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2008年全国高中数学联合竞赛二试试题参考答案及评分标准(A卷)


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2008 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷) 试题参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、 (本题满分 50 分) 如 题 一 图 , 给 定 凸 四 边 形 ABC D , ? B ? ? D ? 180? , P 是 平 面 上 的 动 点 , 令 f (P ) ? PA ? BC ? PD ? CA ? PC ? AB . (Ⅰ)求证:当 f ( P ) 达到最小值时, P , A , B , C 四点共圆;
AE ( Ⅱ ) 设 E 是 ?ABC 外 接 圆 O 的 ? B 上 一 点 , 满 足 : A ? AB
?ECB ? 1 2 ?ECA

3 2



BC EC

?

3 ?1



,又 D A , D C 是 ? O 的切线, A C ?

2

,求 f ( P ) 的最小值.

[解法一] (Ⅰ)如答一图 1,由托勒密不等式,对平面上的任意点 P ,有 PA ? BC ? PC ? AB ? PB ? AC . 因此 f ( P ) ? P A ? B C ? P C ? A B ? P D ? C A ? P B ? C A? P D C A P B ? P D ) ? C A . ? ?( 因为上面不等式当且仅当 P , A , B , C 顺次共圆时取等号,因此当且
A 仅当 P 在 ? A B C 的外接圆且在 ? C 上时, f (P ) ? (PB ? PD ) ? CA .

…10 分

又因 P B ? P D ? B D , 此不等式当且仅当 B , P , D 共线且 P 在 B D 上 时 取 等 号 . 因 此 当 且 仅 当 P 为 ?ABC 的 外 接 圆 与 B D 的 交 点 时 , f ( P ) 1 最 小 值 答一图 取 f ( P ) m in ? A C ? B D . 故当 f ( P ) 达最小值时, P , A , B , C 四点共圆. ( Ⅱ ) 记 ? E C B ? ? , 则 ? E C A 2? , 由 正 弦 定 理 有 ?
3 sin 3? ? 2 sin 2 ?
AE AB ? sin 2 ? sin 3? ? 3 2

…20 分 ,从而

,即 3 (3 sin ? ? 4 sin 3 ? ) ? 4 sin ? cos ? ,所以
2

3 3 ? 4 3 (1 ? co s ? ) ? 4 co s ? ? 0

, …30 分

整理得 4 3 co s ? ? 4 co s ? ? 3 ? 0 ,
2

解得 co s ? ?

3 2

或 co s ? ? ?

1 2 3

(舍去) ,

故 ? ? 3 0 ? , ? A C E ? 60 ? . 由已知
3 2
BC EC ? 3 ?1

=

sin ? ? E A C ? 3 0 sin ? E A C

0

?

, 有 sin ( ? E A C ? 3 0 ? ) ? ( 3 ? 1) sin ? E A C , 即 ,整理得
2? 2 3 sin ? E A C ? 1 2 co s ? E A C

sin ? E A C ?

1 2 1

co s ? E A C ? ( 3 ? 1) sin ? E A C

,故

tan ? E A C ?

2?

?2 ? 3 3

,可得 ? E A C ? 75 ? ,

…40 分
2

从而 ? E ? 4 5 ? , ? D A C ? ? D C A ? ? E ? 4 5 ? , ? A D C 为等腰直角三角形.因 A C ? CD ? 1.
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,则

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又 ? A B C 也是等腰直角三角形, B C ? 故 故 f ( P ) m in ? B D ? A C ? 5 ? 2 ? 1 0 .

2

,B D 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 cos 135 ? ? 5 ,B D ? 5 . …50 分

[解法二] (Ⅰ)如答一图 2,连接 B D 交 ? A B C 的外接 圆 O 于 P0 点(因为 D 在 ? O 外,故 P0 在 B D 上) . 过 A , C , D 分别作 P0 A , P0 C , P0 D 的垂线,两两相交得
? A1 B1 C 1 ,易知 P0
?ABC

在 ? A C D 内,从而在 ? A1 B1 C 1 内,记

之 三 内 角 分 别 为 x, y, z , 则 又因 B1C 1 ? P0 A ,B1 A1 ? P0 C , ? A P0 C ? 1 8 0 ? ? y ? z ? x , 得 ? B1 ? y ,同理有 ? A1 ? x , ? C 1 ? z , 所以 ? A1 B1C 1 ∽ ? A B C . …10 分 设 B1C 1 ? ? B C , C 1 A1 ? ? C A , A1 B1 ? ? A B ,则对平面上任意点 M ,有 答一图 2
? f ( P0 ) ? ? ( P0 A ? B C ? P0 D ? C A ? P0 C ? A B )
? P0 A ? B1C 1 ? P0 D ? C 1 A1 ? P0 C ? A1 B1

? 2 S ?A B C
1 1

1

? M A ? B1C 1 ? M D ? C 1 A1 ? M C ? A1 B1
? ? (M A ? BC ? M D ? CA ? M C ? AB )

? ? f (M ) ,

从而

f ( P )? 0

f ( M. )

由 M 点的任意性,知 P0 点是使 f ( P ) 达最小值的点. 由点 P0 在 ? O 上,故 P0 , A , B , C 四点共圆. (Ⅱ)由(Ⅰ) f ( P ) 的最小值 ,
f ( P0 ) ? 2

…20 分

? ? 2 ? S ?ABC ,
1 1 1

S ?A B C

记 ? E C B ? ? ,则 ? E C A ? 2? ,由正弦定理有 即 3 (3 sin ? ? 4 sin 3 ? ) ? 4 sin ? cos ? ,所以

AE AB

?

sin 2 ? sin 3?

