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高三总复习29-平面向量的基本定理及坐标运算


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考纲要求 1.了解平面向量的基本定理 及其意义. 2.掌握平面向量的正交分 解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量 的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面 向量共线的条件. 2014年高考预测

考点 平面向 量的基 本定理 平面向 量的坐 标运算

高考真题例举 2012 2011 2010
安徽 卷,8

——

山东 卷, 12 陕西 卷, 11

广东 卷,3

北京 卷, 10

1.考查平面向量基本定理的应用. 2.考查坐标表示下向量共线条件.
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(对应学生用书 P100)
1.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个 不共线 向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a, 有且只有 一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 其中, 不共线的向量e1,e2 叫

做表示这一平面内所有向量的一组基底.

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(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 向量正交分解.

互相垂直

的向量,叫做把

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(3)平面向量的坐标表示

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①在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同 的两个单位向量 i,j 作为基底.对于平面内的一个向量 a, 有且只有一对实数 x,y 使 a=xi+yj,把有序数对 (x,y) 叫 做向量 a 的坐标,记作 a= (x,y) ,其中 x 叫做 a 在 x 轴 上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标. → ②设OA=xi+yj,则

向量的坐标(x,y)

就是终点 A

→ 的坐标,即若OA=(x,y),则 A 点坐标为 (x,y) ,反之亦 成立(O 是坐标原点).
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问题探究 1:平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、 e2 表示时, 结果唯一吗?平面内任何两个向量 a、 都能作一 b 组基底吗?
提示:表示结果唯一.平面内只有不共线的两个向量才 能作基底.
问题探究 2:向量的坐标与点的坐标有何不同?

提示:向量的坐标与点的坐标有所不同,相等向量的坐 标是相同的,但起点、终点的坐标却可以不同,以原点 O 为 → 起点的向量OA的坐标与点 A 的坐标相同.
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2.平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算

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设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 (a1+b1,a2+b2) (a1-b1,a2-b2) a+b= ,a-b= , λa=

(λa1,λa2).

(2)向量坐标的求法 → 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= (x2-x1,y2-y1) , 即一个向量的坐标等于 该向量终点的坐标减去始点的坐标.

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(3)平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 其中 b≠0,则 a 与 b 共线?a=λb?
x1y2-x2y1=0

.

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问题探究 3:若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充 x1 y1 要条件能表示成 = 吗? x2 y2
提示:若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件 x1 y1 不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表示为 x2 y2 x1y2-x2y1=0.同时,a∥b 的充要条件也不能错记为:x1x2- y1y2=0,x1y1-x2y2=0 等.

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(对应学生用书 P100)

1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底,该平面 内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合,基底不 同,表示也不同. 2.对于两个向量 a,b,将它们用同一组基底表示,我 们可通过分析这两个表示式的关系,来反映 a,b.

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3.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四 边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运 算.

→ O 为直线 AB 外一点, 为直线 AB 上任一点, → =λOA P 则OP → +μOB,其中 λ+μ=1.

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(2012 年南京质检)如图所示,在△ABC 中,H 为 BC 上 → → → 异于 B,C 的任一点,M 为 AH 的中点,若AM=λAB+μAC, 则 λ+μ=________.

→ → 【思路启迪】 由 B,H,C 三点共线可用向量AB,AC → 来表示AH.
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→ → 【解析】 由 B,H,C 三点共线,可令AH=xAB+(1 → ,又 M 是 AH 的中点,所以AM=1AH=1xAB+1(1- → → → -x)AC 2 2 2 → ,又AM=λAB+μAC.所以 λ+μ=1x+1(1-x)=1. → → → x)AC 2 2 2

1 【答案】 2

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应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四 边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算,共线 向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,任一 向量的表示都是唯一的.

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如右图,在△ABC 中,M 是 BC 的中点,N 在边 AC 上, 且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于 P 点,求 AP∶PM 的值.

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→ =a,AC=b,AP=λAM= λ (a+b) → → → 解:设AB 2 → → → 又AP=AB+BP → → → → → =AB+μBN=AB+μ(AN-AB) → +μ?2AC-AB?=(1-μ)a+2μb. =AB ?3 → → ? 3
? ?

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根据平面向量基本定理得 ?λ ?2=1-μ, ? ?λ =2μ, ?2 3

4 3 解得 λ=5,μ=5,

→ =4AM,PM=1AM 因此AP 5 → → 5 → → → |AP|∶|PM|=4∶1,即 AP∶PM=4∶1.

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1.向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来 进行, 实现了向量运算完全代数化, 将数与形紧密结合起来, 就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算. 2.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则 进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐 标.解题过程中要注意方程思想的运用. 3.利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底 向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出线性系数.
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→ → → (1)(2012 年广东)若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则BC= ( A.(-2,-4) C.(6,10) B.(3,-4) D.(-6,-10) )

(2)(2011 年北京)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c =(k, 3).若 a-2b 与 c 共线,则 k=________.

