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立体几何测试题(10套)


立几面测试 001
一、选择题 1、以下命题(其中 a,b 表示直线,?表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? 其中正确命题的个数是 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 ) ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ④若 a∥?,b??,则 a∥b ( )

①a∥b,a,b 异面,则 b、c 异面



②a,b 共面,b、c 异面,则 a、c 异面③a,

b 异面,a、c 共面,则 b、c 异面④a,b 异面,b、c 不相交,则 a、c 不相交 A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、4 个

二、判断下列命题的真假 9、过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行( ) ) )
C B

10、若直线 l??,则 l 不可能与平面?内无数条直线都相交(

11、若直线 l 与平面?不平行,则 l 与?内任何一条直线都不平行( 12、过两异面直线 a,b 外一点,可作一个平面与 a,b 都 平行 ( )
A D

2、已知 m,n 为异面直线,m∥平面?,n∥平面?,?∩?=l,则 l( (A)与 m,n 都相交 (B)与 m,n 中至少一条相交

(C)与 m,n 都不相交 (D)与 m,n 中一条相交 3、已知 a,b 是两条相交直线,a∥?,则 b 与?的位置关系是 A、b∥? B、b 与?相交 C、b ? α ( )

三、填空题 13、ABCD-A1B1C1D1 是正方体,过 A、C、B1 三点的平面与底 面 A1B1C1D1 的交线为 l,则 l 与 AC 的位置关系 是 。

D、b∥?或 b 与?相交 )

4、A、B 是直线 l 外的两点,过 A、B 且和 l 平行的平面的个数是( (A)0 个 (B)1 个 (C)无数个

D1 A1 B1

C1

(D)以上都有可能 )

14、已知 P 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱 DD1 上任意一点,则 在正方体的 12 条棱中,与平面 ABP 平行的是 三、解答题 15、已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别为 AB、PD 的中点,求证:AF∥平面 PEC 。

5、直线 a∥平面?,点 A∈?,则过点 A 且平行于直线 a 的直线( (A)只有一条,但不一定在平面?内 (C)有无数条,但都不在平面?内

(B)只有一条,且在平面?内 (D)有无数条,且都在平面?内 )

6、直线 a,b 异面直线, a 和平面?平行,则 b 和平面?的位置关系是( (A)b?? (B)b∥? (C)b 与?相交 (D)以上都有可能

P

7、梯形 ABCD 中 AB//CD,AB ? 平面α ,CD ? 平面α ,则直线 CD 与平面α 内的直线的位置关系只能是 (A)平行 (B)平行和异面 (C)平行和相交 ( ) ( ) B A C D

(D)异面和相交

8、下列命题中,真命题的个数是

1

16、、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC、C1D1 的中点 求证:EF∥平面 BB1D1D
A D B C

D1 A1 B1

C1

17、 已知异面直线 a,b 的公垂线段 AB 的中点为 O,平面?满足 a∥?,b∥?, 且 O??,M、N 是 a,b 上的任意两点,MN∩?=P,求证:P 是 MN 的中 点

A a O B N b P M

2

立几面测试 001
参 一、1- 8 二、9、× ACDDBDBA 10、× 11、× 12、× 考 答 案

三、13、平行

14、DC、D1C1、A1B1

四、15、证明:设 PC 的中点为 G,连接 EG、FG ∵ F 为 PD 中点 ∵ AB∥CD ∴ GF∥AE ∴ EG∥AF ∴ AB=CD GF=AE ∴ GF∥CD E 为 AB 中点 四边形 AEGF 为平行四边形 EG ? 平面 PEC 且 GF=

1 CD 2

∴ AF ? 平面 PEC

AF∥平面 PEC OE=

16、证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,则 OE∥DC ∵ ∴ ∴ ∴ DC∥D1C1 OE∥D1F EF∥D1O DC=D1C1 OE=D1F ∴ F 为 D1C1 的中点

1 DC 2

四边形 D1FEO 为平行四边形 EG ? 平面 BB1D1D

EF ? 平面 BB1D1D

EF∥平面 BB1D1D

17、证明:连接 AN 交平面 ? 于 Q,连接 OQ、PQ ∵ ∴ ∵ A?b ∴ A、b 可确定平面 β 由 b∥? 得 BN∥OQ ∴ Q 为 AN 的中点

?∩?=OQ

O 为 AB 的中点

同理 PQ∥AM

故 P 为 MN 的中点

3

立几面测试 002
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1、点 P 在直线 a 上,直线 a 在平面 α 内可记为( A、P∈a,a ? α B、P ? a,a ? α ) D 、P ∈a ,a ∈α ) C、P ? a,a∈α

10、三个平面α ,β ,γ 将空间分成七部分,且α ∩β =a,β ∩γ =b,则 a 与 b 的 位置关系为 。 11、a,b 为异面直线,且 a,b 所成角为 40°,直线 c 与 a,b 均异面,且所成角均为 θ,若这样的 c 共有四条,则 θ 的范围为 三、解答题(共 45 分,14、14、17) 12、已知正方体 ABCD-A`B`C`D`中,E,F 分别是 A`B`,B`C`的中点。 求证:EF∥面 AD`C。 A` D` F E B` C` ) 。

2、直线 l 是平面 α 外的一条直线,下列条件中可推出 l∥α 的是( A、l 与 α 内的一条直线不相交 C、l 与 α 内的无数条直线不相交

B、l 与 α 内的两条直线不相交 D、l 与 α 内的任意一条直线不相交

3、空间四点 A、B、C、D 共面,但不共线,则下面结论成立的是( A、四点中必有三点共线 B、四点中必有三点不共线 C、直线 AB 与 CD 必相交 BD,在所有的 10 条直线中,其中异面直线共有( A、8 对 B、10 对 C、12 对 D、16 对 )

D、AB∥CD 或 BC∥DA D ) A B C

4、已知正方形 ABCD 中,S 是所在平面外一点,连接 SA,SB,SC,SD,AC,

5、在空间中,l,m,n,a,b 表示直线,α 表示平面,则下列命题正确的是( A、若 l∥α,m⊥l,则 m⊥α C、若 a⊥α,a⊥b,则 b∥α 点,则 EF 与 AC 所成角为( ) B、若 l⊥m,m⊥n,则 m∥n D、若 l⊥α,l∥a,则 a⊥α

6、在四面体 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD,E,F 分别为 AB,CD 的中 13、已知 PA⊥正方形 ABCD,PA=AB=2,M,N 为 BC,CD 中点, ⑴求 C 到面 PAM 的距离,⑵求 BD 到面 PMN 的距离。 P A、90°B、60°C、45°D、30° 7、在长方体 ABCD-A`B`C`D`中,∠AB`B=45°,∠CB`C`=60°,则∠AB`C 的 余弦值为( A、 ) B、

3 6

2 6

C、

6 3

D、

6 4
) B

A O M

8、 A,B,C,D 四点不共面, 且 A,B,C,D 到平面 α 的距离相等, 则这样的平面有( A、1 个 B 、4 个 C、7 个 D、无数个 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 9、在空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是 AB,AD 的中点,F,G 为 CB,CD

H F N C

D

上的点,且 CF∶ CB=CG∶ CD=2∶ 3,若 BD=6cm,梯形 EFGH 的面积 28cm ,则 EH 与 FG 间的距离为 。

2

4

立几面测试 002
一、选择题 ADBCDCDC 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 9、在空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是 AB,AD 的中点,F,G 为 CB,CD 上的点,且 CF∶ CB=CG∶ CD=2∶ 3,若 BD=6cm,梯形 EFGH 的面积 28cm ,则 EH 与 FG 间的距离为 8cm 。 10、三个平面α ,β ,γ 将空间分成七部分,且α ∩β =a,β ∩γ =b,则 a 与 b 的 位置关系为 平行 。 11、a,b 为异面直线,且 a,b 所成角为 40°,直线 c 与 a,b 均异面,且所成角均为 θ,若这样的 c 共有四条,则 θ 的范围为 三、解答题(共 45 分,14、14、17) 12、已知正方体 ABCD-A`B`C`D`中,E,F 分别是 A`B`,B`C`的中点。 求证:EF∥面 AD`C。 证明:连 A`C`,由 E,F 分别为 A`B`,B`C`的中点 则 EF∥A`C`, 又∵A`C`∥AC, ∴EF∥AC ∵AC ? 面 AD`C ∴EF∥面 AD`C A 13、已知 PA⊥正方形 ABCD,PA=AB=2,M,N 为 BC,CD 中点, ⑴求 C 到面 PAM 的距离,⑵求 BD 到面 PMN 的距离。 解:延长 AM,作 CE⊥AM 于 E ∵PA⊥正方形 ABCD, ∴PA⊥CE ∵CE⊥AM P B D A` E B` D` F (70°,90°) 。
2

