 6=3+3 第 4 层钢管数为 7;即:4 ? 7=4+3 第 5 层钢管数为 8;即:5 ? 8=5+3 第 6 层钢管数为 9;即:6 ? 9=6+3 第 7 层钢管数为 10;即:7 ? 10=7+3
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若用 an 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且 an ? n ? 3(1 ≤n≤7) 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,运用这一关系,会很快捷地求出 每一层的钢管数 这会给我们的统计与计算带来很多方便。 让同学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?(启发学生寻找规律) 模型二:上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1。
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即 a1 ? 4 ; a2 ? 5 ? 4 ? 1 ? a1 ? 1 ; a3 ? 6 ? 5 ? 1 ? a2 ? 1 依此类推: an ? an?1 ? 1(2≤n≤7) 对于上述所求关系,若知其第 1 项,即可求出其他项,看来,这一关系也较为重要。 定义: 递推公式:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或前 n 项)间的关 系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89 递推公式为: a1 ? 3, a2 ? 5, an ? an?1 ? an?2 (3 ? n ? 8) 数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,首先请学生回忆函数的表示法:列表法,图 象法,解析式法.相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用 项,??,用 表示第 项,依次写出成为 表示第一项,用 表示第一

4、列表法
.简记为 .

[范例讲解]

a1 ? 1 ? ? 例 3 设数列 ?an ? 满足 ? 写出这个数列的前五项。 1 ?an ? 1 ? a (n ? 1). n ?1 ?
解:分析:题中已给出 ?an ? 的第 1 项即 a1 ? 1 ,递推公式: a n ? 1 ?

1 an?1

解:据题意可知: a1 ? 1, a 2 ? 1 ? [补充例题]

1 1 2 1 5 8 ? 2, a3 ? 1 ? ? , a4 ? 1 ? ? , a5 ? a1 a2 3 a3 3 5

例 4 已知 a1 ? 2 , an?1 ? 2an 写出前 5 项,并猜想 an . 法一: a1 ? 2

a2 ? 2 ? 2 ? 2 2

a3 ? 2 ? 22 ? 23 ,观察可得 an ? 2n


法二:由 an?1 ? 2an

∴ an ? 2an?1

an ?2 a n ?1



an an?1 an?2 a ? ? ? ??? 2 ? 2 n?1 an?1 an?2 an?3 a1

∴ an ? a1 ? 2n?1 ? 2n Ⅲ.课堂练习 课本 P36 练习 2 [补充练习] 1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式 (1) a1 =0, a n ?1 = an +(2n-1) (n∈N); (2) a1 =1, a n ?1 =

2a n (n∈N); an ? 2

(3) a1 =3, a n ?1 =3 an -2 (n∈N). 解:(1) a1 =0, a2 =1, a3 =4, a4 =9, a5 =16, ∴ an =(n-1) ; (2) a1 =1, a2 =
2

1 2 1 2 2 2 2 , a3 = ? , a 4 = , a5 = ? , ∴ a n = ; 3 5 n ?1 2 4 3 6
0 1 2

(3) a1 =3=1+2 ? 3 , a2 =7=1+2 ? 3 , a3 =19=1+2 ? 3 ,

a4 =55=1+2 ? 33 , a5 =163=1+2 ? 3 4 , ∴ an =1+2·3 n ?1 ;
Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容: 1.递推公式及其用法; 2.通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的关系. Ⅴ.课后作业 习题 2。1A 组的第 4、6 题 ●板书设计 ●授后记

课题:

§2.2 等差数列
授课类型:新授课 (第 1 课时)

●教学目标 知识与技能:了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等差数 列; 正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的 项 过程与方法:经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。 情感态度与价值观:通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求 新知的创新意识。 ●教学重点 等差数列的概念,等差数列的通项公式。 ●教学难点 等差数列的性质 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、 通项公式、 递推公式、 图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。 课本 P41 页的 4 个例子: ①0,5,10,15,20,25,? ②48,53,58,63 ③18,15.5,13,10.5,8,5.5 ④10072,10144,10216,10288,10366 观察:请同学们仔细观察一下,看看以上四个数列有什么共同特征? ·共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)(误:每相邻两项的差相 ; 等——应指明作差的顺序是后项减前项) ,我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 Ⅱ.讲授新课 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫 做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示) 。

⑴.公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; ⑵.对于数列{ an },若 an - a n ?1 =d (与 n 无关的数或字母),n≥2,n∈N ,则此数列是等差数列,d 为公差。 思考:数列①、②、③、④的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么? 2.等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 【或 an ? am ? (n ? m)d 】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若一等差数列 ?an ? 的首项是 a1 , 公差是 d, 则据其定
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?