→ → → 【思路启迪】 (1)把BC转化为BA与CA的差;(2)应用向 量共线转化为坐标运算求解.
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【解析】 故选 A.

→ → → (1)BC=BA+AC=(2,3)-(4,7)=(-2,-4),

(2)∵a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3) ∴a-2b=( 3,1)-(0,-2)=( 3,3) 又∵a-2b 与 c 共线,∴3k-3=0,∴k=1.
【答案】 (1)A (2)1

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利用向量的坐标运算解题,主要就是根据相等的向量坐 标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解;在将向量用坐 标表示时,要看准向量的起点和终点坐标,也就是要注意向 量的方向,不要写错坐标.

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→ → 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA, → → → CN=2CB,求 M、N 及MN的坐标.

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解:设 M(x1,y1), → → ∴CM=(x1+3,y1+4),CA=(1,8). → → ∵CM=3CA, ∴(x1+3,y1+4)=3(1,8).
?x +3=3, ? 1 ∴? ?y1+4=24. ? ?x =0, ? 1 ∴? ?y1=20. ?

∴M(0,20).
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→ → 设 N(x2,y2),∴CN=(x2+3,y2+4),CB=(6,3). → → ∵CN=2CB,
?x +3=12, ? 2 ∴? ?y2+4=6. ? ?x =9, ? 2 ∴? ?y2=2. ?

∴N(9,2).

→ ∴MN=(9,-18).

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1.凡遇到与平行有关的问题时,一般要考虑运用向量平 行的充要条件. 2.两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用, 一般地, 如果已知两向量共线, 求某些参数的值, 则利用“若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 x1y2-x2y1 =0”比较简捷.

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3.在求与一个已知向量 a 共线的向量时,采取待定系 数法更为简单,即设所求向量为 λa(λ∈R),然后结合其他条 件列出关于 λ 的方程, 求出 λ 的值后代入 λa 即可得到欲求向 量,这样可以使未知数的个数少一些,便于求解.

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平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请 解答下列问题: (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d.

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【思路启迪】 (1)向量相等对应坐标相等, 列方程解之. (2)由两向量平行的条件列方程解之. (3)设出 d=(x,y),由平行关系列方程,由模为 5列方 程,联立方程组求解.

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【解】 (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 5 ? ?-m+4n=3, ?m=9, ? ∴? 得? ?2m+n=2, ? ?n=8. 9 ? (2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a), 16 ∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,∴k=- . 13

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(3)设 d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
?4?x-4?-2?y-1?=0, ? 由题意得? 2 2 ??x-4? +?y-1? =5, ? ?x=3, ? 解得? ?y=-1 ? ?x=5, ? 或? ?y=3, ?

∴d=(3,-1)或 d=(5,3).

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(1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将 数与形有机的结合. (2)根据平行的条件建立方程求参数,是解决这类题目的 常用方法,充分体现了方程思想在向量中的应用.

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设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量 λa+b 与向量 c=(- 4,-7)共线,则 λ=________.

解析:∵a=(1,2),b=(2,3), ∴λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3). ∵向量 λa+b 与向量 c=(-4,-7)共线, ∴-7(λ+2)+4(2λ+3)=0, ∴λ=2.
答案:2
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(对应学生用书 P101)
易错点 忽视平行四边形的多样性致误

已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0), (1,-5),求第四个顶点的坐标.

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【错解】 设 A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y). ∵四边形 ABCD 是平行四边形, → → ∴AB=DC. → 而AB=(3,0)-(-1,0)=(4,0), → DC=(1,-5)-(x,y)=(1-x,-5-y),
?4=1-x, ? ∴(4,0)=(1-x,-5-y),即? ?0=-5-y, ? ?x=-3, ? 解之得? ?y=-5. ?

∴点 D 的坐标为(-3,-5).
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【错因分析】 (1)此解错因是思维定势,认为平行四边形只是如图所示 中的一种情形,由此在解题构思中丢掉了两种情形.

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(2)若平行四边形 ABCD 的三个项点 A、B、C 的坐标分 别为(-1,0),(3,0),(1,-5),求 D 点坐标,就只有一种情 况,此题目中给出了平行四边形的三个顶点,并没有规定顺 序,就可能有?ABCD1、?ACD2B、?ACBD3 三种情形,如解答 中的图所示.

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【正确解答】

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(1)如图所示,设 A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y). → → 若四边形 ABCD1 为平行四边形,则AD1=BC, → → 而AD1=(x+1,y),BC=(-2,-5).
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?x+1=-2, → =BC,得? ? 由AD1 → ?y=-5. ? ?x=-3, ? ∴? ?y=-5. ?

∴D1(-3,-5).

→ → (2)若四边形 ACD2B 为平行四边形,则AB=CD2. → → 而AB=(4,0),CD2=(x-1,y+5).
?x-1=4, ? ∴? ?y+5=0. ? ?x=5, ? ∴? ?y=-5. ?