AB 2 5 ? CM = AM 5 2 5 ∴C 到平面 PAM 的距离为 5
∴CE= 连 AC 交 BD 于 O,交 MN 于 F,连 PF,过 O 作 OH⊥PF ∵M,N 为 BC,CD 中点, ∴MN∥BD ∴BD∥平面 PMN, ∴O 到平面 PMN 的距离即为 BD 到平面 PMN 的距离。 ∵BD⊥AC,MN∥BD ∴MN⊥AC, ∴MN⊥平面 PAC ∴MN⊥OH C` ∵OH⊥PF ∵PA=2,AC=2 ∵PA⊥面 ABCD ∴PA⊥MN

}

OH⊥面 PMN
3 2 2 ,OF= 2 2

2 ,AF=

C ∴PF=

34 2

∴OH=

PA 2 17 ? OF = PF 17

}

∵AB=2,BM=1,CM=1 ∴AM=

CE⊥面 PAM
A O M H F N C D

5,
B

5

立几面测试 003
一、选择题 1.异面直线是指 (A) 在空间内不能相交的两条直线 (B) 分别位于两个不同平面的两条直线 (C) 某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (D) 不可能在同一平面内的两条直线 2.已知 a、b 是两条异面直线,直线 c 平行与直线 a,那么 c 和 b (A) 一定是异面直线 (C) 不可能是平行直线 (B) 一定是相交直线 (D) 不可能是相交直线

(D) 一定与 a、b 中的一条平行,而与另一条相交 5.下列命题中,正确的是 (A) 一条直线和两条平行直线中的一条直线相交,则必与另一条直线相交 ( ) (B) 一条直线和两条平行直线中的一条直线能确定一个平面 (C) 一条直线和两条平行直线中的任何一条直线无公共点,那么这三条直线互相 平行 (D) 一条直线和两条平行直线中的一条直线是异面直线,且与另一条直线无公共 点,则必与另一条直线也是异面直线 ( ) 6.和两条异面直线都相交的两条直线是 (A) 平行直线 (B) 异面直线 (C) 相交直线(D) 异面直线或相交直线 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,12 条棱互成异面直线的对数有 ( ) 48 对 (A) (B) 36 对 (C) 24 对 (D) 12 对 ( ( ( (

)

)

)

3.已知 a、b、c 均是直线,则下列命题中,必成立的是 (A) 若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c (B) 若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 也相交 (C) 若 a//b,b//c,则 a//c (D) 若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 也是异面直线 4.已知异面直线 a、b 分别在平面α 、β 内,且α ∩β =c,那么直线 c (A) 一定与 a、b 交于同一点 (B) 至少与 a、b 中的一条相交 (C) 至多与 a、b 中的一条相交

8.分别平行于两条异面直线的两条直线的位置关系是 (A) 异面直线 (C) 相交直线 9.若θ 是两条异面直线所成的角,则 ( ) (A) (C) (B) 平行直线 (D) 异面直线或相交直线

)

( (B) (D)

)

? ? (0, ? ]
? ? ? [0, ]
2

? ? ? (0, ]
? ? ? (0, )
2 2

10.已知 a 和 b 是成 60?角的两条异面直线,则过空间一点且与 a、b 都成 60?角 的直线共有 ( )

6

(A) 1 条

(B) 2 条

(C) 3 条

(D) 4 条

15.在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,E、F 分别为棱 AB、CC 1 的中点,则异面直线

11.在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的所有面对角线中,与 AB 1 成异面直线且与 AB 1 成 60?的有 ( (A) 1 条 ) (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条

EF 与 A 1 C 所成角的大小是_______________.
三、解答题 16.已知:直线 l//直线 m,直线 n 与 l 是异面直线,且 n 与 m 不相交,求证:m、

12.已知点 A 是△BCD 所在平面外的一点,且△ABC,△ACD,△BCD 均是边长为 a 的正三角形,若记异面直线 AD,BC 间的成角为θ ,距离为 d,则

n 是异面直线.
( )

(A)

? ? 60 ?, d ?

1 a 2 1 a 2

(B)

? ? 60?, d ? ? ? 90?, d ?

2 a 2 2 a 2

(C)

? ? 90 ?, d ?

(D)

17.已知空间四边形 ABCD 的四条边均为 10,对角线 BD=8,AC=16,求异面直线

二、填空题 13.在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,下列两直线成角的大小是: (1) (2)

AC 与 BD 间距离.

A 1 A 和 B 1 C 1 成角_________.A 1 C 1 和 AB 成角__________. A 1 C 1 和 D 1 C 成角_________.A 1 C 1 和 BD 成角__________.

14.在长方体 ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1 中,∠BAB 1 =∠B 1 A 1 C 1 =30?,则 (1) (2)

AB 与 A 1 C 1 成角________.AA 1 与 B 1 C 成角_______. AD 1 与 B 1 C 成角_________.AB 1 与 D 1 C 成角________.

18.在空间四边形 ABCD 中,对角线 AC=BD,P、Q、R、S 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,求证:PR⊥QS.

7

立几面测试 003
参考答案

一、选择题 1 .D 6 .D 7 .C 12.D 8.D 9.B 10.C 11.D 2.C 3.C 4 .B 5 .D

二、填空题 13.(1)90? 14.(1)30? (2)45? (3)60? (2)45? (3)90? (4)90? (4)60?

15.arccos

2 3

三、解答题 16.题示:用反证法. 17.2

5.

18.提示:证明 PRQS 为菱形.

8

立几面测试 004
一.选择题:
1. 直线a和平面 ? 都垂直于同一平面, 那么直线a和平面 ? 的位置关系是 ( (A)相交 (A) 平行 (B) 平行 (C)线在面内 (D)线在面内或平行 ) 。 2. 直线a和平面 ? 都与同一直线平行, 那么直线a和平面 ? 的位置关系是 ( (B)线在面内 (C)线在面内或平行 (D)线面相交 )。 (D) (A),(B),(C)中 3.直线L//平面 ? , ? ? ? ,那么L和平面 ? 的位置关系是( (A) 线在面内 (B)平行 (C)相交 的情况都有可能 4.若a,b是两条平行直线,且都不垂直与平面 ? ,那么a,b在平面 ? 内的射影为 ( )。 (A)两条平行线 (C)两条平行线或同一直线 (A)同一直线 (C)两条平行直线 (A)三个平面共线 (B)有两个平面平行且都与第三个平面相交 (C)三个平面共线或两个平面平行且都与第三个平面相交 (D)三个平面两两相交 平面 ? ? 平面 ? ,则a ? 平面 ? .(3)若a,b是两平行线,b ? 平面 ? ,则a// ? .(4)若平面 平面 ? ? 平面 ? ,则平面 ? //平面 ? 。 其中不正确的命题个数是 ( ? ? 平面 ? , (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 ) 。 7.有下面几个问题:(1)若a//平面 ? ,b ? a,则平面 ? ? b.(2)若a//平面 ? , (B)相交的两直线 (D)相交的两直线或同一直线 )。 (B)相交的两直线 (D)一直线或两相交直线 )。 ) 。

(A) 1

(B) 2

(C) 3

( D) 4 )。

在平面 ? ,平面 ? 内,且都与 l 成 45? 角则BC的长是( (A)a (B) 3 a (C)a或 3 a

9.A为直二面角 ? - l - ? 的棱上的一点,两条长度都是a的线段AB,AC分别

( D )a 或 5 a )。

10.一直线和两条相交直线都相交,那么它们所确定的平面的个数是( (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)1或3 )。 (B)至少有一条直线与 l 平行 (D)有且只有一条直线与 l 共面 )。 11.已知直线 l 与平面α 成30°角,则在α 内( (A)没有直线与 l 垂直 (C)一定要无数条直线与 l 异面

12.在同一平面内射影长相等的两条线段的关系是( (A)如果有一个公共端点,它们必等长 (B)如果等长,则必有一个公共端点 (C)如果平行,它们必等长 (D)如果等长,它们必平行 13.对于下列判断,正确的是( )。

