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正弦定理教学设计案例


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L 一  正 一 弦   ∽ 定理 I I J   I J   _   Z 教 口   学 设 计 案 例  


  一

教 材 分 析  ( 一) 地位和 作 用 。   “ 正 弦 定理 ” 是 高 中数 学 




Ac: b , AB: c ,则 有 s i n A:一 a

=   =  

, 

i nB :




s i n C:1 ,由此 得  




新教材 第一册 ( 下) 第 五 章 第  九 节 的 主要 内容 之 一 ,既 是  初中“ 解 直 角 三 角形 ” 内 容 的 
直 接 延 拓 ,也 是 三 角 函 数 一 

那/ 一 /~ . i f . L — z ,  ̄一 - -  … / 中, 这 一关 系是 

否 成 立呢 ?  

般 知识 和 平 面 向 量 知 识在 三  角 形 中 的 具 体 应 用 , 是 解 决  实 际 生 活 中 三 角 形 问 题 的 有 

实 验 验证 , 让 学 生 至 少在 两 个一 般 三 角形 ( 一 个锐   角三 角形 , 一个 钝 角三 角形 ) 中对 上述 关 系进 行 验 证 。   方 法 是 先 作 出 三 角 形 ,再 用 刻 度 尺 和 量 角 器 量 出 各 边  


的长 和 各 角 的 大 小 , 用计 算器 作 为计 算 工具 , 具体 检验  下 。 引导 学 生得 出猜 想 ,即在 任 意 三 角形 中 ,有 :  

口 

力工具 之一 。   ( 二) 教 学 目标 。   1 .基 础 性 目标 。 知 识 目  标: 掌 握 并 记 忆 正 弦定 理 , 会  用 向量 的数 量 积证 明正 弦 定  理 ,会 利 用所 学 的 知识 解 斜  三 角 形 。能 力 目标 : 会 利 用 已  有 的 知 识 经 验 自 主 进 行 探 
索 ,解 决新 问题 情 景 中的 数  学 问题 ; 能 根据 问题 条 件 , 寻  找合理 、 简洁 的运算 途径 。   2 . 发 展 性 目标 。 使学 生在 

这 种 由特 殊 到 一 般 , 由 具 体 到 抽 象 的 认 识 过 程 符   合学 生 的认 知规 律 , 既活 跃 了课 堂气 氛 , 又 激 发 了 学 生 
的学 习热 情 , 增 强 了学 习兴趣 。  

刘  凤  梅 

( 二) 探究 证 明 , 发散 思 考 。   如 何 用 向量 知 识 证 明 上述 猜 想 呢 ? 如图3 , 由平面 

向量 知 识 易知 , 任 意 △A B C 中 的三 个 向 量  、 - c - g 与蕊  

间满足 等 量关 系 : - A - d + - c - g : - A g。由此 通 过单 位 向量 了 - 的 
选 择 ,结 合 向量 的 数 量 积 运   算 ,即 可 完 成 对 上 述 猜 想 的 
证明。   证明 : 如 图 3, 作 单 位 向 

B  

数学探索 、 应 用过 程 中 , 懂得  数 学 来 源 于 实践 又 反过 来 作  用 于 实 践 。 通 过 正 弦 定 理 的  探 究 ,使 学 生体 验 到数 学 知 
识 和 数 学 方 法 是 在 传 统 的 继 承 中 获 得 发 展 的 ,从 而 明   确数 学 学 习的意 义 。   3 . 情 感 目标 。面 向全 体 学 生 创 设 良好 平 等 的 氛 围 ,  

量了 与 向量  垂直 
 ̄ - A - d - + - c - g : - A g -  

所以了 ? - A - d +  ̄ " ? 商= 了 ?  
?

A  

b  

C 

因为  ? I - A - d l = 0   - c g =  ? I - C -  ̄ l c o s ( 9 0 。 一 c ) = a s i n C  

图 3  

发挥 学 生 的主体 作 用 ,调动 学生 学 习的主动 性和 积极   性 , 激发学 生 的学 习兴趣 。   ( 三) 教学 重难 点 。   本 节 课 的 重 点 是 理 解 并 证 明 正 弦 定 理 ;难 点 是 正  弦 定 理 的推 导 及 相 关 数 学 思 想 方 法 的渗 透 。  
二、 教 学 过 程 

了 ? - A g = l y l ? I - A  ̄ l c o s ( 9 0 。 一 A ) = c s i n A  
故a s i n c= c s i n A, 从而  同理 可 得  

. . 