∴D2(5,-5).

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→ → (3)若四边形 ACBD3 为平行四边形,则AD3=CB. → → 而AD3=(x+1,y),CB=(2,5),
?x+1=2, ? ∴? ?y=5. ? ?x=1, ? ∴? ?y=5. ?

∴D3(1,5).

综上所述,平行四边形第四个顶点的坐标为(-3,-5) 或(5,-5)或(1,5).

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平行向量与平面几何中两线段平行既有联系又有区别, 在解决此类问题时, 要注意画图, 利用数形结合的思想求解.

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→ → → 已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)且OP=OA+tAB. (1)求点 P 在第二象限时,实数 t 的取值范围; (2)四边形 OABP 能否为平行四边形?若能, 求出相应的 实数 t;若不能,请说明理由.

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解:∵O(0,0),A(1,2),B(4,5), → → ∴OA=(1,2),AB=(4-1,5-2)=(3,3). → (1)设 P(x,y),则OP=(x,y),若点 P 在第二象限,
?x<0, ? 则? ?y>0 ?

且(x,y)=(1,2)+t(3,3),
?1+3t<0, ? ∴? ?2+3t>0, ?

?x=1+3t, ? ∴? ?y=2+3t, ?

2 1 ∴- <t<- . 3 3

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→ → → → (2)因为OA=(1,2),PB=OB-OP=(3-3t,3-3t), → → 若四边形 OABP 为平行四边形,则OA=PB.
?3-3t=1, ? 由? ?3-3t=2 ?

得此方程组无解,

∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.

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1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四 边形法则,将向量进行分解. 2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐 标运算法则是运算的关键,通常坐标运算可将一些几何问题 转化为代数问题处理,从而向量可以解决平面解析几何中的 许多相关问题. 3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数 形结合思想的运用.
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(对应学生用书 P101)
1.已知 a=(4,5),b=(8,y)且 a∥b,则 y 等于 ( A.5 32 C. 5 B.10 D.15 )

解析:∵a∥b,∴4y-40=0 得 y=10. 答案:B

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→ → 2.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 → → → AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于 A.(-2,7) C.(2,-7) B.(-6,21) D.(6,-21) ( )

→ → → → → → 解析:BC=3PC =3(2PQ -PA )=6PQ -3PA =(6,30)- (12,9)=(-6,21).
答案:B

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3.已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b, 则 k= A.3 C.5 B.0 D.-5 ( )

解析:由已知得:(a-c)=(3-k,-6), 又∵(a-c)∥b, ∴3(3-k)+6=0,∴k=5.
答案:C

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→ → 4.已知 O 为原点,A、B 是两定点,OA=a,OB=b, 且点 P 关于点 A 的对称点为 Q, Q 关于点 B 的对称点为 R, 点 → 则PR等于 A.a-b C.2(b-a) B.2(a-b) D.b-a ( )

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→ → 解析:设OA=a=(x1,y1),OB=b=(x2,y2), 则 A(x1,y1),B(x2,y2). 设 P(x,y),则由中点坐标公式可得 Q(2x1-x,2y1-y),R(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y). → → → ∴PR=OR-OP=(2x2-2x1,2y2-2y1) → =2(x2,y2)-2(x1,y1),即PR=2(b-a).
答案:C

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5.若 α,β 是一组基底,向量 γ=x α+y β(x,y∈R),则 称(x,y)为向量 γ 在基底 α,β 下的坐标,现已知向量 a 在基 底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在另一组 基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 A.(2,0) C.(-2,0) B.(0,-2) D.(0,2) ( )

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解析:∵a 在基底 p、q 下的坐标为(-2,2), 即 a=-2p+2q=(2,4), 令 a=xm+yn=(-x+y,x+2y),
?-x+y=2, ? ∴? ?x+2y=4, ? ?x=0, ? 即? ?y=2. ?

答案:D

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6.(2012 年安徽)在平面直角坐标系中,O(0,0),P(6,8), → 按逆时针旋转3π后,得向量OQ,则点 Q 的坐标是 → 将向量OP 4 ( A.(-7 2,- 2) B.(-7 2, 2) C.(-4 6,-2) D.(-4 6,2) )

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→ 解析:解法一:设OP =(10cos 3 = ,sin 5
? ? ?

θ,10sin

θ)?cos

θ

4 → = ?10cos ?θ+3π?,10sin ?θ+3π?? = ? ? ? ?? θ= ,则OQ ? 5 4? 4 ?? ? ? ?
?

-7 2,- 2??,故 Q 点坐标为(-7 2,- 2). → =(6,8)按逆时针旋转3π后得OM=(8, → 解法二:将向量OP 2

-6), → =- 1 (OP+OM)=(-7 2,- 2). → → 则OQ 2
答案:A
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平面向量的基本定理及坐标运算

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