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第二章圆锥曲线


第二章圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程 主备人:何麒鹏 教学目标: 一.知识与技能 使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系,从而掌握“曲线的方程” 和“方程的曲线”这两个概念;使学生掌握证明已知曲线 C 的方程是 f(x,y) =0 的方法和步骤。 二.过程与方法 通过方程和曲线概念的知识形成过程,培养学生合情推理能力,教学交流能 力,探索能力,确立“数形结合”的思想方

法,并进一步提高逻辑思维能力。 三.情感、态度、价值观 通过对章头引言的学习, 培养学生热爱生活的情感,激发学生学习数学的兴 趣,培养学生勇于探索,勇于创新的精神。 教学重点、难点 教学重点: “曲线与方程”与“方程与曲线”的概念 教学难点:对“曲线与方程”与“方程与曲线”定义中两个关系的理解。 教学方法: 讲解与启发式提问相结合的方法授课。通过提出问题,让学生自己讨论从而 去探索发现。 教学流程:以旧带新,提出课题→运用反例,揭示内涵→讨论归纳,得出定义→ 集合表述,强化理解→初步运用,反复辨析. 教学手段:PPT 课件与板书相结合

教学过程: 教学环节 教学内容 以旧带新,提出课题

师: 在本节课之前, 我们已多次用一个方程 F(x, y)=0 [或 y=f(x)]来表示一条曲线 C,这里,先看几个例子. [例 1] (1)画出方程 x-y=0 表示的曲线; (2)画出方程 y ?

4 表示的曲线。 x

学生给出解答如图 1.

师:这节课就是要在此基础上,明确地建立曲线和方程之 间的对应关系,也就是要弄清楚:符合怎样条件的方程才 能完整地表示一条曲线, 同时这曲线也完整地表示着一个 方程.大家知道,平面上建立了直角坐标系之后,就把点 和一对有序实数联系起来了,这有序实数就是点的坐 标.曲线是由点组成的,二元方程的任一个解恰是一对有 序实数,这就为曲线与方程建立对应关系奠定了基础.现 在请大家思考一个问题: “方程 F(x, y)=0 的解与曲线 C 上的点的坐标具备怎 样的关系,就能用方程 F(x,y)=0 表示曲线 C,同时曲线 C 也表示着方程 F(x,y)=0?为什么要具备这些条件?” (将问题重复一遍,使每个学生听清楚.学生思考, 讨论,口答.)

设计意图

运用学生熟知的旧知识,既提出了课题,又为形成曲线和 方程的概念提供了实际模型. 但是如果就此而由教师直接 给出结论,那就不仅会失去开发学生思维的机会,影响学 生的理解,而且会使教学变得枯燥乏味,抑制学生学习的 主动性与积极性. 要启动学生的思维, 就要有一个明确的可供思考的问 题,使学生的思维有明确的指向.这里提出的思考题是以 相信学生对用方程表示曲线的事实已有初步的认识为前 提的,它可以说是本节课的中心议题,应引导全班学生积 极思维,让多一点学生发表意见,形成“高潮”.在思考 题的后面加上了“为什么”的问题, 是为了给那些还记着 “直线的方程”的定义的学生提供思考余地, 增大思考题 的跨度.

教学环节 教学内容

运用反例,揭示内涵
师:刚才的讨论中,有的同学提到了应具备关系:“曲线

上的点的坐标都是方程的解”;有的同学提出应具备关 系: “以方程的解为坐标的点都在曲线上”; 有的同学虽 用了不同的提法,但意思不外乎这两个.现在的问题是: 上述的两种提法一样吗?它们反映的是不是同一个事 实?有何区别?究竟用怎样的关系才能把例 1 中曲线和 方程的这种对应关系完整地表述出来?为了弄清这些问 题,我们来研究以下例题. [在讨论中, 学生会有各种不同的意见, 教师应予鼓 励, 并随时补正纠错, 但不要急着把两个关系并列起来抛 出定义,中断学生的探索性思维,而是再提出问题,深入 探索.] [例 2] 用下列方程表示如图 2 所示的直线 C,对吗?为什么? (1) x ? (2)

y ?0
2

x ?y
2

?0

(3)|x|-y=0 学生思考,口答.

师:方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲线 C 的方程.第(1) 题中,曲线 C 上的点的坐标不全都是方程 x ?

y ? 0的

解。例如点A(-2,-2),B(- 3 ,- 3 )等。即 不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论; 第 (2)题中,尽管“曲线 C 上的点的坐标都是方程的解”。 但是以方程

x ?y
2

2

? 0 的解为坐标的点不全在曲线C

上。例如点D(2,-2)E(- 3 ,- 3 )等。即不符 合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”。这一结论;第 (3)题中,则既有以方程|x|-y=0 的解为坐标的点,如

G(-3,3)、H(- 2 , 2 )等不在曲线C上,又有曲 线C上的点,如M(-3,-3),N( ?

1 1 , ? )等 2 2

的坐标不是方程|X|-Y=0的解。 事实上, (1) 方程 (2) (3)中各方程表示的曲线应该是图 3 所示的三种 情况.

设计意图

师:上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线,用 曲线表示方程的例 1;又观察、分析了例 2 中所出现的方 程与曲线间所建立的不完整的对应关系.假如我们把例 1 中这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的 话,我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了. 在概念教学中, 通过反例的反衬, 常常起着帮助学生理解概念的作用. 反 例一般应用在学生对概念有了初步的正面理解之后,这里却用在给出概 念的定义之前,那是出于这样的考虑:(1)相信学生已经有了用方程表示 曲线的经验,已能从直觉上识别哪个方程能表示哪条曲线(当然是简单的 例子),哪个方程不能表示哪条曲线,缺少的只是用逻辑形式确切地加以 陈述,给概念以定义;(2)将反例中出现的不完整性与直观引起矛盾,产 生有针对性的思维.为了解决这种矛盾,避免曲线和方程之间关系的不 完整性, 寻求作出必要的规定, 这就是产生“曲线的方程”和“方程的曲线” 的定义的过程.

教学环节 教学内容

讨论归纳,得出定义
师:在下定义时,针对例 2(1)中“曲线上混有其坐标不 是方程的解的点”,以及(2)中“以方程解为坐标的点不 在曲线上”的情况,对“曲线的方程”应作何规定? (学生口答.) 师: 为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点, 必须规定“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”(板

书);为了防止曲线上缺漏坐标是方程解的点,必须规定 “以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.”(板书.) 这样, 我们可以对“曲线的方程”、 “方程的曲线” 下这样的定义: 在直角坐标系中, 如果某曲线 C 上的点与 一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那 么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.

设计意图

在辨析反例之后,有了关于对象所共有的本质属性的正确认识,给对象 以明确的定义已是水到渠成了,这里单独列出作为一个教学步骤,是想 突出这个中心环节,并有意识地训练学生依据直觉的分散的已知知识给 概念下定义的创造能力.

教学环节 教学内容

集合表述,强化理解
师: 大家熟知, 曲线可以看作是由点组成的集合, 记作 C; 一个二元方程的解可以作为点的坐标,因此二元方程的 解集也描述了一个点集,记作 F.请大家思考:如何用集 合 C 和 F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲 线”定义中的两个关系,进而重新表述“曲线的方程” 和“方程的曲线”的定义.

师:关系(1)指点集 C 是点集 F 的子集;关系(2)指 点集 F 是点集 C 的子集.这样,根据集合的性质,我们 可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程 的曲线”,即(板书.)

(1) C ? F

} ? C=F
(2) F ? C 设计意图
这是本节课第二个思维的“热点”,将促使学生对曲线 和方程关系的理解得到强化,是认识上的再一次抽象, 其结果将使学生对曲线和方程的关系的理解与记忆都趋

于简化.

教学环节 教学内容

初步运用,反复辨析
[例 3] 下列各题中, 图所示的曲线 C 的方程为所列方程, 对吗?如果不对,那是不符合“曲线的方程”定义中的 关系(1),还是关系(2)?

(1)

曲线 C 为一折线. 方程(x-y+1)(x+y-1)=0.

(2)

曲线 C 是顶点为原点的二次函数图像. 方程 x ? (3)

y ? 0。

曲线 C 是过点(4,1)的反比例函数图像.

方程 y ? (4)

4 。 |x|

曲线 C 为△ABC 的中线 AO. 方程 x=0.

(5)

曲线 C 是以原点为圆心,半径为 5 的圆. 方程 x2+y2=25.

[例 4] 解答下列问题, 且说出各依据了曲线的方程和方 程的曲线定义中的哪一个关系? (1)点 M 1 (3,?4), M 2 (?2 5 ,2) 是否在方程为 圆上? (2)已知方程为 的值。 (3)在什么情况下,点 M 4 (2, 3 ) 在方程为

x ?y
2

2

? 25 的

x

2

? y ? 25 的圆过点

2

M

3

( 7 , m) , m 求

a x ? b y ? b(a ? 0, b ? 0) 的曲线上?
2

2

(学生练习、口答.) 师:(纠错、小结.) 依据关系(2),可知点 M1 在圆上;依据关系(1),可 知点 M2 不在圆上;

依据关系(1),求得 m ? ?3 2 依据关系(1),求得 b=7a [例 5] 证明以坐标原点为圆心,半径为 5 的圆的方程为

x

2

? y ? 25 。

2

师:在解答例 3(5)时,已经对此结论作出判定,因此只需 把判定的过程书面表达出来. 师:(学生练习过程中,适时插话.) 与刚才判定时一样,证明也要紧扣定义分两步进行; 关系(1)、(2)中,“点”与“解”指的都是有关集合中

设计意图

的全体元素,我们只要用(x0,y0)表示“任意一个”,以 此代表“全体”即可,这种方法为数学证明中常用. 数学概念是要在运用中得以巩固的,通过运用与练习,可以纠正错误的 认识,促使对概念的正确理解,通过反复重现,可以不断领悟,加强识 记.这里安排的“初步运用”,目的也在于帮助学生正确理解概念,通过 解题辨析“两个关系”,实现本节课的教学目标,为此,题目中的“曲线” 与“方程”都力求简单.

教学环节 教学内容

课堂小结
师:本节课我们通过对实例的研究,掌握了“曲线的方 程”、“方程的曲线”的定义,在领会定义时,要牢记 关系(1)、(2)两者缺一不可,它们都是“曲线的方程” 和“方程的曲线”的必要条件,两者都满足了,“曲线 的方程”和“方程的曲线”才具备充分性. 曲线与方程之间一一对应关系的确立,进一步把 “曲线”与“方程”统一了起来.在此基础上,我们就 可以更多地用代数的方法研究几何问题,即“就数论 形”,这是解析几何的基本思想和基本方法,我们在阅 读、思考、解题时,应更自觉地“由形及数”,“由数 及形”,在观念上把曲线和方程统一起来.

设计意图

小结时才提出“必要性”与“充分性”的问题,因为 “充要条件”的知识在本节教材之后,如果过早提出, 反而会干扰学生的理解.小结的另一点,意在建立曲线 的方程和方程的曲线概念之后,“画龙点睛”,不失时 机地“点”一下“解析几何”的基本思想,使之逐渐转 变为学生的思想.