=  

S1 n

_ - 乙   =   S l n   廿  
— s i n — C 

a  
s i n — A 

h  

( 一) 设疑 引入 , 创 设 隋景 。   提 出问 题 : 如图 1 , 为 了 求得 不 可 直 接 到 达 的两 点  A、 B : Z间 的 距 离 , 通 常 是 另 选 一 点 c, 先 测得 B c 长 和 角  C B A,  B C A。 如 果   B AC = 9 0 。 , 则 是 一 个 简 单 的解 直   角 三 角 形 的 问 题 。但 若   B AC≠9 0 。 , 如 何 求得 A B的 距   离 呢? 这 就 是 一 个 解 斜 三 角 形 的 问 题 。这 样 , 由实际 问  题 步步深 入 , 提 出求解 一 般斜 三 角形 的必要性 , 引起 学 
生探 索新 知识 的兴 趣 。  
A  

对 于直 角 三 角形 、 锐 角三角形 、 钝角三角形 , 上 面  的关 系均成 立 。这样 , 我们就 得 到了下 面 的正弦 定理 :   在 一 个三 角形 中 ,各边和 它 的对 角 的正 弦 的比相  等 , 即 
a  
_

b  
= 一

c  
 

si nA   s i nB  s i nC 

上 述 正弦 定 理 的证 明 中 , 主 要 利 用 了 等 量 关 系  + 商 = 蕊 和 向量 的数量 积 运算 。启 发学 生 思考 , 除 此之 

外, 还 有其 他作 为证 明 基础 的等量 关 系吗 ? 抓住 三 角形  边 上 的高 不 变 , 利用 向量 来描 述 , 就 是 向量 的投 影相  同, 经探讨 又 可得 出如 下证 法 。  


证明 : 如 图 4, 在 △AB C中 作 c D上AB于 D, 易 知 
B  C  

图 l  

与商 的夹 角为9 0 。 一 A, 商 与 商 的夹 角 为 9 0 。 一 B, 则 有 

i c  ̄ - l C O S ( 9 0 。 一 A ) = C D = i - c - g l C O S ( 9 0 。 一 B )  
O [ J b s i n A= a s i n B  

接着 , 举 出特例 , 如 图 2, 在 Rt △ AB C中 , 已知 B c= a ,  

42  

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古 关 三 角 函 数 的 试 题 每 年 必  H 考, 而 且 属 中 档 题 。由 于 三   角函 数 符号 多 , 公 式 错综 复 杂 , 学 生  答题 时易 发生 顾 此失 彼 、 张 冠李 戴 、  
忽 视 范 围等 错 误 。 针 对 以上 问题 , 采  取 相 应 的变式 策略 , 一题 多 解 , 一题  多变 , 有助 于 学生 脱 离繁 冗 的 题海 ,   从 而 取 得 最 佳 复 习 效 果 。 下 面 以 一 



 

道 三 角试 题 的变 
口康桂香 
解 : y = l 一 2 s i n Z x ’ c o s Z x + s i n 2 x  


道例 题 的变式 教学 为例 予 以说 明 。  
例题 : 已 知  =c o s x - s i n x , 2 s i n x ) , 6 = ( X / - 2 - c 。 s   x —   " I T)
,  

l 一   s i n   2 x + s i n 2 x : 一   ( s i n 2 x 一1 ) z +   3  

C O S X ) , 求函数 y : j ?  的 最 大 值 。  
1 . 基本 解法 。  
?



‘ s i n 2 x ∈[ 一 1 , 1 ] , 易得y 一 = ÷ 

  ‘

解: y = a   ?   = c o s x - s i n x ) 。   c 。 s ( x 一 詈) + 2 s i n x - c o s x  
= ( C O S X — s i n x ) ’ ( c 0 s x + s i n x ) + s i n 2 x  

点评 : 此 题关 键 是转 化 为 二次 函数 , 利 用二 次 函数 
在 给定 区 间上 的最 值原理 , 求得最 大值 。   ( 2 ) 降 低 指数 。  

= c 。 s 2 ) (  n 2 x + s i n 2 x =   c 。 s ( 2 x 一 詈)  
‘ .