?

3 2

,从而 3 sin 3? ? 2 sin 2 ? ,

3 3 ? 4 3 (1 ? co s ? ) ? 4 co s ? ? 0
2

, …30 分

整理得 4 3 co s ? ? 4 co s ? ? 3 ? 0 ,
2

解得 co s ? ?

3 2

或 co s ? ? ?

1 2 3

(舍去) ,

故 ? ? 3 0 ? , ? A C E ? 60 ? . 由已知
3 2
BC EC ? 3 ?1

=

sin ? ? E A C ? 3 0 sin ? E A C

0

?

, 有 sin ( ? E A C ? 3 0 ? ) ? ( 3 ? 1) sin ? E A C , 即 ,整理得
2? 2 3 sin ? E A C ? 1 2 co s ? E A C

sin ? E A C ?

1 2 1

co s ? E A C ? ( 3 ? 1) sin ? E A C

,故

tan ? E A C ?

2?

?2 ? 3 3

,可得 ? E A C ? 75 ? ,
2

…40 分 , S ? A B C ? 1 ,因为 ? A B1C ? 45 ? , B1 点

所以 ? E ? 45 ? , ? A B C 为等腰直角三角形, A C ?

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在 ? O 上, ? A B1 B ? 9 0 ? ,所以 B1 B D C 1 为矩形, B1C 1 ? B D ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 co s 1 3 5 ? ? 5 , 故? ?
5 2

,所以 f ( P ) m in ? 2 ?

5 2

?1 ?

10



…50 分

[解法三] (Ⅰ)引进复平面,仍用 A , B , C 等代表 A , B , C 所对应的复数. 由三角形不等式,对于复数 z1 , z 2 ,有
z1 ? z 2 ? z1 ? z 2


? ? ?? ? ? ?? PC AB ? , ? ? ??

当且仅当 z 1 与 z 2 (复向量)同向时取等号. 有 所以
? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? P A? B C ? P C A B ? ? P? A B?C

( A ? P ) (C ? B ) ?

( C ? P ) ( B?

A)

? ( A ? P ) (C ? B ) ? (C ? P ) ( B ? A )

(1)

? ?P ?C ? A ?B ? C ?B ? P ? A ? ? ?? ? ? ? ? ? ( B ? P ) ( C ? A ) ? P B ? A, C ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 从而 P A ? B C ? P C A B ? ? P ?D C A ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? P B ? A C ? P D? A C ??? ? ???? ???? ? ( PB ? PD ) ? AC ???? ???? (2) ? BD ? AC .

? ? ??

…10 分

(1)式取等号的条件是 复数 ( A ? P )( C ? B ) 与 ( C ? P )( B ? A ) 同向,故存在实数 ? ? 0 ,使得 ( A ? P )( C ? B ) ? ? ( C ? P )( B ? A ) ,
A? P C ? P ?? B? C? A A B



A? P B? , ) arg( ?) arg( C ? P C? B ??? ? ???? ???? 向量 P C 旋转到 P A 所成的角等于 B C

所以

旋转到 A B 所成的角,

??? ?

从而 P , A , B , C 四点共圆. (2)式取等号的条件显然为 B , P , D 共线且 P 在 B D 上. 故当 f ( P ) 达最小值时 P 点在 ? A B C 之外接圆上, P , A , B , C 四点共圆. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( P ) m in ? B D ? A C . 以下同解法一. 二、 (本题满分 50 分) 设 f ( x ) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x ) 的周期且 0 ? T ? 1 .证明: (Ⅰ)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使
1 p

…20 分

是 f ( x ) 的周期;

( Ⅱ ) 若 T 为 无 理 数 , 则 存 在 各 项 均 为 无 理 数 的 数 列 { a n } 满 足 1 ? a n ? a n ?1 ? 0
( n ? 1, 2, ? ? ?) ,且每个 a n

( n ? 1, 2, ? ??) 都是 f ( x ) 的周期.

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[证] (Ⅰ)若 T 是有理数,则存在正整数 m , n 使得 T ? 使得
m a ? nb ? 1 .

n m

且 ( m , n ) ? 1 ,从而存在整数 a , b ,

于是
1 m ? m a ? nb m ? a ? b T ? a ?1 ? b ? T

是 f ( x ) 的周期. 又因 0 ? T ? 1 ,从而 m ? 2 .设 p 是 m 的素因子,则 m ? pm ? , m ? ? N ,从而
1 p ? m?? 1 m
?

