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三角函数图像与性质总复习教案


三角函数的图像与性质习题课教案
教学目标:进一步理解、掌握三角函数的图像及性质,能熟练应用三角函数的图像与性质解决相 关数学问题。 教学重点:三角函数的性质及应用 教学难点:三角函数的周期性、单调性、值域的应用. 教学过程: 一、知识点回顾

y ? sin x
定义域 值域 周期性 奇偶性 增区间 减区间 对称轴 对称中心 二、预习检测: 1.函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) 的周期为

y ? cos x

y ? tan x

? ,则 ? 的值为 2



2.已知周期为 2? 的偶函数 f (x) ,当 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? sin x ,则 f ( 3.比较下列各组数的大小,用“<”或“>”填空: (1) sin

7? )? 2

3? 5

4.函数 y ? 2 cos(

?

4? sin ; 5

(2) cos

?
5

cos . 7

?

2

? 3 x ) 的单调增区间

;函数 y ? 2 sin( 4 x ?

?
2

) 的单调递增区间




5.函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数,0≤ ? <2π ,则 ? 的值为 三、例题精讲 例 1.求三角函数的值域和最值.

1

题 型 一:求 三角函 数的值 域和最 值

(1)求函数y ? sin x ? 3 cos x, x ?
?

?
2

的值域.

答案:y ? 2sin( x ? ) ,值域为??1 ?. ,2
3

(2)求函数y ? cos 2 x ? sin x, x ?

?
4

的值域.
1 2 5 4
?1 ? 2 5 ? 值域为 ? ,?. 4? ? 2

答案:y ? 1 ? sin 2 x ? sin x ? ?(sin x ? ) 2 ? ,

注:最终化为一个角的三角函数式或其复合式.
2 2 例 2. 求y=sin x+2sinxcosx+3cos x 的值域

.

 
解:y ? 1 ? 2cos2 x ? 2sinxcosx ? 1 ? (1 ? cos2x) ? sin2x   ? ? 2 ? cos2x ? sin2x ? 2 ? 2sin(2x ? ) 4     x ? ? ) ? 1. ? x ? R ??1 ? sin(2

4

  ?函数的值域为 ?2 ? 2, 2 ? 2 ? . ? ?
(1) 例 3.  求y ? sin( ? 2 x)的单调递减区间.

? 3

?? ? 解:函数可化为:y = - sin ? 2 x ? ? , 3? ?

由题意可得2k? -

? ? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? z. 2 3 2
5? , k ? z. 12

  k? ?

?
12

? x ? k? ?

?函数的单调递减区间为 ? 5?    k? - ,k? ? ? ? (k ? z). 12 12

2

(2)比较tan1,tan2,tan3的大小.
解: ? tan2=tan ? 2-? ? , tan 3 ? tan ? 3 ? ? ?
? ? ? ?? (1)求f ( )的值; y ? tan x在 ? ? , ? 上是增函数, 8 ? 2 2?

且-

?
2

<2-? ? 3 ? ? ? 1 ?

?
2

.

? tan ? 2-? ? ? tan ? 3 ? ? ? ? tan1 即 tan 2 ? tan 3 ? tan1.

?

? 2

0

? 2

?

3? 2

x

例 4.已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(0 ? ? ? ? , ? ? 0) 为偶函数, 且函数图象的两 相邻对称轴间的距离为 (1)求 f ( ) 的值

?

? 2

8

(2)将函数y ? f ( x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上 6 各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),得到函数y ? g ( x)的 图象, 求g ( x)的单调递减区间.

?

四、随堂检测 1.求下列函数的值域 (1) y ? cos x ? sin x ? 1 ( x ? ?
2

? ? 3? ? ; , ?4 4 ? ?

(2) y ?

cos x ? 3 cos x ? 3

2.函数 y ? ? cos(

x ? ? ) x ? (0, ? ) 的单调增区间 2 3



3. 已知函数 y ? a ? b sin ( 2 x ?

?
6

) 的最大值是 3,最小值是 1,求实数 a, b

nπ 4.若函数 f(n)=sin (n∈Z),则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(102)=________. 6
3

5. 已知 f ( x)是定义在 R上的奇函数,且 x ? 0时, f ( x) ? sin x ? cos 2 x, f (? 5π 1 6.方程 cos? 2 +x?=?2?x 在区间(0,100π)内解的个数是 ? ? ? ?

?
6

)?



五、课堂小结 六、布置作业 七、课后反思

4


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