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2.3.2.2双曲线方程及几何性质的应用


第二课时 双曲线方程及几何性质的应用

直线与双曲线的位置关系 [例 1] 已知直线 y=kx-1 与双曲线 4x2-y2=1.当 k 为何值时,直线与双曲线: (1)有两个公共点;(2)有一个公共点;(3)没有公共点? [思路点拨] 讨论直线与双曲线的位置关系问题,可以将问题转化为讨论直线与双曲

线的方程组成方程组的解的个数问题.
? ?y=kx-1, [精解详析] 由? 2 2 消去 y 得(4-k2)x2+2kx-2=0.(*) ?4x -y =1, ?

若 4-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)为一次方程,只有一解. 若 4-k2≠0 时,Δ=4k2+8(4-k2)=4(8-k2). 当 Δ>0 即-2 2<k<2 2时,方程(*)有两个不同的解. 当 Δ=0 即 k=± 2 2时,方程(*)有一解. 当 Δ<0 即 k<-2 2或 k>2 2时,方程(*)无解. 综合以上得: 当-2 2<k<2 2时, 直线与双曲线有两个公共点; 当 k=± 2 或 k=± 2 2时, 直线与双曲线有一个公共点;当 k<-2 2或 k>2 2时,直线与双曲线没有公共点. [一点通] 一般地,设直线 l:y=kx+m(m≠0),① x2 y2 双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0).② a b 把①代入②得 (b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. b (1)当 b2-a2k2=0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C 相交于 a 一点. b (2)当 b2-a2k2≠0,即 k≠± 时, a Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0?直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交; Δ=0?直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线相切; Δ<0?直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线相离.

1.若直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=1 有且只有一个交点,则 k 的值为________.

? ?y=kx-1, 解析:由? 2 2 得(1-k2)x2+2kx-2=0. ?x -y =1, ?

当 1-k2=0 时,即 k=± 1 时, 方程变为± 2x-2=0,则 x=± 1. 此时直线与双曲线渐近线平行,有且只有一个交点. 当 1-k2≠0 时,Δ=4k2+8(1-k2)=0, 解得 k=± 2. 此时直线与双曲线相切,有且只有一个公共点. 综上所述,k=± 1,± 2. 答案:± 1, ± 2 x2 2.直线 l:x+y=1 与双曲线 C: 2-y2=1(a>0)相交于两个不同点 A,B,与 y 轴交于 a 点 P,且 PA =

???

? 5 ??? ,求 a 的值. PB 12

x2 解:将 y=-x+1 代入 2-y2=1(a>0),得 a (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),易得 P(0,1). 因为 PA =

???

? 5 ??? 5 ,所以(x1,y1-1)= (x2,y2-1). PB 12 12

5 由此得 x1= x2.因为 x1,x2 是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0 的两根,且 1-a2≠0, 12 17 2a2 5 2 2a2 所以 x2=- x2=- .消去 x2,得 2, 12 1-a 12 1-a2 - 2a2 289 17 .由 a>0,解得 a= . 2= 60 13 1-a 与弦长、中点有关的问题 x2 y2 [例 2] 斜率为 2 的直线 l 在双曲线 - =1 上截得的弦长为 6,求 l 的方程. 3 2 [思路点拨] 设直线 l 的方程为 y=2x+m,由题意建立关于 m 的等式,求出 m 即可. [精解详析] 设直线 l 的方程为 y=2x+m, y=2x+m, ? ?2 2 由?x y 得 10x2+12mx+3(m2+2)=0.(*) - = 1 , ? ?3 2 设直线 l 与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由根与系数的关系,得 6 3 x1+x2=- m,x1x2= (m2+2). 5 10

∴|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2 36 3 =5[(x1+x2)2-4x1x2]=5[ m2-4× (m2+2)]. 25 10 36 ∵|AB|= 6,∴ m2-6(m2+2)=6. 5 ∴m2=15,m=± 15. 由(*)式得 Δ=24m2-240, 把 m=± 15代入上式,得 Δ>0, ∴m 的值为± 15, ∴所求 l 的方程为 y=2x± 15. [一点通] (1)弦长公式 斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= = = 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 1 1+ 2 k ?y1+y2?2-4y1y2. 1+k2|x1-x2|

1 1+ 2|y1-y2|= k

(2)与弦中点有关的问题主要用点差法,根与系数的关系解决.另外,要注意灵活转化, 如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决.

3.过点 P(8,1)的直线与双曲线 x2-4y2=4 相交于 A,B 两点,且 P 是线段 AB 的中点, 求直线 AB 的方程. 解:设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2 则 x2 1-4y1=4,① 2 x2 2-4y2=4.②

①-②得 (x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0. ∵P 是线段 AB 的中点, ∴x1+x2=16,y1+y2=2. ∴ y1-y2 x1+x2 = =2. x1-x2 4?y1+y2?