教学环节
教学反思:

作业布置 P36——练习 B

1,2,3

2.1.2 求曲线的方程 主备人:何麒鹏 教学目标
(1) 知识与技能:让学生理解坐标法的作用及意义,掌握求曲线方程的一 般方法和步骤,能根据所给条件建立适当的坐标系求曲线方程。 (2) 过程与方法:通过自主探究,学生经历“特殊—一般—特殊”的认知 模式,完善认知结构,体验坐标法在处理几何问题中的优越性。 (3) 情感态度与价值观: 让学生感受数学问题探索的乐趣, 体会数学的理性、 严谨和实用,体现数学的文化价值。
重点:求曲线方程的方法、步骤。 难点:如何建立适当的坐标系将几何条件代数化。

教法与学法
探究发现教学法、合作学习法、多媒体辅助教学。

教学过程
知识主线 活 动 主 线 素 养 主 线 复习巩固

教 师 活 动 学 生 活 动 【复习引入】 【复习回顾】 由方程与曲线的概 (1)曲线上点的坐标都 “ 曲 线 的 方 念可知,借助于坐标系, 是这个方程的解; 程”与“方程 用坐标表示点,用方程 (2)以这个方程的解为 的曲线”的概 表示曲线,通过研究方 坐标的点都是曲线上的点。 念 程的性质间接地研究曲 线的性质,这就是我们 反复提到的坐标法。 例1、设A、B 【启发诱导】 思考:①如果把这条垂 两点的坐标分 直平分线看成是动点运 别是(-1,- 动的轨迹,那么这条垂 直平分线上任意一点应 1)和(3,7) 该满足怎样的几何条 , 求 线 段 AB 的 件? ②几何条件能否 垂直平分线的 转化为代数方程? ③用新方法求得
【探究思考】

解法一:过 A、B 两点的直线的斜率为: K AB ?

7?1 ?2 3?1

所以线段 AB 的垂直平分线的斜率为: K ? ?

1 1 ?? K AB 2

又线段 AB 的终点坐标为(1,3) , 所以线段的垂直平分线方程为:x+2y-7=0 解法二:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,则点

方程?

的直线方程,是否已符 合要求?为什么?(提 示:方程与曲线构成对应 关系,必须满足什么条 件?) 层层设问引导学 生采用一般性的方法求 出轨迹方程

M 属于集合 P={M||MA|=|MB|}
2 2 2 2 ∴ (x +1) +(y +1) = (x - 3) +(y - 7)

上式两边平方整理得 x ? 2 y ? 7 ? 0 (1) (1)由此可知,垂直平分线上每一点的坐标都是方程(1) 的解。 ( 2 ) 设 点 M 1 的 坐 标 ( x1 , y1 ) 是 方 程 (1) 的 解 , 即

x1 ? 2 y1 ? 7 ? 0 即 x1=7-2y1

M 1 A ? ( x1 ? 1) 2 ? ( y1 ? 1) 2 ? (8 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 1) 2 ? 5( y 21 ? 6 y1 ? 13)
所以 M 1 A ? M 1 B

M 1 B ? ( x1 ? 3)2 ? ( y1 ? 7)2 ? (4 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 7)2 ? 5( y 21 ? 6 y1 ? 13)

即点 M 1 在线段 AB 的垂直平分线上

体验科学探究的过程,培养思维的严谨性和实践能力,掌握自主学习数学的途径之一: 理论分析。 【启发诱导】 【协作会话】

例 2、已知一 条直线 l 和它 上方的一个点 F,点 F 到 l 的 距离是 2.一条 曲线也在 l 的 上方,它上面 的每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差 都是 2,建立适 当的坐标系, 求这条曲线的 方程.

(学生分组讨论,独立完成) 思考 1.与例 1 相比,有 解:取直线 l 为 x 轴,过 F 点且垂直于直线 l 的直线为 什么显著的不同点? y 轴,建立直角坐标系。 2.你准备如何建立 设点 M(x,y)是曲线上任意一点,作 MB⊥x 轴,垂 坐标系,为什么? 足为 B, 3.比较所求的轨迹 则点 M 属于集合 P={M||MF|-|MB|=2} 方程有什么区别?从中 ∴ x 2 ? ( y ? 2) 2 ? y ? 2 得到什么体会? 化简得 y ?
1 2 x (x≠0) 8

(分组讨论可得不同的解,交流心得) 学生在动手、思考、交流的活动中培养了团结协作,归纳 总结及交流表达的能力掌握自主学习数学的途径之二: 实践探
究。

如何建系?

适当点拨

【体验交流】

体验:尽量把已知点作为坐标原点或放在坐标轴上, 尽量把已知的直线或线段所在的直线作为坐标轴,坐 标系选取适当,可以使运算简单,所得的方程也比较 简单。

总结步骤

适当点拨

【巩固知识】

步骤: (1)建系:在给定条件下建立适当的直角坐标 系。 (2)设点:用有序实数对(x,y)表示曲线上的 任意一点 M 的坐标。 (3)定集:写出适合条件 P 的点 M 的集合: P={M|P(M)}。 (4)列式:用坐标表示条件 P(M), 列出方程 f(x,y)=0。 (5)化简:化方程 f(x,y)=0 为最简形式。 (6)检验:以化简后的方程的解为坐标的点是 否都是曲线上的点。
【归纳总结】本节课我们主要学习了什么?需要注意的有哪些? 【提高升华】本节课体验了坐标法解决几何问题的优越性,感受了坐标法的实质就是用代数

的方法解决几何问题,这一方法已形成一门学科——解析几何。 平面解析几何研究的主要问题是: (1)根据已知条件,求出表示曲线的方程; (2)通过曲线的方程,研究曲线的性质。 本节研究的是第一个问题——求曲线的方程。 解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑,也是近代数学崛起的标志之一。 【练习巩固】教材 37 页练习 1、2、3 【作业】教材 37 页习题 2.1A 组 1、2、3、4
教学反思:

2.2.1 椭圆及其标准方程
一、教学目标: 1.知识与技能目标: (1)掌握椭圆定义和标准方程. (2)能用椭圆的定义解决一些简单的问题. 2.过程与方法目标: (1)通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导,培养学生发现规律、认识规 律并利

用规律解决实际问题的能力. (2)在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等 数学思 想和方法 3.情感态度与价值观目标: (1)通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣. (2) 通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的 “简洁美” . (3)通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培养,增强主 动与他 人合作交流的意识. 二、教学重点、难点: 1.重点:椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。 2.难点:椭圆标准方程的推导。 三、教材与教法分析 (一) 、教材、学习者特征分析: 本节课是圆锥曲线的第一课时。它是在学生学习了直线和圆的方程的基础 上,进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供 了基本模式和理论基础。 因此这节课有承前启后的作用,是本章和本节的重点内 容;椭圆的标准方程推导过程中,化简两个根式的方程的方法特殊,难度较大, 学生初次遇到。 (二) 、教学方法和教学策略分析: 探究式、启发式教学方法,引导学生主动参与、积极体验、自主探究,形成 师生互动的教学氛围。以启发、引导为主,采用设疑的形式,逐步让学生进行探 究性的学习。充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心,敢想敢为,对新事物 具有浓厚的兴趣的特点。 让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件,自觉 主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。 四、教具: 多媒体 直尺、细绳、钉子、笔、小木黑板

第一课时
五、教学过程

新课引入 2010 年 10 月 1 日,中国的航天史又被翻开了新的一页,我国自主研制的嫦 娥二号探月卫星升上太空,在太空中探索宇宙的奥秘。这一事件,再一次向世界 表明,我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。 “嫦娥二号”升空 后,准确的进入预定轨道,它运行中期的轨道是一个椭圆。 在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆, 生活中也有许多椭圆形的实际 例子。由此看来,若要探索浩瀚宇宙的奥秘,解决日常生活中与椭圆有关的一些 实际问题, 需要对椭圆这一图形进行研究。今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆 的标准方程。那么什么是椭圆呢? (一)认识椭圆,问题引出:
1.对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片,让 学生从感性上认识椭圆. (演示:天体运行轨道 ;生活实例:平面截圆锥等图片) 2.对比圆的定义:平面内与定点的距离等于定长的点的集合。 如果将圆的定义中的“定点”改为“两定点”“距离”改为“距离的和” , ,那么平面内到两 定点的距离的和等于定长的点的集合(轨迹)是什么图形? (二)动手实验,亲身体验

指导学生互相合作(主要在于动手) ,体验画椭圆的过程(课前准备直尺、 细绳、钉子、笔、纸板) ,并以此了解椭圆上的点的特征. 请三名同学上台画在黑板上.
注:在本环节中不急于向学生交待椭圆的定义,而是先设计一个实验,一来是为了给 学生一个创造实验的机会,让学生体会椭圆上点的运动规律;二是通过实践,为进一步上升 到理论做准备。 先在画板上点两点F1、F2, 取一定长的细绳, 把它的两端固定在画板上的F1 、F2 两点处。 【演示一】当绳长等于| F1 F2|时,使笔尖贴紧绳子慢慢移动。 (1) 、观察:笔尖的轨迹是一个什么图形? 明确: 一条线段

(2) 、这条线段上的每一个点到F1 、F2两点的距离和都相等吗? 明确:相等,而且都等于这条绳长 【演示二】当绳子长大于| F1 F2|时,用笔尖把绳子拉紧,绳子尽量贴紧画板,使笔尖在 画板上慢慢移动(学生亲手画) ,就可以在平面内画出一个椭圆(动画演示)

(三)归纳定义
【引导】根据画图的过程,请同学们思考椭圆上的点有什么共同特征? 提问: (1)在画图的过程中,绳长变了吗? 明确: 没有

(2)在画图过程中,绳子始终是紧绷的,那么我们画出的曲线上的点到F1 、F2两点的 距离之和始终满足什么关系? 明确:与绳长相等. 对,绳长没有发生变化,这说明椭圆上每一点到F1 、F2两点的距离的和都相等,且都是 绳长这一定值。这就说明,椭圆上的点除了要满足到两定点F1 、F2的距离和相等之外,这个 距离和还要比| F1 F2|大。 请大家回想刚才的画图过程,使笔尖贴紧绳子且贴紧黑板(表明在同一平面内) ,又保证 绳长大于| F1 F2|,这样就在平面内画出了椭圆,所有具有这些特征的点集在一起就形成了椭 圆。 再次(运用几何画板的度量工具)演示椭圆上任意一点到两焦点的距离的和都相等(为 定值) 。 那么请同学们给椭圆下个定义吧! 引导学生归纳出椭圆的定义。

椭圆定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨 迹叫做椭圆。
巩固练习: 平面内有两定点A、B,它们之间的距离为6 cm . (1)若动点P与A、B两点的距离和是定值,且 大于 (填大于、等于或小于)6 cm ,

则它的轨迹是椭圆,定点A和B是椭圆的焦点。它们之间的距离就是椭圆的焦距。 (2)若动点P与A、B两点的距离的和等于6cm,则它的轨迹是 线段AB 。 (3)若动点P与A、B两点的距离的和小于6cm,则动点轨迹 不存在 。

(四)合理建系,推导方程
为了进一步研究椭圆的特征,现在我们一起来推导椭圆的曲线方程:上一节我们知道了 求曲线方程第一步, 建立适当的坐标系, 用有序实数对 (x,y) 表示曲线上任意一点M的坐标。 在这儿“适当”二字应如何体现?