5.相交的两直线都是平面 ? 的斜线,那么这两斜线在平面 ? 的设影是(

(A)两条异面直线所成的角的范围是[0, (B)斜线与平面所成的角的范围是[0, (C)二面角的取值范围是[0,

?] 2

6.若三个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面的位置关系是(

?] 2

? ] 2 ? ,直线b ? α ,a∩b=φ , 则a与b所成的角的 4

(D)若直线与平面α 所成的角为 取值范围 是[

? ? , ] 4 2
)。 (C)2 (D)1

14. b成80°角, b都成60° 已知异面直线a、 在空间里取一点, 过这点能作与a、 角的直线的条数是( (A)4 (B)3

8.有下面几个问题:(1)两点可以确定一条直线。(2)过三点必有一个平 面。(3)空间存在四点不在同一平面内。(4)一直线上有两点在平面 ? 内,则 其上第三点必在平面 ? 内。其中正确的命题个数是( )。

9

15.在空间四边形ABCD中,若AB=CD,BC=AD,AC=BD,则∠BAC+∠ CAD+∠DAB的大小是( (A)180° 二.填空题: D ?b, AC=4cm, BD=4cm,那么C、D间的距离是 系是 。 。 16.AB是异面直线a,b的公垂线段,AB=2cm,a,b所成的角为 90?,A、C ?a, B、 。 条。这些交线的相互关 17.三个平面两两垂直,那么它们的交线共有 (B)90° )。 (C)小于180° (D)在区间[90°, 180°]内

18.两个平面 ? , ? 都与第三个平面 ? 相交,那么它们的交线的条数是 19.若长为2的线段MN是异面直线a,b的公垂线段,A,M ?a,B,N ?b, AM=6,BN=8, AB=2 14 , 那么异面直线a,b所成的角是 。

20.一条长为4cm的线段AB夹在直二面角 ? -EF-? 内,且与 ? , ? 分别成 30?, 。 45? 角,那么A、B两点在棱EF上的射影的距离是 21.夹在直二面角 ? -MN- ? 内的线段PQ(P,Q ?MN)与 ? ,? 所成的角分 别为 ?1 , ? 2 ,则 ?1 ? ? 2 应满足的条件是 。 22.已知点P不在异面直线a,b上,那么过P点可作 构成异面直线。 23.已知二面角 ? -MN- ? 是 60?,P ?? ,PQ ? ? 于Q,且PQ=6cm,则Q到 ? 的 距离是 。 。 24.A,B是平面 ? 外的两点,它们在平面 ? 内的射影分别是 A1 , B1,若A1A= 3,BB1=5, A1B1=10,那么线段AB的长是 25. ? ABC中, 那么 ? = 条直线分别与 a,b

?,

? B= 90?,AB=2BC,若BC//平面 ? ,AB和平面 ? 所成的角为 度时, ? ABC在平面 ? 内的射影是等腰直角三角形。

三.解答题: 26.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1、O2、O3分别是面AC、面B1C、面CD1 的中心,求直线A1O1与直线O2O3所成的角。

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立几面测试 004
数学练习答案 一.选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 C 5 D 6 C 7 A 8 D 9 C 10 D 11 C 12 C 13 D 14 A 15 A

二.填空题 16.6
2<90°

17.

3;两两垂直 22. 无数

18. 1 或 2 或 3 23. 3

19. 60° 24.

20. 2

21

0°<θ 1+θ 25 . 60°

2 26或2 41

三.解答题 26. 90°

11

立几面测试 005
一、选择题(每题 5 分) 1.△ABC 所在平面α 外一点 P 到三角形三顶点的距离相等,那么点 P 在α 内的 射影一定是△ABC 的( A、外心 B、内心 ) C、重心 D、以上都不对 )

② 若l1 ? ? ,l 2 ? ? ? A,则 l1,l 2 为异面直线 ③ l1 ? ? ,l 2 ? ? ,则l1 ∥ l 2 ④ 若 l1 ? l 2,l1 ∥ ? ,则 l 2 ∥ ? ,其中真命题的个数有( )

A、 0 个

B、1 个

C、2 个

D、3 个 )

8.M 点不在异面直线 a,b 上,下面判断正确的是( A、 过 M 点一定有一条直线与 a,b 都平行 B、过 M 点一定有一个平面与 a,b 都平行 C、过 M 点一定有一条直线与 a,b 都垂直 D、过 M 点一定有一个平面与 a,b 都垂直

2. 设直线 a 在平面 M 内, 则平面 M 平行于平面 N 是直线 a 平行于平面 N 的 ( A、充分非必要条件 C、充要条件 B、必要非充分条件 D、非充分非必要条件

9.已知 a,b,c,d 是四条不重合的直线,其中 c 为 a 在平面α 上的射影,d 为 b 在平面α 上的射影,则( A、 c ? d ? a ? d C、 c ∥ d ? a ∥ b ) B、 a ? b ? c ? d D、 a ∥ b ? c ∥ d ) D、

3.设α ,β 是两个不重合的平面,m 和 l 是两条不重合的直线,α ∥β 的一个充 分条件是( ) A、 l ? ? ,m ? ? ,且 l ∥ ? ,m ∥ ? C、 l ? ? ,m ? ? ,且 l ∥ m B、 l ? ? ,m ? ? ,且 l ∥ m D、 l ∥? ,m ∥ ? ,且 l ∥ m )

10. 在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M、 N 分别是 A1B1、 BB1 的中点, 那么直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值是( A、

4.若 a,b 表示直线,α 表示平面,下列命题中正确的个数是(

a?? ? ① ? ? b ∥? a?b ? a ∥? ? ③ ? ? b?? a?b ?
A、1 个 B、2 个

a ∥? ? ② ? ? b?? a?b ? a ?? ? ④ ? ? a?b b???
C、3 个 D 、4 个


3 2

B、

10 10

C、

3 5

2 5

二、填空题(每题 5 分) 11.如图,矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有一 个点 Q 满足 PQ⊥DQ,则 a 的值等于
P A D Q C



5. 若直线 a ? b 且 a ∥ 平面? ,则直线 b 与平面 ? 的位置关系是( A、 b ? ? B 、 b ? ?

C、 b ∥? 或b ? ? D、 b与? 相交或b ∥? 或b ? ?

B

6.若空间四边形两条对角线的长度分别是 6 和 8,所成角是 45°,则连接各边 中点所得四边形的面积是( A、 24 2 B、 12 2 ) C、 6 2 D、12

12.两条异面直线所成的角为θ ,则θ 的取值范围是



7. 已知直线 l1,l 2 与平面? ,有下列命题:①若l1 ∥? ,l1 ∥ l 2,则l 2 ∥?

12

13.如图所示,棱锥 P—ABCDE 的十条棱中共有

对异面直线。

16.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,(1)画出过 A、C、B1 的平面 与下底面的交线 L;(2)求 L 与直线 AC 的距离。
A B C D1 C1

P

D

A B

E C

D
B1 A1

14.如图 PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,E、F 分别 是点 A 在 PB、PC 上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB ⊥BC ④AE⊥平面 PBC,其中真命题的序号是 ②EF⊥PB 。 ③AF

P

F E

A C
三、解答题: 15.

B

17.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,F 是 CC1 的中点,O 为下底面的 中心,求证:A1O⊥平面 BDF。

D1 A1 B1 D A

C1 F C B

在长方体ABCD? A1 B1C1 D中,BC ?
的角的大小。

2 15 ,CD ? ,DD1 ? 5 ,求A1C和B1 D1所成 2 2

O

D A D1 A1 B1 B

C

C1

13

20.ABCD 为直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥平面 18.已知四棱锥 P—ABCD,底面 ABCD 是平行四边形,且 M、N 分别在 PA 和 BD 上,且 PM∶MA=BN∶ND,求证:MN∥平面 PBC。 ABCD,PA=a, (1)求证:PC⊥CD;(2)求点 B 到直线 PC 的距离。

P M D A N B C
B

P

A C

D

19.已知三棱锥 P—ABC 中,PA=PB,CB⊥平面 PAB,PM=MC,AN=3NB。 (1)求证明:MN⊥AB; (2)当∠APB=90°,BC=2,AB=4 时,求 MN 的长。

C M B N P A

14

立几面测试 005
答案
( 1 )在面 A1B1C1 D1 中过 B1作 l ∥ A1C1,

D A B D1 A1 B1

C

1.A 8.C

2.A 9.D

3.C 10.D

4.B 11.2

5.D

6 .C

7 .B 13.15

即为面 ACB1与下底面的交线 事实上: AC ∥ A1C1 ? ? AC ? 面 A1B1C1 D1 ? A1C 1 ? 面 A1B1C1 D1 ? ? AC ∥ 面 A1B1C1 D1 ? ? ? AC ? 面 ACB1 ? 面 ACB1 ? 面 A1B1C1 D1 ? C ? ? ? AC ∥ l ? ? ? A1C1 ∥ l A1C1 ∥ AC ?

12. (0 , ] 2

?