∴直线 AB 的斜率为 2. ∴直线 AB 的方程为 y-1=2(x-8), 即 2x-y-15=0. 4.已知双曲线 3x2-y2=3,直线 l 过其右焦点 F2,且倾斜角为 45° ,与双曲线交于 A, B 两点,试问 A,B 两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦 AB 的长.

解:∵直线 l 过点 F2 且倾斜角为 45° , ∴直线 l 的方程为 y=x-2. 代入双曲线方程,得 2x2+4x-7=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 7 ∵x1· x2=- <0, 2 ∴A,B 两点分别位于双曲线的左、右两支上. 7 ∵x1+x2=-2,x1· x2=- , 2 ∴|AB|= 1+12|x1-x2|

= 2· ?x1+x2?2-4x1x2 7 = 2· ?-2?2-4?- ?=6. 2 直线与双曲线的综合问题 x2 [例 3] 已知直线 l:x+y=1 与双曲线 C: 2-y2=1(a>0). a 1 (1)若 a= ,求 l 与 C 相交所得的弦长; 2 (2)若 l 与 C 有两个不同的交点,求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围. [思路点拨] 将 l 与 C 的方程联立消去一个未知数,得到一元二次方程,利用根与系数 的关系可求得弦长;由 l 与 C 相交,知 Δ>0,从而求出 a 的范围,可得离心率的范围. 1 [精解详析] (1)当 a= 时,双曲线 C 的方程为 4x2-y2=1. 2
? ?x+y=1, 联立? 2 2 消去 y 得 3x2+2x-2=0. ?4x -y =1, ?

设两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 则 x1+x2=- ,x1x2=- , 3 3 于是|AB|= 2· ?x1+x2?2-4x1x2= 2× 28 2 14 = . 9 3

x2 (2)将 y=-x+1 代入 2-y2=1 中得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0, a
2 ? ?1-a ≠0, ? ∴ 4 解得 0<a< 2且 a≠1. 2 2 ? ?4a +8a ?1-a ?>0.

又双曲线的离心率 e= ∴e> 6 且 e≠ 2, 2

1+a2 = a

1 +1, a2

即离心率 e 的取值范围是( [一点通]

6 , 2

2)∪( 2,+∞).

(1)直线和双曲线的交点问题,可转化为由它们的方程组成的方程组的解的问题,而方 程组的解往往转化为一元二次方程的解. 讨论一元二次方程根的基本步骤: ①观察二次项系 数,看是否需要讨论;②分析判别式,看是否有根;③应用根与系数的关系,虽不解方程却 能观察根的情况.遵循以上原则,养成良好的思维习惯. (2)直线与双曲线有两个不同交点时,应要求方程组有两个不同的解,因此一元二次方 程中二次项的系数一定不能为零.

x2 5.已知双曲线 C: -y2=1. 2 (1)求双曲线 C 的渐近线方程; (2)已知点 M 的坐标为(0,1).设 P 是双曲线 C 上的点,Q 是点 P 关于原点的对称点,记

MQ .求 λ 的取值范围. λ= MP ·
解:(1)所求渐近线方程为 y- 2 2 x=0,y+ x=0. 2 2

???? ????

(2)设 P 的坐标为(x0,y0),则 Q 的坐标为(-x0,-y0),

MQ =(x0,y0-1)· λ= MP · (-x0,-y0-1)
3 2 2 =-x2 0-y0+1=- x0+2. 2 ∵|x0|≥ 2,∴λ≤-1.

???? ????

∴λ 的取值范围是(-∞,-1].

??? ? ??? ? x2 OB 6. 若直线 l: y=kx+ 2与双曲线 -y2=1 恒有两个不同的交点 A 和 B, 且 OA · >2(其 3
中 O 为原点),求 k 的取值范围.

? ?y=kx+ 2, 解:由?x2 2 消去 y 得 ? ? 3 -y =1,
(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得

?1-3k ≠0, ? ?Δ=?-6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0,
1 即 k2≠ 且 k2<1.① 3 设 A(xA,yA),B(xB,yB),则

2

xA+xB=

-9 6 2k . 2,xAxB= 1-3k 1-3k2

由 OA · OB >2 得 xAxB+yAyB>2, xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2) =(k2+1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2 -9 6 2k =(k2+1)· + 2· k +2 1-3k2 1-3k2 3k2+7 = 2 . 3k -1 3k2+7 -3k2+9 于是 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1 1 解此不等式得 <k2<3.② 3 1 由①②得 <k2<1. 3 故 k 的取值范围为(-1,- 3 3 )∪( ,1). 3 3

??? ? ??? ?