由学生自主提出建立坐标系的不同方法,教师根据学生提出的“建系”方 式,把学生分成若干组,分别按不同的建系的方法推导方程,进行比较,从中选 择比较简洁优美的形式确定为标准方程. 已知椭圆的焦距 | F1 F2 |? 2c, (c ? 0) ,椭圆上的动点 M 到两定点 F1 , F2 的距 离之和为 2a ,求椭圆的方程. 如图 1, 以两个定点 F1 , F2 所在直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立 平面直角坐标系.设 F1 F2 ? 2c(c ? 0) ,点
M ( x, y) 为椭圆上任意一点,则
P ? ?M MF1 ? MF2 ? 2a?
y M F1 O F2 x

图1
(称此式为几何条件)

所以, 得

? x ? c ?2 ? y 2
? x ? c ?2 ? y 2

?

? x ? c ?2 ? y 2

? 2a

(实现集合条件代数化)

为化简这个方程,将左边的一个根式移到右边,得
? 2a ?

? x ? c ?2 ? y 2 , ? x ? c ?2 ? y 2

将这个方程两边平方,得 (x+c)2+y2 = 4a2 -4a 整理得
? ( x ? c) 2 ? y 2 ,

a 2 ? cx ? a ( x ? c) 2 ? y 2
上式两边再平方,得

a 4 ? 2a 2 cx ? c 2 x 2 ? a 2 x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 c 2 ? a 2 y 2 ,
整理得

(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )
注:这是本节的难点所在,通过课堂精心设问来突破难点: 1. 化简含有根号的式子时,我们通常用什么方法? 2. 对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方?

由于化简两个根式的方程的方法特殊,难度较大,估计学生容易想到直接平方, 这时可让学生预测这样化简的难度,从而确定移项平方可以简化计算。为此,我首 先启发学生如何去掉根号较好,让学生动手比较,最后得出移项平方化简方程比较 简单,这样有利于培养学生的分析比较能力。 方程 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) 结构较复杂,不便记忆,还可以继续化 简吗? 由椭圆的定义可知,2a>2c,即 a>c,所以 a 2 ? c 2 >0 两边同除以 a 2 (a 2 ? c 2 ) ,得
x2 y2 ? 2 ? 1. a2 a ? c2

因为 a 2 ? c 2 >0 不妨令 a 2 ? c 2 ? b 2 ,那么所得的椭圆方程可化为:
x2 y2 ? ? 1 , (a ? b ? 0) a2 b2

(1)

我们称方程(1)为椭圆的标准方程.它的焦点在 x 轴上。 注:这里引入正数 b(令 b =a -c ),其目的是使方程形式简单、和谐,讲究对 称美,便于记忆。同时 b 具有特定的几何意义,我们将在下一小节继续学习。 对标准方程的理解: 所谓椭圆标准方程,一定指的是焦点在坐标轴上,且两焦点的中点为坐标原点。 问题:如果焦点 F1 , F2 在 y 轴上,且 F1 , F2 的坐标分别为: (0,-c),(0,c), 意义同上,那么椭圆的方程是什么呢? 可让学生先猜想结论: 让学生通过对 比。 实际上只要将前面的 x 轴与 y 轴互换,就可得到焦点在 y 轴的椭圆的标 准方程:
y 2 x2 ? ? 1 (a>b>0) ,并说明理由。 a 2 b2
?x ?
2
2 2 2

a ,b

y M

? y ? c?

2

? y ? c?

2

? x ? 2a 进行观察,与前面对
2

F O F

x

y2 x2 ? ? 1 , (a ? b ? 0) a2 b2

(2)

两种标准方程特点的比较: 1. 两个方程中都有:a2=b2+c2,a>b>0, a>c>0,b 与 c 大小不定。 2. 两个方程焦点位置的确定:哪个分式的分母大,焦点就在哪个轴上。 (五)应用举例,小结升华.
5 3 例.已知椭圆的两个焦点分别是(-2,0)(2,0) , ,并经过点 ( ,? ) ,求它的 2 2

标准方程。 分析:法一:可由椭圆的定义先求出 2a,又已知 c,故可求出方程。
5 3 法二:由焦点坐标知道 a , b 的关系,再将已知点 ( ,? ) 代入椭圆方程。 2 2

解法一、椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为
y2 x2 ? ? 1 (a>b>0). a2 b2

由椭圆的定义知 2a =

5 3 ? 3? ?5 ? ( ? 2) 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? (? ) 2 ? 2 10 , 2 2 ? 2? ?2 ?

2

2

所以 a =

10

又因为 c = 2 ,所以 b2 = a2 – c2 = 10 – 4 = 6 . 因此,所求椭圆的标准方程为
x2 y2 ? ?1 10 6

解法二:因为 c = 2 ,所以 a2 = b2 + 4 所以可设椭圆方程为:
x2 y2 ? 2 ?1 b2 ? 4 b

5 3 ? 把点( , ) 代入,可解得 b2 = 6 .所以 a2 = 10. 2 2

因此,所求标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 10 6

巩固练习: 1.如果椭圆
x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另一 100 36

个焦点 F2 的距离是

14



2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a = 4 ,b = 1 ,焦点在 x 轴上;
明确:

x2 ? y2 ? 1 16 y2 ? x2 ? 1 16

(2)a = 4 ,c =

15 ,焦点在 y 轴上;

明确:

(3) a + b = 10 , c = 2 5 。 课堂小结:

明确:

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 36 16 16 36

由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法,教师根据学生的总结做适 当补充、归纳、点评: 1.知识总结:椭圆的定义,椭圆的标准方程 。 2.思想方法总结:分类讨论,待定系数法,数形结合。 课外作业:习题 2.2
教学反思:

第 1、2 题

2.2.2 椭圆的简单几何性质 主备人:何麒鹏
教学目标:了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称 中心、离心率、顶点的概念;掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;通过例 题了解椭圆的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术初步了解椭圆的第二定义. . 培养学生的数形结合的思想方法。 教学重点:椭圆的简单几何性质的应用。 教学难点:椭圆的简单几何性质的应用。 二过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点, 在本节中不仅要注意通 过对椭圆的标准方程的讨论, 研究椭圆的几何性质的理解和应用, 而且还注意对这种研究方 法的培养. ①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围; ②由方程的性质得到 椭圆的对称性;③先定义圆锥曲线顶点的概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的 概念;④通过 P48 的思考问题,探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗椭圆的简单几何性质. (2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问:研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位 置.要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)椭圆的简单几何性质 ①范围:由椭圆的标准方程可得,

y2 x2 ? 1 ? 2 ? 0 ,进一步得: ?a ? x ? a ,同理可 b2 a

得: ?b ? y ? b ,即椭圆位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭圆 的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心;

③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫 做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫 做长轴,较短的叫做短轴; ④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e ?

c 叫做椭圆的离心率( 0 ? e ?1 ) , a

, ?当e ? 1时,c ? a,b ? 圆形扁 ?椭 图 越

?0

?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ;? . ?椭圆越接近于圆

(iii)例题讲解与引申、扩展 例 1 求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
2 2

分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出 a, b, c .引导学生 用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量. 扩展:已知椭圆 mx ? 5 y ? 5m ? m ? 0 ? 的离心率为 e ?
2 2

10 , 5

求 m 的值. 解法剖析:依题意, m ? 0, m ? 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论:①当焦 点在 x 轴上,即 0 ? m ? 5 时,有 a ?

5, b ? m , c ? 5 ? m ,∴

5?m 5

?

2 5

,得

m ? 3 ; ② 当 焦 点 在 y 轴 上 , 即 m ? 5 时 , 有 a ? m , b ? 5, c ? m ? 5 , ∴
m?5 m ? 10 25 ?m? . 5 3

例 2 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个 焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 .已知 BC ? F1 F2 ,

F1 B ? 2.8cm , F1 F2 ? 4.5cm .建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.

x2 y 2 解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ,算出 a, b, c 的 a b
值;此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②

关于 a, b, c 的近似值,原则上在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定. 引申:如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定轨道开始巡天飞行,其轨道 是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆, 近地点 A 距地面 200km , 远地点 B 距地面 350km , 已知地球的半径 R ? 6371km .建立适当的直角坐标系,求出椭圆的轨迹方程. 例 3 如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4, 0 ? 的距离和它到直线 l : x ?

25 的距离的比是常数 4

4 ,求点 M 的轨迹方程. 5
分 析 : 若 设 点 M ? x, y ? , 则 MF ?

? x ? 4?

2

2 ? y ,到直线 l : x ?

25 的距离 4

d ? x?

25 ,则容易得点 M 的轨迹方程. 4

引申: 用 ( 《几何画板》 探究) 若点 M ? x, y ? 与定点 F ? c, 0 ?

a2 的距离和它到定直线 l : x? 的距离比是常数 c

e?

a2 c a ? c ? 0 ? , M 的轨迹方程是椭圆. x 则点 其中定点 F ? c, 0 ? 是焦点, 定直线 l : ? ? c a

x 相应于 F 的准线; 由椭圆的对称性, 另一焦点 F ? ? ?c, 0 ? , 相应于 F ? 的准线 l ? : ? ?
小结 1.知识总结:椭圆的几何性质 2.思想方法总结: 教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评。 (4)课后作业: 习题 2.2 A 组 4,5 教学反思:

a2 .(3) c

2.3 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
◆ 知识与技能目标 理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题;理解双曲线 标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 了解借助信息技术探究动点轨迹的 《几 何画板》的制作或操作方法. ◆ 过程与方法目标 (1)预习与引入过程 预习教科书 56 页至 60 页, 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时, 观察平面截圆锥 的截口曲线 (截面与圆锥侧面的交线) 是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面与圆 锥的轴线或平行时,截口曲线是双曲线,待观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你 能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线; 第二、 你能举出现实生活中双曲 线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起思考与探究 P56 页上的问题 (同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条(一条约 10cm 长,另一条约 6cm 每条一端结一 个套) 和笔尖带小环的铅笔一枝, 教师准备无弹性细绳子两条 (一条约 20cm, 另一条约 12cm, 一端结个套,另一端是活动的) ,图钉两个) .当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中,把绳子 的另一端重合在一起,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是双曲线.启发性提问:在这一过 程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗§2.2.1 双曲线及 其标准方程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到双曲线的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的 点的轨迹叫做双曲线(hyperbola) .其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫 做双曲线的焦距.即当动点设为 M 时,双曲线即为点集 P ? M MF1 ? MF2 ? 2a . (ii)双曲线标准方程的推导过程 提问: 已知椭圆的图形, 是怎么样建立直角坐标系的?类比求椭圆标准方程的方法由学 生来建立直角坐标系. 无理方程的化简过程仍是教学的难点,让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理 的数学活动过程. 类比椭圆:设参量 b 的意义:第一、便于写出双曲线的标准方程;第二、 a, b, c 的关系 有明显的几何意义. 类比: 写出焦点在 y 轴上, 中心在原点的双曲线的标准方程 (iii)例题讲解、引申与补充 例 1 已知双曲线两个焦点分别为 F1 ? ?5, 0 ? , F2 ? 5, 0 ? ,双曲线上一点 P 到 F1 , F2 距 离差的绝对值等于 6 ,求双曲线的标准方程.