C1

l

14.①、②、④ 15.解:
易证 B1 D1 ∥ BD 在面 ABCD内过C 作 CE ∥ BD ,连结 A1 E, 则 ?A1CE 是异面直线 A1C 与 B1 D1 所成的角(的补角) CE ? DB ? ( 2 2 15 2 17 )? ( ) ? 2 2 2

D1

C1 B1 C

A1 D A

2 2 A1 E ? ( 5 ) ? ( 15 ) ?2 5

(2)由 ( 1 ) l ∥ AC 知 l 与 AC间距离等于点 B1到 AC 的距离,等于正△ACB1的高

B


2 2 15 2 37 2 )? ( )? ( 5) ? 2 2 2 17 37 ? ? 20 13 4 ? cos ?A1CE ? 4 ?? 17 37 629 2 2 2 A1C ? ( ? A1C 与 B1 D1 所成的角为 arccos 13 629 629

3 6 ? 2a ? a 2 2

17.证明:
取DC中点G,连接D1G 由正方体知 A1 D1 ? 面 CD1于D1,OG ? 面 CD1于G ? D1G 是 A1O 在面 CD1上的射影 在正方形 CDD1C1中,G、F 分别是 CD、CC1的中点

D1 A1 D A O G B B1

C1 F C

D1 A1 D A
16.解:

C1 B1 C E

易证 DF ? D1G ? A1O ? DF ( 1 ) 连结 AO,则 AO ? BD A1 A ? 面 ABCD 于 A ? AO 是 A1O 在面 AC 上的射影 ? A1O ? BD (2)

B

结合 ( 1 ) 、 (2) 及DF ? BD ? D ? A1O ? 面 DBF

15

18.证明:
过 M 作 ME ∥ AB 交 PB 于 E 过 N 作 NG ∥ CD 交BC 于G,连结EG ME PM ? ME ∥ AB ? ? AB PA ? ? NG BN ? NG ∥ CD ? ? ? CD BD ? PM BN PM BN ? ? ? ? MA ND PA BD ? ? ME NG ? ? ? ? AB CD ? ? ME ? NG 又底面ABCD是平行四边形 ? AB∥ CD? ? ME ∥ AB ? ME ∥ CD ? 又 ? ? ? ? ME ∥ NG AB ∥ CD ? NG ∥ CD ? ? MEGN 是平行四边形 ? ? ? EG ? 面PBC ? ? MN ∥ 面PBC MN ? 面PBC? ? MN ∥ EG ? A ? ? ? ? ? ? ? ?

( 1)取BP中点G,AB中点H,连MG,PH、GN .

P

CB ? 面 PAB ? ? ? CB ? BA AB ? 面 PAB ? M、G 分别是 PC、PB 中点

C M B G


M

E

? MG ∥ BG ? ? ? AB ? MG CB ? AB ?

N P

H

A

D

C N B G

PA ? PB

? ? ? PH ? AB H 为 AB中点 ? AN ? 3NB ? BN ? NH ? ? 又 G 为 PB 中点 ? ? NG ∥ PH ? ? ? NG ? AB PH ? AB ? ①、② 结合及 MG ? NG ? G ? AB ? 面MNG ? ? ? AB ? MN MN ? 面MNG ?



(2)由 ( 1 ) 中结论及 BC ? 2 ? MG ? 1 GN ? 1 1 PH ? AB ? 1 2 4

19.证明:

? MN ? MN 2 ? GN 2 ? 2
20.证明:

16

( 1 )连结 AC, 在直角梯形 ABCD中易求 AC ? 2 a,CD ? 2 a ? AC 2 ? CD 2 ? AD 2 ? AC ? CD 又PA ? 面 ABCD 于 A ? AC是PC在面ABC上的射影 ? CD ? PC 即 PC ? CD

P

A a B

2a C

D

(2)在Rt△PAB中,PA ? AB ? a ? PB ? 2 a 在Rt△PAB中,PA ? a,AC ? 2 a ? PC ? 3a 又 BC ? a ? PB 2 ? BC 2 ? PC 2 ? ?PBC ? 90? 令 B 到 PC 的距离为 h 1 1 则 PC ? h ? PB ? BC 2 2 ? h? 2a ? a 3a ? 6 a 3 6 a. 3

即 B 到直线 PC 的距离为

17

立几面测试 006
一 选择题(本题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1. A,B,C 为空间三点,经过这三点( A.能确定一个平面或不能确定平面 C.能确定无数个平面 2.下面四个命题正确的命题个数是( ①平行于同一条直线的两条直线平行; ②过直线外一点和这条直线平行的直线有且只有一条; ③和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线; ④一条直线和两条平行线的一条相交,那么它也和另一条相交。 A. 1 B.2 C. 3 3.如图 1-1 所示的水平放置的平面图形的 直观图,所表示的图形 ABCD 是( A.任意梯形 C.任意四边形 ) B.直角梯形 D.平行四边形 O 4.下面四个命题中错误命题的个数是( ①没有公共点的两条直线是异面直线; ②平面内一点与平面外一点的连线和平面内的直线是异面直线; ③和同一条直线都是异面直线的两条直线是异面直线; ④和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ) A ( 图 1-1) D x D.4 B y C ) ) B.可以确定一个平面 D.能确定一个或无数个平面

6.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AD,CD 和 CC1 的中 点,那么异面直线 EF 和 GH 所成的角是( A.90° A.不存在 C.有唯一的一个 A.平行 B. l ? ? B.60° ) C.45° D.30° )

7.两直线 a 与 b 异面,过 a 作平面与 b 平行,这样的平面( B.有可能存在也有可能不存在 D.有无穷多个

8.直线 l 与平面 ? 内的两条直线垂直,那么 l 与 ? 的位置关系是( C.垂直 D.不确定



9.设直线 a 在平面 ? 内,则“平面 ? ∥平面 ? ”是“直线 a ∥平面 ? ”的条件 ( ) A.充分但不必要 B.必要但不充分 C.充分且必要 D.不充分也不必要 10.如图 2-2 所示,平面 ? ∩平面 ? = l ,点 A,B ? ? ,点 C∈平面 ? 且 C ? l , AB∩ l =R,设过点 A,B,C 三点的平面 ? , 则 ? ∩ ? 是( A.直线 CR C.直线 AC ( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 G,H 分别是 AB, ) D.正方形 ) B.直线 BC D.以上均不正确

11.空间交于一点的四条直线最多可以确定平面

12.空间四边形 ABCD 中,若 AB=BC=CD=DA=AC=BD,E,F, BC,CD,DA 的中点,则四边形 EFGH 的形状是( A.平行四边形 B.长方形 C.菱形

5.若直线 a , b 是异面直线, b 与 c 也是异面直线,则直线 a 与 c 的位置关系是 ( ) A.平行或异面 C.异面或相交 B.相交,平行或异面 D.异面

二.填空题(每题 4 分,共 4 题)
18

13.过空间一点 O 作与已知直线平行的直线有 有 条 部分 14.三个不相交的平面把空间分成

条;与已知平面垂直的直线

20.直角三角形 ABC 中,∠A=90?,AB=2AC,Q 为 AB 上一点,QB= 为平面 ABC 外一点,且 PB=PC,求证:PQ⊥BC.
P

5 AC,P 4

15.若两直线 a,b 在平面α 上的射影 a',b'是平行的直线,则 a,b 的位置关 系是 .
16. 点 A、 B 和平面α 的距离分别是 40 ㎝和 70 ㎝, P 为 AB 上一点, 且 AP∶PB=3∶ 7,则 P 到平面α 的距离是________________。

三. 解答题(5×12 分 + 2×14 分=74 分)
17.已知:平面α ∩平面β =b,直线 a∥α ,a∥β ,求证:a∥b。 a β α b A

B

M

C

Q A

21.已知四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ DAB=90?,求证:四边形 是矩形.

18.如图,ABCD

是空间四边形,AB=AD,CB=CD

求证:AC⊥BD
22.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 8,侧棱长为 6,D 为 AC 中点。 B C D (1)求证:直线 AB1∥平面 C1DB; (2)求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值。 A1 B1 A B C C1

19.两条直线 a , b 异面, a 求证: ? ∥ ?

? 平面 ? , b ? 平面 ? ,且 a ∥ ? , b ∥ ?