将y = c o s Z x — s i n Z x + s i n 2 x 变 为y = s i l l X + C O S X + s i n 2 x  ̄ y . 的 
最 大值 。  

‘ x∈ R   . ‘ . y  =、 /2  

点评 : 此 题 考 查 了 向 量 的数 量 积 的 坐 标 运 算 、 差 角  的余弦 公式 、二倍 角 的正 余弦 公式 及 三 角函数 的化归 
法。   2 . 变式 一—— 变 条件 。  

解 : 令s i n x + c o s x = t , t ∈[ 一、 /   , 、 /   ] ,  ̄ l J s i n 2 x = t   一 1 ,  
y = t   + t 一 1 , 易得 y  =l +、 / —  。  


点 评 :此 题 考 查 了 换 元 法 , s i n x + _ c o s   x、 s i n x c o s x 中 知  求 二 的 基 本 方 法 。这 其 中 应 注 意 不 能 忽 略 变 量 t 的取  
4 . 变式 三—— 改 变结 论 。  

在 原 题 中 增 加 条 件 x∈[ 0 ,   ) , 求y 的最大 值 。  

值范 围 。   ( 1 ) 可将 原题 的结论 变 为 : 若 函数 y =、 /  c o s 2 x +1 的  图 像 按 向量   平 移可得 y = a ? 6 的图像 , 则向量  = ?  

解: ‘ . ‘ y = 、 /   c 。 s ( 2 x 一 号 ) , x ∈ [ 0 ' 詈 )  
则 c 。 s ( 2 x 一 手 ) ∈ ( 一 T V   2 ,   1 ] , 故 y .   = 、 /  
点 评 :此 题 考 查 了 余 弦 函 数 的 单 调 性 及 单 位 圆 上 

分析: 由y = 、 /  c 0 s 2 x + 1 变为y = \ /  c 0 s ( 2 x 一 ÷) , 函  

角 与 函 数 值 的 确 定, 应 注 意 c o s ( 2 x 一 詈) 不 属 于 ( 一  2,  
】 , 而是 属于 ( 一   , 1 ] 。   3 . 变式 二— —变 指数 与项 之 间的 符号 。   ( 1 ) 增加 指数 。   将y = c o s Z x — s i n Z x + s i n 2 x 变 为y = c 0 s 4 x + s i n 4 x + s i n 2 x ,求 Y  
的最 大值 。  
∞ 昌I J  I J 圈, I ' H  Z口H  

数 图 像 向 右 平 移 詈 、 向 下 平 移 了 1 个 单 位 , 故   = ( 詈 , 一 1 ) 。  
点评 : 此题 考查 了 图像 平移 和 按 向量平 移 的关 系 ,  

深 刻 揭示 了图像 平 移 的方 向与 向量  的 坐 标 确 定 之 间  的关 系。  
( 2 ) 可将 原 题 的结论 变 为 : 求函 数y =  ?  的 最 小 正 周  

期、 单 调 区 间 或 求 当x 取 何值 H -  ̄ , y 的值大 于零 。解略 。  
f 责 任 编 辑  陈 景 东)  

从 而 

:  b  

正 弦 定 理 解 决 。接 着 引 导 学 生 观 察 正 弦 定 理 的 构 成 形   式, 思考 用正弦 定理 可 以解 决 什么 类 型的 三 角形 问题 。  
si n  乙 

同理 可 得  
 ̄ a  
s i

= _c
c   A
图4  

Sl nl 5  

; A 一   — s i n — B   = — s — i — n C —  

1 3  

学 生 回答后 教 师总 结 : ( 1 ) 已知两 角和 任意 _ 一 边 , 求其 他  两边 和 一角 ; ( 2 ) 已知两 边 和其 中一 边 的对 角 , 求 其 他 的  边和 角 。( 例题 讲解 及分析 略 )   ( 四) 总结 提 高 , 明 确要 点 。( 略)  
( 五) 课外 拓展 。   1 . 思考正 弦 定理 的其他 证法 。   2 . 正弦定理 可 以有 哪 些变式 ?  

以 上 正 弦 定 理 的 探 究 证 明 过 程 ,充 分 体 现 了 在 愉   悦 中研 究 , 在 合 作 中 探 索 的原 则 , 并 使 学 生 切 实 体 验 到  了创 造性 使用 向量 的数 量积 这一 数学 工具 的优越 性 。  
f 三) 初步 应 用 , 深 化理解 。   先 让 学 生 分 析 上面 给 出 的 实 际 问 题 ,看 能 否 运 用 

3 . 设 计 几道 用正弦定 理 解答 的三 角形 问题 , 并 给 出  解 题过 程 。   债 任 编辑 陈 景 东1  


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