?

?

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? . b2 a 2

分析:由双曲线的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a, b, c .
2 补充:求下列动圆的圆心 M 的轨迹方程:① 与⊙ C : ? x ? 2 ? ? y ? 2 内切,且过 2 2 2 点 A ? 2, 0 ? ; 与⊙ C1 :x ? ? y ? 1? ? 1 和⊙ C2 :x ? ? y ? 1? ? 4 都外切; 与⊙ C1 : ② ③ 2 2

? x ? 3?

2

? y 2 ? 9 外切,且与⊙ C2 : ? x ? 3 ? ? y 2 ? 1内切.
2

解题剖析:这表面上看是圆与圆相切的问题,实际上是双曲线的定义问题.具体解:设动圆 M 的半径为 r . ① ∵⊙ C 与⊙ M 内切,点 A 在⊙ C 外,∴ MC ? r ?

2 , MA ? r ,因此有

MA ? MC ? 2 ,∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦点的双曲线的左支,即 M 的轨迹方程
是 2x ?
2

2 y2 ?1 x ? ? 2 ; 7

?

?

② ∵ ⊙ M 与 ⊙ C1 、 ⊙ C2 均 外 切 , ∴ MC1 ? r ? 1 , MC2 ? r ? 2 , 因 此 有

MC2 ? MC1 ? 1 ,∴点 M 的轨迹是以 C2 、C1 为焦点的双曲线的上支,∴ M 的轨迹方程
是 4y ?
2

4x2 3? ? ? 1? y ? ? ; 3 4? ?

③ ∵ ? M 与 ? C1 外切,且 ? M 与 ? C2 内切,∴ MC1 ? r ? 3 , MC2 ? r ? 1 ,因 此 MC1 ? MC2 ? 4 ,∴点 M 的轨迹是以 C1 、 C2 为焦点的双曲线的右支,∴ M 的轨迹

x2 y 2 ? ? 1? x ? 2 ? . 方程是 4 5
例 2 已知 A , B 两地相距 800m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s ,且声速 为 340m / s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间 差,即可知 A , B 两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨 迹方程. 扩展:某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告:正西、正北两个观察点 同时听到了一声巨响,正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察 点到该中心的距离都是 1020m .试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为 . 340m / s ;相关点均在同一平面内) 解法剖析:因正西、正北同时听到巨响,则巨响应发生在西北方向或东南方向,以因正东比 正西晚 4s ,则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图,以接报中心为原点 O ,正东、正北方向分别为 x 轴、 y 轴方向,建立

直角坐标系,设 A 、 B 、 C 分别是西、东、北观察点,则 A ? ?1020, 0 ? , B ?1020, 0 ? ,

C ? 0,1020 ? .
设 P ? x, y ? 为巨响发生点,∵ A 、 C 同时听到巨响,∴ OP 所在直线为 y ? ? x ??①, 又因 B 点比 A 点晚 4s 听到巨响声,∴ PB ? PA ? 4 ? 340 ? 1360 ? m ? .由双曲线定义知,

5 a ? 680 , c ? 1020 , ∴ b ? 3 4 0 , ∴ P 点 在 双 曲 线 方 程 为

x2 y2 ? ? 1 ? x ? ?680 ? ? ? ② . 联 立 ① 、 ② 求 出 P 点 坐 标 为 6802 5 ? 3402
P ?6 8 0

?

5, 680 5 .即巨响在正西北方向 680 10m 处.

?

探究:如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5, 0 ? , ? 5, 0 ? .直线 AM , BM 相交于 点 M ,且它们的斜率之积为 现? 探究方法:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示, 由于直线 AM , BM 的斜率之积是

4 ,求点 M 的轨迹方程,并与§2.1.例 3 比较,有什么发 9

4 ,因此,可以求出 x, y 之间的关系式,即得到点 M 的 9

轨迹方程. ◆ 情感、态度与价值观目标 通过课件( a )的展示与操作,必须让学生认同:与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面 所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线; 必须让学生认同与体会: 双曲线的定义及特 殊情形当常数等于两定点间距离时,轨迹是两条射线;必须让学生认同与理解:已知几何图 形建立直角坐标系的两个原则,及引入参量 b ?

c 2 ? a 2 的意义,培养学生用对称的美学

思维来体现数学的和谐美;让学生认同与领悟:像例 1 这基础题配备是必要的,但对定义的 理解和使用是远远不够的,必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题;例 2 是典 型双曲线实例的题目,对培养学生的辩证思维方法,会用分析、联系的观点解决问题有一定 的帮助, 但要准确判定爆炸点, 必须对此题进行扩展, 培养学生归纳、 联想拓展的思维能力. ◆能力目标 (1) 想象与归纳能力: 能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例 子, 能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义, 能正确且直观地绘作图形, 反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问 题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力.

(5) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决 问题的一般的思想、方法和途径. 练习:第 55 页 1、2、3、 作业:第 61 页 1、2、 教学反思:

2.2.2

双曲线的简单几何性质

◆ 知识与技能目标 了解平面解析几何研究的主要问题: (1)根据条件,求出表示曲线的方程; (2)通过方 程,研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐 近线的概念;掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题;通过例题和探究了 解双曲线的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定 义. ◆ 过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法,在本节课中不仅要注意通过对双曲 线的标准方程的讨论, 研究双曲线的几何性质的理解和应用, 而且还注意对这种研究方法的 进一步地培养. ①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围; ②由方程的 性质得到双曲线的对称性; ③由圆锥曲线顶点的统一定义, 容易得出双曲线的顶点的坐标及 实轴、虚轴的概念;④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题;⑤类比椭圆 通过 P56 的思考问题,探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§2.2.2 双曲线的 简单几何性质. (2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质. 提问:研究双曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小 和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)双曲线的简单几何性质 ①范围: 由双曲线的标准方程得,

y 2 x2 ? ?1 ? 0 , 进一步得:x ? ?a , x ? a . 或 这 b2 a 2

说明双曲线在不等式 x ? ?a ,或 x ? a 所表示的区域; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究双 曲线的标准方程发生变化没有, 从而得到双曲线是以 x 轴和 y 轴为对称轴, 原点为对称中心; ③顶点:圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的对称 轴叫做实轴,焦点不在的对称轴叫做虚轴;

④渐近线:直线 y ? ?

x2 y 2 b x 叫做双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线; a a b

⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? (iii)例题讲解与引申、扩展

c 叫做双曲线的离心率( e ? 1) . a

例 3 求双曲线 9 y ? 16 x ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐
2 2

近线方程. 分析:由双曲线的方程化为标准方程,容易求出 a, b, c .引导学生用双曲线的实半轴长、 虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子,但要注意焦点在 y 轴上的渐 近线是 y ? ?

a x. b
x2 y 2 ? ? 1 共渐近线,且经过 A 2 3, ?3 点的双曲线的标准方及离 16 9

扩展:求与双曲线 心率.

?

?

x2 y 2 3 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x .①焦点在 x 轴上时,设所求 解法剖析:双曲线 16 9 4
的双曲线为

x2 y2 1 3 ? 2 ? 1 ,∵ A 2 3, ? 点在双曲线上,∴ k 2 ? ? ,无解;②焦点在 2 4 16k 9k x2 y2 1 , ? 2 ? 1 , A 2 3 3? 点在双曲线上, k 2 ? , ∵ ∴ 2 4 16k 9k

?

?

设所求的双曲线为 ? y 轴上时,

?

?

因此,所求双曲线的标准方程为

y 2 x2 5 ? ? 1 ,离心率 e ? .这个要进行分类讨论,但只 9 4 3 4
x2 y 2 ? ? m ? m ? R, m ? 0 ? . 16 9

有一种情形有解,事实上,可直接设所求的双曲线的方程为

例 4 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1) , 它的最小半径为 12m ,上口半径为 13m ,下口半径为 25m ,高为 55m .试选择适当的坐标 系,求出双曲线的方程(各长度量精确到 1m ) . 解法剖析:建立适当的直角坐标系,设双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的值;此题应注意两点:①注意建立直 a 2 b2
角坐标系的两个原则;②关于 a, b, c 的近似值,原则上在没有注 意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定.

引申: 如图所示, P 处堆放着刚购买的草皮, 在 现要把这些草皮沿着道路 PA 或 PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫,已知 AP ? 150m , BP ? 100m ,

BC ? 60m ,?APB ? 60? .能否在足球场上画一条“等距离”线,在“等距离”
线的两侧的区域应该选择怎样的线路?说明理由. 解题剖析:设 M 为“等距离”线上任意一点,则 PA ? AM ? PB ? BM , 即 BM ? AM ? AP ? BP ? 50 (定值) ,∴“等距离”线是以 A 、 B 为焦点的双曲线 的 左 支 上 的 一 部 分 , 容 易 “ 等 距 离 ” 线 方 程 为

x2 y2 ? ? 1? ?35 ? x ? ?25, 0 ? y ? 60 ? .理由略. 625 3750
例 5 如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 5, 0 ? 的距离和它到直线 l : x ?

16 的距离的比是常数 5

5 ,求点 M 的轨迹方程. 4
分析:若设点 M ? x, y ? ,则 MF ?

?x ? 5?

2

? y 2 ,到直线 l : x ?

16 的距离 5

d ? x?

16 ,则容易得点 M 的轨迹方程. 5

引申:用《几何画板》探究点的轨迹:双曲线 若 点 M ? x, y 与 定 点 F ? c, 0 ? 的 距 离 和 它 到 定 直 线 l : x ? ?

a2 的距离比是常数 c

e?

c ? c ? a ? 0 ? ,则点 M 的轨迹方程是双曲线.其中定点 F ? c, 0 ? 是焦点,定直线 l : a

a2 a2 ? ? ?c, 0 ? ,相应于 F ? 的准线 l ? : x ? ? x? 相应于 F 的准线;另一焦点 F . c c

练习:第 61 页 1、2、3、4、5 作业:习题 2.3 A 组 第 3、4、6 教学反思:

补充:

2.3.3 课题:双曲线第二定义

教学目标:
11111.知识目标:掌握双曲线第二定义与准线的概念,并会简单的应用。 11112.能力目标:培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。

教学重点:双曲线的第二定义 教学难点:双曲线的第二定义及应用. 教学方法:类比法(类比椭圆的第二定义) 教学过程:111111111111111111111111111111 一、复习引入:
1、 (1)双曲线的定义: 、 平面上到两定点 F1、F2 距离之差的绝对值等于常数 (小于 | F1 F2 | ) 的点的 轨迹叫做双曲线.定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 (2)、双曲线的标准方程: 焦点在 x 轴:

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a2 b2

焦点在 y 轴:

y2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 其中 a 2 b2

a 2 ? b2 ? c 2 2、 对于焦点在 x 轴上的双曲线的有关性质:

c b x ;(3)、离心率: e ? >1 a a 3、今节课我们来学习双曲线的另一定义。(板书课题:双曲线第二定义)
(1)、焦点:F1(-c,0),F2(c,0);(2)、渐近线: y ? ?

