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对复合函数单调性的探讨


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 对复合函数单调性的探讨 作者:付怀军 来源:《考试周刊》2013 年第 72 期 考查复合函数 f=f(g(x))的单调性. 设单调函数 y=f(x)为外层函数,y=g(x)为内层函数, (1)若 y=f(x)增,y=g(x)增,则 y=f(g(x))增. (2)若 y=f(x)增,y=g(x)减,则 y=f(g(x

))减. (3)若 y=f(x)减,y=g(x)减,则 y=f(g(x))增. (4)若 y=f(x)减,y=g(x)增,则 y=f(g(x))减. 结论:同增异减. 例 1.求函数 f(x)=2 的单调区间. 解析:首先找出外层函数和内层函数,然后进一步求此函数的单调区间.此题中定义域是 一切实数. 解题过程: 外层函数:y=2 内层函数:t=x+x-2 内层函数的单调增区间:x∈ [-,+∞) 内层函数的单调减区间:x∈ (-∞,-] 由于外层函数为增函数 因此复合函数的增区间为:x∈ [-,+∞) 复合函数的减区间为:x∈ (-∞,-] 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 评注:在本例题的解题过程中,首先要求出内层函数的单调区间,因为在复合函数的单调 性的问题中很多基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱,并且这样可以避免接下来涉及定义域 而学生又容易忽略的情况. 例 2.求函数 f(x)=log(x+x-2)的单调区间. 解析:此题首先求定义域,这是解决本题的关键. 解题过程: 外层函数:y=logt 内层函数:t=x+x-2 t=x+x-2>0 由图知: 内层函数的单调增区间:x∈ [1,+∞) 内层函数的单调减区间:x∈ (-∞,-2] 由于外层函数为增函数 因此复合函数的增区间为:x∈ [1,+∞) 复合函数的减区间为:x∈ (-∞,-2] 例 3.求函数 y=的单调区间 解题过程: 外层函数:y= 内层函数:t=cosx t=cosx≥0 由图知: 内层函数的单调增区间:x∈ [-+2kπ,2kπ] 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 内层函数的单调减区间:x∈ [2kπ,+2kπ] 由于外层函数为增函数 因此复合函数的增区间为:x∈ [-+2kπ,2kπ] 复合函数的减区间为:x∈ [2kπ,+2kπ] 通过以上三个例题的解题过程,得出求复合函数单调区间的步骤: 1.找出外层函数和内层函数; 2.根据定义域确定内层函数的单调区间; 3.根据外层函数确定复合函数的单调区间.

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