义可得:

a2 ? a1 ? d 即: a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d 即: a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d
a4 ? a3 ? d 即: a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d
?? 由此归纳等差数列的通项公式可得: an ? a1 ? (n ? 1)d ∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项 a1 和公差 d,便可求得其通项 an 。 由上述关系还可得: am ? a1 ? (m ? 1)d 即: a1 ? am ? (m ? 1)d 则: an ? a1 ? (n ? 1)d = am ? (m ? 1)d ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d 即等差数列的第二通项公式 [范例讲解] 例 1 ⑴求等差数列 8,5,2?的第 20 项 ⑵ -401 是不是等差数列-5,-9,-13?的项?如果是,是第几项? 解:⑴由 a1 ? 8, d ? 5 ? 8 ? 2 ? 5 ? ?3 ⑵由 a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4 n=20,得 a20 ? 8 ? (20 ? 1) ? (?3) ? ?49 得数列通项公式为: an ? ?5 ? 4(n ? 1)

an ? am ? (n ? m)d

∴ d=

am ? an m?n

由题意可知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得 ? 401? ?5 ? 4(n ? 1) 成立解之得 n=100,即-401 是这 个数列的第 100 项 例 3 已知数列{ an }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若 是,首项与公差分别是什么?

分析:由等差数列的定义,要判定 ?an ? 是不是等差数列,只要看 an ? an?1 (n≥2)是不是一个与 n 无关 的常数。 解:当 n≥2 时, (取数列 ?an ? 中的任意相邻两项 a n ?1 与 an (n≥2) )

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p 为常数
∴{ an }是等差数列,首项 a1 ? p ? q ,公差为 p。 注:①若 p=0,则{ an }是公差为 0 的等差数列,即为常数列 q,q,q,… ②若 p≠0, 则{ an }是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数 y=px+q 的图象上, 一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为 q. ③数列{ an }为等差数列的充要条件是其通项 an =pn+q (p、q 是常数),称其为第 3 通项公式。 ④判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一个。 Ⅲ.课堂练习 课本 P45 练习 1、2、3、4 [补充练习] 1.(1)求等差数列 3,7,11,??的第 4 项与第 10 项. 分析:根据所给数列的前 3 项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所求项. 解:根据题意可知: a1 =3,d=7-3=4.∴该数列的通项公式为: an =3+(n-1)×4,即 an =4n-1(n≥1,n ∈N*)∴ a4 =4×4-1=15, a10 =4×10-1=39. 评述:关键是求出通项公式. (2)求等差数列 10,8,6,??的第 20 项. 解:根据题意可知: a1 =10,d=8-10=-2. ∴该数列的通项公式为: an =10+(n-1)×(-2),即: an =-2n+12,∴ a 20 =-2×20+12=-28. 评述:要注意解题步骤的规范性与准确性. (3)100 是不是等差数列 2,9,16,??的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 分析:要想判断一数是否为某一数列的其中一项,则关键是要看是否存在一正整数 n 值,使得 an 等于 这一数. 解:根据题意可得: a1 =2,d=9-2=7. ∴此数列通项公式为: an =2+(n-1)×7=7n-5. 令 7n-5=100,解得:n=15, ∴100 是这个数列的第 15 项.

(4)-20 是不是等差数列 0,-3 解:由题意可知: a1 =0,d=-3

1 2

1 ,-7,??的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 2 7 7 ∴此数列的通项公式为: an =- n+ , 2 2

令-

7 7 47 n+ =-20,解得 n= 2 2 7

因为-

7 7 n+ =-20 没有正整数解,所以-20 不是这个数列的项. 2 2
?