二、新课教学:
1、引例(课本 P64 例 6):点 M(x,y) 与定点 F(5,0)距离和它到定直线 l : x ? 比是常数

16 的距离之 5
y H H o F2

5 ,求点 M 的轨迹方程. 4 | MF | 5 ? }, d 4 F 1

分析:利用求轨迹方程的方法。 解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合 P={M|

x



( x ? 5) ? y 5 ? 16 4 x? 5
2 2

化简得

x y ? ?1 16 9
x? a2 c

2

2

所以,点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8、6 的双曲线。 由例 6 可知:定点 F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线 l : x ? 常数为离心率 e ?

a2 16 为x? , c 5

c >1. a [提出问题]: (从特殊到一般)将上题改为:点 M(x,y)与定点 F(c,0)距离和它到定直线

l:x?

a2 c 的距离之比是常数 e ? ? 1 ,求点 M 的轨迹方程。 c a

解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,

根据题意,所求轨迹就是集合 P={M|

| MF | 5 ? }, d 4



( x ? c) 2 ? y 2 x? a c
2

?

c a

化简得 (c ? a ) x ? a y ? a (c ? a ) 两边同时除以
2 2 2 2 2 2 2 2

a 2 (c 2 ? a 2 ) 得
2、小结:

x2 y 2 ? ? 1 (其中a ? 0, b ? 0) a 2 b2

双曲线第二定义:当动点 M(x,y) 到一定点 F(c,0)的距离和它到一定直线 l : x ? 距离之比是常数 e ?

a2 的 c

c ? 1 时,这个动点 M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点 F(c,0)是双曲线 a
a2 叫双曲线的一条准线,常数 e 是双曲线的离心率。双曲线上 c

的一个焦点,定直线 l : x ?

任一点到焦点的线段称为焦半径。例如 PF 是双曲线的焦半径。 (P65 思考)与椭圆的第二定义比较,你有什么发现?(让学生讨论) 答:只是常数 e 的取值范围不同,椭圆的 0 ? e ?

c c ? 1 ,而双曲线的 e ? ? 1 . a a

三、课堂练习
1. 求

x2 y 2 ? ? 1 的准线方程、两准线间的距离。 3 4

3 x2 y 2 ? ? 1 可知,焦点在 x 轴上,且 c ? 3 ? 4 ? 7 所以准线方程为: x ? ? 解:由 ; 3 4 7
故两准线的距离为

3 3 6 7 ? (? )? . 7 7 7

2、(2006 年广东高考第 8 题选择题)已知双曲线 3x 2-y 2 = 9,则双曲线右支上的点 P 到右 焦点 的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。 (A) 2 (B) 2 3 3 (C) 2 (D) 4

解:

3、如果双曲线 __

x2 y 2 ? ? 1 上的一点 P 到左焦点的距离为 9,则 P 到右准线的距离是__ 25 144

解: P 到左准线的距离为 m,由双曲线方程可知 a=5,b=12,c=13, e ? 准线方程为 x ? ?

c 13 ? a 5

a 2 25 ? c 13

根据双曲线第二定义得,

9 13 45 ?e? ?m? m 5 13

又? 两准线间的距离为

25 25 50 ? (? ) ? 13 13 13 50 45 95 。 ? P到右准线的距离为 ? ? 13 13 13
a2 a2 1 c2 c ? (? ) ? ? 2c 即 2 ? 3, 又 ? e ? 1 所以 e ? ? 3 c c 3 a a

4、双曲线两准线把两焦点连线段三等分,求 e. 解:由题意可知,

5. 双曲线的 .

x2 y2 ? ?1 a2 b2

?a > 0 , b > 0 ? 渐近线与一条准线围成的三角形的面积是

a2 a2 b 解:由题意可知,一条准线方程为: x ? ,渐近线方程为 y ? ? x 因为当 x ? 时 c c a b a2 ab y?? ? ?? a c c
所 以 所 求 的 三 角 形 面 积 为 :

1 ab ab a 2 a3b ? ? (? )]? ? 2 [ 2 c c c c

四、课后练习:
1.已知双曲线 面积为
x2 a2 ? y2 b2

= 1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于 A,△OAF ) C.60° D.90°

a2 (O 为原点) ,则两条渐近线夹角为( 2

A.30°

B.45°

解:由题意可得,△OAF 的底边|OC|=c,高 h= ?

b a 2 ab ? a c c

?S△

OAF

1 ab a 2 ? = c ? a ? b 因此可知该双曲线为等轴双曲线。所以两条渐近线夹角为 2 c 2

90°。 2.
已知点(3, A 1)、F 2, , ( 0)在双曲线x
2

?

y2 1 ? 1上求一点P,使得 PA ? PF 的值最小,并求出最小值。 y 3 2
H F1 o

H P

P

F2

分析:本题的关键是利用双曲线的第二定义将 PA ?
解:由题意得e ? 2,设点P到右准线的距离为d,
PF 1 则由双曲线第二定义得: ? 2 ? PF ? d d 2
3 结合图形得 : 最小值为:? a2 c ? 5 2

1 2

PF 中的

1 2

PF 转化。

即 PA ?

1 PF ? PA ? d 2

A

, 这时P为:(

2 3 3

,。 1 )

五、小结:
(1) 知识内容:双曲线的第二定义及应用。 (2) 数学方法:类比法, (3) 数学思想: 从特殊到一般

六、作业:
1、双曲线 2mx ? m y ? 2 的一条准线是 y=1,则 m 的值。
2 2

2、求渐近线方程是 4x ? 3 y ? 0 ,准线方程是 5y ? 16 ? 0 的双曲线方程. 3、已知双曲线的离心率为 2,准线方程为 y ? ?2 x ,焦点 F(2,0),求双曲线标准方程. 4、 (请你编题)若双曲线标准方程为__上一点 p 到(左,右)焦点的距离是___则点 p 到(左, 右)准线的距离___.

2.4.1 抛物线及其标准方程
一、三维目标 (一)知识与技能 (1)掌握抛物线的定义、几何图形(2)会推导抛物线的标准方程(3)能够利用给定条件 求抛物线的标准方程 (二)过程与方法 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、 类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与 感悟,形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想。 (三)情感态度与价值观 进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神,培养学生实事求是、善于观察、勇于探 索、严密细致的科学态度;激发学生积极主动地参与数学学习活动,养成良好的学习习惯; 同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑,不但加强了学生对抛物线的感性认识,而且使学 生受到美的享受,陶冶了情操。 二、教学重点 抛物线的定义及标准方程 三、教学难点 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导(关键是坐标系方案的选择)

四、教学过程 1.课题引入 在初中,我们学习了二次函数 y ? ax ? bx ? c ,知道二次函数的图象是一条抛物线,
2

例如: (1) y ? 4 x , (2) y ? ?4 x 的图象(展示两个函数图象) :
2 2

师: ??那么, 如果问你怎么样的曲线是抛物线, 你可以回答我吗?它具有怎样的几何特征? 它的方程是什么呢?这就是我们今天要研究的内容。 (板书课题:2.4.1 抛物线及其标准方程) 2.抛物线的定义 实例引入:抛物线用折纸法画 我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物 线。 点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。 师:对于“直线 l 经过点 F”的情况,我们留到习题课再讨论。 3.抛物线的标准方程 从抛物线的定义中我们知道,抛物线上的点 M 满足到焦点 F 的距离与到准线 l 的距离 相等。那么动点 M 的轨迹方程是什么,即抛物线的方程是什么呢? 要求抛物线的方程,必须先建立直角坐标系。 探讨建立平面直角坐标系的方案(演示学生最可能想到的三种建系方案) 1 2 3

方案(一)

方案(二)

方案(三)

问题:哪种方案的方程更简单呢? 按照方案三的建系方式推导抛物线方程??直接演示方案一和二对应的方程,由学生观 察对比得出方案三的方程最简单,方案一二的方程推导可以留作课后思考问题。 1 2 3

y 2 ? 2 px ? p 2 ( p ? 0)

y 2 ? 2 px ? p 2 ( p ? 0)

y 2 ? 2 px( p ? 0)

注意:1.标准方程必须出来。 2.若出现比较复杂建系方案,可以以引入的字母参数较多为由,先排除计算 3.强调 P 的意义。 4.教师说明曲线方程与方程的曲线:从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标 都满足方程,以方程的解 ? x, y ? 为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等,即 方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程 (选择标准方程) 师:我们把方程 y ? 2 px( p ? 0) 叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点坐标是
2

p ?p ? (演示) ? , 0 ? ,准线方程是 x ? ? 。 2 ?2 ?
师:上面我们主要研究了抛物线开口向右的情况,那么如果它的开口方向是向左、向上或者 向下,其对应的方程又如何了呢? (演示下列表格的第一列和第一行)

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

p ( ,0) 2
p ( ? ,0 ) 2

x??

p 2

x?

p 2
p 2

x 2 ? 2 py ( p ? 0)

p (0, ) 2

y??

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

p (0,? ) 2

y?

p 2

(学生完成第二行,教师巡视个别辅导。类比椭圆第二种标准方程的推导完成第三和第四 行。 ) 对表格的说明:统观四种情况(学生记忆) (1) p( p ? 0) 表示焦点 F 到准线 l 的距离; (2)抛物线标准方程,左边为二次,右边为一次。若一次项是 x,则对称轴为 x 轴,焦 点在 x 轴上;若一次项是 y,则对称轴为 y 轴,焦点在 y 轴上; (对称轴看一次项) (3)标准方程中一次项前面的系数为正数,则开口方向坐标轴正方向;若一次项前面的 系数为负数,则开口方向为坐标轴负方向; (符号决定开口方向) 4.例题讲解 例 1(1)已知抛物线的标准方程是 y ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程
2

(2)已知抛物线的焦点是 F ? 0, ?2 ? ,求它的标准方程。 分析(1)先看清一次项,判定对称轴与焦点所在位置,画草图,再求出 p 的值得到焦 点坐标和准线方程。 (2)先判定出焦点在 y 轴上,从而得到一次项为 y,再求出 p 的值进而写出方程。 解: (1)因为 p ? 3 ,所以抛物线的焦点坐标为 ? , 0 ? ,准线方程为 x ? ? (2)因为抛物线的焦点在 y 轴上,所以抛物线方程为 x ? ?8 y 。
2

?3 ?2

? ?

3 2

随堂练习 1

P67 练习 1
1 4

1 根据下列条件写出抛物线的标准方程:

0 (1)焦点是 F ? 3,?
(2)准线方程是 x ? ?

(3)焦点到准线的距离是 2 随堂练习 2

P67 练习 2

5.课堂小结 让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容: 1、抛物线的定义

2、抛物线的标准方程有四种不同的形式 3、p 的几何意义是: 焦点到准线的距离 4、标准方程中 p 前面的正负号决定抛物线的开口方向. 6.作业布置 (1)必做题 (2)选做题 教学反思:

P73 A 组 1,2,3 P74 B 组 1

2.4.2 抛物线的简单几何性质
●教学目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程; 3.能利用工具作出抛物线的图形. ●教学重点 抛物线的几何性质 ●教学难点 几何性质的应用 ●教学方法 学导式 ●教具准备 三角板 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答) 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程 y2=2px(p>0)出发来研 究它的几何性质. Ⅱ.讲授新课 1. 范围 当 x 的值增大时, y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意 与双曲线一支 的区别,无渐近线). 2.对称性 抛物线关于 x 轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴. 3.顶点

抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用 e 表示.由抛 物线定义可知,e=1. 说明:对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生 掌握抛物线四种标准方程. 师:下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质. 例 1.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点 M(2,-2 2 ),求它的标准方程, 并用描点法画出图形. 师:由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型, 再求出方程中的参数 P. 解:因为抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点 M(2,-2 2 ),所以可设它的标 准方程为:

y 2 ? 2 px( p ? 0)
因为点 M 在抛物线上,所以 (?2 2 ) ? 2 p ? 2 ,即 p ? 2
2

因此所求方程是 y ? 4 x.
2

下面列表、描点、作图:

x y

0 0

1 2

2 2.8

3 3.5

4 4

?? ??