19

立几面测试 006

中线与高重合所以 AE⊥BD,CE⊥BD 由三垂线定理的逆定理可知 CE 即 AC 在面 BCD 上的射影因为 CE⊥BD,所以 AC⊥BD

参考答案
1-12. ABBD 13 .0 或 1;1. BCCD 14.四 AACD 15.平行或异面 16. 43 ㎝ 或 7 ㎝ ;

20.证明:取 BC 中点 M,连接 PM,QM,令 AC=1,则 BQ=

5 4
2



∵AB=2AC=2,∴QA=2-

5 3 5 ?3? 2 2 = 。 ∴QC= QA ? AC ? ? ? ? 1 = 4 4 4 ?4?



17. 证法 1:(反证法)假定 a、b 异面,任取 B∈b,则 a 与 B 确定平面γ ,且γ ∩α =ι 1, γ ∩β =ι 2,由已知 a∥α ,a∥β 知 a∥ι 1,且 a∥ι 2,由公理 4 知ι 1∥ι 2,与 ι 1∩ι 2=B 矛盾,故假设不成立,∴a∥b。 证法 2:(同一法)任取 B∈b,则 a 与 B 确定平面γ ,且γ ∩α =ι 1,γ ∩β =ι 2,且 B∈ι 1,B∈ι 2。∵a∥α ,a∥β ,∴a∥ι 1,a∥ι 2,由平行公理知ι 1与ι 2重合, 即为α 与β 的交线 b,∴a∥b。 证法 3:(直接证法)过 a 作平面γ 1,γ 2,γ 1∩α =c,γ 2∩β =d,∵a∥α ,a∥β , ∴a∥c,a∥d,∴c∥d,∴c∥β (d ? β ) ∴c∥b,∴a∥b。 18.证明:在平面 ? 的直线 a 上取一点 A 因为 a 和 b 异面,所以 A ? b 过 A, b 确定平 面 ? 交 ? 于 c ,因为 b ∥ ? ,c ? ? , 所以 c ∥ b 同理, 在 b 上取一点 B, 过B 和a

∴QC=QB,∴QM⊥BC。又∵PM⊥BC,∴BC⊥平面 PMQ,∴BC⊥PQ. 21.证明 若四点 A,B,C,D 不在同一平面内,设 A 点在平面 BCD 内的射影(垂足) 为 O,则 AO⊥BC,又∵BC⊥AB,∴BC⊥面 AOB,∴BC⊥OB; 同理 DC⊥OD. BD 但 OB ?
2

? BO2 ? DO2 , BD2 ? AB2 ? AD2 ;

AB, OD ? AD,?OB2 ? OD2 ? AB2 ? AD2 , ∴ BD2 〈 BD 2 ,矛

盾.故四点 A,B,C,D 在同一平面内,即四边形 ABCD 是矩形.

22. 证明:(1)连 B 1 C 交 BC1 于 E,连 DE, 而 DE ? 面 C 1 DB, AB1

则 DE∥ AB1 ,

? 面 C 1 DB,

∴ AB1 ∥ 平面C1 DB

(2)由(1)知∠DEB 为异面 直线 AB1与BC1 所成的角,在 P C

?DEB中,DE ? 5,BD ? 4 3,BE ? 5
---------------(2 分)

? 确定平面 ? ,

? ? ? d 可得 d

∥ a 由平行

平面的判定定理可得平面 ? ∥ ? 19.证明:如图,取 BD 中点 E,连结 AE,CE 因为 AB=AD,CB=CD 所以△ABD 和△BCD 都是等 腰三角形又等腰三角形的

α a δ γ d B b β A c

cos ?DEB ?

50 ? 48 1 ? 。 2 ? 5 ? 5 25

A H D B

----------------(2 分)

20

立几面测试 007
一、选择题 (12×4=48) 1、若 a ? α, b ? β,α∩β=c,a∩b=M,,则( A、M∈ c B、M ? c C、M ? c (C)A ? l,l ? α ) D 、M ? β ( (D)A ? l,l∈ α ( ) )

A、有且仅有一个 B、至少有一个 C、至多有一个
9、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 的中点, 则直线 CE 垂直于 A、直线 AC C、直线 A1D1 ( )

D、有无数个

D1 A1 D
A1

E
A1

C1 B1 C
A1

B、直线 B1D1 D、直线 A1A

2、 点 A 在直线 l 上, l 在平面 α 外, 用符号表示正确的是 (A)A∈ l,l ?α (B)A∈ l,l ? α

A
10、已知 P 为△ABC 所在平面 α 外一点,PA=PB=PC,则 P 点 在平面 α 内的射影一定是△ABC 的 A、内心 B、外心 C、垂心 ( )
A1

B
A1

3、 EF 是异面直线 a、 b 的公垂线, 直线 l∥ EF, 则 l 与 a、 b 交点的个数为 A 、0 B 、1 C、0 或 1 D、0,1 或 2 4、以下四个结论:① 若 a ? α, b ? β,则 a, b 为异面直线;

D、重心

A
)

B

② 若 a ? α, b ? α,则 a, b 为异面直线;③ 没有公共点的两条直线是平行直线; ④ 两条不平行的直线就一定相交。其中正确答案的个数是 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 ) ( )

11、右图是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 为 其上三个点,则在正方体盒子中,∠ ABC 等于 ( A、45° B、60° C、90° D、120°

C D1
) (

12、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1A、 AB 上的点,若∠ NMC1=90° ,则∠ NMB1

5、 教室内有根棍子, 无论怎样放置, 地面上总有这样的直线与棍子所在直线(

D1
A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 角为( A、 ) B、 D、异面 6、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC 与 B1D 所成的

A1 M
A1

B1 D N
A1

C1

C1 B1

A、小于 90° C、大于 90°

B、等于 90° D、不能确定

A1 D
A1

C B

A C
A1

? 6

? 4

C、

? 3

D、

? 2

二、填空题(4×4=16 分)

A
A1

B
A1

13、平面 α 同侧的两点 A 、 B 到 α 的距离分别为 4 和 6,则线段 AB 的中 点 M 到 α 平面的距离为 ______________

7、直线 a 与平面 α 所成的角为 30o,直线 b 在平面 α 内,若直 线 a 与 b 所成的角为 ? ,则 A、0?< ? ≤30? C、30?≤ ? ≤90? B、0?< ? ≤90? D、30?≤ ? ≤180?

D1 A1 D A
21

(

)

14、已知 E、F 分别为棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 BB1、B1C1 的中点,则 A1 到 EF 的距离为

B1 F E
A1 A1

C1

15、P 是△ABC 所在平面外一点;PB=PC=AB=AC,M 是线 段 PA 上一点, N 是线段 BC 的中点, 则∠MNB=________

C

8、 a, b 是空间两条不相交的直线,那么过直线 b 且平行于直线 a 的平面( )

B

16、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=3,AA1=4,则异面直线 AB1 与 A1D 所成的角的余弦值为 三、解答题(56 分) 17、(10 分)已知直线 a 和 b 是异面直线,直线 c∥ a,b 与 c 不相交, 用反证法证明:b、c 是异面直线。

20、(12 分)在 P 是直角梯形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥ 平面 ABCD,∠ BAD =90° ,AD∥ BC,AB=BC=a,AD=2a, PD 与底面成 30° 角,BE⊥ PD 于 E 求直线 BE 与平面 PAD 所成的角;
P E

A

D C

B

18、 (10 分)已知 P 为△ ABC 所在平面外的一点, PC⊥ AB, PC=AB=2,E、F 分别为 PA 和 BC 的中点 (1)求 EF 与 PC 所成的角; (2)求线段 EF 的长

P E A F B C
21、 (12 分)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, P、 Q 分别是正方形 AA1D1D 和 A1B1C1D1 的中心。(12 分) (1)证明:PQ∥ 平面 DD1C1C;(2)求线段 PQ 的长; (3)求 PQ 与平面 AA1D1D 所成的角

D
19、 (12 分)正方形 ABCD 的边长为 a, MA⊥平面 ABCD, 点 M 到 BD 的距离; (2)AD 到平面 MBC 的距离 且 MA =a, 试求: (1)

C B

A P

M
A1

D1 Q B1

C1

A

D

B

C
22

立几面测试 007
参考答案 一、ABCAB DCBBB BB

在 Rt△ MAB 中,求得 AH=

2 a 2

20、解:1)∵ ∴

PA⊥ 平面 ABCD ∠ PDA 为 PD 与底面所成的角,PA⊥ AB ∠ BAD=90° AB⊥ 平面 PAD ∠ BEA 为 BE 与平面 PAD 所成的角 B E⊥ PD AE=a ∴ AE⊥ PD AD=2a ∴ AB⊥ AD

二、13、5

14、

3 2 a 4

15、90°

16、

16 25

∵ ∴ ∴ ∵ ∴

17、证明:假设 b、c 不是异面直线,由 b 与 c 不相交得 c∥ b ∵ c∥ a ∴ a∥ b,与 a,b 是异面直线相矛盾 故 b、c 是异面直线 18、解:设 PB 的中点为 G,连接 FG,EG

