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数列


等差数列
1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 公差通常用字母 d 表示. 数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*),d 为常数. 2.等差数列的通项公式 (1)设等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an=a1+(n-1)d. (2)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). 3.等差数列的前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ 2 d. 2 4.等差数列及前 n 项和的性质 a+b (1)如果 A= 2 ,则 A 叫做 a,b 的等差中项. (2)若{an}为等差数列,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).

等比数列
1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么 这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q(q≠0)表示. an 数学语言表达式为 =q(n≥2),q 为常数. an-1 2.等比数列的通项公式 (1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项公式为 an=a1· qn 1.


(2)通项公式的推广:an=am· qn-m,(n,m∈N*). 3.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 ?; ?na1?q=1 Sn=?a1?1-qn? a1-anq ? 1-q = 1-q ?q≠1?.

4.等比数列及前 n 项和的性质 (1)等比中项 如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.即:G 是 a 与 b 的等比中项?a,G,b 成等比数列?G2=ab. (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak· al=am· an. 利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和: Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1, 同乘 q 得:qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn, a1?1-qn? 两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn= (q≠1) 1-q 1、数列{an}的通项公式为 an=n2-6n,则它最小项的值是________. 2、在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2,则该数列的通项 an=________. 3、在等差数列{an}中,S10=120,那么 a1+a10 的值是 A.12 B.24 C.36 ( ).

D.48 ).

4、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于 ( A.9 B.8 C.7 D.6 ( ).

5、已知等差数列{an}中,a32+a82+2a3a8=9,且 an<0,则 S10 为 A.-9 B.-11 C.-13 D.-15

6、若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n+5,则 a5+a6+a7=________. a5 5 S9 7、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若a =9,则S 等于
3 5

(

).

A.1

B.-1

C.2

1 D.2

8、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=72,则 a2+a4+a9=________. 9、在等比数列{an}中,若 2a4=a6-a5,则公比 q 是________. S4 10、设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则a 等于
2

(

).

A.2

B.4

15 C. 2

17 D. 2 ).

11、(2013· 珠海模拟)设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+n,则 a7 的值为( A.13 B.14 C.15 D.16

12、已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于( A.4 B.5 C.6 D.7

).

13、 (2012· 重庆)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前 5 项和 S5=( A.7 B.15 C.20 D.25

).

14、已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.

3 15、在数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+1(n∈N*),求数列{an} 的通项公式.

16、已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,a3=6,S3=12. (1)求数列{an}的通项公式
1 1 1 (2)求 + +…+ . S1 S2 Sn

17、已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 ⑴ 求数列 {an } 的通项公式; ⑵ 令 bn

? 2 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 .

n ? an ?3 (n ? N* ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和的公式.

1、答案 -9 解析 an=n2-6n=(n-3)2-9,∴当 n=3 时,an 取得最小值-9. 2、 答案 2n-1 解析 由 an+1=an+2(n≥1)可得数列{an}是公差为 2 的等差数列, 又 a1=1, 所以 an=2n-1. 3、答案 B 解析 由 S10= 10?a1+a10? S10 120 ,得 a1+a10= = =24. 2 5 5

4、答案 B 解析 此数列为等差数列,an=Sn-Sn-1=2n-10,由 5<2k-10<8 得到 k=8. 5、答案 D 解析 由 a32+a82+2a3a8=9 得(a3+a8)2=9,∵an<0, ∴a3+a8=-3, 10?a1+a10? 10?a3+a8? 10×?-3? ∴S10= = = =-15. 2 2 2 6、答案 39 解析 a5+a6+a7=S7-S4=39.

9 9 ?a +a9? · 2a 2 5 9a5 9 a5 S9 2 1 7、答案 A 解析 = = = = · =1. S5 5 5 5a3 5 a3 ?a1+a5? · 2a3 2 2 8、答案 24 解析 ∵{an}是等差数列,由 S9=72,得 S9=9a5,a5=8,

∴a2+a4+a9=(a2+a9)+a4=(a5+a6)+a4=3a5=24. 9、-1 或 2 解析 法一 由已知得 2a1q3=a1q5-a1q4,即 2=q2-q,∴q=-1 或 q=2. 法二 ∵a5=a4q,a6=a4q2,∴由已知条件得 2a4=a4q2-a4q, 即 2=q2-q,∴q=-1 或 q=2. a1?1-q4? 1-q a1?1-16? 15 S4 解析 = = = . a2 a1q 2 -a1· 2

10、答案 C

11、答案 B 解析 12、答案 C 解析

a7=S7-S6=49+7-36-6=14. a2+a8=2a5,∴a5=6.

5-1 13、B 数列{an}的公差 d= 2 =2,则 a1=-1,a5=7,可得 S5=15,选 B.
14、解

(1)a1=S1=2-3=-1,

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于 a1 也适合此等式,∴an=4n-5. (2)a1=S1=3+b, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2· 3n-1. 当 b=-1 时,a1 适合此等式. 当 b≠-1 时,a1 不适合此等式. ∴当 b=-1 时,an=2· 3n-1;

?3+b, 当 b≠-1 时,an=? n-1 3 , ?2· 15、解

n=1, n≥2.

3 3 由 Sn+1=2Sn+1,知当 n≥2 时,Sn=2Sn-1+1, an+1 3 3 即 an+1=2an,∴ a =2, n 3 a2 3 ∴a2=2,∴a =2.
1

3 ∴Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1),

3 由 a1=1,得 S2=2a1+1=a1+a2,

3 ?3?n-1 ∴数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列.∴an=? ? . 2 ?2?



(1)∵?

? ?a3=a1+2d=6, ? ?S3=3a1+3d=12,

∴a1=2,d=2,

∴an=2+(n-1)×2=2n. (2)由(1)知 Sn=2n+ n?n-1? ×2=n(n+1). 2

? 1? ?1 1? 1 1 1 1 1 1 ∴ + +…+ = + +…+ = ?1- ? +? - ? S1 S2 Sn 1×2 2×3 n?n+1? ? 2? ?2 3? ?1 1 ? 1 n ? ? - +…+?n =1- = . ? n+1? n+1 n+1 ?
17、解:(1) Q a1 ? 2 , a1 ? a2

? a3 ? 12 ? 3a1 ? 3d ? 12,即d ? 2

? an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n.
(2)由已知: bn

? 2n ? 3n
① ②

? Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? 6 ? 32 ? ? ? 2n ? 3n

3Sn ? 2 ? 32 ? 4 ? 33 ? 6 ? 34 ? …+2n ? 3n?1
①-②得

n -2Sn ? 2 ? 3? 2 ? 23? ?2 3 3 ? ??? ? ? 2 ? 3 n ? 2n?1 =3

6(1 ? 3n ) ? 2n ? 3n ?1 1? 3

3 ? 3n ?1 3 1 ? Sn ? ? n ? 3n ?1 ? ? (n ? )3n ?1 . 2 2 2


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