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2014年北京市丰台区高三二模数学(文)试题Word版带解析


丰台区 2014 年高三年级第二学期统一练习(二) 数学(文科)
2014.5

第一部分(选择题
选出符合题目要求的一项。 (1)sin6000 等于 (A)
1 2

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,
<

br />(B) ?

1 2

(C)

3 2

(D) ?

3 2

(2)已知数列 {an } 是等差数列,且 a3 ? a9 ? 4 ,那么数列 {an } 的前 11 项和等于 (A)22 (B)24 (C)44 (D)48

(3)将函数 f ( x ) ? sin x 图象所有的点向右移动

? 个单位长度,再将所得各点的横 3

坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式为 2
1 ? (B) y ? sin( x ? ) 2 6

1 ? (A) y ? sin( x ? ) 2 3

? (C) y ? sin(2 x ? ) 3

? (D) y ? sin(2 x ? ) 6

(4)已知 a ? 0.3?0.2 , b ? log0.5 0.8, c ? log0.5 3 ,那么 a, b, c 的大小关系是 (A) a ? b ? c (C) c ? a ? b
2 2

(B) c ? b ? a (D) a ? c ? b

(5)圆 C: (x+1) +(y-3) =9 上有两点 P,Q 关于直线 x+my+4=0 对称,则 m 等于 (A) ?
5 3

(B)

5 3

(C)-1

(D) 1

? x 2 ? 2a , x ? 1, (6)已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? ? 若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则实数 a ? ? x , x ? 1.

的取值范围是 (A) [?2, ?1] ? (0, ??) (B)[-2,-1] (C) (??,0) (D) (0, ??)

(7)设 m,n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面.则下列命题中正确的 是 (A)m⊥ ? ,n ? ? ,m⊥n ? ? ⊥ ? (B) ? ⊥ ? , ? ∩ ? =m,n⊥m ? n⊥ ? (C) ? ⊥ ? ,m⊥ ? ,n∥ ? (D) ? ∥ ? ,m⊥ ? ,n∥ ?
? m⊥n ? m⊥n

(8)设函数 f ? x ? 的定义域为 D,如果 ?x ? D,?y ? D ,使得 f ? x ? ? ? f

? y?

成立,则称函数 f ? x ? 为“Ω 函数”. 给出下列四个函数:① y ? sin x ; ② y ? 2x ;③ y ? (A)1 个
1 ;④ f ( x) ? ln x , 则其中“Ω 函数”共有 x ?1

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9) 已知一个样本容量为 100 的样本数据的频率分布直方图如图所示, 样本数据落 在[40,60)内的频数为 .

频率 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 40 50 60 70 80 90 100

样本数据

( 10 )已知数列 {an } 的 前 n 项和为 Sn ? 3n ? 1 ,那么该数列的 通项公式 为 an =_______.

? x ? 2 y ? 1, ? ( 11 ) 已 知 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1, 那 么 z ? x ? 2 y的 最 大 值 为 ? y ? 1 ? 0. ?

______. ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ( 12 )已知 a, b 均为单位向量 , 若 (2a ? b) ? (2b ? a) ? ,那么向量 a 与 b 的夹角为 2 _______. (13)已知 A1,A2 双曲线 C :
x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的顶点,B 为双曲线 C 的虚轴 a 2 b2 一个端点.若△A1BA2 是等边三角形,则双曲线 C 的离心率 e 等于 .

(13)已知函数 f ( x) 由下表定义: x 1 2 3 4 5 f(x) 4 1 3 5 2 若 a1 ? 5 , an?1 ? f (an ) ( n ? 1, 2,? ) ,则 a2014 ?



三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程。 (15) (本小题满分 13 分) 已知三角形 ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 的对边长分别为 a, b, c ,且 a 2 ? b2 ? ab ? 3 ,
C ? 60o .

(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 a ? b 的取值范围. (16) (本小题满分 13 分) 某超市为了促销,举行消费抽奖活动,消费者可从一个装有 1 个红球,2 个黄 球,3 个白球的口袋中按规定不放回摸球,摸中红球获奖 15 元,黄球获奖 10 元,白球获奖 5 元,奖金进行累加.抽奖规则如下:消费金额每满 100 元可摸 1 个球,最多可摸 3 个球.消费者甲购买了 238 元的商品,准备参加抽奖. (Ⅰ)求甲摸出的球中恰有一个是红球的概率; (Ⅱ)求甲获得 20 元奖金的概率. (17) (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,AD=AB=1,∠BAD=90o, ∠BCD=45o,E 为对角线 BD 中点.现将△ABD 沿 BD 折起到△PBD 的位置, 使平面 PBD⊥平面 BCD,如图 2.