在 Rt△ PAD 中,∠ PDA=30° ∠ BEA=45°

21、1)证明:连接 A1C1,DC1,则 Q 为 A1C1 的中点 ∴ ∴ 2)解:PQ= 3)解:∵ PQ∥ DC1 且 PQ= PQ∥ 平面 DD1C1C

1 1 则 FG∥ PC 且 FG= PC,EG∥ AB 且 EG= AB 2 2
故∠ GFE 为 EF 与 PC 所成的角,∠ EGF 为 PC 与 AB 所成的角 ∵ ∴ PC⊥ AB ∴ ∠ EGF=90° EF= 又 EG=GF=1

1 DC1 2

∠ GFE=45°

2
∵ ∴

1 2 DC1= 2 2
∴ PQ、DC1 与平面 AA1D1D 所成的角相等

PQ∥ DC1

19、解:1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO,则 AC⊥ BD ∵ MA⊥平面 ABCD ∴ MO⊥BD 即 MO 为点 M 到 BD 的距离 ∵ PA=a AO=

DC1 与平面 AA1D1D 所成的角为 45° PQ 与平面 AA1D1D 所成的角为 45°

2 a 2



MO=

3 a

2)过 A 作 AH⊥PB 于 H,则 AH 为 AD 到平面 MBC 的距离

23

立几面测试 008
一、选择题 (12×4=48) 1、若 a ? α, b ? β,α∩β=c,a∩b=M,,则( A、M∈ c B、M ? c C、M ? c (C)A ? l,l ? α ) D 、M ? β ( (D)A ? l,l∈ α ( ) )

8、 a, b 是空间两条不相交的直线,那么过直线 b 且平行于直线 a 的平面( ) A、有且仅有一个 B、至少有一个 C、至多有一个
9、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 的中点, 则直线 CE 垂直于 A、直线 AC C、直线 A1D1 ( )

D、有无数个

B、直线 B1D1 D、直线 A1A

2、 点 A 在直线 l 上, l 在平面 α 外, 用符号表示正确的是 (A)A∈ l,l ?α (B)A∈ l,l ? α

3、 EF 是异面直线 a、 b 的公垂线, 直线 l∥ EF, 则 l 与 a、 b 交点的个数为 A 、0 B 、1 C、0 或 1 D、0,1 或 2 4、以下四个结论:① 若 a ? α, b ? β,则 a, b 为异面直线;

10、已知 P 为△ABC 所在平面 α 外一点,PA=PB=PC,则 P 点在平面 α 内的射影 一定是△ABC 的 A、内心 ( ) C、垂心 D、重心

② 若 a ? α, b ? α,则 a, b 为异面直线;③ 没有公共点的两条直线是平行直线; ④ 两条不平行的直线就一定相交。其中正确答案的个数是 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 ) ( )

B、外心

A
)

B

11、右图是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 为 其上三个点,则在正方体盒子中,∠ ABC 等于 ( A、45° B、60° C、90° D、120°

C D1 A1 M
A1

5、 教室内有根棍子, 无论怎样放置, 地面上总有这样的直线与棍子所在直线(

12、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1A、

D1
A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 角为( A、 ) B、 D、异面 6、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC 与 B1D 所成的

C1 B1

AB 上的点,若∠ NMC1=90° ,则∠ NMB1 A、小于 90° B、等于 90° D、不能确定

(

)

B1 D N
A1

C1

A1 D
A1

? 6

? 4

C、

? 3

D、

? 2

C
A1

C、大于 90°

C B

A
二、填空题(4×4=16 分)

A
A1

B
A1

7、直线 a 与平面 α 所成的角为 30o,直线 b 在平面 α 内,若直 线 a 与 b 所成的角为 ? ,则 ( ) B、0?< ? ≤90? D、30?≤ ? ≤180?

13、平面 α 同侧的两点 A 、 B 到 α 的距离分别为 4 和 6,则线段 AB 的中 点 M 到 α 平面的距离为 ______________

D1 A1 D
A1

E
A1

C1 B1 C
A1

D1 A1 D A B1 F E
A1 A1

14、已知 E、F 分别为棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 BB1、B1C1 的中点,则 A1 到 EF 的距离为

C1

A、0?< ? ≤30? C、30?≤ ? ≤90?

24

C

A
A1

B
A1

B

15、P 是△ABC 所在平面外一点;PB=PC=AB=AC,M 是线段 PA 上一点,N 是线段 BC 的中点,则∠MNB=________
16、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=3,AA1=4,则异面直线 AB1 与 A1D 所成的角的余弦值为

20、(12 分)在 P 是直角梯形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥ 平面 ABCD,∠ BAD =90° ,AD∥ BC,AB=BC=a,AD=2a, PD 与底面成 30° 角,BE⊥ PD 于 E (1)求直线 BE 与平面 PAD 所成的角;
P E

A

三、解答题(56 分) 17、(10 分)已知直线 a 和 b 是异面直线,直线 c∥ a,b 与 c 不相交, 用反证法证明:b、c 是异面直线。 21、(12 分)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P、Q 分别是正方形 18、(10 分)已知 P 为△ ABC 所在平面外的一点,PC⊥ AB, PC=AB=2,E、F 分别为 PA 和 BC 的中点 (1)求 EF 与 PC 所成的角; (2)求线段 EF 的长
B C

D

P E A F C

AA1D1D 和 A1B1C1D1 的中心。(12 分) (1)证明:PQ∥ 平面 DD1C1C;(2)求线段 PQ 的长; (3)求 PQ 与平面 AA1D1D 所成的角

D A P D1 B

C

19、(12 分)正方形 ABCD 的边长为 a,MA⊥平面 ABCD, 且 MA =a,试求: (1)点 M 到 BD 的距离; 到平面 MBC 的距离 (2)AD

B

C1 Q B1

M

A1

A

D

B

C

25

立几面测试 008
参考答案 一、ABCAB DCBBB BB

在 Rt△ MAB 中,求得 AH=

2 a 2

20、解:1)∵ ∴ 二、13、5

PA⊥ 平面 ABCD ∠ PDA 为 PD 与底面所成的角,PA⊥ AB ∠ BAD=90° AB⊥ 平面 PAD ∠ BEA 为 BE 与平面 PAD 所成的角 B E⊥ PD AE=a ∴ AE⊥ PD AD=2a ∴ AB⊥ AD

3 2 14、 a 4

15、90°

16 16、 25

∵ ∴ ∴ ∵ ∴

17、证明:假设 b、c 不是异面直线,由 b 与 c 不相交得 c∥ b ∵ c∥ a ∴ a∥ b,与 a,b 是异面直线相矛盾 故 b、c 是异面直线 18、解:设 PB 的中点为 G,连接 FG,EG 则 FG∥ PC 且 FG=

在 Rt△ PAD 中,∠ PDA=30° ∠ BEA=45°

21、1)证明:连接 A1C1,DC1,则 Q 为 A1C1 的中点 ∴ ∴ 2)解:PQ= PQ∥ DC1 且 PQ= PQ∥ 平面 DD1C1C

1 1 PC,EG∥ AB 且 EG= AB 2 2
∴ ∠ EGF=90° EF= 又 EG=GF=1

1 DC1 2

故∠ GFE 为 EF 与 PC 所成的角,∠ EGF 为 PC 与 AB 所成的角 ∵ ∴ PC⊥ AB

∠ GFE=45°

2
3)解:∵ ∵ ∴

1 2 DC1= 2 2
∴ PQ、DC1 与平面 AA1D1D 所成的角相等

PQ∥ DC1

19、解:1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO,则 AC⊥ BD ∵ MA⊥平面 ABCD ∴ MO⊥BD 即 MO 为点 M 到 BD 的距离 ∵ PA=a AO=