1.研究直线与双曲线的位置关系要注意讨论转化以后的方程的二次项系数,即若二次 项系数为 0,则直线与双曲线的渐近线平行或重合;若二次项系数不为 0,则进一步研究二 次方程的判别式 Δ,得到直线与双曲线的交点个数. 2.在解决直线与双曲线的综合问题时,若遇到向量关系,一般将其转化成坐标运算求 解.

y2 1.已知双曲线 C:x2- =1,过点 P(1,2)的直线 l 与 C 有且只有一个公共点,则满足 4 上述条件的直线 l 共有( A.1 条 C.3 条 ) B .2 条 D.4 条

解析:因为双曲线的渐近线方程为 y=± 2x,点 P 在渐近线上, 双曲线的顶点为(± 1,0),所以过点 P 且与双曲线相切的切线只有一条.过点 P 平行于渐 近线的直线只有一条,所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条. 答案:B

2.如图,ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab(ab≠0)所表示的图形只可能是(

)

x2 y2 解析:直线方程可化为 y=ax+b,曲线方程可化为 + =1.对于 A,直线中 a>0,b>0, a b 此时曲线表示椭圆,故 A 不正确;对于 B、D,由椭圆知直线斜率应满足 a>0, 而由 B,D 知直线斜率均为负值,故 B,D 不正确; x2 y2 由 C 中直线可知 a>0,b<0,曲线方程即为 - =1,表示焦点在 x 轴上的双曲线. a -b 答案:C x2 y2 3.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的 a b

? ??? ? 1 ??? 两条渐近线的交点分别为 B,C.若 AB = BC ,则双曲线的离心率是( 2
A. 2 C. 5 B. 3 D. 10

)

解析:右顶点为 A(a,0),则直线方程为 x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标

??? ? a2 ab a2 ab 2a2b 2a2b ab ab B( , ),C( ,- ),则 BC =( 2 2,- 2 ),AB― →=(- , ). a+b a+b a-b a-b a -b a -b2 a+b a+b
又 2 AB = BC ,∴2a=b,∴e= 5. 答案:C x2 y2 4.已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 作垂直于 x 轴 a b 的直线交双曲线于 A,B 两点.若△ABF2 为直角三角形,则双曲线的离心率为( A.1+ 2 C. 2 解析:∵△ABF2 是直角三角形, ∴∠AF2F1=45° , b2 |AF1|=|F1F2|, =2c. a ∴b2=2ac,∴c2-a2=2ac, ∴e2-2e-1=0. 解得 e=1± 2.又 e>1, ∴e=1+ 2. 答案:A B.1± 2 D. 2± 1 )

??? ?

??? ?

x2 y2 5.过双曲线 - 2=1 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 M,N 两点,F2 为其右焦点, 4 b 则|MF2|+|NF2|-|MN|的值为________. 解析:由双曲线方程知 a=2. |MF2|+|NF2|-|MN| =2a+|MF1|+2a+|NF1|-|MN| =4a+|MN|-|MN| =4a=8. 答案:8 x2 y2 x2 y2 6.(2011· 山东高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且 a b 16 9 双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________. 解析:由题意知,椭圆的焦点坐标是(± 7,0),离心率是 7 .故在双曲线中 c= 7,e= 4

2 7 c x2 y2 = ,故 a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是 - =1. 4 a 4 3 x2 y2 答案: - =1 4 3 7.双曲线 C 的中心在坐标原点,顶点为 A(0, 2),A 点关于一条渐近线的对称点是 B( 2,0),斜率为 2 且过点 B 的直线 l 交双曲线 C 于 M,N 两点,求: (1)双曲线的方程; (2)|MN|. y2 x2 解:(1)依题意可设双曲线方程为 - 2=1, 2 b 线段 AB 的中垂线 y=x 即渐近线, y2 x2 ∴b2=2,双曲线方程为 - =1. 2 2 (2)MN 的方程为 y=2(x- 2), y x ? ? 2 - 2 =1, ? ?3x2-8 2x+6=0. ? ?y=2?x- 2? 8 2 Δ=56>0,x1+x2= ,x1x2=2, 3 ∴|MN|= 1+22|x1-x2|= 5· 64×2 2 70 -8= . 9 3
2 2

8.双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2,经过右焦点 F 且垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知| OA |,| AB |,| OB |成等差数列,且 BF

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

与 FA 同向. (1)求双曲线的离心率; (2)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 解:(1)设 OA=m-d,AB=m,OB=m+d. 由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2, 1 b 得 d= m,tan∠AOF= , 4 a tan∠AOB=tan 2∠AOF= AB 4 = . OA 3

???

b 2 a 4 由倍角公式得 = , b2 3 1-? ? a b 1 5 解得 = ,则离心率 e= . a 2 2 a (2)直线 AB 的方程为 y=- (x-c), b x2 y2 与双曲线方程 2- 2=1 联立消 y 并将 a=2b,c= 5b 代入, a b 15 8 5 化简有 2x2- x+21=0.设交点坐标为(x1,y1),(x2,y2), 4b b 则 = a 1+? ?2|x1-x2| b a [1+? ?2][?x1+x2?2-4x1x2]=4, b 32 5b 2 28b2 5[? ? -4· ] , 15 5

将数值代入,有 4=

x2 y2 解得 b=3,故所求的双曲线方程为 - =1. 36 9


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