Ⅳ.课时小结 通过本节学习,首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式: an - a n ?1 =d , (n≥2,n∈N ).其 次, 要会推导等差数列的通项公式:an ? a1 ? (n ? 1)d , 并掌握其基本应用.最后, 还要注意一重要关系式:

an ? am ? (n ? m)d 和 an =pn+q (p、q 是常数)的理解与应用.
Ⅴ.课后作业 课本 P45 习题 2.2[A 组]的第 1 题 ●板书设计 ●授后记

课题:

§2.2 等差数列
授课类型:新授课

(第2课时) ●教学目标 知识与技能:明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与 图像认识等差数列的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题。 过程与方法:通过等差数列的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通项公式 的运用,渗透方程思想。 情感态度与价值观:通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊 与一般的辩证唯物主义观点。 ●教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 ●教学难点 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上节课所学主要内容: 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,即 an -
? (n≥2,n∈N ) ,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d” a n?1 =d ,

表示) 2.等差数列的通项公式:
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an ? a1 ? (n ? 1)d

( an ? am ? (n ? m)d 或 an =pn+q (p、q 是常数))

3.有几种方法可以计算公差 d

① d= an - a n ?1

② d=

a n ? a1 n ?1

③ d=

an ? am n?m

Ⅱ.讲授新课 问题:如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使 a ,A, b 成等差数列数列,那么 A 应满足什么条件? 由定义得 A- a = b -A 反之,若 A ? ,即: A ?

a?b ,则 A- a = b -A 2 a?b ? a, b, 成等差数列 由此可可得: A ? 2
[补充例题] 例

a?b 2

在等差数列{ an }中,若 a1 + a6 =9, a4 =7, 求 a3 , a9 .

分析:要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项公式,必须知道这个数列中 的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差) ,本题中,只已知一项,和 另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手?? 解:∵ {an }是等差数列 ∴ a1 + a6 = a4 + a3 =9 ? a3 =9- a4 =9-7=2

∴ d= a4 - a3 =7-2=5

∴ a9 = a4 +(9-4)d=7+5*5=32 [范例讲解] 课本 P44 的例 2 解略 课本 P45 练习 5 已知数列{ an }是等差数列

∴ a3 =2, a9 =32

(1) 2a5 ? a3 ? a7 是否成立? 2a5 ? a1 ? a9 呢?为什么? (2) 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 1) 是否成立?据此你能得到什么结论? (3) 2an ? an?k ? a n?k (n ? k ? 0) 是否成立??你又能得到什么结论? 结论: (性质)在等差数列中,若 m+n=p+q,则, am ? an ? a p ? aq 即 m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ∈N ) 但通常 ①由 am ? an ? a p ? aq 推不出 m+n=p+q ,② am ? an ? am?n

探究:等差数列与一次函数的关系 Ⅲ.课堂练习 1.在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31,求首项 a1 与公差 d 2. 在等差数列 ?an ? 中, 若 a5 ? 6 Ⅳ.课时小结 节课学习了以下内容: 1. A ?

a8 ? 15 求 a14

a?b ? a, A, b, 成等差数列 2

2.在等差数列中, m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ∈N ) Ⅴ.课后作业 课本 P46 第 4、5 题 ●板书设计 ●授后记

课题: §3.3

等差数列的前 n 项和
授课类型:新授课 (第 1 课时)

●教学目标 知识与技能:掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与 前 n 项和有关的问题 过程与方法:通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初 步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔 性的训练,发展学生的思维水平. 情感态度与价值观:通过公式的推导过程,展现数学中的对称美。 ●教学重点 等差数列 n 项和公式的理解、推导及应 ●教学难点 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 “小故事”: 高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题 目: 1+2+?100=?” 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10?算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+?+100=5050。 教师问: “你是如何算出答案的? 高斯回答说:因为 1+100=101;

