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山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文试题


山东省实验中学 2010 级第二次诊断性测试 数学试题(文科) (2012.10)
说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)共两卷。其中第 I 卷共 60 分,第 II 卷共 90 分,两卷合计 150 分。答题时间为 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题目: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共

60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U ? ?? 2,?1,0,1,2,3?, M ? ?0,1,2?, N ? ?0,1,2,3?,则 (CU M ) ? N = A. ?0,1,2? 【答案】D 【解析】 CU M ? {?2, ?1,3} ,所以 (CU M ) ? N ={3} ,选 D. 2.已知幂函数 f (x) 的图像经过(9,3) ,则 f (2) ? f (1) = A.3 【答案】C 【 解 析 】 设 幂 函 数 为 f ( x)=x , 则 f (9) =9 =3 即 3 ,
?

B. ?? 2, 1,3? ?

C. ?0,3?

D. ?3?

B. 1? 2

C. 2 ? 1

D.1

?

2?

=3 , 所 以 2? =1,? =

1 ,即 2

f ( x) =x = x,所以 f (2) ? f (1)= 2 ?1 ,选 C.
3.若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则 A. 0 ? a ? b ? 1 C. a ? b ? 1 【答案】B B. 0 ? b ? a ? 1 D. b ? a ? 1

1 2

1 1 ? ?0 【 解 析 】 由 l o g 2 ? l o g 2 ? 0 得 log 2 a log 2 b , 即 log2 b ? log2 a ? 0 , 所 以 a b
0 ? b ? a ? 1 ,选 B.
4.函数 y ?

lg | x | 的图象大致是 ks5uks5u x

【答案】D 【解析】函数 y ? f ( x)=

lg | x | 为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A,B.当 x =1 时, x

f (1)=

lg | x | ? 0 ,排除 C,选 D. x

5.“ x( x ? 5) ? 0 成立”是 x ?1 | ? 4 成立”的 A. 充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】由 x( x ? 5) ? 0 ,解得 0 ? x ? 5 ,由 x ?1 | ? 4 得, ?4 ? x ? 1 ? 4 ,即 ?3 ? x ? 5 , 所以“ x( x ? 5) ? 0 成立”是 x ?1 | ? 4 成立”的充分而不必要条件,选 A. 6.已知 cos( A. B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
4

? x) ?

18 25

3 ,则 sin 2 x = 5 7 7 B. C.25 25

D. ?

16 25

【答案】C

s i n ?2 x
【 解 析 】 因 为

?

c ? s ( ? o x 2 7 ? 1 ? 2 5 ,选 C.

2

?

) ? c o ?2 2 ( x s 4 4

?

x?)

? c o s 2

(

)

1

, 所 以

s i n ?2 x

3 ? 22 5

1 8 (? ) ? 1 ? 2 5

7.设 F ( x) ? f ( x) ? f (? x), x ? R, [?? ,?

?
2

] 为函数 F (x) 的单调递增区间,将 F (x) 图像向

右平移 ? 个单位得到一个新的 G (x) 的单调减区间的是 A ??

? ? ? , 0 ? 2 ? ?

B. ? ,? 0

?? ?2

? ?

C. ??, ? 2

? 3? ? ? ?

D. ?

? 3? ? , ? 2? ?2 ?

【答案】D

【解析】 因为函数

F ( x) ? f ( x) ? f (? x), x ? R

F 为偶函数, 在当 x ? [ ,? ] 为减函数, (x)

?

2

图像向右平移 ? 个单位,此时单调减区间为 ?

? 3? ? , ? ,选 D. 2? ?2 ?

8.曲线 y ?

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 ? 3?
B.

A.

2 9

1 9

C.

1 3

D.

2 3

【答案】B
2 【解析】 y ' ? f '( x) ? x +1 ,在点 ?1, ? 的切线斜率为 k ? f '(1) ? 2 。所以切线方程为

? 4? ? 3?

y?

4 2 2 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? ,与坐标轴的交点坐标为 (0, ? ), ( , 0) ,所以三角形的面 3 3 3 3

积为

1 1 2 1 ? ? ? ? ,选 B. 2 3 3 9

? 1 sin 2? ? 2 cos2 ? 9.已知 tan( ? ? ) ? ? ,且 ? ? ? ? ,则 等于 ? 2 4 2 sin(? ? ) 4

?

