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2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:10-8n次独立重复实验与二项分布


05 限时规范特训
A级 基础达标 1.[2014· 石家庄质检]甲、乙独立地解决同一数学问题,甲解决 这个问题的概率是 0.8,乙解决这个问题的概率是 0.6,那么其中至少 有 1 人解决这个问题的概率是( A.0.48 C.0.8 ) B.0.52 D.0.92

解析:1-0.2×0.4=0.92,选 D 项. 答案:D 1 2.[2014· 太原模拟]已知随机变量 X 服从二项分布,X~B(6,3), 则 P(X=2)等于( 3 A.16 13 C.243 ) 4 B.243 80 D.243

1 k n -k 解析:已知 X~B(6,3),P(X=k)=Ck ,当 X=2,n= np (1-p) 1 1 1 80 2 6,p=3时,有 P(X=2)=C6 ×(3)2×(1-3)6-2=243. 答案:D 3.[2014· 厦门质检]甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局 三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概 2 率均为3,则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为( 8 A.27 64 B.81 )

4 C.9

8 D.9

解析:第四局甲第三次获胜,并且前三局甲获胜两次,所以所求 22 1 2 8 的概率为 P=C2 3( ) × × = 3 3 3 27. 答案:A 4.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局 就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队每局获胜的概率相 同,则甲队获得冠军的概率为( 1 A.2 2 C.3 ) 3 B.5 3 D.4

解析:甲队若要获得冠军,有两种情况,可以直接胜一局,获得 1 1 1 冠军, 概率为2, 也可以乙队先胜一局, 甲队再胜一局, 概率为2×2= 1 1 1 3 ,故甲队获得冠军的概率为 4 4+2=4. 答案:D 5.[2014· 平顶山模拟]已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯 泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口 灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1 次抽到的是 螺口灯泡的条件下,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( 3 A.10 7 C.8 2 B.9 7 D.9 )

解析: 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”, 事件 B 为“第 3 3 7 7 2 次抽到的是卡口灯泡”, 则 P(A)=10, P(AB)=10×9=30.则所求概

7 P?AB? 30 7 率为 P(B|A)= = 3 =9. P?A? 10 答案:D 1 6.在高三的一个班中,有4的学生数学成绩优秀,若从班中随机 1 找出 5 名学生,那么数学成绩优秀的学生数 ξ~B(5,4),则 P(ξ=k) 取最大值的 k 值为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

3 5-k 1 k k-1 3 5 - (k - 1) 1 k - 1 k 3 5- 解析: 依题意, C k ( ) ≥ C · ( ) 且 C 5( ) 5 ( ) 5( ) 4 4 4 4 4
k

1 1 3 +1 3 5-(k+1) 1 k+1 (4)k≥Ck ( ) ,解得 ≤ k ≤ 5 ( ) 4 4 2 2,∴k=1,故选 B. 答案:B 1 7.在国庆期间,甲去北京旅游的概率为3,乙、丙去北京旅游的

1 1 概率分别为4、5.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间 内至少有一人去北京旅游的概率________. 1 1 解析:依题意,三个人都不去北京旅游的概率为(1-3)(1-4)(1 1 2 2 3 -5)=5,所以至少有一人去北京旅游的概率为 1-5=5. 3 答案:5 8.[2014· 金版创新题]已知数列{an}是单调递增的等差数列,从 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 中取走任意三项,则剩下四项依然构成单 调递增的等差数列的概率是________.

解析:从 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 中取走任意三项,有 C3 7= 35 种不同方法,剩下四项依然构成单调递增的等差数列的取法有 3 3 种,即取走 a1,a2,a3;a5,a6,a7;a2,a4,a6.所以所求概率 P=35. 3 答案:35 9.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”,事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”.当已知蓝色骰子的 点数为 3 或 6 时,则两颗骰子的点数之和大于 8 的概率为________. 解析:本题考查了古典概率,独立事件概率和条件概率. 2 1 P(A)=6=3. ∵两颗骰子的点数之和共有 36 个等可能的结果,点数之和大于 8 的结果共有 10 个. 10 5 ∴P(B)=36=18. 当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时, 两颗骰子的点数之和大于 8 的结 5 果有 5 个,故 P(AB)=36. 5 P?AB? 36 5 ∴P(B|A)= = 1 =12. P?A? 3 5 答案:12 10.[2014· 烟台模拟]一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字 都从 0~9 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密 码的最后一位数字.求: (1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;

(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概 率. 解:设第 i 次按对密码为事件 Ai(i=1,2), 则 A=A1∪( A 1A2)表示不超过 2 次按对密码. (1)事件 A1 与 A 1A2 互斥,由概率的加法公式得 1 9×1 1 P(A)=P(A1)+P( A 1A2)=10+ = . 10×9 5 (2)用 B 表示最后一位按偶数的事件, 1 4×1 2 则 P(A|B)=P(A1|B)+P( A 1A2|B)=5+ = . 5×4 5 11.[2014· 鹰潭一中联考]小王参加一次比赛,比赛共设三关,第 一、 二关各有两个必答题, 如果每关两个问题都答对, 可进入下一关, 第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关 可一次性获得价值分别为 1000 元,3000 元,6000 元的奖品(不重复 4 3 2 得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为5,4,3,且每 个问题回答正确与否相互独立. (1)求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)用 X 表示小王所获得奖品的价值,写出 X 的概率分布列,并 求 X 的数学期望. 解:(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为 P1, 4 1 3 1 7 则 P1=(5)2×(4+4×4)=25. 1 4 1 (2)X 的所有可能取值为 0,1000,3000,6000,则 P(X=0)=5+5×5 9 =25,