2+99=101;?50+51=101,所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们: (1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规 律性的东西。 (2)该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法,这就是下面我们要介绍的“倒序相 加”法。 Ⅱ.讲授新课 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ? 证明:

n(a1 ? a n ) 2


S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ②
①+②: 2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? ? ? (an ? an ) ∵ a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ∴ 2S n ? n(a1 ? an ) 由此得: S n ?

n(a1 ? a n ) 2
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从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2. 等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

用上述公式要求 S n 必须具备三个条件: n, a1 , an 但 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入公式 1 即得: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

此公式要求 S n 必须已知三个条件: n, a1 , d (有时比较有用) [范例讲解] 课本 P49-50 的例 1、例 2、例 3 由例 3 得与 an 之间的关系: 由 S n 的定义可知,当 n=1 时, S1 = a1 ;当 n≥2 时, an = S n - S n ?1 , 即 an = ?

?S1 ( n ? 1) . ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)

Ⅲ.课堂练习 课本 P52 练习 1、2、3、4 Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容:

1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?

n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? Ⅴ.课后作业 课本 P52-53 习题[A 组]2、3 题 ●板书设计 ●授后记

课题: §2.3 等差数列的前 (第2课时)

n 项和
授课类型:新授课

●教学目标 知识与技能:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式;了解等差数列的一些性质,并会用它 们解决一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值;

过程与方法:经历公式应用的过程; 情感态度与价值观:通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活 的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题。 ●教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 ●教学难点 灵活应用求和公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?

n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? Ⅱ.讲授新课 探究:——课本 P51 的探究活动

结论:一般地,如果一个数列 ?a n ?, 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常数,且 p ? 0 ,那 么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? 由 Sn ? pn2 ? qn ? r ,得 S1 ? a1 ? p ? q ? r 当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 = ( pn ? qn ? r ) ? [ p(n ?1) ? q(n ?1) ? r ] = 2 pn ? ( p ? q)
2 2

?d ? an ? an?1 ? [2 pn ? ( p ? q)] ? [2 p(n ?1) ? ( p ? q)] =2p
对等差数列的前 n 项和公式2: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 可化成式子: 2

Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式 2 2

[范例讲解] 等差数列前项和的最值问题 课本 P51 的例 4 解略 小结: 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1) 利用 an : 当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(2) 利用 S n : 由 Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值 2 2

Ⅲ.课堂练习 1.一个等差数列前 4 项的和是 24,前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27,求这个等差数列的通项公式。 2.差数列{ an }中, a4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和 S n 的最小值。 Ⅳ.课时小结 1.前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常数,且 p ? 0 ,一定是等差数列,该数列的 首项是 a1 ? p ? q ? r 公差是 d=2p 通项公式是 an ? ?

?

S1 ? a1 ? p ? q ? r , 当n ? 1 时

?Sn ? Sn?1 ? 2 pn ? ( p ? q), 当n ? 2 时

2.差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值。
王新敞
奎屯 新疆

当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值。
王新敞
奎屯 新疆

(2)由 S n ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时n的值 2 2

Ⅴ.课后作业 课本 P53 习题[A 组]的 5、6 题 ●板书设计

●授后记

课题: §2.4 等比数列 授课类型:新授课 (第 1 课时) ●教学目标 知识与技能:掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导; 过程与方法:通过实例,理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质,能在具体的问题 情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生 活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习:等差数列的定义: an - a n ?1 =d , (n≥2,n∈N ) 等差数列是一类特殊的数列,在现实生活中,除了等差数列,我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本 P41 页的 4 个例子: ①1,2,4,8,16,? ②1,
?