A.

2 5 5

B. ?

3 5 10

C. ?

2 5 5

D. ?

3 10 10

【答案】C

【解析】

sin 2? ? 2cos 2 ? sin(? ? ) 4

?

2sin ? cos ? ? 2cos 2 ? = =2 2 cos ? ,由 tan( ? ? ? ) ? ? 1 得 2 4 2 (sin ? ? cos ? ) 2

? 10 tan ? ? 1 1 = ? , 解 得 tan ? = ? 3 , 因 为 ? ? ? ? , 所 以 解 得 cos ? = ? ,所以 2 1 ? tan ? 2 10
2 sin 2 ? 2 cos ? ?

s i n? ? (

?

= 2 2 c o? = 2 ? ? ( s 2

10 10

)= ?

4

)

2 5 ,选 C. 5

10.若 f ( x) ? ? A. ?? 1 ? ?? , 【答案】C

1 2 ( ? x ? b ln( x ? 2) 在 ?1, ?) 上是减函数,则 b 的取值范围是 2
( ? B. ?1, ?)

( ? C. ? ?, 1]

( ?) D. ? ?, 1

【 解 析 】 函 数 的 导 数 f '( x) ? ? x ?

b ( ? , 要 是 函 数 在 ?1, ?)上 是 减 函 数 , 则 x?2 b b ? f '( x) ? ? x ? ? 0 , 在( ?1, ?)恒 成 立 , 即 ? x , 因 为 x ? ?1 , 所 以 x?2 x?2

x ? 2 ?1 ? 0 ,即 b ? x( x ? 2) 成立。设 y ? x( x ? 2) ,则 y ? x2 ? 2x ? ( x ? 1)2 ?1 ,因为

x ? ?1 ,所以 y ? ?1 ,所以要使 b ? x( x ? 2) 成立,则有 b ? ?1 ,选 C.
11.已知 f ( x) ? 3 sin x ? ?x ,命题 p : ?x ? (0, A. p 是假命题, ?p : ?x ? (0,

?
2

), f ( x) ? 0 ,则

?
2

), f ( x) ? 0 ), f ( x) ? 0

B. p 是假命题, ?p : ?x0 ? (0, C. p 是真命题, ?p : ?x ? (0,

?
2

?

2

), f ( x) ? 0 ), f ( x) ? 0

D. p 是真命题, ?p : ?x0 ? (0, 【答案】D

?
2

【解析】 因为 f '( x) ? 3cos x ? ? , 所以当 x ? (0, 单调递减,而 f (0) ? 0 ,所以 ?x ? (0, 以答案选 D.

?
2

) 时,f '( x) ? 3cos x ? ? ? 0 , 函数 f ( x )

?
2

), f ( x) ? 0 成立,全称命题的否定是特称命题,所

12.已知 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), f ( x) ? f (? x ? 2) ,方程 f ( x) ? 0 在[0,1]内有且只有一个 根x?

1 ,则 f ( x) ? 0 在区间 ?0,2013 内根的个数为 ? 2
B.1006 C.2013 D.1007

A.2011 【答案】C

【解析】由 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,可知 f ( x ? 2) ? f ( x ) ,所以函数 f ( x ) 的周期是 2,由

f ( x) ? f (? x ? 2)可知函数 f ( x) 关于直线 x ? 1 对称,因为函数 f ( x) ? 0 在[0,1]内有
且只有一个根 x ?

1 ? ,所以函数 f ( x) ? 0 在区间 ?0,2013 内根的个数为 2013 个,选 C. 2

第 II 卷(非选择题 注意事项:

共 90 分)

1、用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上,考试结束后将答题卡和第Ⅱ卷一并交上。

2、答题前将密封线内的项目填写清楚,密封线内答题无效。 题号 分数 二、填空题: (本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分.) 13.已知 sin ? ? cos ? ? 【答案】 ? 二 17 18 19 20 21 22 总分

? ? 1 ,且 ? ? ? ,则 cos ? ? sin ? 的值为 4 2 8

3 2

【 解 析 】 当

?
4

?? ?

