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高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而 综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的 求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩 技巧主要有以下几种: 例 2(1)求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2 2 3 5 1 7 1 ? ? (n ? 2) (2n ? 1) 2 6 2(2n ? 1) (2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 2 4 16 36 4n 2 2 2?4 2?4?6 4n (3)求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n n 一、裂项放缩 例 1(1)求 ? k ?1 n 2 4k 2 ? 1 2 的值; (2)求证: 1 5. ? ? 2 3 k ?1 k n (4)求证: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1) 2 3 解析:(1)因为 (2)因为 1 ? n2 2 1 1 ,所以 n 2 1 2n ? ? ? ? 1? ? 2 ? 2 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 2 n ? 1 2 n ?1 4n ? 1 2 n ? 1 2n ? 1 k ?1 4k ? 1 1 4 解析:(1)因为 1 1 1? 1 1 ? ,所以 ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? (2i ? 1) i ?1 n 1 2 1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? 1? ( ? ) 2 3 2n ? 1 2 3 2n ? 1 n 1 1 1 1 ? 2 5 1 ? ,所以 ? 1 ? 1 ? 2? ? 1 ? ? ? ??? ? ? 1? ? 2 ? 2 ? 2? ? ? 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ? k ?1 k 1 4n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 1 2 ? ? n ? 4 (2) 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? 1 (1 ? 1 ? 1 ) 2 2 2 4 16 36 4n 4 2 n 4 n (3)先运用分式放缩法证明出 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1 2n ? 1 ,再结合 1 n?2 ? n?2 ? n 进行裂项,最后就可以得到答 奇巧积累:(1) 1 4 4 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? n 2 4n 2 4n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? r ?1 r ? Cn ? (2) 1 2 1 1 ? ? ? 1 2 (n ? 1)n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) Cn ?1C n 案 (4)首先 1 n ? 2( n ? 1 ? n ) ? 2 n ?1 ? n (3) T 1 n! 1 1 1 1 1 ? ? r ? ? ? ? (r ? 2) r r!(n ? r )! n r! r (r ? 1) r ? 1 r n ,所以容易经过裂项得到 (4) (

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