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2.1数学归纳法及其应用举例(3)ppt


2.1数学归纳法及其应用举例(3)

一、复习引入:

找准起点 奠基要稳

数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论: (1)验证当n取第一个值n0(如 n0=1或2等)时结论正确; 验证初始条件 (2)假设n=k时结论正确,在假设之下,证明n=k+1时结论也 正确; 用

上假设 假设推理 递推才真 (3)由(1)、(2)得出结论. 点题
写明结论 才算完整

数学归纳法的核心思想
1、数学归纳法是一种完全归纳法 ,它是在可 靠的基础上,利用命题自身具有的传递性, 运用“有限”的手段,来解决“无限”的问 题。 2、它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺 点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不 足,使我们认识到事情由简到繁、由特殊到 一般、由有限到无穷.

二、数学归纳法应用举例:
(1)数学归纳法证明等式问题: 例1、是否存在常数a、b,使得等式: 12 22 n2 an2 ? n ? ? ?? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) bn ? 2 对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 解:令n=1,2,并整理得 {
,?{ . 10a ? 3b ? ?2 b ? 4 3a ? b ? ?1 a ?1

以下用数学归纳法证明:
12 22 n2 n2 ? n ? ? ?? ? (n ? N * ). 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 4n ? 2

(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.

(2)假设当n=k时结论正确,即:
12 22 k2 k2 ? k ? ? ?? ? . 1? 3 3 ? 5 (2k ? 1)(2k ? 1) 4k ? 2

则当n=k+1时,
12 22 k2 (k ? 1) 2 ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 3) k2 ? k (k ? 1) 2 k (k ? 1)(2k ? 3) ? 2(k ? 1) 2 ? ? ? 4k ? 2 (2k ? 1)(2k ? 3) 2(2k ? 1)(2k ? 3) (k ? 1)(2k 2 ? 3k ? 2k ? 2) (k ? 1)(2k ? 1)(k ? 2) ? ? 2(2k ? 1)(2k ? 3) 2(2k ? 1)(2k ? 3) k 2 ? 3k ? 2 (k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? ? . 4k ? 6 4(k ? 1) ? 2

故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.

1 例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且 2S n ? an ? . an

用数学归纳法证明: a ? n ? n ?1. n

1 1 a1 ? S1 ? (a1 ? ) ? a12 ? 1 ? a1 ? 1, 1 ? 1 ? 1 证:(1)当n=1时, 2 a1

=1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 ak ? k ? k ?1. 则当n=k+1时,

1 1 1 1 Sk ? (ak ? ) ? ( k ? k ? 1 ? ) ? k. 2 ak 2 k ? k ?1 1 1 ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? (ak ?1 ? ) ? k ? ak2?1 ? 2 k ak ?1 ? 1 ? 0 2 ak ?1

? ak ?1 ? k ? 1 ? k (? ak ?1 ? 0).

故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.

(2)数学归纳法证明整除问题: 例1、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.
证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立. (2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除. 则当n=2k+2时,有 x
2 2k 2k 2k 2

2k ?2
2

?y

2k ?2
2

? x ?x ? y ? y
2 2k 2
2k 2k 2k

2k

? x ( x ? y ) ? y ( x ? y ) ? x ( x ? y ) ? y ( x ? y)(x ? y) ? x2 ( x2k ? y 2k )、y 2k ( x ? y)(x ? y) 都能被x+y整除.
故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.

例2、用数学归纳法证明: An ? 5n ? 2 ? 3n?1 ?1(n ? N * ) 能被8 整除. 证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 Ak ? 5 ? 2 ? 3 是8的倍数. Ak ?1 ? 5k ?1 ? 2 ? 3k ? 1 ? 5(5k ? 2 ? 3k ?1 ? 1) 那么: ? 4(3k ?1 ? 1) ? 5 Ak ? 4(3k ?1 ? 1)
k k ?1

?1

因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.

例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除. 证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立. (2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被 x2+x+1整除 则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1 =x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1) 因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除, 所以上式右边能被x2+x+1整除. 即当n=k+1时,命题成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.

