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河南省平顶山、许昌、新乡三市2013届高三第三次调研考试(文科数学)


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河南省平顶山、许昌、新乡三市 2013 届高三第三次调研考试 文科数学
本试题卷分第 1 卷(选择题)和第 1l 卷(必考题和选考题两部分)。考生作答时,将答案答 在答题‘p 上(答题注意事项见答题}),在本试题卷上答题无效。考试结束后,将本试题卷

和答题卡一并交同。 第1卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合 题目要求的。 (1)已知全集 u=R,集合 A={x|1<z≤3j,B={x|x>2},则 An( ? ? ? ? B ? )等于 (A){x|1<x≤2)
2

(B){x|1≤x<2)
3 4 5

(c){x|1≤x≤2)

(D){x|l≤x≤3)

(2)若复数 z= 1 ? i ? i ? i ? i ? i

(i 是虚数单位),则复数 z 在复平面内对应的点位于

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 (3)在各项都为正数的等比数列{ an )中, a1 ? 2, a6 ? a1a2 a3 ,则公比 q 的值为 (A)

2

(B)

3

(C) 2

(D)3

(4) 已知角 ? 的顶点与坐标原点重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边落在直线 y=3x 上, cos2 ? = 则 (A)

3 4

(B)

2 3

(c)

3 5

(D)

4 5

(5)如右边的群序框图,若输入脚=4, ,n=6,则输出的 a.,i 分别等于

(A)12,3

(B)12,2

(C)24,2

(D)24,3

(6)已知三个互不重合的平面 ? , ? , ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, ? ? ? ? c ,则给出下列命题:
·1·

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①若 a ? b, a ? c ,则 b ? c ;②若 a ? b ? p ,则 a ? c ? p ;③若 a ? b, a ? c ,则 a ? ? ; ④若 a//b,则 a//c.其中止确命题个数为 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 (7)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图为

(8)设向量 a ? ( 3 sin ? ? cos ? ? 1,1), b ? (1,1), ? ? [ 向上的投影,则 m 的最大值是 (A)

? 2?
3, 3

] ,m 是向量 a 在向量 b

3 2 (B)4 (c)2 2 2

(D)3

(9)已知 0<a<l, x=log a 2 ? log a 3, y ? (A)x>Y>z (B)Z>Y>x

1 log a 5, z ? log a 21 ? log a 3 ,则 2
(D)Y>x>z
2 2 2

(C) z>X>Y

(10)在区间【一 ? ,? 】内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? b ? ? 有零 点的概率为 (A)l 一

? 8

(B)1 一

? 4

(c)1 一

? 2

(D)l 一

3? 4

x2 y 2 ? ? 1 的左,在焦点分别是 F1 , F2 ,弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF 的面积是 5, (1 1)椭圆 25 16
A,B 两点的坐标分别是( X 1 , Y1 ),( X 2 , Y2 ),则 | Y1 ? Y2 | 的值为

A

5 10 20 B C D 3 3 3

5 3

(12)若平面直角坐标系中两点 M,N 满足条件:①M,N 分别在函数 f(x),g(x)的图像 上;②M,N 关于(1,O)对称,则称点对(M,N)是一个“相望点对”(说明:(M,N) 和(N,M)是同一个“相望点对”).函数 y ? 望点对”的个数是
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1 与 y ? 2sin ? x (一 2≤x≤4)的图像中“相 1? x

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(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 第 1I 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 2l 题为必考题,每个试题考生都必须 做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

? ? 3 ??? ??? 则 OA · OB =——. 2 5? 2? 16? (14)设 f(x)是定义在 R 上最小正周期为 的函数, x∈ [? 当 , ? ) 时 f(x)=sinx , f (? ) 的值为 3 3 3
(13)已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O: x ? y ? 1相交于 A.B 两点,且 | AB |?
2 2

(15)已知四面体 P 一 ABC 中,PA=PB=4,PC=2,AC=2 —ABC 外接球的体积为——. (16)已知双曲线 c:

5 ., PB ? 平面 PAC,则四面体 P

X 2 y2 ,b>0)的半焦距为 c,过左焦点且斜率为 1 的直线与双曲 ? ? 1 (a>。 a b
2

线 C 的左、右支各有一个交点,若抛物线 y ? 4cx 的准线被双曲线截得的线段长大于 为双曲线 c 的离心率),则 e 的取值范同是—— 三.解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

2 2 2 be 。(e 3

x ,数列{ an }满足 a1 =l, an ?1 =f( an )(z∈N‘). 3x ? 1

(1)求证:数列{

1 }是等差数列; an

(II)记 sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1 ,求 sn (18)(本小题满分 12 分) 某高校在 2013 年的臼主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩,按成绩共分成五 组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100】 ,得到 的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生为“优秀” 成绩小于 90 , 分的学生为“良好” ,且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.

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(I)求“优秀”和“良好”学生的人数; (11)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出 10 人,求“优秀”和“良好” 的学生分别选出几人? (III)已知甲是在(II)选出的“优秀”学生中的一个,若从选出的“优秀”学生中再选 2 人参加某 专项测试,求甲被选中的概率. (19)(本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体 ABCDE 中, AB ? 平面 ACD,DE ? 平面 ACD,AB=CD=1,AC= 3 , AD=DE=2,G 为 AD 的中点.

(I)在线段 CE 上找一点 F,使得 BF//平面 ACD,并加以证明: (II)求三棱锥 G—BCE 的体积。 (20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 ,抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O,从每条曲

线上各取两个点,其坐标分别是(3,一 2 3 ),(一 2,o),(4,一 4),( 2, ‘ (I)求 C1 , C2 的标准方程;

2 ). 2

(11)是否存在直线 L 满足条件:①过 C2 的焦点 F;②与 C1 交与不同的两点
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M,N 且满足 OM ? ON ?若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由. (21)(本小题满分 12 分) 已知 f(x)= x3 ? ax 2 ? a 2 x ? 2 (I)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (11)若 a<0,求函数 y=f(x)的单调区间; (?)若不等式 2xlnx≤ f '( x) ? a ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

???? ?

????

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时请写清 题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4 一 l:几何证明选讲 如图,已知:C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点, CH ? AB 于点 H,直线 AC 与过 B 点的圆 O 的切线 相交于点 D,E 为 CH 中点,连接 AE 并延长交 BD 于 点 F,直线 CF 交直线 AB 于点 C.

(I)求证:F 是 BD 的中点; (II)求证:CG 是圆 ?O 的切线. (23)(本小题满分 10 分)选修 4 一:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中,将曲线{ {

x ? 2 cos ? ? 2 ( ? 为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标 y ? sin ?

变为原来的 2 倍得到曲线 C1 .以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲 线 C2 的方程为 ? ? 4sin ? . (I)求 C1 和 C2 的普通方程. (II)求 C1 和 C2 的公共弦的垂直平分线的极坐标方程. (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f(x)=

| x ? 1| ? | x ? 2 | ? a
·5·

(1)当 a=一 5 时,求函数 f(x)的定义域;

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(11)若函数 fx)的定义域为 R,求 a 的取值范同.

2013 年高三模拟试题——文科数学参考答案
一、选择题 1----5 AACDA 6-----10 CCCDB 11—12 AB 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. ?

1 8

14. ?

3 2

15. 36?

16.

?

2,3

?

三、 解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解答应写 出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)? an ?1 ? f ? an ? ?

an 3an ? 1

?

3a ? 1 1 1 1 1 ? n ? 3? ? ? ?3 an ?1 an an an ?1 an
?1? ? 是以 1 为首项,3 为公差的等差数列 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 分 ? an ?

所以数列 ?

(Ⅱ)?

1 1 ? 1 ? 3 ? n ? 1? ? 3n ? 2 ? an ? an 3n ? 2

? an ? an ?1 ?

