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山西省太原五中2013届高三5月月考数学文试题


太 高

原 三

五 数

中 学(文)

2012—2013 学年度第二学期月考(5 月 28 日)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.定义 A ? B ? { x | x ? A且x ? B} ,已知 A ? {2,3}, B ? {1,3,4} 。则 A ? B ? ( A. {1,4} B. {2} C. {1,2} D. {1,2,3} )

2.如图在复平面内,复数 z1 , z 2 对应的向量分别是 OA,OB, 则复数

z1 的值是( ) z2 A. ? 1? 2i B. ? 2 ? 2i
)

C. 1? 2i

D. 1? 2i

3. 下列命题中的假命题是(
A.

?x ? R, x 2 ? 0

B. ?x ? R,2 x?1 ? 0 D. ?x ? R, sin x ? cos x ? 2

C. ?x ? R, lg x ? 1

4.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 3) x 的导函数为 f ?(x) ,且 f ?(x) 是偶函数, 则曲线: y ? f (x) 在原点处的切线方程为( A. y ? 3x B. y ? ?3x C. y ? ?3x ? 1 ) ) D. y ? 3x ? 1

5.下列命题正确的是(

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 6.下图是用模拟方法估计圆周率 ? 的程序框图, P 表示估计结果,则图中空白框内应填入 ( )

1

A. P ?

N 1000

B. P ?

4N 1000

C. P ?

M 1000

D. P ?

4M 1000

7. 过原点的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 有公共点,则直线的倾斜角的取值范围是( ) A. [?

? ?

, ] 6 6
2 2

B. [ ,

? 5?
6 6

]

C. [0,

?
6

]?[

5? ,? ) 6

D. [

? ?

? 5? , )?( , ] 6 2 2 6

8.过双曲线

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左焦点 F1 的直线与以右焦点 F2 为圆心、| OF2 | 为半径的 a 2 b2
) D. 3

圆相切于 A 点,且 | F1 A |? 2b ,则双曲线的离心率为( A.
3 2

B. 2

C. 3

9.已知函数 f ? x ? ? 2 2 sin x cos x ,为了得到函数 g ? x ? ? sin 2x ? cos 2x 的图象,只需 要将 y ? f ? x ? 的图象( )

? 个单位长度 4 ? C.向右平移 个单位长度 8
A.向右平移

? 个单位长度 4 ? D.向左平移 个单位长度 8
B.向左平移

10.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正 三角形,则这个几何体的外接球的表面积为 ( ) A. 2 3?

B.

8? 3

C.

16? 3

D. 4 3

11.已知两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且

An 7n ? 45 ? ,则使得 Bn n?3

2

an 为整数的正整数 n 的个数是( bn
A.5 B. 4 C.

) 3 D. 2

12. 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

2(1 ? x) (a?R ) 定义域为 (0,1) , f (x) 的图像不可能是 则 ( ) 1? x

y

y

y

y

O

1

x

O

1

x

O

1

x

O

1

x

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 若向量 a ? ( , sin ? ), b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 的大小是

?

3 2

?

1 3

?

?

?x ? y ? 2 ? 14. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,且 x ? 2 y ? a 恒成立,则 a 的取值范围为 ?x ? 1 ?
15. 记等比数列 {an } 的前 n 项的积为 Tn (n ? N ? ) ,已知 am?1am?1 ? 2am ? 0 ,且

T 2 m?1? 128,则 m 得值为
16.已知 2+

2 2 3 3 =2· , 3+ =3· , 3 3 8 8

4+

4 4 =4· ,…. 15 15

若 8+

a a =8· ( a , t 均为正实数) ,类比以上等式,可推测 a , t 的值, t t
.

则 a ?t =

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。 ) 17. (本小题满分 12 分)在公比为 2 的等比数列 ?an ? 中,

a2 与 a4 的等差中项是 5 3 .
(Ⅰ)求 a1 的值;

3

(Ⅱ)若函数 y ? a1 sin?