(3)数学归纳法证明几何问题:
例1、平面内有n (n?2)条直线,任何两条都不平行,任何 三条不过同一点,问交点的个数 f (n) 为多少?并证明.
n( n ? 1) f ( n) ? 2
2

证明:1)n=2时:两条直线交点个数为1, 而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。 2)假设n=k(k∈N?,k≥2)时,k条直线交点个数为 f(k)= 1 k(k-1),
2

当n=k+1时:第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点,共增加k个点,

∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= 2 k(k-1)+k = 1 k(k-1+2)= 1 k(k+1)= 1 (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
2 2 2

1

即当n=k+1时命题仍成立。 由1)、2)可知,对一切n∈N?原命题均成立。

练习:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 n-1 的条数f(n+1)=f(n)+_________.

(4)数学归纳法证明不等式问题:
例1、用数学归纳法证明:
1 1 1 13 ? ? ? ? ? (n ? 2, n ? N * ). n ?1 n ? 2 2n 24

1 1 1 1 14 13 证:(1)当n=2时, 左边= 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? 24 ? 24 , 不等式

成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:
1 1 1 13 ? ??? ? , k ?1 k ? 2 2k 24

则当n=k+1时,我们有:
1 1 1 1 1 ? ??? ? ? (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ?( ? ? ) k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

13 1 1 13 1 13 ? ?( ? )? ? ? . 24 2k ? 1 2k ? 2 24 (2k ? 1)(2k ? 2) 24

即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)、(2)原不等式对一切

n ? N , n ? 2 都成立.

1 1 1 ? 2 n (n ? N * ). 例2、证明不等式: 1 ? ? ??? 2 3 n

证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.

(2)假设当n=k时不等式成立,即有:
1 1 1 1? ? ??? ? 2 k, 2 3 k

则当n=k+1时,我们有:

1 1 1 1 1 1? ? ? ?? ? ?2 k ? , 2 3 k k ?1 k ?1
? 2 k ? k ? 1? ? 1 k ?1 ? k ? ? k ? 1? ? 1 k ?1 ? 2 k ? 1.

1 1 1 1 故 :1 ? ? ? ?? ? ? 2 k ? 1. 2 3 k k ?1

即当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.

例3、求证: 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ( n ? N , n ? 2). 22 3 n n

1 3 1 5 2? ? 证:(1)当n=1时,左边= 1 ? 2 ? ,右边= ,由于 2 2 2 4 5 3 ? ,故不等式成立. 4 2

(2)假设n=k( k ? N , k ? 2 )时命题成立,即
1 1 1 1 1? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 ? . 2 3 k k

则当n=k+1时,
1 1 1 1 1 1 1? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2? ? 2 2 3 k (k ? 1) k (k ? 1) 2

1 1 1 1 1 2? ? ? 2? ? ? 2? 2 k ( k ? 1) k k ( k ? 1) k 1 1 1 ?( ? ) ? 2? . k k ?1 k ?1

即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切

n ? N , n ? 2 都成立.

例4、已知x> ?1,且x?0,n?N,n?2. 求证:(1+x)n>1+nx.
证明: (1)当n=2时,左=(1+x)2=1+2x+x2

∵ x?0,∴ 1+2x+x2>1+2x=右
∴n=1时不等式成立 (2)假设n=k时,不等式成立,即 (1+x)k>1+kx

当n=k+1时,因为x> ?1 ,所以1+x>0,于是
左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2; 右边=1+(k+1)x. 因为kx2>0,所以左边>右边,即(1+x)k+1>1+(k+1)x. 这就是说,原不等式当n=k+1时也成立. 根据(1)和(2),原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.

例5、已知

1 1 1 f (n) ? 1 ? ? ? ? ? , 求证 2 3 n
2

:

f (2 n ) ?

n?2 (n ? 1). 2

1 1 1 1 2?2 证:(1)当n=2时, f (2 ) ? f (4) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 ? 12 ? 2 ,

不等式成立. k ?2 k (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即 f (2 ) ? 2 . 则当n=k+1时, 1 有: 1 1
2 ?1 2 ? 2 2 k ?1 k ?2 1 1 1 k ?2 1 ? ? k ? k ? ? ? k ?1 ? ? 2 k ? k ?1 2 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 k ? 2 1 (k ? 1) ? 2 ? ? ? . 2 2 2
k k

f (2 k ?1 ) ? f (2 k ) ?

?

???

即当n=k+1时,不等式成立. 由(1),(2)所证不等式对一切 n ? N , n ? 2 都成立.


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