1 1 1 ? 1 1 ? ? ? ?? ? ? 3n ? 2 3n ? 1 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? n ? ? ? ? ? ? 12 分 ? Sn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 3? 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 ? 3 ? 3n ? 1 ? 3n ? 1
18(本题满分 12 分) 解 : ( Ⅰ ) 依 题 意 良 好 学 生 的 人 数 是 40 ? ? 0.01 ? 0.07 ? 0.06 ? ? 5 ? 28 , 优 秀 学 生 人 数 是 4分 (Ⅱ)优秀与良好的人数之比是 3: 7 ,所以采用分层抽样抽取的 10 人中优秀人数是 3,良好人数是 7 ?????? ?????? ??????7 分 (Ⅲ) 将(Ⅱ)中选取的优秀学生记作甲,乙,丙,则从这 3 人中选取 2 人的基本事件是甲乙,乙丙,

40 ? 28 ? 12

?????? ?????? ??????

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甲丙共 3 个,其中含甲的基本事件是甲乙,甲丙共 2 个,所以甲被选中的概率是

2 3

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分
19(本题满分 12 分) (Ⅰ)由已知 AB ? 平面ACD, DE ? 平面ACD ? AB ? ? DE , 设 F是CE的中点, H是CD的中点 ,所以 FH ? ? ED, FH ?

1 ED , 2
,

? AB ? 1,DE ? 2 ? AB ?

1 DE 2

,

?四边形ABHF是平行四边形? BF ? ???

。。。。。。 ? AH ? 平面ACD, BF ? 平面ACD ? BF ? ?平面ACD 。。。。。。。6 分 (Ⅱ)由 DE ? 平面ACD ?平面ABED ? 平面ACD , 在平面 ACD 内作 CP ? AD于P ,

?平面ABED ? 平面ACD ? AD ?CP ? 平面ABED ,

1 ?CP为三棱锥C ? BGE的高 ?VG ? BCE ? VC ? BGE ? S? BGE ? CP , 3
且 S? BGE ? S梯形ABED ? S? ABG ? S? EDG ?

3 3 由三角形的等面积法的 CP ? , 2 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分

1 3 ? VG ? BCE ? VC ? BGE ? S? BGE ? CP = ? . 3 4
20(本题满分 12 分)

y2 : px ) 解:(Ⅰ)设抛物线 C ? ( ? ,则有 ? 2p(x ? 0) , 2 y 2 p0 x
2 2 4 据此验证 4 个点知(3, ? 2 3 )(4, ? 4)在抛物线上,易求 C :y ? x ……2 分 , 2

2 2 2 x y )代入得: ? 2 ?a b 0,把点( ? 2,0),( 2 , ( ? ?) 2 2 a b ? 4 ?a2 ? 1 ?a 2 ? 4 x2 ? ? C 1 方程为 ? y 2 ? 1 ….…….………5 分 解得 ? 2 . ∴ ? 4 ?b ? 1 ? ? 2 ? 1 ?1 ? a 2 2b 2 ? (Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,

设 CC: : 12

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直线 l 的方程为 x ? 1 ,直线 l 交抛物线于 M (1,

???? ???? ? OM ? ON ? 0 不满足题意 …….…………6 分

3 3 ) , N (1, ? ) , 2 2

当直线 l 斜率存在时,假设存在直线 l 过抛物线焦点 F(1 ,设其方程为 y kx 1,与 C 1 的 ,0) ? ( ?)

( , 1 (2y x ), x ) 交点坐标为 M y N, 2. 1

? x2 2 ? 由 ? 4 ? y ? 1 消去 y 并整理得 ( 4 2 k 4 1, 1 2 ? ? ?0 ?x 2 ( ) k 8 k ? ) x 2 ? y ? k ( x ? 1) ?
于是 x ? x2 ? 1

8k2 4(k2 ?1) , x1x2 ? .① 1? 4k2 1? 4k2

….…….………………8 分

2 y ( )x k ?) yxk)[ x ? ? ? ?x 1 1 1 11 ? x x ] 1 k ? ? ( 2. 2 1 ( 1 2
2 2 2 4 1 8 k ) k 3 k 2 ( ? ? 2 1? 2 ?? ) .② 2

y k 即 y ?( 1 2
?? ?? ? ? ?? ?