?? ? x ? ? ? , ? ? ? ,的一部分图像如图所示, M ? ?1, a1 ? , ?4 ?

N ? 3, ? a1 ? 为图像上的两点,设 ?MPN ? ? ,其中 P 与坐标原点 O 重合, 0 ? ? ? ? ,求

tan ?? ? ? ? 的值.
18.(本小题满分 12 分)2013 年,首都北京经历了 59 年来雾霾天气最多的一个月。经 气象局统计,北京市从 1 月 1 日至 1 月 30 日这 30 天里有 26 天出现雾霾天气。 《环境空 气质量指数(AQI)技术规定(试行) 》将空气质量指数分为六级:其中,中度污染(四 级) ,指数为 151—200;重度污染(五级) ,指数为 201—300;严重污染(六级) ,指数 大于 300. 下面表 1 是该观测点记录的 4 天里,AQI 指数 M 与当天的空气水平可见度 y (千米)的情况, 表 2 是某气象观测点记录的北京 1 月 1 日到 1 月 30 日 AQI 指数频数统计结果, 表 1:AQI 指数 M 与当天的空气水平可见度 y (千米)情况 AQI 指数 M
900 700 3.5 300 6.5 100 9.5

空气可见度 y (千米) 0.5

表 2:北京 1 月 1 日到 1 月 30 日 AQI 指数频数统计 AQI 指 数 频数 量x?
[0, 200] (200, 400] (400, 600]
(600, 800] (800, 1000]

3

6

12

6

3

(Ⅰ)设变

M ,根据表 1 的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程; 100 (Ⅱ)根据表 2 估计这 30 天 AQI 指数的平均值.

(用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

, a ? y ? bx )

19. 本 题 分 ( 小 满 12分 如图所示的几何体中,四边形 PDCE 为矩形, ABCD 为直角梯形,且 )

D B ?BAD ? ?ADC ? 90? ,平面P CE ? 平面 A CD ,
(I)若M 为PA 的中点,求证: AC // 平面 MDE ; (II) 求原几何体被平面 PBD 所分成的左右两部分的体积比.

AB ? AD ?

, PD ? 2 , 1 CD ? 1 2

4

20. (本小题满分 12 分) 已知点 P (?1, ) 是椭圆 E :

3 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F 1, F2 分别是椭圆 E 的左、 右焦 a2 b2

点, O 是坐标原点, PF1 ? x 轴. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 A,B 是椭圆 E 上两个动点,满足: PA ? PB ? ? PO(0 ? ? ? 4, 且? ? 2) 求直线 AB 的斜率。 21. (本小题满分 12 分)

??? ??? ? ?

??? ?

a ( x ? 1) 2 ( a ? R , a ? 0 ) g ( x) ? x ? x . , x ?1 a ( x ? 1) ? g ( x) 的单调区间,并确定其零点个数; (1)求函数 h( x) ? a ln x ? x ?1
已知函数 f ( x) ? ln x ? (2)若 f (x) 在其定义域内单调递增,求 a 的取值范围;

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请 写清题号。 22.(本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲
如图,

AB 是 ?O 的一条切线,切点为 B ,直线 ADE , CFD , CGE 都是 ?O 的割线,已知 AC ? AB . (1)求证: FG // AC ; DE (II)若 CG ? 1, CD ? 4 ,求 的值. GF

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程是 ? ? 4cos? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立平面直
? x ? 2 ? t cos ? 角坐标系,直线的参数方程是: ? (t 为参数) . ? y ? 1 ? t sin ?

(Ⅰ )求曲线 C1 的直角坐标方程;
??? ? ???? (Ⅱ )设直线与曲线 C1 交于 A , B 两点,点 M 的直角坐标为 (2, 1) ,若 AB ? 3MB ,求直线

的普通方程. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | x | ?a . (Ⅰ )若 a ? 0 ,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (Ⅱ )若方程 f ( x) ? x 有三个不同的解,求 a 的取值范围.