?
2

时 , s i ?n?

? o s 所 以 cos ? ? sin ? ? 0 , 又 c ,

1 3 3 2 (cos ? ? sin ?)=1 ? 2sin ? cos ? =1 ? = cos ? ? sin ? = ? 4 4 ,所以 2 。
14.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?a .若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?,则实数 a 的 值为 【答案】 a ? 1 .

3 【解析】 因为不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?, ?2 是方程 f ( x) ? 6 的两个根, 即 ,
即 6 ? a ? a ? 6, a ? 4 ? a ? 6 ,所以 6 ? a ? 6 ? a, a ? 4 ? 6 ? a ,即 6 ? a ? a ? 4 ,解 得 a ? 1。 15.若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 【答案】 (?2, 2) 【解析】 f ( x) ? x3 ? 3x ? a ? 0 , f ( x 3 x 23 , f ( x 3 x 23 0 由 得 ') ? ? 当 ') ? ? ? , x ? ?1 , 得 .

由图象可知 f极大值 (?1)=2 ? a,f极小值 (1)=a ? 2 , 要使函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有三个不同的 零点,则有 f极大值 (?1)=2 ? a ? 0, f极小值 (1)=a ? 2 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值 范围是 (?2, 2) 。 16.对于函数 f ( x) ? x | x | ? px ? q ,现给出四个命题:ks5u ① q ? 0 时, f (x) 为奇函数 ② y ? f (x) 的图象关于 (0, q ) 对称

③ p ? 0, q ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 有且只有一个实数根 ④方程 f ( x) ? 0 至多有两个实数根 其中正确命题的序号为 【答案】①②③ 【解析】若 q ? 0 ,则 f (x) ? x | x | ?px ?x (x ?p ) ,为奇函数,所以①正确。由①知,当 .

q ? 0 时 , 为 奇 函 数 图 象 关 于 原 点 对 称 , f ( x) ? x | x | ? px ? q 的 图 象 由 函 数
f ( x) ? x | x | ? px 向上或向下平移 q 个单位,所以图象关于 (0, q ) 对称,所以②正确。当

? x 2 ? q, x ? 0 ? f ( x) ? x | x | ? q ? ? 2 ?? x ? q, x ? 0 ,当 f ( x ) ? 0 ,得 x ? ? q ,只有一 p ? 0, q ? 0 时, ?

? x 2 ? x, x ? 0 ? f ( x) ? x | x | ? x ? ? 2 ?? x ? x, x ? 0 ,由 f ( x) ? 0 ,可 解,所以③正确。取 q ? 0, p ? ?1 , ?
得 x ? 0, x ? ?1 有三个实根,所以④不正确,综上正确命题的序号为①②③。 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.(本小题满分 12 分) 已知角 ? 终边经过点 p( x,? 2 )(x ? 0) 且 cos? ?

3 x ,求 sin ? , tan? 的值 6

18.(本小题满分 12 分)

函数 f ( x) ?

2?

x?3 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? lg?( x ? a ? 1)(2a ? x)? 的定义域为 x ?1

集合 B,若 B ? A ,求实数 a 的取值范围。

ks5u

19.(本小题满分 12 分 已知函数 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x (1)求 f (

25? ) 的值。 6

( (2)设 ? ? 0,?),f ( ) ? 2

?

1 3 ? ,求 sin ? 的值 4 2

20.(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a, b 的值 (2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。

? 2x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

ks5u

21.(本题满分 13 分) 函数 f ( x) ?

1 1 1 ? 2? 3; x x x

(1)求 y ? f (x) 在 ?? 4, ? 上的最值; ? 2

? ?

1? ?

(2)若 a ? 0 ,求 g ( x) ?

1 2 a ? 2 ? 3 的极值点 x x x

22.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? R) (1)求 f (x) 的单调区间; (2)若 a ? 1, b ? 0 ,函数 g ( x) ?

1 3 bx ? bx ,若对任意的 x1 ? (1,2) ,总存在 x2 ? (1,2) , 3

使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围。

ks5u


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