DC1 与平面 AA1D1D 所成的角为 45° PQ 与平面 AA1D1D 所成的角为 45°

2 a 2



MO=

3 a

2)过 A 作 AH⊥PB 于 H,则 AH 为 AD 到平面 MBC 的距离

26

立几面测试 009
掌握二面角、二面角的平面角的概念;掌握作二面角的平面角的三种基本方 法: (1)棱上一点——双垂线法,即定义法; (2)面上一点——三垂线法,关键找出连结两个面上两点且垂直于其中一 个面的线段,再利用三垂线定理或三垂线定理的逆定理作出证明; (3 ) 空间一点——垂面法,即作出与棱垂直的平面.求解二面角的大小问题, 常常转化为求解二面角的平面角的大小问题,将空间问题转化为平面问题来求 解,这是一种数学的基本思想和方法.掌握利用面积射影定理求二面角的方法. 一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1.二面角是指( ) A.两个平面所组成的角 B.经过同一直线的两个平面所成的图形 C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D.两个平面所夹的不大于 90°的角 2.从二面角的棱上一点,在两个半平面上各作一条射线所成的角中( A.二面角的平面角最大 B.二面角的平面角最小 C.二面角的平面角是最大还是最小,由二面角是否大于 90°决定 D.二面角的平面角既非最大,也非最小 3.已知正方形 ABCD,沿对角线 AC 将△ADC 折起,设 AD 与平面 ABC 所成 的角为β ,当β 取最大值时,二面角 B—AC—D 等于( A.120° C.60° B.90° D.45° ) )

5.在直角坐标系中,设 A(3,2),B(-2,-3),沿 y 轴把直角坐标平面 折成 120°的二面角后,AB 长为( A.2 3 B.2 11 C. 6 ) D.4 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,二面角 D1—AC—D 的正切值是________. 2.已知α —l—β 二面角的度数是 60°,面α 内一点 A 到棱 l 的距离为 2 3 , 则 A 到面β 的距离为________. 3.正方形 ABCD,P 是正方形所在平面外一点,PA⊥平面 AC,且 PA=AB, 则二面角 A—PD—C 的度数为________,二面角 B—PA—D 的度数为________, 二面角 B—PA—C 的度数为________,二面角 B—PC—D 的度 数为________. 4.在 60°的二面角α —l—β 的面α 内一点 A 到面β 的距离为 3 ,A 在β 上的 射影为 A′,则 A′到面α 的距离为________;异面直线 AA′、l 间的距离为 ________. 5.菱形 ABCD 的对角线 AC= 3 ,沿 BD 把面 ABD 折起与面 BCD 成 120°的 二面角后,点 A 到面 BCD 的距离为________. 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 1.在二面角α —l—β 中,A、B∈α ,D∈l,ABCD 为矩形,P∈β ,PA⊥α , 且 PA=AD,M、N 依次是 AB、PC 的中点, (1)求二面角α —l—β 的大小; (2)求证:MN⊥AB; (3)求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小. 2.长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长 AB= 3 ,AA1=1,截面 AB1C1D 为正方 形. D.
2? 3

4.四面体 ABCD 的四个面全等,且 AB=AC= 3 ,BC=2,则以 BC 为棱,以 面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的大小为( A.arccos
1 3


? 2

B.arccos

3 3

(1)求点 B1 到平面 ABC1 的距离; (2)求二面角 B—AC1—B1 的正弦值.

C.

27

5.如图,二面角 M—CD—N 的度数为α ,A 为 M 上一点,B 为 N 上一点, 3.四面体 M—ABC 中,MC⊥平面 ABC,∠BAC=90°,MC=4,AC=3,AB=4,求二 面角 A—MB—C 的余弦值. CD 在棱上,且 AB⊥CD,又 AB 与平面 N 成 30°角,若△ACD 的面积为 S,求 α 为何值时,△BCD 的面积最大,其最大面积是多少?

4.如图,边长为 20 的正△ABC 顶点 A 在平面α 内,B、C 在平面α 同侧,且 B、C 到α 的距离分别是 10 和 5,求△ABC 所在平面和α 所成的二面角的大小.

28

立几面测试 009
参考答案 一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B
3 2
3 4

∴∠PAQ=45° 即 PA 与 MN 所成的角的大小为 45°. 2.解:(1)如图,

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1. 2 2.3 3.90° 90° 45° 120° 4. 1 5.

三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 1.(1)解:连结 PD ∵PA⊥α ,AD⊥l,∴PD⊥l ∴∠PDA 是二面角α —l—β 的平面角. AA1=1, AB1C1D 是正方形, ∴B1C1=AB1=2 ∵AB⊥平面 BB1C1C. ∴平面 ABC1⊥平面 BB1C1C. 作 B1H⊥BC1 于 H,则 B1H⊥平面 ABC1, ∴B1H 为点 B1 到平面 ABC1 的距离. 由 PA=AD,有∠PDA=45°. 故二面角α —l—β 的大小为 45°. (2)证明:取 CD 的中点为 E,连结 ME、NE,则 EM∥AD,EN∥PD, ∴CD⊥ME,CD⊥NE, ∴CD⊥平面 MNE,又 AB∥CD ∴AB⊥平面 MNE,故 AB⊥MN. (3)解:取 PD 中点为 Q,连结 QA、QN,则 QN ∴QNMA 是平行四边形. ∴AQ∥MN ∴∠PAQ 是异面直线 PA 与 MN 所成的角. ∵△PAD 为等腰直角三角形,AQ 为斜边上的中线,
1 CD,而 AM 2 1 CD. 2

∵棱长 AB= 3 ,

在 Rt△BB1C1 中 ∵BB1·B1C1=BC1·B1H. ∴B1H=
BB1 ? B1C1 1? 2 2 ? ? 5. BC1 1? 4 5

(2)作 HO⊥AC1,垂足为 O,则 B1O⊥AC1 ∴∠HOB1 是二面角 B—AC1—B1 的平面角, 又 O 是正方形 AB1C1D 的对角线 交点, ∴sinB1OH=
B1 H 10 ? B1O 5

3.解:如图,作 AE⊥MB,CF⊥MB,则异面直线 AE、CF 所成的角等于二 面角 A—MB—C 的平面角.

29

∴CF=AC,∠ACF=120° ∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=60°+30°=90°. 由三垂线定理的逆定理,得 DA⊥AF. ∴∠BAD 是△ABC 和平面α 所成的二面角的平面角. 在 Rt△ABD 中,AB=20,BD=10, ∴∠BAD=30°, ∴△ABC 所在平面和α 所成的二面角的大小为 30°. ∵AC=3,MC=4,AM=5,AB=4. ∴BC=5,MB= 41 ∵∠MAB=90°,AE= BE=
20 41

5.解:过 A 作 AO⊥平面 N 于 O,连 BO,BO 或 BO 的延长线交 CD 于 E,连 AE.
20 41

,CF=

AB 2 16 MC 2 16 ? ? ,MF= . MB MB 41 41

∴EF=MB-MF-BE= 41 -

16 41

×2=

9 41

由公式 AC= d 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos? 得 cosθ =
EF 2 ? AE 2 ? CF 2 ? AC 2 16 . ? 2 AE ? CF 25

∵CD⊥AB ∴CD⊥AE.

∴CD⊥BE

4.解: 设 BD、 CE 是点 B、 C 到平面α 的距离, 则 BD⊥α , CE⊥α ,BD=10,CE=5, 由直线与平面垂直的性质,得 BD∥CE, ∴B、D、E、C 共面. ∵BD≠CE,∴BC、DE 必相交, 设交点为 F,∵DF ? α ,∴F∈α , ∵BC ? 平面 ABC ∴F∈平面 ABC, ∴F 是平面 ABC 和平面α 的又一公共点. ∵A 是平面 ABC 和平面α 的公共点, ∴平面 ABC∩平面α =AF, 在△BDF 中,∵BD∥CE,BD=2CE,∴CF=BC. 又∵△ABC 为正三角形

∴∠AEB=α 是二面角的平面角. 且∠ABO=30° ∵△ACD 面积为 S,设 AE=h,CD=
2S . h

在△ABE 中,∠AEB=α ,∠ABO=30°,则∠BAE=150°-α . 由正弦定理 S△BCD=
h sin(150? ? ? ) h BE ,BE= ? sin 30? sin 30? sin(150? ? ? )

h sin(150? ? ? ) 1 1 2S CD·BE= · · =2Ssin(150°-α ). h sin 30? 2 2

当α =60°时,S△BCD=2S 为最大.

30

立几面测试 010
一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分)
1.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数 为( ) A. 3 A.相交 B.异面 B.1 或 2 C.平行 C.1 或 3 D.相交或异面 D.2 或 3

A.60°

B. 90° C.45°

D.30

7.PA、PB、PC 是从 P 点引出的三条射线,每两条夹角都是 60°, 那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 ( A. )

2如果 a 和 b 是异面直线,直线 a ∥ c ,那么直线 b 与 c 的位置关系是

3 3

B.

2 2

C.

6 3

D.

1 2

8.Rt△ABC 中,∠B=90°,∠C=30°,D 是 BC 的中点,AC=2,DE⊥平面 ABC, 且 DE=1,则点 E 到斜边 AC 的距离是 ( ) ( ) A.