1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16
2
3

③1,20, 20 , 20 , 20 ,? ④ 10000 ?1.0198 , 10000 ?1.0198 , 10000 ?1.0198 , 10000 ?1.0198 , 10000 ?1.0198 ,??
2 3 4 5

4

观察:请同学们仔细观察一下,看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征? 共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即: 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) { an }成等比数列 ?

an =q(q≠0) a n ?1

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

2? 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0

“ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分条件. 3? q= 1 时,{an}为常数。 2.等比数列的通项公式 1: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) 由等比数列的定义,有:

a2 ? a1q ;

a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1q 2 ;
a4 ? a3 q ? (a1q 2 )q ? a1q 3 ;
? ? ? ? ? ? ?

an ? an?1q ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0)

王新敞
奎屯

新疆

3.等比数列的通项公式 2: an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0) 4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 探究:课本 P56 页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系: 等比数列{ an }的通项公式 an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) ,它的图象是分布在曲线 y ? 些孤立的点。 当 a1 ? 0 ,q >1 时,等比数列{ an }是递增数列; 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 ,等比数列{ an }是递增数列; 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 时,等比数列{ an }是递减数列; 当 a1 ? 0 ,q >1 时,等比数列{ an }是递减数列; 当 q ? 0 时,等比数列{ an }是摆动数列;当 q ? 1 时,等比数列{ an }是常数列。 [范例讲解] 课本 P57 例 1、例 2、P58 例 3 Ⅲ.课堂练习 课本 P59 练习 1、2 [补充练习] 解略。

a1 x q (q>0)上的一 q

2.(1) 一个等比数列的第 9 项是

4 1 ,公比是- ,求它的第 1 项(答案: a1 =2916) 9 3

(2)一个等比数列的第 2 项是 10,第 3 项是 20,求它的第 1 项与第 4 项(答案:a1 =

a2 =5, a4 = a3 q=40) q

Ⅳ.课时小结 本节学习内容:等比数列的概念和等比数列的通项公式. Ⅴ.课后作业 课本 P60 习题 A 组 1、2 题 ●板书设计 ●授后记

课题: §2.4 等比数列 授课类型:新授课 (第2课时) ●教学目标 知识与技能:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟悉等比数列的有关性质, 并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 过程与方法:通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生 活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比中项的理解与应用 ●教学难点 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即: 2.等比数列的通项公式: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? q n?m (am ? q ? 0) 3. an }成等比数列 ? { 条件 4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 Ⅱ.讲授新课 1.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的 等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号) 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,则

an =q(q≠0) a n ?1

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) “ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分 an

G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab , a G

反之,若 G =ab,则 [范例讲解] 课本 P58 例 4

2

G b 2 ? ,即 a,G,b 成等比数列。∴a,G,b 成等比数列 ? G =ab(a·b≠0) a G

证明:设数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比为 q1 ; ?bn ? 的首项为 b1 ,公比为 q2 ,那么数列

?an ? bn ?的第 n 项与第 n+1 项分别为:
a1 ? q1
?
n?1

? b1 ? q2 与a1 ? q1 ? b1 ? q2 即为a1b1 (q1q2 ) n?1 与a1b1 (q1q2 ) n
n n

n?1

an?1 ? bn?1 a b (q q ) n ? 1 1 1 2 n?1 ? q1q2 . an ? bn a1b1 (q1q2 )

它是一个与 n 无关的常数,所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q2 为公比的等比数列 拓展探究: 对于例 4 中的等比数列{ an }与{ bn },数列{

an }也一定是等比数列吗? bn an a ,则 cn ?1 ? n ?1 bn bn ?1

探究:设数列{ an }与{ bn }的公比分别为 q1和q2 ,令 cn ?

an ?1 cn ?1 bn ?1 a b a q ? ? ? ( n ?1 )?( n ?1 ) ? 1 ,所以,数列{ n }也一定是等比数列。 an cn an bn q2 bn bn
课本 P59 的练习 4
2 2 已知数列{ an }是等比数列, (1) a5 ? a3a7 是否成立? a5 ? a1a9 成立吗?为什么? 2 (2) an ? an?1an?1 (n ? 1) 是否成立?你据此能得到什么结论? 2 an ? an?k an?k (n ? k ? 0) 是否成立?你又能得到什么结论?