说明:①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤; ②抛物线没有渐近线; ③抛物线的标准方程 y ? 2 px( p ? 0) 中 2 p 的几何意义:抛物线的通
2

径,即连结通过焦点而垂直于 x 轴直线与抛物线两交点的线段. 师:下面我们通过练习进一步熟悉并掌握抛物线的标准方程. Ⅲ.课堂练习 课本 P72 练习 1,2. ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家掌握抛物线的几何性质,并在具体应用时注意 区分抛物线标准方程的四种形式.

●课后作业

习题 2.4 3.4.5 ●教学反思:

第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算(一)
教学目标: ㈠知识目标:⒈空间向量;⒉相等的向量;⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律; ㈡能力目标:⒈理解空间向量的概念,掌握其表示方法; ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. ㈢德育目标:学会用发展的眼光看问题,认识到事物都是在不断的发展、进化的,会 用联系的观点看待事物. 教学重点:空间向量的加减与数乘运算及运算律. 教学难点:应用向量解决立体几何问题. 教学方法:讨论式. 教学过程: Ⅰ.复习引入 [师]在必修四第二章《平面向量》中,我们学习了有关平面向量的一些知识,什么叫 做向量?向量是怎样表示的呢? [生]既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有:

①用有向线段表示; ②用字母 a、b 等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: AB .
[师]数学上所说的向量是自由向量,也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以 将向量进行平移,由此我们可以得出向量相等的概念,请同学们回忆一下. [生]长度相等且方向相同的向量叫相等向量. [师]学习了向量的有关概念以后,我们学习了向量的加减以及数乘向量运算:

⒈向量的加法:

⒉向量的减法: ⒊实数与向量的积:

实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,其长度和方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a| (2)当 λ>0 时,λa 与 a 同向; 当 λ<0 时,λa 与 a 反向; 当 λ=0 时,λa=0.
[师]关于向量的以上几种运算,请同学们回忆一下,有哪些运算律呢? [生]向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb
[师]今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上,类比地引入空间向量的概念、表 示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率,并进行 一些简单的应用.请同学们阅读课本 P26~P27. Ⅱ.新课讲授 [师]如同平面向量的概念,我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量.例如 空间的一个平移就是一个向量. 那么我们怎样表示空间向量呢?相等的向量又是怎样表示的 呢? [生]与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段 表示同一向量或相等的向量. [师]由以上知识可知,向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以用同一 平面内的两条有向线段表示.因此我们说空间任意两个向量是共面的. [师]空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢? [生]空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样:

OB ? OA ? AB =a+b,

AB ? OB ? OA (指向被减向量) ,

OP ? λa (? ? R)
[师]空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢?请大家验证这些运算律. [生]空间向量加法与数乘向量有如下运算律:

⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c); (课件验证) ⑶数乘分配律:λ(a + b) =λa +λb.
[师]空间向量加法的运算律要注意以下几点: ⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ?1 An ? A1 An
因此,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量.

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ?1 An ? An A1 ? 0 .
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成 立. 因此,求始点相同的两个向量之和时,可以考虑 用平行四边形法则

例1已知平行六面体 ABCD? A' B' C' D' (如图) ,化简下列向量表达式,并标 出化简结果的向量:

⑴ AB ? BC ;

⑶ ⑵ AB ? AD ? AA'; AB ? AD ?

1 CC' 2

1 ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 3
说明:平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体,叫做 平行六面体.记作 ABCD—A’B’C’D’. 平行六面体的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱. 解: (见课本 P27) 说明:由第 2 小题可知,始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等 于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量, 这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广.
Ⅲ.课堂练习 课本 P89 练习 Ⅳ.课时小结 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移, 而空间向量研究的是空间的平 移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” ,空间的平移包 含平面的平移. 关于向量算式的化简,要注意解题格式、步骤和方法. Ⅴ.课后作业 ⒈课本 P97 1、2、 ⒉预习课本 P92~P96,预习提纲: ⑴怎样的向量叫做共线向量? ⑵两个向量共线的充要条件是什么? ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么? ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式? ⑸怎样的向量叫做共面向量? ⑹向量 p 与不共线向量 a、b 共面的充要条件是什么? ⑺空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是什么?

板书设计: §3.1 空间向量及其运算(一) 一、平面向量复习 二、空间向量 ⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示 三、例 1

⒉加减与数乘运算 ⒊运算律 教学后记:

⒉加减与数乘向量 ⒊运算律

小结

空间向量及其运算(2)
一、课题:空间向量及其运算(2) 二、教学目标:1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 2.掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式. 三、教学重、难点:共线、共面定理及其应用. 四、教学过程: (一)复习: 1.空间向量的概念及表示; (二)新课讲解: 1.共线(平行)向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或 平行向量。读作: a 平行于 b ,记作: a // b . 2.共线向量定理: 对空间任意两个向量 a , b (b ? 0), a // b 的充要条件是存在实数 ? , a ? ?b( ? 唯一) 使 . 推论:如果 l 为经过已知点 A ,且平行于已知向量 a 的直线,那么对任一点 O ,点 P 在直线

?

?

?

?

? ? ?

? ?

?

?

?

?

??? ??? ??? ? ? ? ? l 上的充要条件是存在实数 t ,满足等式 OP ? OA ? t AB ①,其中向量 a 叫做直线 l 的方向
向量。在 l 上取 AB ? a ,则①式可化为 OP ? OA ? t AB 或 OP ? (1 ? t )OA ? tOB ②

??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?
l

??? ?

??? 1 ??? ??? ? ? ? 1 当 t ? 时,点 P 是线段 AB 的中点,此时 OP ? (OA ? OB) ③ 2 2 ①和②都叫空间直线的向量参数方程,③是线段 AB 的中点公式.

a P B A

O

3.向量与平面平行: 已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向 量 a 平行于平面 ? ,记作: a // ? .

?

??? ?

?

?

?

? a

? a

?

通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 说明:空间任意的两向量都是共面的. 4.共面向量定理: 如 果 两 个 向 量 a , b 不 共 线 , p 与 向 量 a , b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x, y 使

? ?

?

? ?

? ? ? p ? xa ? yb .
推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y ,使

???? ???? ???? ??? ???? ? ? ???? ???? MP ? x MA? y MB 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB ①
上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式. (三)例题分析: 例 1.已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件 OP ? 试判断:点 P 与 A, B, C 是否一定共面? 解:由题意: 5OP ? OA ? 2OB ? 2OC , ∴ (OP ? OA) ? 2(OB ? OP) ? 2(OC ? OP) , ∴ AP ? 2 PB ? 2 PC ,即 PA ? ?2PB ? 2PC , 所以,点 P 与 A, B, C 共面. 说明: 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候, 首先要选择恰当的 充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算. 【 练 习 】: 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A, B, C , 问 满 足 向 量 式

??? ?

? ? 1 ??? 2 ??? 2 ???? OA ? OB ? OC , 5 5 5

??? ?

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??? ??? ? ?

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??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x ? y ? z ? 1 )的四点 P, A, B, C 是否共面?
解:∵ OP ? (1 ? z ? y )OA ? yOB ? zOC , O ∴ OP ? OA ? y (OB ? OA) ? z (OC ? OA) ,

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

???? ??? ?

∴ AP ? y AB ? z AC ,∴点 P 与点 A, B, C 共面. 例 2.已知

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ???? ? ??? ???? ???? ???? ? ? ???? OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC , OH ? kOD ,

? ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量

O

D

C

A
(1)求证:四点 E , F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG .

B H
G

E

F

解: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD , ∵ EG ? OG ? OE ,

??? ?

??? ???? ?

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ???? ? ? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ??? ??? ???? ??? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ??? ???? ? ? EF ? EH
∴ E , F , G, H 共面; (2)∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 所以,平面 AC // 平面 EG . 五、课堂练习:课本第 96 页练习第 1、2、3 题. 六、课堂小结:1.共线向量定理和共面向量定理及其推论; 2.空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式. 七、作业: 1.已知两个非零向量 e1 , e2 不共线,如果 AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 , 求证: A, B, C, D 共面. 2.已知 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x, y 的值。 3.如图, E , F , G, H 分别为正方体 AC1 的棱 A1B1 , A1D1 , B1C1 , D1C1 的中点, 求证: (1) E , F , D, B 四点共面; (2)平面 AEF // 平面 BDHG . 4.已知 E , F , G, H 分别是空间四边形 ABCD 边 AB, BC, CD, DA 的中点,
D1 H G E B1 C1

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A

(1)用向量法证明: E , F , G, H 四点共面; (2)用向量法证明: BD // 平面 EFGH .

F

A1

E
B
C

H
D G
C

D A B

F

3.1.3.空间向量的数量积(1)
教学目标:1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2.掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立 体几何中的一些简单问题。 教学重、难点:空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教学过程: (一)复习:

空间向量基本定理及其推论; (二)新课讲解: 1.空间向量的夹角及其表示:

??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 与 b 的夹角,记作 ? a , b ? ;且规定 0 ?? a , b ?? ? ,显然有 ? a , b ??? b , a ? ; ? ? ? ? ? ? ? 若 ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b ; 2
2.向量的模: 设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | ; 3.向量的数量积:

, b 已知两非零向量 a , b ,在空间任取一点 O ,作 OA ?a OB ? ,则 ?AOB 叫做向量 a

?

??? ?

?

??? ?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作 a ? b ,即 a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a , b ? . ??? ? ? ? 已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量, ???? ? 作点 A 在 l 上的射影 A? ,作点 B 在 l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做 ??? ? ???? ? ? 向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影;可以证明 A?B? 的长度 ???? ? ??? ? ? ? ? ? | A? B? |? | AB | cos a ,e?? | a e . ? ? |
已知向量 a , b ,则 | a | ? | b | ? cos ? a , b ? 叫做 a , b 的数量积,记

? ?

?

?

? e

B A? B? C

A

4.空间向量数量积的性质: ? ? ? ? ? (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? .

? ? ? ? ? 2 ? ? (3) | a | ? a ? a .

(2) a ? b ? a ? b ? 0 .