(Ⅰ)求证直线 PE⊥平面 BCD; (Ⅱ)求证平面 PBC⊥平面 PCD; (Ⅲ)已知空间存在一点 Q 到点 P,B,C,D 的距离相等, 写出这个距离的值 (不 用说明理由).

A E

D

P D E

B

图1

C

B

图2

C

(18) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? a ) ln x ?
a ? x ,其中 a ? R . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [1,e](e ? 2.718?) 上的最小值. (19) (本小题满分 13 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 离心率为为 . a b 2
点 P 在椭圆 E 上,且 ?PF1F2 的周长为 4 2 ? 4 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? x ? m 与椭圆 E 交于 A, B 两点,O 为坐标原点,求△AOB 面积的最大值. (20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) 的定义域为 D,若它的值域是 D 的子集,则称 f ( x) 在 D 上封 闭. (Ⅰ)试判断 f ( x) ? 2x , g ( x) ? log2 x 是否在 ?1, ?? ? 上封闭; (Ⅱ)设 f1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f ( f n?1 ( x))(n ? N *, n ? 2) ,求证: f n ( x) 在 D 上 封闭的充分条件是 f1 ( x) 在 D 上封闭;

(Ⅲ)若(Ⅱ)中 f n ( x) ( n ? N * )的定义域均为 D,那么 f1 ( x) 在 D 上封闭是

f n ( x) 在 D 上封闭的必要条件吗?证明你的结论.

丰台区 2014 年高三年级第二学期统一考试(二) 数学(文科)答案
一、选择题: DACBCADC 二、填空题: (9)15 (12)60o 三、解答题: (15)解: (10) 2 ? 3n ?1 (13)2 (11)1 (14)2

2014.5

(Ⅰ)∵ c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C = a 2 ? b2 ? ab =3 ∴ c ? 3. (Ⅱ)∵ ∴
a b c ? ? sin A sin B sin C

----------------------- 5 分

a 3 ? ? 2 , a ? 2 sin A , sin A sin 600 b 3 ? ? 2 , b ? 2 sin B . sin B sin 600



a ? b ? 2(sin A ? sin B)
? 2 3sin( A ? 300 ) .

∵ ∴ ∴ ∴

00 ? A ? 1200 ,

A ? 300 ? (300 ,1500 ) ,
1 sin( A ? 300 ) ? ( ,1] , 2
a ? b ? ( 3,2 3] .

---------------------13 分

(16)解: (I) 由题意,甲可摸两个球,记 2 个黄球分别为黄 1、黄 2,3 个白球分别为白 1、 白 2、白 3,则所有可能的摸球结果为 (红,黄 1) , (红,黄 2) , (红,白 1) , (红,白 2) , (红,白 3) , (黄 1,白 1) , (黄 1,白 2) , (黄 1,白 3) , (黄 2,白 1) , (黄 2,白 2) , (黄 2,白 3) , (黄 1,黄 2) , (白 1,白 2) , (白 1,白 3) , (白 2,白 3) , 共 15 种. 其中,恰有一个位红球的有(红,黄 1) , (红,黄 2) , (红,白 1) , (红,白 2) , (红,白 3)共 5 种, 所以甲摸出的球中恰有一个是红球的概率为
5 1 ? . 15 3

-----------9 分

(II)若甲获得 20 元奖金,则可能为摸到两个黄球,或摸到一个红球一个白球, 可能结果有(黄 1,黄 2) , (红,白 1) , (红,白 2) , (红,白 3)共 4 种, 所以甲获得 20 元奖金的概率为
4 . 15

--------------13 分

(17) (Ⅰ)证明: ∵ ∴ ∵ E 为 BD 的中点, PE⊥BD, 平面 PBD⊥平面 BCD, 且平面 PBD?平面 BCD=BD, PE?平面 PBD, ∵ 直线 PE⊥平面 BCD. -----------5 分

(Ⅱ)证明:依题意知 CD⊥BD,因为平面 PBD⊥平面 BCD, 且平面 PBD?平面 BCD=BD,所以 CD⊥平面 PBD.