5

高 三 数 学(文)答案
一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分)

题1 号 B

2 A

3 D

4 B

5 C D

6

7 C

8 B

9 0 D

1 C

11 A

12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.

450 ;

14.

a ? -1



15 4



16 71;

18.解: )由 x ? (Ⅰ

M ,则 x1 ? 9 , x2 ? 7 , x3 ? 3 , x4 ? 1 , x ? 5 , y ? 5 100
4 i ?1

?x y
i ?1 i

4

i

? 9 ? 0.5 ? 7 ? 3.5 ? 3 ? 6.5 ? 1 ? 9.5 ? 58 , ? xi2 ? 140

58 ? 4 ? 5 ? 5 21 21 41 ∴b ? ? ? , a ? 5 ? 5 ? (? ) ? 2 140 ? 4 ? 5 20 20 4 21 41 ∴ y 关于 x 的线性回归方程是 y ? ? x? 20 4 (Ⅱ )这 30 天 AQI 指数的平均值

8分

x?

3 6 12 6 3 ?100 ? ?100 ? ? 100 ? ? 100 ? ? 100 ? 480 30 30 30 30 30

即这 30 天 AQI 指数的平均值为 480 12 分 19.证明:连结 PC ,交 DE 于 N ,连结 MN , 在 ?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中 点,∴MN // AC . ………………3 分 AC 因为 MN ? 面MDE, ? 面MDE, 所以 AC // 平面 MDE . ………………6 分
6

(Ⅱ )由四边形 PDCE 为矩形,知 PD ? DC, 又平面 PDCE ? 平面 ABCD ,

? PD ? 平面ABD, 三棱锥 P ? ABD 的体积为 1 1 1 1 2 . …8 分 VP ? AB D ? S ?ABD ? PD ? ? AB ? AD ? PD ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 3 2 6 6 由已知 AD ? DC, 又平面 PDCE ? 平面 ABCD , ? AD ? 平面PDCE, ? AB // CD, 四棱锥的体积为
1 1 1 2 2 .…… VB ? PDCE ? V A? PDCE ? S 矩形PDCE ? AD ? CD ? PD ? AD ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 3 3 3 2 VP ? AB D 1 ? 6 ? , 以 原 几 何 体被平 面 PBD 所 分 成 的两 部 分 的体 积 比 …10 分 ? 所 VB ? PDCE 2 2 4 3 1 . ……12 分 4

20.

21.解: (1) h( x) ? a ln x ? ax2 ? ax ( x ? 0) ………………1 分

7

则 h?( x ) ? a ( ? 2 x ? 1) ( x ? 0) ? ?

a(2 x 2 ? x ? 1) … 2分 x (i)若 a ? 0 ,则当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 所以 (0,1) 为 h( x) 的增区间, (1, ??) 为 h( x) 的减区间. ………3 分 极大值为 h(1) ? a ln1 ? a ?12 ? a ?1 ? 0 所以 h(x) 只有一个零点 x ? 1 . (ii)若 a ? 0 ,则当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 所以 (0,1) 为 h( x) 的减区间, (1, ??) 为 h( x) 的增区间.
1 x
极小值为 h(1) ? a ln1 ? a ?12 ? a ?1 ? 0 所以 h(x) 只有一个零点 x ? 1 .综上所述, 当 a ? 0 时, (0,1) 为 h( x) 的减区间, (1, ??) 为 h( x) 的增区间, h(x) 有且只有一个零点; 当 a ? 0 时, (0,1) 为 h( x) 的增区间, (1, ??) 为 h( x) 的减区间, h(x) 有且只有一个零 点.……………6 分 (2)

1 a[ x ? 1 ? ( x ? 1)] 1 2a x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? ? ? ? ( x ? 0) …8 分 x ( x ? 1)2 x ( x ? 1) 2 x( x ? 1)2 由 f (x) 在其定义域内单调递增,可知 ?x ? (0, ??) , f ?( x) ? 0 恒成立. 则 x2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0 ?x ? (0, ??) 恒成立.…………………9 分 ?a ? 1 ? 0 (法一)由二次函数的图象(开口向上,过定点 (0,1) )可得 a ? 1 ? 0 或 ? ?? ? 0 f ?( x) ?
…………………………11 分 则 a ?1 或 ?