5.空间向量数量积运算律:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) a ? b ? b ? a (交换律) . ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) .
(1) (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) . (三)例题分析: 例 1.用向量方法证明:直线和平面垂直的判定定理。 已知: m, n 是平面 ? 内的两条相交直线,直线 l 与平面 ? 的交点为 B ,且 l ? m, l ? n 求证: l ? ? . 证明:在 ? 内作不与 m, n 重合的任一直线 g , 在 l , m, n, g 上取非零向量 l , m, n , g ,∵ m, n 相交, ∴向量 m, n 不平行,由共面定理可知,存在 唯一有序实数对 ( x, y ) ,使 g ? xm ? yn ,

? ? ? ?

l

? ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ l ? g ? xl ? m ? yl ? n ,又∵ l ? m ? 0, l ? n ? 0 , ? ? ? ? ∴ l ? g ? 0 ,∴ l ? g ,∴ l ? g , 所以,直线 l 垂直于平面内的任意一条直线,即得 l ? ? .
证明: (法一) AD ? BC ? ( AB ? BD) ? ( AC ? AB)

g n

m l m g n

例 2.已知空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD ,求证: AD ? BC .

???? ??? ?

??? ??? ? ?

???? ??? ?

??? ???? ??? ???? ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ? AB ? AC ? BD ? AC ? AB ? AB ? BD

??? ???? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ? ? AB ? ( AC ? AB ? BD) ? AB ? DC ? 0 . ??? ? ???? ? ???? ? ? (法二)选取一组基底,设 AB ? a, AC ? b, AD ? c , ? ? ? ? ? ? ? ∵ AB ? CD ,∴ a ? (c ? b) ? 0 ,即 a ? c ? b ? a , ? ? ? ? 同理: a ? b ? b ? c , , ? ? ? ? ∴ a?c ? b?c , ???? ??? ? ? ? ? ∴ c ? (b ? a) ? 0 ,∴ AD ? BC ? 0 ,即 AD ? BC .
说明:用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,并用已知向量表示未知 向量,然后通过向量运算取计算或证明。 例 3. 如图, 在空间四边形 OABC 中,OA ? 8 ,AB ? 6 ,AC ? 4 ,BC ? 5 ,?OAC ? 45? , ?OAB ? 60? ,求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。 解:∵ BC ? AC ? AB ,

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ∴ OA ? BC ? OA ? AC ? OA ? AB ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?| OA | ? | AC | ? cos ? OA, AC ? ? | OA | ? | AB | ? cos ? OA, AB ?

O

B 3? 2 2 所以, OA 与 BC 的夹角的余弦值为 . 5 ??? ??? ? ? ??? ???? ? 说明:由图形知向量的夹角时易出错,如 ? OA, AC ?? 135? 易错写成 ? OA, AC ?? 45? ,
切记! 五.课堂练习:课本第 99 页练习第 1、2、3 题。 六.课堂小结:空间向量数量积的概念和性质。 七.作业:课本第 106 页第 3、4 题 补充:

? 8 ? 4 ? cos135? ? 8 ? 6 ? cos120? ? 24 ?16 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? BC 24 ? 16 2 3 ? 2 2 ? ??? ? ? ? ∴ cos ? OA, BC ?? ??? , 8? 5 5 | OA | ? | BC |

A

C

1.已知向量 a ? b ,向量 c 与 a, b 的夹角都是 60 ,且 | a |? 1,| b |? 2,| c |? 3 ,
?

?

?

?

? ?

?

?

?

试求: (1) ( a ? b) ; (2) (a ? 2b ? c) ; (3) (3a ? 2b) ? (b ? 3c) .
2 2

?

?

?

? ?

?

?

?

?

向量的数量积(2)
一、教学目标:①向量的数量积运算 ②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角 二、教学重点:①向量的数量积运算 ②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角 三、教学方法:练习法,纠错法,归纳法 四、教学过程: 考点一:向量的数量积运算 (一) 、知识要点: ? ? ? ? b 1)定义:① 设< a, b >= ? ,则 a? ? ( ? 的范围为
? ? ? ? b ②设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 a? ?

) 。

? ? ?? ? ? 注:① a? 不能写成 ab ,或 a ? b b ? ? 2)投影: b 在 a 方向上的投影为

? ? ② a? 的结果为一个数值。 b


? ? ? ? ? ?? ③ (a ? b)?c ? a ?c ? b?c

3)向量数量积运算律: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b b ( ① a? ? b?a ② (? a ) ? ? ? ( a ? ) ? a ? ? b ) b
? ? ? ? ?? b 注:①没有结合律 (a? )?c ? a ?(b?c)

二)例题讲练 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1、 下列命题: ①若 a ? ? 0 , a , 中至少一个为 0 ②若 a ? 0 且 a? ? a? , b ? c 则 b b b c 则
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 ?2 b ③ (a? )?c ? a ?(b?c) ④ (3a ? 2b)? a ? 2b) ? 9 a ? 4 b (3

中正确有个数为 A. 0 个

D. 3 个 ??? ??? ? ? 2、已知 ?ABC 中,A,B,C 所对的边为 a,b,c,且 a=3,b=1,C=30°,则 BC ? = CA 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? a = 3 、 若 a , b , c 满 足 a ? b ? c ? 0 , 且 a ? 3, b ? 1, c ? 4 则 a?b? b c ? c , 。 ? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 a ? b ?2 ,且 a 与 b 的夹角为 , 则 a?b 在 a 上 的 投 影 为 3 。 考点二:向量数量积性质应用 一) 、知识要点: ? ? ? ? b ① a ? b ? a? ? 0 (用于判定垂直问题)

B. 1 个

( C. 2 个



? ?2 ② a ? a (用于求模运算问题) ? ? a? b ③ cos ? ? ? ? (用于求角运算问题) a b
二)例题讲练 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、已知 a ? 2 , b ? 3 ,且 a 与 b 的夹角为 , c ? 3a ? 2b , d ? ma ? b ,求 2 ? ? ? 当 m 为何值时 c ? d
? ? ? ? ? ? 2、已知 a ? 1 , b ? 1 , 3a ? 2b ? 3 ,则 3a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3、已知 a 和 b 是非零向量,且 a = b = a ? b ,求 a 与 a ? b 的夹角



? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,求使 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角

时 ? 的取值范围 课堂练习 ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? 1、已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ,则( e1 ? e2 ) ?(?3e1 ? 2e2 ) 等于( ) 3 9 5 A.-8 B. C. ? D.8 2 2 ?? ?? ? ?? ?? ? ? 2、已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ,则下面向量中与 2e2 ? e1 垂直的是 3 ( ) ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? A. e1 ? e2 B. e1 ? e2 C. e1 D. e2 3、在 ?ABC 中,设 AB ? a , BC ? b , CA ? c ,若 a(a ? b) ? 0 ,则 ?ABC (
(A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C ) 钝角三角形 (D) 无法判定



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 a 和 b 是非零向量,且 a ? 3b 与 7 a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a ? 与 b 的夹角。 ??? ??? ? ? ???? ??? ??? ???? ? ? ? 5、已知 OA 、 OB 、 OC 是非零的单位向量,且 OA + OB + OC = 0 ,求证:

?ABC

为正三角形。

3.1.4 空间向量的正交分解与坐标表示
教学目标: 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示;掌握空间向量的坐标运算的规 律;会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直. 教学重点:空间向量基本定理、向量的坐标运算. 教学难点:理解空间向量基本定理. 教学过程: 一、新课引入 问题 1:平面向量的加减与数乘运算的坐标运算有哪些? 问题 2:平面向量基本定理是什么?

?? ? ? 平面向量的基本定理, 对平面内的任意向量 a , 均可分解为不共线的两个向量 ?1 a1 和 ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?2 a2 ,使 a ? ?1 a1 ? ?2 a2 .由如果 a1 ? a2 时,这种分解就是平面向量的正交分解.

?? ?? ? ? ?? 如果取 a1 , a2 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量 i, j ,则存在一对实数 ? ? ? ? x、y,使得 a ? xi ? y j ,即得到平面向量的坐标表示 a ? ( x, y ) .
二、讲授新课 1.介绍空间坐标系 2. 类比:平面向量的基本定理及平面向量的坐标表示推广到空间向量,结论会如何呢? ?? ?? ?? ? ? ? (1)空间向量的正交分解: (介绍教材 P92 面---P93 面)如果 a1 , a2 , a3 两两垂直,对空间的任 ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 意向量 a ,均可分解为不共面的三个向量 ?1 a1 、?2 a2 、?3 a3 ,使 a ? ?1a1 ? ?2 a2 ? ? a ., 3 3 这种分解就是空间向量的正交分解.

? ? ? ?? (2)空间向量基本定理:如果任意三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在有序 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 实数组 {x, y, z} ,使得 p ? xa ? yb ? zc . 把 {a, b, c} 叫做空间的一个基底(base) a, b, c 都 ,
叫做基向量. 例 1. (教材 P94 面的例 4) 练习:教材 P94 面 1、2、3) 3.单位正交基底:如果空间一个基底的三个基向量互相垂直,且长度都为 1, 则这个基底叫做单位正交基底,通常用{i,j,k}表示. 单位——三个基向量的长度都为 1;正交——三个基向量互相垂直. 选取空间一点 O 和一个单位正交基底{i,j,k} ,以点 O 为原点,分别 以 i,j,k 的方向为正方向建立三条坐标轴:x 轴、y 轴、z 轴,得到空间直角坐标系 O-xyz, 4.空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系和向量 a,且设 i、j、k 为 坐标向量,则存在唯一的有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) ,使 a= a1 i+ a2 j+ a3 k. 问题 3:空间相等的向量坐标有何关系?

空间中相等的向量其坐标是相同的. 问题 4:向量坐标与点的坐标的有何关系? 向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) , ???? ???? ???? 则 AB = OB - OA = ( x2 , y2 , z2 ) - ( x1 , y1 , z1 ) = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) . 5.向量的直角坐标运算:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑶λa= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R) ; ⑵a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑷a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3

证明方法:与平面向量一样,将 a= a1 i+ a2 j+ a3 k 和 b= b1 i+ b2 j+ b3 k 代入即可. 6.两个向量共线或垂直的判定:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则

⑴a//b ? a=λb ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 , (? ? R) ? ⑵a⊥b ? a·b=0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 .

a1 a2 a3 ? ? ; b1 b2 b3

例 2.已知 a= (2, ?3,5) ,b= (?3,1, ?4) ,求 a+b,a-b,8a,a·b.解:略. 7.练习:教材 P97 面 1、2 题。 三、课堂小结: 1.基底与单位正交基底的关系; 2.向量的直角坐标运算公式; 3.两个向量共线或垂直的判定 四、巩固练习

P94 1.2.3 五, 课后作业 习题 3.1 A 组 7.8 教学反思:

3.1.5 空间向量运算的坐标表示 教学目标: (1) 知识目标 通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数 量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示,并能初 步应用这些知识解决简单的立体几何问题. (2)能力目标 ①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比,使学 生掌握空间向量运算的坐标表示,渗透类比的数学方法; ②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题,体会 向量方法在研究空间图形中的作用, 培养学生的空间想象能力和几何 直观能力.

(3) 情感目标 通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生 自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义 精神. 教学重点:空间向量运算的坐标表示 教学难点:空间向量运算的坐标表示的应用 教学方法:启发诱导、练讲结合 教学用具:多媒体、三角板 授课类型:新授课 教学过程: 一、复习引入:平面向量的坐标运算: 设 a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 ), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 (1) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 )
? a ? (? a1 , ? a2 )(? ? R)
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2

?

(2) a // b(b ? 0) ? a ? ? b 即 a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2
? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2 b2 ? 0

(3) | a |? a12 ? a22
??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
??? ? d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

?

