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高中数学竞赛讲座 35“设而不求”的未知数


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竞赛讲座 35
-“设而不求”的未知数
所谓“设而不求”的未知数,又叫辅助元素,它是我们为解决问题增设的一些参数,它能起 到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁作用.

例 1



=

=

求 c 十 y 十 z 的值。 分析已知条件是以连比的形式出现时,往往引进一个比例参数来表示这个连比.





=



=k 则:

x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a). 所以 x+y+z= k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0. 说明 本例中所设的 k,就是“设而不求” 的未知数.

例 2 甲、乙二人在一圆形跑道上跑步,甲用 40 秒钟就能跑完一圈,乙反向跑,每 15 秒钟和甲相遇一次,求乙跑完一圈需要多少时间? 分析要求乙跑完一圈需要多少时间,就必须知道他的速度 V 米/秒,因此可以选择 V 作 参数. 解 设乙跑完一圈需 x 秒,乙跑步的速度是 V 米/秒,根据题意,则一圈的总路程可以 用 vx 表示,甲的速度可用

表示.

∴(

* 15) +15V= Vx.∵ V≠0 ,

∴(

* 15) +15V=x.

∴ x=24 .

答:乙跑完一圈需要 24 秒。

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说明 这里 V 是"设而不求"的未知数.

例 3 有一片牧场,草每天都在匀速生长 (草每天增长量相等).如果放牧 24 头牛, 则 6 天吃完牧草;如果放牧 21 头牛,则 8 天吃完牧草,设每头牛吃草的量是相等的,问如 果放牧 16 头牛,几天可以吃完牧草. 解 设每头牛每天吃草量是 x,草每天增长量是 y,16 头牛 z 天吃完牧草,再设牧场原 有草量是 a. 根据题意,得

②-①,得 y=12x ④ ③-②,得(z-8)y=8x(2z-21). ⑤ 由④、⑤,得 z=18。 答:如果放牧 16 头牛,则 18 天可以吃完牧草. 说明 列含参数的方程解应用题, 一般情况下应用题的答案与参数的值无关, 我们可以 把参数消去,从而得到应用题的答案.

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