4 1 3 1 7 P(X = 1000) = ( 5 )2×( 4 + 4 × 4 ) = 25 , P(X = 3000) = 4 3 1 2 1 7 (5)2×(4)2×[(3)2+3×(3)2×2]=75, 4 3 2 22 1 4 P(X=6000)=(5)2×(4)2×[(3)2+C1 2( ) × ]= 3 3 15, ∴X 的分布列为 X P 0 9 25 1000 3000 6000 7 25 7 75 4 15

9 7 7 4 ∴X 的数学期望 E(X)=0×25+1000×25+3000×75+6000×15 =2160. 12.[2014· 深圳调研]深圳市某校中学生篮球队假期集训,集训前 共有 6 个篮球,其中 3 个是新球(即没有用过的球),3 个是旧球(即至 少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完后放回. (1)设第一次训练时取到的新球个数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期 望; (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率. 解:(1)ξ 的所有可能取值为 0,1,2. 设“第一次训练时取到 i 个新球(即 ξ=i)”为事件 Ai(i=0,1,2). ∵集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球,3 个是旧球, C2 1 3 ∴P(A0)=P(ξ=0)=C2=5, 6
1 1 C3 C3 3 P(A1)=P(ξ=1)= C2 =5, 6 2 C3 1 P(A2)=P(ξ=2)=C2=5. 6

∴ξ 的分布列为

ξ P

0 1 5

1 3 5

2 1 5

1 3 1 ξ 的数学期望为 E(ξ)=0×5+1×5+2×5=1. (2)设“从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球”为事 件 B. 则 “ 第二次训练时恰好取到一个新球 ” 就是事件 A0B + A1B + A2B.而事件 A0B,A1B,A2B 互斥, ∴P(A0B+A1B+A2B)=P(A0B)+P(A1B)+P(A2B). 由条件概率公式,得
1 1 C1 1 3 3 3C3 P(A0B)=P(A0)P(B|A0)=5× C2 =5×5=25, 6 1 3 C1 3 8 8 2C4 P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=5× C2 =5×15=25, 6 1 1 C1 1 1 1 1C5 P(A2B)=P(A2)P(B|A2)=5× C2 =5×3=15, 6

∴第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 3 8 1 38 P(A0B+A1B+A2B)=25+25+15=75. B级 知能提升 1.[2014· 德阳诊断]一盒中放有大小相同的 10 个小球,其中 8 个 黑球、2 个红球,现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取 2 个小球,已知甲取到了 2 个黑球,则乙也取到 2 个黑球的概率是 ________. 解析:记事件“甲取到 2 个黑球”为 A,“乙取到 2 个黑球”为
2 P?AB? C2 C6 15 8· B,则有 P(B|A)= =C2· 2= 28,即事件“甲取到 2 个黑球,乙 P?A? 8 C8

15 也取到 2 个黑球”的概率是28. 15 答案:28 2.某篮球决赛在广东队与山东队之间进行,比赛采用 7 局 4 胜 制,即若有一队先胜 4 场,则此队获胜,比赛就此结束.因两队实力 1 相当,每场比赛两队获胜的可能性均为2.据以往资料统计,第一场比 赛组织者可获得门票收入 40 万元,以后每场比赛门票收入比上一场 增加 10 万元,则组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于 390 万元的概率为________. 解析:依题意,每场比赛获得的门票收入数组成首项为 40,公 差为 10 的等差数列,设此数列为{an},则易知 a1=40,an=10n+30, n?a1+an? n?10n+70? 2 ∴Sn= = . 由 S n≥390 得 n +7n≥78,∴n≥6.∴若 2 2 要获得的门票收入不少于 390 万元,则至少要比赛 6 场.①若比赛共 进行了 6 场,则前 5 场比赛的比分必为 2∶3,且第 6 场比赛为领先 1 5 3 一场的球队获胜,其概率 P(6)=C5 ×(2)5=16;②若比赛共进行了 7 1 5 3 场,则前 6 场胜负为 3∶3,其概率 P(7)=C6 ×(2)6=16.∴门票收入不 10 5 少于 390 万元的概率 P=P(6)+P(7)=16=8. 5 答案:8 3.某工厂生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分,指标 大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种元件各 100 个进行检测,检测结果统计如下: 测试 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]

指标 元件 A 元件 B 8 7 12 18 40 40 32 29 8 6

(1)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (2)生产 1 个元件 A,若是正品则盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元; 生产 1 个元件 B, 若是正品则盈利 50 元, 若是次品则亏损 10 元. 在 (1)的前提下, (ⅰ)X 为生产 1 个元件 A 和 1 个元件 B 所得的总利润,求随机变 量 X 的分布列和数学期望; (ⅱ)求生产 5 个元件 B 所得利润不少于 140 元的概率. 40+32+8 4 解:(1)由题意知,元件 A 为正品的概率约为 100 =5. 40+29+6 3 元件 B 为正品的概率约为 100 =4. (2)(ⅰ)随机变量 X 的所有可能取值为 90,45,30,-15. 4 3 3 P(X=90)=5×4=5; 1 3 3 P(X=45)=5×4=20; 4 1 1 P(X=30)=5×4=5; 1 1 1 P(X=-15)=5×4=20. 所以,随机变量 X 的分布列为 X P 90 3 5 45 3 20 30 1 5 -15 1 20

3 3 1 1 数学期望 E(X)=90×5+45×20+30×5+(-15)×20=66.

(ⅱ)设生产的 5 个元件 B 中正品有 n 个,则次品有(5-n)个. 19 依题意,得 50n-10(5-n)≥140,解得 n≥ 6 , 所以 n=4 或 n=5. 设“生产 5 个元件 B 所得利润不少于 140 元”为事件 A, 3 4 1 3 5 81 则 P(A)=C4 5( ) × +( ) = 4 4 4 128.


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