? ? ? ? a ?b cos a, b ? ? ? ? | a || b |

a1b1 ? a2b2
2 2 a12 ? a2 b12 ? b2

思考: 你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗?

它们是否成立?为什么? 二、新授: (一)空间向量运算的坐标表示: 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ), A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) ,则 (1) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )
? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R)
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a ? b ? a1b2 ? a2b2 ? a3b3

?

(2) a // b ? a ? ? b(b ? 0) 即 a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3
? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? 0

(3) | a |? a12 ? a22 ? a12
??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )
??? ? d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

?

? ? ? ? a ?b cos a, b ? ? ? ? | a || b |

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 3 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

(二)应用举例 例 1( )已知a ? ( ?3, 2,5), b ? (1,5, ?1), 则a ? b ? _______,3a ? b ? ________, 1

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? 6a ? ___________, a ? b ? _____, cos ? a, b ?? ______ .
? ?

(2) 已知向量 a ? (2,?1,3), b ? (?4,2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ______; 若 a // b 则 x ? ______. 答案:1 a ? b ? (?2, 7, 4),3a ? b ? (?10,1,16), ()
?
?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? 114 6a ? (?18,12,30), a ? b ? 2, cos ? a, b ?? . 117
(2) x ?
10 , x ? ?6 ; 3

例 2.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E1 , F1 分别是 A1B1 , C1D1 的一 个四等分点,求直线 BE1 与 DF1 所成角的余弦值.

解:略 注:1 ()两直线所成的角与两直线的方向向量的夹角相等或互补. (2)坐标法 练习:如图,棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, A 点 M 是 AB 的中点,求 DB1 与 MC 所成的角的余弦值.
D D M B
1

D1 C1 B1

思考:你能总结出利用空间向量的坐标运算解决简 单立体几何问题的一般步骤吗?

C

A

(1) 建立适当的空间直角坐标系, 并求出相关点的坐标. (建系求点) (2)将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.(构造向量并坐 标化) (3)经过向量运算确定几何关系,解决几何问题.(向量运算、几何 结论)

例3.如图,在棱长为1的正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,点E , F 分别 是BB1 , D1 B1的中点,求证:EF ? DA1 .
解:略
D1 A1

F B1 E

C1

D A B

C

练习:在例3中,若G为的B C 中点,求证:DA
1 1

1

? 平面EFG.

探究:例3中,在B1C1上是否存在一点M,使得DA1 ? 平面EFM ?

若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
三、课堂总结: 1.知识 (1)空间向量的坐标运算; (2)利用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题. 2.方法 (1)类比 (2)数形结合 四、作业布置: 课本 P98: 习题 3.1 A组 T5---T10(必做) T11(选做)

五、教学反思:

3.2 立体几何中的向量方法 空间距离
利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明 等步骤,而转化为向量间的计算问题.

例1如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点, GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离. 分析:由题设可知 CG、CB、CD 两两互相垂直,可以由此建立空间直角坐 标系.用向量法求解,就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量,它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离. 解:如图,设 CD ? 4i,CB ? 4j,CG ? 2k, 以 i、 k 为坐标向量建立空间直角坐标系 C-xyz. j、 由题设 C(0,0,0), A(4,4,0), B(0,4,0), D(4,0,0), E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). ???? ???? ∴ BE ? (2, 0, 0) , BF ? (4, ?2, 0) , ???? ? ???? BG ? (0, ?4, 2) , GE ? (2, 4, ?2) , ???? EF ? (2, ?2, 0) . 设 BM ? 平面 EFG,M 为垂足,则 M、G、E、F 四点共面,由共面向量定 ????? ???? ???? ???? ? 理知,存在实数 a、b、c,使得 BM ? aBE ? bBF ? cBG (a ? b ? c ? 1) , ????? ∴ BM ? a(2, 0, 0) ? b(4, ?2, 0) ? c(0, ?4, 2) =(2a+4b,-2b-4c,2c). 由 BM ? 平面 EFG,得 BM ? GE , BM ? EF ,于是 ????? ???? ????? ???? B M? G ?E , BM ? EF ? 0 . 0 ∴
?(2a ? 4b, ?2b ? 4c, 2c) ? (2, 4, ?2) ? 0 ? ?(2a ? 4b, ?2b ? 4c, 2c) ? (2, ?2, 0) ? 0 ?a ? b ? c ? 1 ?

15 ? ? a ? 11 ?a ? 5c ? 0 ? 7 ? ? a ? 3b ? 2c ? 0 ,解得 ?b ? ? . 整理得: ? 11 ? ?a ? b ? c ? 1 ? 3 ? ?c ? 11 ?

∴ ∴

BM =(2a+4b,-2b-4c,2c)= (

2 2 6 , , ). 11 11 11

2 2 2 ????? 2 11 ?2? ?2? ?6? | BM |? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ?

故点 B 到平面 EFG 的距离为

2 11 . 11

说明:用向量法求点到平面的距离,常常不必作出 垂线段,只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个 向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了.

例 2 已知正方体 ABCD- A ' B ' C ' D ' 的棱长为 1,求直线 DA' 与 AC 的距离. 分析:设异面直线 DA' 、AC 的公垂线是直线 l,则线段 AA' 在直线 l 上的射 影就是两异面直线的公垂线段,所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求 解. 解:如图,设 B' A' ? i, B'C ' ? j, B' B ? k,以 i、j、k 为坐标向量建立空间 直角坐标系 B' -xyz,则有
A '(1,0,0) , D(1,1,1) , A(1, 0,1) , C (0,1,1) .



????? ???? ? ????? DA ' ? (0, ?1, ?1) , AC ? (?1,1, 0) , A ' A ? (0, 0,1) .

设 n ? ( x, y, z) 是直线 l 方向上的单位向量,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 . ∵ n ? DA' ,n ? AC ,
?? y ? z ? 0 3 3 ? ,解得 x ? y ? ? z ? 或 x ? y ? ?z ? ? . ?? x ? y ? 0 3 3 ? 2 2 2 ?x ? y ? z ? 1
3 3 3 , , ? ) ,则向量 A' A 在直线 l 上的投影为 3 3 3



取 n? (

n· A' A ? (

3 3 3 3 . , ,? ) · (0,0,1) ? ? 3 3 3 3 3 . 3

由两个向量的数量积的几何意义知,直线 DA' 与 AC 的距离为

向量的内积与二面角的计算
在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中,讲到几何空间的 内积时,有一个例题(见[1],p53)要求证明如下的公式:
cos? ? cos? cos ? ? sin? sin ? cos? ,

(1)

其中点 O 是二面角 P-MN-Q 的棱 MN 上的点,OA、OB 分别在平面 P 和平面 Q 内。 ?AON ? ? , ?BON ? ? , ?AOB ? ? 。 ? 为二面角 P-MN-Q(见图 1) 。

z P

D

A

? a

?
M O

?
? b
x

y

N

B

Q

图1

公式(1)可以利用向量的内积来加以证明: 以 Q 为坐标平面,直线 MN 为 y 轴,如图 1 建立直角坐标系。 记 xOz 平面 与平面 P 的交线为射线 OD,则 OD?MN ,得
?AOD ?

?
2

? ? , ?DOx ? ? , ?DOz ?

?
2

?? 。

? ? ? ? 分别沿射线 OA、OB 的方向上作单位向量 a , b ,则 a , b ? ? 。

? ? 由计算知 a , b 的坐标分别为
(sin ? cos? , cos? , sin? sin ? ) , (sin ? , cos ? ,0) ,

于是,
? ? ? ? a ?b ? ? a ? b ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos? 。 cos? ? ? | a |?|b |

公式(1)在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的 两个应用。 例 1.立方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长为 1,E、F、G、H、I 分别为 A1D1、 A1A、A1B1、B1C1、B1B 的中点。 求面 EFG 和面 GHI 的夹角 ? 的大小(用反三角函数表示) 。 解 由于图 2 中所画的两平面 EFG 和 GHI 只有一个公共点,没有交线,所 以我们可以将该立方体沿 AB 方向平移 1 个单位。这样就使平面 EFG 平移至平 面 HIG? 。而 ? 就是二面角 G-IH- G ? (见图 3) 。利用公式(1) ,只要知道了 ? ,? 和 ? 的大小,我们就能求出 ? 。

D1 E G A1 B1 H

C1

F

D

I C

A

B

图2

由 已 知 条 件 , ?GHI 和 ?HIG? 均 为 等 边 三 角 形 , 所 以 ? ? ? ?

?
3

,而

? ? ?GIG ? ?

?
2

。因此,
D1 E G A1 B1 H G' C1

F

D

I

C

A

B

图3

cos

?

? cos cos ? sin sin cos? , 2 3 3 3 3
1 1 3 3 ? ? ? cos? 。 2 2 2 2

?

?

?

?


0?

解得
1 1 cos? ? ? , ? ? ? ? a r c c o 。 s 3 3 当然, 在建立了直角坐标系之后,通过计算向量的外积可计算出两平面的法

向量,利用法向量同样也可算出夹角 ? 来。 例 2.计算正十二面体的两个相邻面的夹角 ? 的大小。 解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形,且在正十二面 体的每个顶点上均有 3 个面围绕。 P 和 Q 是两个相邻的面, 设 MN 是它们的交线 (如图 4) ,则公式(1)中的 ? , ? , ? 分别为:

? ? ?AMN , ? ? ?BMN , ? ? ?AMB ,
因此它们均为正五边形的内角。所以

? ? ? ? ? ? 108 ? 。
N

P
M A B

Q

图4

所以,由公式(1)知
cos108 ? ? cos108? ? cos108 ? ? sin108 ? ? sin108 ? ? cos? ,


cos? ? cos108 ?(1 ? cos108 ?) sin 108 ?
2

??

5 。 5

因此, ? ? ? ? arccos

5 ,或 ? ? 116 ?33?54?? 。 5

如果不使用公式(1) ,要求出例 2 中的夹角 ? 的大小在计算上要复杂很多。 利用例 2 的结果,我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积 V。 设单位棱长正十二面体的中心为 O, 则该十二面体可以切割成十二个全等的 正五棱锥,每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以 O 为其顶点。设该正五 棱锥为 ? ,从而可知:
V ? 12V? 。

再设 ? 的底面积为 S、高为 h,设 O? 为单位边长正五边形(即 ? 的底)的中 心,A、B 为该五边形的两个相邻的顶点,H 为 AB 的中点, | O?H |? a ,则
1 1 a 5 tan ?O' AH ? tan 54? , S ? 5 ? ? tan 54? 。 2 4 2 2 h ? 仍设 ? 为正十二面体两相邻面的夹角,则 ? tan 。所以 a 2 1 ? h ? tan 54? tan 。 2 2 但是,

?O' AH ? 54? , a ?

tan

?
2

?

1 ? cos? 5 ?1 ? , 1 ? cos? 2

?? ?5 ?? 1 从而 V ? 12V? ? 4Sh ? 4 ? ? tan 54? ?? tan 54? tan ? 2? ?4 ?? 2
?
5 5 ? 2 5 5 ? 1 15 ? 7 5 5 ? ? ? ? ? , (tan 54?) 2 tan 2 5 2 4 2 2

或 V ? 7.6631


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