1k 1k ? 4 ? 4

1k ? 4

.…………9 分

x 1 (* M O ,即 OM ? ,得 x2 y 2? ?ON 0 由O ? N (*). ) 1 ?y 0
将①、②代入(*)式,得
2 4 2? ( 1 32 k ) k k? 4 ? ? ?,解得 k ?? , 0 2 2 2 14 ?k 1 4 1 42 ?k ?k

所以存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为: 2? ? ? 或 2? ? ? . ……12 分 x y20 x y20 21. (本题满分 12 分) 解: (I)? a ? 1,? f ? x ? ? x ? x ? x ? 2 ,? f ? ? x ? ? 3x ? 2 x ? 1
3 2 2

? k ? f ? ?1? ? 4 ,又 f ?1? ? 3 ,所以切点坐标为 ?1,3 ?

?所求的切线方程为 y ? 3 ? 4 ? x ? 1? , 即 4 x ? y ?1 ? 0 ..…………3 分
(II) f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? a ? ? x ? a ?? 3x ? a ?
2 2

由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?a, 或 x ?

a 3

? a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0, 得

a a ? x ? ?a .由 f ? ? x ? ? 0, 得 x ? ,或 x ? ?a 3 3 a a 此时 f ? x ? 的单调递减区间为 ( , ? a ) ,单调递增区间为 (??, ),(?a, ??) …………7 分 3 3
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2

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(III)依题意 x ? (0, ??) ,不等式 2 x ln x ? f ?( x) ? a ? 1 恒成立,等价于

2 x ln x ? 3x2 ? 2ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立
可得 a ? ln x ?

3 1 在 (0, ??) 上恒成立………………………………8 分 x? 2 2x
1 3 1 ? x ? 1?? 3x ? 1? 3 1 x ? ,则 h? ? x ? ? ? ? 2 ? ? x 2 2x 2 x2 2 2x

设 h ? x ? ? ln x ?

令 h? ? x ? ? 0, 得 x ? 1, 或 x ? ? (舍去) ,当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0; 当 x ? 1 时, h? ? x ? ? 0; 当 x 变化时, h? ? x ? , h ? x ? 变化情况如下表:

1 3

x
h? ? x ? h? x?

? 0,1?
+ 单调递增

1 0 2

?1, ?? ?
单调递减

?当 x ? 1 时, h ? x ? 取得最大值, h ? x ?max ? ?2 , a ? ?2 ? a 的取值范围是 ? ?2, ?? ? ………………………………………………………………12 分
22. (本题满分 10 分) (I)证:∵ CH ? AB, DB ? AB, ,∴

?AEH ? ?AFB, ?ACE ? ?ADF

EH AE CE , HE ? EC , BF ? FD ∴ ∵ ∴ ? ? BF AF FD

F是

BD 中点.………….…5 分
(II)∵ AB 是直径,∴ ?ACB =90° ?BCF = ?CBF =90° CBA ? ?CAB ? ?ACO ∴ ?? ∴ ?OCF ? 90 ,∴ CG 是 ? O 的切线….………10 分 (说明:也可证明 ?OCF ? ?OBF (从略,) 23. (本题满分 10 分) (Ⅰ)横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到 ?
?

? x ? 2 cos ? ? 2 (? 为参数) ? y ? 2sin ?

·9·

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? C1为 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 .…….………….…3 分
2

又? C2为? =4sin? ,即x ? y ? 4 y .…….………….….…….………….…5 分
2 2

(Ⅱ) C1和C2 公共弦的垂直平分线的极坐标方程是 ? cos ? ? ? 24. (本题满分 10 分)

? ?

??

? ? 2 .…….………10 分 4?

(I)当 a ? ?5 时,要使函数 f ? x ? ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ? a . 有意义, 则 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?5 ? 0 ①当 x ? ?1 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 ,即 x ? ?2 ; ②当 ? 1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,即 3 ? 5 ,显然不成立; ③当 x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,即 x ? 3 . 综上所求函数的定义域为 ?? ?,?2? ? ?3,?? ? …….….…….………….…5 分 (II) 函数 f ? x ? 的定义域为 R , | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?a ? 0 恒成立, | x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?a 恒 则 即

?1 ? 2 x, ( x ? ?1) ? 成 立 , 构 造 函 数 h?x ? ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | = ? 3, ( ?1 ? x ? 2) , 求 得 函 数 的 最 小 值 为 3 , 所 以 ? 2 x ? 1, ( x ? 2) ?

a ? ?3 .…….……….…….………10 分

·10·


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