…10 分

是 f ( x ) 的周期. (Ⅱ)若 T 是无理数,令
a1 ? 1 ? ?1 ?T ? ? T ? ?

…20 分



则 0 ? a1 ? 1 ,且 a 1 是无理数,令
? 1 ? a 2 ? 1 ? ? ? a1 , ? a1 ?

……
? 1 ? a n ?1 ? 1 ? ? ? an ? an ?

, …30 分
? 1 ? ? 1 ? ?? ? an , ? ? 1 ,故 1 ? a n ? ? an ? an ? ? an ? 1

……. 由数学归纳法易知 a n 均为无理数且 0 ? a n ? 1 .又 即 a n ?1 ? 1 ? ?
? 1 ? ? a n ? a n .因此 { a n } 是递减数列. ? an ?

…40 分

1 最后证:每个 a n 是 f ( x ) 的周期.事实上,因 1 和 T 是 f ( x ) 的周期,故 a 1 ? 1 ? ? ? T 亦 ? ? ?T ?
? ? 是 f ( x ) 的周期.假设 a k 是 f ( x ) 的周期,则 a k ? 1 ? 1 ? ? 1 ? a k 也是 f ( x ) 的周期.由数学归纳 ? ak ?

法,已证得 a n 均是 f ( x ) 的周期. 三、 (本题满分 50 分)

…50 分

设 a k ? 0 , k ? 1, 2, ? , 2008 .证明:当且仅当 ? a k ? 1 时,存在数列 { x n } 满足以下条件:
k ?1

2008

(ⅰ) 0 ? x 0 ? x n ? x n ? 1 , n ? 1, 2, 3, ? ; (ⅱ) lim x n 存在;
n? ?

(ⅲ) x n ? x n ? 1 ?

2008

?

2007

ak xn? k ?

k ?1

?

a k ?1 x n ? k

, n ? 1, 2, 3, ? .

k ?0

[证] 必要性:假设存在 { x n } 满足(ⅰ)(ⅱ)(iii) , , .注意到(ⅲ)中式子可化为
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x n ? x n ?1 ?

?

a k ( x n ? k ? x n ? k ?1 )

,n ? N* ,

k ?1

其中 x 0 ? 0 . 将上式从第 1 项加到第 n 项,并注意到 x 0 ? 0 得
x n ? a1 ( x n ? 1 ? x1 ) ? a 2 ( x n ? 2 ? x 2 ) ? ? ? a 2008 ( x n ? 2008 ? x 2008 )



…10 分

由(ⅱ)可设 b ? lim x n ,将上式取极限得
n? ?

b ? a1 ( b ? x1 ) ? a 2 ( b ? x 2 ) ? ? ? a 2008 ( b ? x 2008 )
? b ? ? a k ? ( a 1 x1 ? a 2 x 2 ? ? ? a 2 0 0 8 x 2 0 0 8 )
k ?1 2008

? b ? ? ak
k ?1

2008

, …20 分

因此 ? a k ? 1 .
k ?1

2008

充分性:假设 ? a k ? 1 .定义多项式函数如下:
k ?1 2008

2008

f (s) ? ?1 ?

?

ak s

k

, s ? [0,1] ,

k ?1

则 f ( s ) 在[0,1]上是递增函数,且
f (0) ? ? 1 ? 0

, f (1) ? ? 1 ?

2008

?

ak ? 0

. …30 分

k ?1

因此方程 f ( s ) ? 0 在[0,1]内有唯一的根 s ? s 0 ,且 0 ? s 0 ? 1 ,即 f ( s 0 ) ? 0 . 下取数列 { x n } 为 x n ?
xn ?
n k 0
n

,且 ? s , n ? 1, 2, ? ,则明显地 { x } 满足题设条件(ⅰ)
k ?1
n ?1

?

n

s0 ?
k

s0 ? s0

k ?1

1 ? s0
n? ?


s0 ? s 0
n ?1

因 0 ? s 0 ? 1 ,故 lim s 0n ? 1 ? 0 ,因此 lim x n ? lim
n? ?

n? ?

1 ? s0

?

s0 1 ? s0

,即 { x n } 的极限存在,满 …40 分

足(ⅱ) . 最后验证 { x n } 满足(ⅲ) ,因 f ( s 0 ) ? 0 ,即 ? a k s 0k ? 1 ,从而
k ?1 2008

x n ? x n ?1 ? s 0 ? ( ? a k s 0 ) s 0 ?
n k n k ?1

2008

2008

?

a k s0

n?k

2008

?

k ?1

?

a k ( x n ? k ? x n ? k ?1 ) .

k ?1

综上,存在数列 { x n } 满足(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ) , , .

…50 分

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