3.下列命题中正确的是 A.若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为一条直线及此直线外的一 个点,则这两条直线互为异面直线 B.若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条平行直线,则这两条 直线相交 C.若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条平行直线,则这两条 直线平行 D.若平面 M 外的两条直线在平面 M 内的射影为两条互相垂直的直线,则 这两条直线垂直 4.在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中,AC 与 B1D 所成的角的大小为 ( )

5 2

B.

11 2

C.

7 2


D.

19 4
P

9.如图,PA⊥矩形 ABCD,下列结论中不正确的是( A. PD⊥BD B.PD⊥CD C.PB⊥BC D.PA⊥BD 10.若 a, b 表示两条直线, ? 表示平面,下面命题 中正确的是 ( ) A.若 a⊥ ? , a⊥b,则 b// ? B.若 a// ? , a⊥b,则 b⊥α C.若 a⊥ ? ,b ? ? ,则 a⊥b D.若 a// ? , b// ? ,则 a//b

D O C B

A

? A. 6 ? C. 3

? B. 4 ? D. 2
( C.60° )
E C F A B

10.如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 为其上的三个点,则在正方体盒子中,∠ABC 等于 A.45° C.90° B.60° D.120°

5.相交成 60°的两条直线与一个平面α 所成的角都是 45°,那么这两条直线 在平面α 内的射影所成的角是 A. 90° B.45° ) D.30°
S

12. 如果直角三角形的斜边与平面 ? 平行, 两条直角边所在直线 与平面 ? 所成的角分别为 ? 1和? 2 ,则
A. sin ?1 ? sin ? 2 ? 1
2 2



6.如图:正四面体 S-ABC 中,如果 E,F 分别是 SC,AB 的中点,
那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 (

B. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 C. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1 D. sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 1

31

二、填空题(本题每小题4分,共16分)

20.(12 分) A 是△BCD 所在平面外的点,∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°,AB=3, AC=AD=2. (1)求证:AB⊥CD; (2)求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值.

13.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=3,AA1=4,则异面直线 AB1 与 A1D 所成的角的余弦值为 .
14.已知△ABC,点 P 是平面 ABC 外一点,点 O 是点 P 在平面 ABC 上的射影, (1)若点 P 到△ABC 的三个顶点的距离相等,那么 O 点一定是△ABC 的 ;(2)若点 P 到△ABC 的三边所在直线的距离相等且 O 点 . 在△ABC 内,那么 O 点一定是△ABC 的 是

15.如果平面 ? 外的一条直线 a 与 ? 内的两条直线垂直,那么 a 与 ? 位置关系 16.A,B 两点到平面 ? 的距离分别是3cm,5cm,M 点是 AB 的中点,则 M 点 到平面的距离是 三、解答题:(本大题满分 74). 18、(12 分) 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, A1 D1

21(14 分) 如图, 已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P, PA⊥平面 ABCD, E、 F 分别是 AB, PC 的中点 (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:EF⊥CD; (3)若?PDA=45?,求 EF 与平面 ABCD 所成的角的大小. P

E 是 AA1 的中点,求证: AC 1 // 平面
BDE 。

B1

E

C1 A A D B 22、.(本小题满分 12 分) 正方体 ABCD-A′B′C′D′ 棱长为 1. (1)证明:面 A′BD∥面 B′CD′ ; (2)求点 B′到面 A′BD 的距离. A′ E C F D

B 19.(12 分) AB 是⊙O 的直径,C 为圆上一点,AB=2,AC=1, P 为⊙O 所在平面外一点,且 PA⊥⊙O, PB 与平面所 成角为 45 (1)证明:BC⊥平面 PAC ; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.
P

C

D′

C′ B′

D
C A O B

C

A

32

B

立几面测试 010 答卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 D 5 A 6 C 7 A 8 D 9 A 10 C 11 B 12 B

BDE 。 ∴ AC 1 // 平面
19.(14 分)解:(1)∵PA⊥平面 ABC ∴PA⊥BC ∵AB 是⊙O 的直径,C 为圆上一点∴BC⊥AC ∴BC⊥平面 PAC (2)过 A 作 AD⊥PC 于 D∵BC⊥平面 PAC,BC ? 平面 PBC ∴PAC⊥PBC,PC 为交线 ∴AD⊥平面 PBC ∴AD 即为 A 到平面 PBC 的 距离. 依题意, ∠PBA 为 PB 与面 ABC 所成角, 即∠PBA=45°∴PA=AB=2, AC=1, 可得 PC= 5 ∵AD×PC=PA×AC
2 5 2 5 , 即 A 到平面 PBC 的距离为 ? 5 5 5 20.(12 分) 解(1)∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°, AC=AD=2,AB=3, ∴ △ABC≌△ABD,BC=BD.取 CD 的中点 M,连 AM、BM,则 CD⊥AM, CD⊥BM. ∴CD⊥平面 ABM,于是 AB⊥BD. (2 ) 过 A 作 AO ? BM 于 O, ∵CD⊥平面 ABM, ∴CD⊥AO, ∴AO⊥面 BCD, ∴BM 是 AB 在面 BCD 内的射影, 这样∠ABM 是 AB 与平面 BCD 所成的角. 在△ABC 中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. arccos 16. 4cm 或 1cm 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 17.(12 分) 证明:∵A、B、C 是不在同一直线上的三点
∴由 A、B、C 确定一个平面 ? , 又? AB ? ?

16 25

14.外心、内心

15.平行或相交

∴AD=

2 ?1

?

? P, 且AB ? ?

?点P既在?内又在?内, 设? ? ? ? l , 则p ? l. 同理可证: Q ? l , R ? l ? P, Q, R三点共线 .
18、证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵E 为

? BC ? AB2 ? AC2 ? AB ? AC ? 7 .
在△ACD 中, AC=AD=2,∠CAD=60°,∴△ACD 是正三角形,AM= 在 Rt△BCM 中,BC=

3.

7 ,CM=1,

AA1 的中点, O 为 AC 的中点

2 2 2 ? BM ? 6 .? cos?ABM ? AB ? BM ? AM ? 6 .

AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∴ EO 为三角形 A 1 AC 的中位线 20、证明:连接
∵E 为

AA1 的中点, O 为 AC 的中点∴ EO 为三角形 A1 AC 的中位线

∴ EO // AC 1

BDE 外 又 EO 在平面 BDE 内, AC 1 在平面

2 AB ? BM 3 21.(12 分) 证:连 AC,设 AC 中点为 O,连 OF、OE (1)在△PAC 中,∵ F、O 分别为 PC、AC 的中点 ∴ FO∥PA ????① 在△ABC 中, ∵ E、O 分别为 AB、AC 的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD ????② 综合①、②可知:平面 EFO∥平面 PAD ∵ EF ? 平面 EFO ∴ EF∥平面 PAD. (2)在矩形 ABCD 中,∵ EO∥BC,BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA,PA⊥平面 AC ∴ FO⊥平面 AC ∴ EO 为 EF 在平面 AC 内的射影 ∴ CD⊥EF.

P

A E B O

F C

33

(3)若?PDA=45?,则 PA=AD=BC ∴ FO=EO 又 ?FEO=45? ∵ FO⊥平面 AC

∥1 BC,FO ∥1 PA ∵ EO= =2 2 ∴ △FOE 是直角三角形 ∴

22.(12 分) (1)证明:∵A’D∥B’C,DB∥D’B’ 又∵A’D∩DB=D,B’C∩D’B’=B’ ∴面 A’BD∥面 B’CD’ (2)解法一:易知 B′ 到平面 A′ BD 的距离 d 等于 A 到平面 A′ BD 的距离, 且△A′ BD 为等边三角形 1 1 由 VA ' ? ABD ? VA ? A ' BD 可知 S ?ABD ? AA? ? S ?A?BD ? d 3 3

3 1 3 3 ∴d ? , S ?A?BD ? ? BD2 ? 3 2 4 2 解法二:易知 B′ 到面 A′ BD 的距离 d 等于 A 到面 A′ BD 的距离 沿 A′ BD 截下三棱锥 A-A′ BD,易知是一个正三棱锥 过 A 作 AF⊥A′ BD,则 AF 即为 A 到平面 A′ BD 的距离 如右图,DE 为 A′ B 的中线,且 F 为△A′ BD 的中心
解得 S ?ABD ?

A D A' F E B

2 2 3 6 DF ? DE ? ? ? BD ? , AF ? AD 2 ? DF 2 ? 1 ? ( 6 ) 2 ? 3 3 3 2 3 3 3
即 A 到平面 A′ BD 的距离为

3 . 3

34


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