因为 所以

PB?平面 PBD, PB⊥CD,

由已知得 PB⊥PD, 因为 所以 因为 所以 PD?CD=D,PD、CD?平面 PDC, PB⊥平面 PCD. PB?平面 PBC, 平面 PBC⊥平面 PCD. ----------------------------------11 分 --------------14 分

(Ⅲ)答:这个距离为 1. (18)解: 1 ? a ?a (Ⅰ) f ' ( x) ? ? 2 ? 1( x ? 0) , x x 因为在点 A(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴 , 所以 f ' (1) ? 0 即 解得 a ? 1 .
1 ? a ?a ? 2 ?1 ? 0 , 1 1

----------5 分

(Ⅱ)因为 f ' ( x) ?

1 ? a ?a ( x ? 1)( x ? a ) , ? 2 ?1 ? x x x2

-------------6 分

' ① a ? 1 时,在区间 [1, e] , f ( x) ? 0 所以 f ( x) 在 [1, e] 上单调递增

所以 x ? 1 时 f ( x) 取得最小值 f (1) ? 1 ? a ; ②当 1 ? a ? e 时,在区间 [1, a] , f ' ( x) ? 0 所以 f ( x) 在 [1, a] 上单调递减 在区间 [a, e] , f ' ( x) ? 0 所以 f ( x) 在 [a, e] 上单调递增 所以 x ? a 时 f ( x) 取得最小值 f (a ) ? (1 ? a ) ln a ? 1 ? a ; ③当 a ? e 时,在区间 [1, e] , f ' ( x) ? 0 所以 f ( x) 在 [1, e] 上单调递减 所以 x ? e 时 f ( x) 取得最小值 f (e) ? 1 ? a ?
a ?e. e

综上所述,当 a ? 1 时, f ( x) 在[1,e]上的最小值是 1 ? a ;当 1 ? a ? e 时, f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (a ) ? (1 ? a ) ln a ? 1 ? a ;当 a ? e 时, f ( x) 在[1,e]上的最小 值是 1 ? a ?
a ?e e

-------------13 分 (19)解:
?2a ? 2c ? 4 2 ? 4, ? (Ⅰ)由题意知 ? c 2 ? , ? a 2 ?
? ? a ? 2 2, 所以 ? 所以 b ? 2 c ? 2, ? ?

x2 y 2 所以椭圆的方程为: ? ? 1. 8 4

------------------4 分

(Ⅱ)

? y ? x ? m, ? 2 即消去 y 并整理得: 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 8 ? 0 . ?x y2 ? 1, ? ? ?8 4

? ? 16m2 ?12(2m2 ? 8) ? 96 ? 8m2 ? 0
?4m ? x1 ? x2 ? , ? ? 3 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,所以 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 , 1 2 ? 3 ?
弦长 AB ? 2 x1 ? x2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 8 x1 x2

? 2(

?4m 2 2m2 ? 8 4 ) ?8 ? 12 ? m2 3 3 3
m 2

原点 O 到直线 l 的距离为 d ?

1 2 12m2 ? m4 所以 S?AOB ? d AB ? 2 3
当 m2 ? 6 时, ? ? 96 ? 48 ? 48 ? 0 , 所以当 m2 ? 6 时 S?AOB 的最大值为 2 2 -----------13 分

(20)解: (Ⅰ) f ( x) ? 2x 在 ?1, ?? ? 上封闭; g ( x) ? log2 x 在 ?1, ?? ? 上不封闭.------4 分 (Ⅱ)任取 x ? D ,因为 f1 ( x) 在 D 上封闭,所以 f1 ( x) ? D , 所以 f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? D , f3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? D ……, 所以 fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) ? D , n ? N * 所以 f n ( x) 在 D 上封闭. (Ⅲ)是必要条件. 证明: (反证法) 假设 f1 ( x) 在 D 上不封闭,即存在 x0 ? D 使得 f1 ( x0 ) ? D 那么此时 f2 ( x0 ) ? f ( f ( x0 )) 无意义,这与 f n ( x)(n ? N *) 的定义域均为 D 矛盾, 所以假设不成立,即 f1 ( x) 在 D 上封闭是 f n ( x) 在 D 上封闭的必要条件. ----14 分 ---------------- 9 分


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