结论:2.等比数列的性质:若 m+n=p+k,则 am an ? a p ak 在等比数列中,m+n=p+q, am , an , a p , ak 有什么关系呢? 由定义得: am ? a1q m?1

an ? a1q n?1
2

a p ? a1q p?1

ak ? a1 ? q k ?1

am ? an ? a1 q m?n?2
2

, a p ? ak ? a1 q p ? k ?2 则 am an ? a p ak

Ⅲ.课堂练习 课本 P59-60 的练习 3、5 Ⅳ.课时小结 1、若 m+n=p+q, am ? an ? a p ? aq

2、若 ?an ?, ?bn ?是项数相同的等比数列,则 ?an ? bn ? 、{ Ⅴ.课后作业 课本 P60 习题 2.4A 组的 3、5 题 ●板书设计 ●授后记

an }也是等比数列 bn

课题: §2.5 等比数列的前 (2 课时)

n 项和
授课类型:新授课

●教学目标 知识与技能:掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路;会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比 数列的一些简单问题。 过程与方法:经历等比数列前 n 项和的推导与灵活应用,总结数列的求和方法,并能在具体的问题情境中 发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。 情感态度与价值观:在应用数列知识解决问题的过程中,要勇于探索,积极进取,激发学习数学的热情和 刻苦求是的精神。 ●教学重点 等比数列的前 n 项和公式推导 ●教学难点 灵活应用公式解决有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] [提出问题]课本 P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” Ⅱ.讲授新课 [分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是 1,公比是 2,求第一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前 64 项的和。下面我们先来 推导等比数列的前 n 项和公式。 1、 等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an
由?

?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n
n ?1 ?a n ? a1 q

?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q 2 ? ? a1 q n ? 2 ? a1 q n ?1 ? 得? ?qSn ? a1 q ? a1 q 2 ? a1 q 3 ? ? a1 q n ?1 ? a1 q n ?

? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
∴当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 公式的推导方法二: 有等比数列的定义,

a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a2 an?1 a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1 S n ? an

根据等比的性质,有



S n ? a1 ? q ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上) S n ? an

围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三:

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 )
= a1 ? qSn?1 = a1 ? q(S n ? an )

? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上)
[解决问题] 有了等比数列的前 n 项和公式,就可以解决刚才的问题。 由 a1 ? 1, q ? 2, n ? 64 可得

a1 (1 ? q n ) 1? (1 ? 264 ) 64 = = 2 ?1。 Sn ? 1? 2 1? q
264 ? 1 这个数很大,超过了 1.84 ?1019 。国王不能实现他的诺言。
[例题讲解] 课本 P65-66 的例 1、例 2 例 3 解略

Ⅲ.课堂练习 课本 P66 的练习 1、2、3 Ⅳ.课时小结 等比数列求和公式:当 q=1 时, S n ? na1 Ⅴ.课后作业 课本 P69 习题 A 组的第 1、2 题 ●板书设计 ●授后记 当 q ? 1 时, S n ?

a1 ? a n q 1? q

或 Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

课题: §2.5 等比数列的前 (第2课时) ●教学目标

n 项和
授课类型:新授课

知识与技能:会用等比数列的通项公式和前 n 项和公式解决有关等比数列的 S n , an , a1 , n, q 中知道三个数求 另外两个数的一些简单问题;提高分析、解决问题能力 过程与方法:通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 情感态度与价值观:通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的训练,培养他们实事求是的科学态 度. ●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式 ●教学难点 灵活使用公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容: 等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式② Ⅱ.讲授新课 1、等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别是 Sn,S2n,S3n, 求证: Sn ? S2 n ? Sn (S2 n ? S3n )
2 2

2、设 a 为常数,求数列 a,2a ,3a ,?,na ,?的前 n 项和;

2

3

n

(1)a=0 时,Sn=0 (2)a≠0 时,若 a=1,则 Sn=1+2+3+?+n=
n-1 n

1 n ( n ? 1) 2

若 a≠1,Sn-aSn=a(1+a+?+a -na ) ,Sn=

a [1 ? ( n ? 1)a n ? na n ?1 ] 2 (1 ? a )

Ⅲ.课堂练习

Ⅳ.课时小结

Ⅴ.课后作业

●板书设计 ●授后记



题:数列复习小结 2 课时

教学目的: 1.系统掌握数列的有关概念和公式。 2.了解数列的通项公式 an 与前 n 项和公式 S n 的关系。 3.能通过前 n 项和公式 S n 求出数列的通项公式 an 。 授课类型:复习课 课时安排:2 课时 教学过程:

一、本章知识结构

二、知识纲要 (1)数列的概念,通项公式,数列的分类,从函数的观点看数列. (2)等差、等比数列的定义. (3)等差、等比数列的通项公式. (4)等差中项、等比中项. (5)等差、等比数列的前 n 项和公式及其推导方法. 三、方法总结 1.数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知识去解决,体现了函数思想、数形结合的思想. 2.等差、等比数列中,a 1 、 an 、n、d(q)、 S n “知三求二” ,体现了方程(组)的思想、整体思想,有 时用到换元法. 3.求等比数列的前 n 项和时要考虑公比是否等于 1,公比是字母时要进行讨论,体现了分类讨论的思 想. 4.数列求和的基本方法有:公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化 等. 四、知识精要:

1、数列 [数列的通项公式] a n ? ?
?a1 ? S1 (n ? 1) ?S n ? S n?1 (n ? 2)

[数列的前 n 项和] S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数 列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。 [等差数列的判定方法] 1. 定义法:对于数列 ?an ? ,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?an ? 是等差数列。 2.等差中项:对于数列 ?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 是等差数列。 [等差数列的通项公式] 如果等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则等差数列的通项为 an ? a1 ? (n ? 1)d 。 [说明]该公式整理后是关于 n 的一次函数。 [等差数列的前 n 项和] 1. S n ?
n(a1 ? a n ) 2

2.

S n ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

[说明]对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数。 [等差中项] 如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。即: A ?
a?b 或 2A ? a ? b 2

[说明]:在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项 的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 [等差数列的性质] 1.等差数列任意两项间的关系:如果 an 是等差数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公差 为 d ,则有 an ? am ? (n ? m)d 2. 对于等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq 。
a1 n ??????a???? ? ? a1 , a2 , a3 ,?, an?2 , an?1 , an ? ?? ,如图所示: ??? ???? ? ? a2 ? an ?1

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

3.若数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等差数列。
*

如下图所示:

???????????S 3k ??????????? ? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ??? ? ? ?? ??? ??? ?? ? ? ? ?
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

3、等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数 列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示( q ? 0 ) 。 [等比中项] 如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 也就是,如果是的等比中项,那么 [等比数列的判定方法] 1. 定义法:对于数列 ?an ? ,若
a n ?1 ? q ( q ? 0) ,则数列 an

G b 2 ? ,即 G ? ab 。 a G

?an ?是等比数列。

2 2.等比中项:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an?1 ,则数列 ?an ? 是等比数列。

[等比数列的通项公式] 如果等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则等比数列的通项为 an ? a1q n?1 。 [等比数列的前 n 项和] 1 ○ Sn ?
a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q

2 ○ Sn ?

a1 ? a n q (q ? 1) 1? q

3 ○当 q ? 1 时, S n ? na1

[等比数列的性质] 1.等比数列任意两项间的关系:如果 an 是等比数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公比 为 q ,则有 an ? am q n?m 3. 对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av
a1?a ??????n????? a , a 2 , a , ?, a n ? , a n ? , a ? ?? 。如图所示: 1 ??3 ? ?2 ? 1 n ? ? ? ? a2 ?an ?1

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

4.若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成等比数列。如下 图所示:

???????????S 3k ??????????? ? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ??? ? ? ?? ??? ??? ?? ? ? ? ?
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

4、数列前 n 项和 (1)重要公式:

1 ? 2 ? 3 ? ?n ?

n(n ? 1) ; 2
n(n ? 1)( 2n ? 1) ; 6

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? n 2 ?

1 13 ? 2 3 ? ? n 3 ? [ n(n ? 1)] 2 2

王新敞
奎屯

新疆

(2)等差数列中, S m?n ? S m ? S n ? mnd (3)等比数列中, S m?n ? S n ? q n S m ? S m ? q m S n (4)裂项求和:

1 1 1 ? ? ; n ? n!? (n ? 1)!?n! ) ( n(n ? 1) n n ? 1


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