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高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点 课件6(人教A版必修1)课件 新人教A版必修1


在2010年第六期《科学》杂志中有一篇 为纪念华罗庚诞辰100周年的文章—— 一元五次方程求解的往事 ,该文章中介 绍了早在16世纪,数学家就已经解决了 一次,二次,三次和四次方程的一般性 解法,在随后的三百多年里,方程解法 的发展停滞了,直到19世纪挪威年轻数 学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般 方程没有根式解 。这就是方程求解的发 展史。

问题· 探究

我的根是0.5

问题 1 求下列方程的根. (1) 2 x ? 1 ? 0 ; (2) x ? 2 x ? 3 ? 0 ;
2

我的根是3和-1

(3) ln x ? 2 x ? 6 ? 0
我的根有点难度, 等你们学完这节 你们就会了!!!

问题2:求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次 函数图像的简图,并写出函数的图象与x轴的交点坐标. 方程 函数
方程的实数根

x2-2x-3=0 y= x2-2x-3 x1=-1,x2=3
y
2 1
-1

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1 x1=x2=1
y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3 无实数根
y
5 4 3 2 1

函 数 的 图 象
函数的图象 与x轴的交点

0

-1 -2

1 2

3

x
-1

1

-3 -4

0

1

2

x

-1

0

1

2

3

x

(-1,0)、(3,0)

(1,0)

无交点

问题3:从该表你可以得出什么结论?
上述一元二次方程的实数根?二次函数图象与x轴交点的横坐标

结论:一元二次方程的实数根就是相应二次函数图 象与x轴交点的横坐标.
判别式△ = b2-4ac △>0
y
y

问题4: 若将上面特殊的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)推广到一般的一元二 次方程及相应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系,上述结论是 否仍然成立?(我们以a>0为例)

△=0

△<0
y

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象

x1

0

x2 x

0

x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x = x2 (a>0)的根 1

没有实数根

问题5:其他函数与方程之间也有同样 y 结论吗?
Y=f(x)

x1

x2

0

x3

x4

x

方程f(x)=0的实数根?函数y= f(x)图象 与x轴交点的横坐标

一.函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 例1:函数f(x)=x(x2-4)的零点为 ( D ) A.(0,0),(2,0) B.0,2 C.(–2,0),(0,0),(2,0) D.–2,0,2
温馨 提示1

函数的零点是实数,而不是点。 求函数的零点就是求函数所对应方程的根。

温馨 提示2

问题6:函数y=f(x)的零点与方程f(x)=0的根有什么联系

和区别?
1、联系:①数值上相等 ②存在性相同:函数y=f(x)有零点 ? 方程f(x)=0有实数根 ? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点

2、区别:零点对于函数而言,根对于方程而言.

思考1:知道了问题4后,大家来想想求函数的零点有 哪几种方法 ?

代数法

图像法

牛刀小试
练习:求下列函数的零点 (1).f(x)=lgx-1; (2).f(x)=x 2 ? 2 x ? 3 (3).f(x)=3x +1
不好意思,我没有 零点,你答对了吗? 我的零点 是10 我的零点是-1和 3

问题7:在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间[a,b]上存 在零点?

二.零点存在性定理的探究:
问题7:在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间[a,b]上存 在零点? 探究:
y

观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象: 在区间[-2,1]上有零点______; -1 2 1 5 -4 f(-2)=_______,f(1)=_______, f(-2)· f(1)_____0(“<”或“>”).-2 -1 O -11 2 3 4 x < -2 在区间(2,4)上有零点______; 3 -3 f(2)· f(4)____0(“<”或“>”). < -4

观察函数的图象并填空: < ①在区间(a,b)上f(a)· f(b)_____0(“<”或 有 “>”). < 在区间(a,b)上______(有/无)零点; ② 在区间(b,c)上f(b)· _____ 0(“<”或 f(c) 有 y < “>”). 有 在区间(b,c)上______(有/无)零点; ③ 在区间(c,d)上f(c)· _____ 0(“<”或” f(d) a O b >”). 在区间(c,d)上______(有/无)零点;

c d x

问题8:是不是函数y=f(x)在区间[a,b]上只要 满足f(a)· < 0,函数y=f(x)在区间(a,b)上一 f(b) 定有零点?

函数零点存在性定理: 如果函数y=f(x)在区间[a,b] 上图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)· f(b)<0, 那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

问题9:为什么是开区 间(a,b)内有零点, 而不是闭区间[a,b]上有 零点?

例2 判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例
(1)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f (a) · < 0,则 f(b) f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. ( ) (2)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f (a) · ≥0,则f(x) f(b) 在区间(a,b)内没有零点. ( ) (3)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零 点.,则f(x)必满足f (a) · < 0. f(b) ( ) (4)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续的单调函数且满足 f (a) · < 0,则函数y=f (x)区间(a,b)上有且仅有一个 f(b) 零点。 ( )

三.函数零点存在性定理的应用:
例3 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数.

解法一:求函数y ? ln x ? 2 x ? 6零点的个数
等 价 于

函数f ( x) ? ln x ? 2x ? 6的图像与x轴交点的个数。

例3 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数。
解法2 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表:

x
f(x)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-4 -1.3 1.1

3.4 5.6 7.8 10.0 12.1 14.2

由表可知f(2)<0,f(3)>0,从而f(2)· f(3)<0, ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点.
思考2:如何说明函数零点的个数? 由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数, 所以它仅有一个零点. 思考3:如何说明函数在(0,+∞)内是增函数?

例3 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数。

解法3: 函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数
等 价 于

方程lnx+2x-6=0根的个数
等 价 于

方程lnx=-2x+6根的个数
等 价 于

函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个 数,且交点的横坐标就是方程的根

课堂小结
通过本节课的学习你学到了哪些数学知识? 又学到了哪些重要的数学思想?
1.函数零点的定义 2.三个等价关系 3.函数的零点存在性定理 4.两种思想:函数方程思想;数形结合思想.

布置作业:
1.必做题:课本的练习1,2
2.思考题:方程2-x =x在区间______内有解,如何 求出这个解的近似值? 请预习下一节.


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