?a ? 1 ? 0 ?(2 ? 2a) ? 4 ? 0
2

则 a ?1 或 ?

?a ? 1 得 a ? 2 . 可以验证 当 a ? 2 时 ?0 ? a ? 2

f (x) 在其定义域 (0, ??) 内单调递增故 a ? 2 ……12 分
(法二)分离变量 2a ? x ? 因 x?

1 ? 2 ( x ? 0) x

1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 (当且仅当 x ? ,即 x ? 1 时取到等号) x x 所以 2a ? 4 , 则 a ? 2 可以验证 当 a ? 2 时 f (x) 在其定义域 (0, ??) 内单调递增故 a ? 2 …12 分 22.解:(Ⅰ )因为 AB 为切线, AE 为割线,
2 所以 AB ? AD ? AE , 又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC 2 .

G O

C

所以

AD AC ? ,又因为 ?EAC ? ?DAC , AC AE
E

F
D A

所以 △ ADC ∽△ ACE , 所以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 ?ADC ? ?EGF , 所以 ?EGF ? ?ACE , 所以 FG // AC . ……………………5 分 (Ⅱ )由题意可得: G, E , D, F 四点共圆,

B
第 22 题图

? ?CGF ? ?CDE, ?CFG ? ?CED .? ?CGF ∽

8

?CDE .?

DE CD ? . GF CG DE =4. GF
………10 分

又? CG ? 1, CD ? 4 ,?

23 解(Ⅰ )由 ? ? 4cos ? ,得 ? 2 ? 4? cos? ,∵? 2 ? x2 ? y 2 , x ? ? cos? ∴ 曲线 C1 的直角坐标方程是 x2 ? y 2 ? 4x ,即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 4分 ① (Ⅱ )设 A(2 ? t A cos? , 1 ? t A sin ? ) , B(2 ? tB cos? , 1 ? tB sin ? ) ???? ???? 由已知 | MA | ? 2 | MB | ,注意到 M (2, 1) 是直线参数方程恒过的定点,∴t A ? ?2tB 联立直线的参数方程与曲线 C1 的直角坐标方程得: t cos ? ? (1 ? t sin ? ) ? 4 ,
2 2 2

整理得: t 2 ? 2t sin ? ? 3 ? 0 ,

6分
10 6 , cos ? ? ? 4 4

∴t A ? tB ? ?2sin ? , t A ? tB ? ?3 ,与① 联立得: sin ? ?

? ?x ? 2 ? ? ∴ 直线的参数方程为 ? ? ?y ?1? ? 分
消去参数得的普通方程为 y ?

? 10 t ?x ? 2 ? ? 4 , (为参数)或 ? 6 ? t ?y ?1? 4 ?

10 t 4 , (为参数). 6 t 4
10 分

8

15 2 15 15 2 15 x? ?1或 y ? ? x? ?1. 5 5 5 5 x ? ?1 ??1, ? 24 解: (Ⅰ a ? 0 时, f ( x) ? | x ? 1| ? | x | ? ?2 x ? 1, ? 1 ? x ? 0 , ) ?1, x?0 ? ∴ x ? ?1 时, f ( x) ? ?1 ? 0 不合题意; 当

1 当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ? ? x ? 0 ; 2 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 0 符合题意. 1 综上, f ( x) ? 0 的解集为 [? , ? ?) 2 | (Ⅱ 设 u ( ) ?x ? |? | x ) x | 1 ,y ? u( x) 的图象和 y ? x 的图象如右图: 7分 易知 y ? u( x) 的图象向下平移 1 个单位以内 (不包括 1 个单位)与 y ? x 的图象始终有 3 个交点, 从而 ?1 ? a ? 0 . 10 分

3分 5分

9


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