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2011-2012北京市朝阳区2012届九年级上学期期末考试数学试卷


2011~ 朝阳区 2011~2012 学年九年级第一学期期末统一考试

数 学 试 卷
(考试时间 120 分钟 学校 注 意 事 项 1. 2. 3. 4. 班级 姓名

2012.1

满分 120 分) 考号

本试卷共 6 页,共三道大题,满分 120 分,考试时间 120 分钟. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

个小题, 一、选择题(共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分) 选择题( 下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 是符合题意的 1. 下列图形是中心对称图形的是

A.

B.

C.

D.

2. 已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 4cm 和 2cm,圆心距 O1O2 为 6cm,则这两个圆的位置 关系是 A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
A

3. 如图,已知△ABC 中,AB= AC,∠ABC=70°,点 I 是△ABC 的内心, 则∠BIC 的度数为 A. 40°
2

B. 70°

C. 110°

D. 140°
I B C

4. 抛物线 y = ( x ? 2) 2 + 1 是由抛物线 y = x 2 平移得到的,下列对于 抛物线 y = x 的平移过程叙述正确的是 A.先向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位 B.先向右平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位 C.先向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位 D.先向左平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位 5. 如图,⊙O 的半径 OC 垂直于弦 AB, D 是优弧 AB 上的一点 (不与点 A、B 重合) ,若∠AOC=50°,则∠CDB 等于 A.25° C.40° B.30° D.50°
A

(第 3 题图)
D O B C

(第 5 题图)

6. 如图是一个照相机成像的示意图,如果底片 AB 宽 40mm,焦距是 60mm,所拍摄的 2m 外的 景物的宽 CD 为 A.12m B.3m
A
40mm 60mm

C E

2m

B D

3 4 D. m C. m 2 3 7. △ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示, 其中 A(1, 2),B(1, 1),C(3, 1),将△ ABC 绕原点 O
顺时针旋转 90 后得到△ A' B ' C ' ,则点 A 旋转到点 A' 所经过的路线长为 A.
-4 -3

(第 6 题图)
y 4 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 A B 1 2 C 3 4 x

o

5 π 2 5 C. π 2

B. D.

5 π 4
5 2

(第 7 题图)
B

8. 如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P 是斜边 AB 上一动点(不与点 A、B 重合) ,PQ⊥AB 交△ABC 的直角边于 点 Q,设 AP 为 x,△APQ 的面积为 y,则下列图象中,能表示 y 关于 x 的函数关系的图象大致是
y
y

P C Q A

y

y

O

5

x

O

5

x

O

5

x

O

5

x

A.

B.

C.

D.

个小题, 二、填空题(共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题( 9. 如图,△ABC 为等边三角形,D 是△ABC 内一点,且 AD=3,将△ABD 绕点 A 旋转到 △ACE 的位置,连接 DE,则 DE 的长为
A E

.

D B C

(第 9 题图)

(第 10 题图)

(第 11 题图)

10. 如图,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型.若该 圆的半径为 1,扇形的圆心角等于 60°,则这个扇形的半径 R 的值是 .

11. 如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=4,BC=6,以点 A 为圆心在这个 梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分) ,则这个扇形的面积是 . 12. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10 ,… 这样的数称为“三角形数”(如图①) , 而把 1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”(如图②) 如果规定 a1 = 1 , a2 = 3 , .

a3 = 6 ,a4 = 10 , …;b1 = 1 ,b2 = 4 ,b3 = 9 ,b4 = 16 , …;y1 = 2a1 + b1 ,y2 = 2a2 + b2 , y3 = 2a3 + b3 , y4 = 2a4 + b4 ,…,那么,按此规定, y6 =
的式子表示,n 为正整数) . , yn = (用含 n

1

3
图①

6

10

1

4

9
图②

16

个小题, 三、解答题(共 13 个小题,共 72 分) 解答题( 13.(本小题满分 5 分) 计算: tan 60° + sin 45° ? 2 cos 30° .
2

C
14.(本小题满分 5 分) 如图,已知 AC = 4 ,求 AB 和 BC 的长.
30° 105°

A
15.(本小题满分 5 分) 如图,□ABCD 中,点 E 在 BA 的延长线上, 连接 CE,与 AD 相交于点 F. (1)求证:△EBC∽△CDF; (2)若 BC=8,CD=3,AE=1,求 AF 的长.
B C A E F

B

D

16.(本小题满分 4 分) 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 和△ A' B ' C ' 是以 坐标原点 O 为位似中心的位似图形,且点 B(3,1) , B′(6,2).

y A'

A C' C O 1 B' B x

5 (1)若点 A( ,3) ,则 A′的坐标为 2

; .

(2)若△ABC 的面积为 m,则△A′B′C′的面积=

17.(本小题满分 5 分) 二次函数 y = ax + bx + c 的部分图象如图所示,其中图象与
2

x 轴交于点 A(-1,0) ,与 y 轴交于点 C(0,-5) ,且经过点 D(3,-8). (1)求此二次函数的解析式; (2)将此二次函数的解析式写成 y = a ( x ? h) 2 + k 的形式, 并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与 x 轴的另一个交点 B 的坐标. 18. (本小题满分 5 分) 经过 18 个月的精心酝酿和 290 多万首都市民投票参与,2011 年 11 月 1 日,“北京精 神”表述语“爱国、创新、包容、厚德”正式向社会发布. 为了更好地宣传“北京精神” , 小明同学参加了由街道组织的百姓宣讲小分队,利用周末时间到周边社区发放宣传材料. 第一周发放宣传材料 300 份,第三周发放宣传材料 363 份. 求发放宣传材料份数的周平均 增长率. 19. (本小题满分 5 分) 如图,CD 与 AB 是⊙O 内两条相交的弦,且 AB 为⊙O 的直径, CE⊥AB 于点 E,CE=5,连接 AC、BD. A

C

5 (1)若 sin D = ,则 cosA= 13

O

E

B


D

(2)在(1)的条件下,求 BE 的长. 20. (本小题满分 5 分)

小红在学习了教科书上相关内容后自制了一个测角仪(图①) ,并尝试用它来测 量校园内一座教学楼 CD 的高度(如图②).她先在 A 处测得楼顶 C 的仰角 α = 30°, 再向楼的方向直行 10 米到达 B 处,又测得楼顶 C 的仰角 β = 60°,若小红的目高(眼 睛到地面的高度)AE 为 1.60 米,请你帮助她计算出这座教学楼 CD 的高度(结果精 确到 0.1 米,参考数据: 2 ≈ 1.41 , 3 ≈ 1.73 , 5 ≈ 2.24 ).
C

E A

α

F B

β

G D

图①

图②

21.(本小题满分 5 分) 已知抛物线 y1 = x + ( m + 1) x + m ? 4 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧) ,且
2

对称轴为 x=-1. (1)求 m 的值; (2)画出这条抛物线; (2)若直线 y 2 = kx + b 过点 B 且与抛物线交于点
-4 -3 -2

y
5 4 3 2 1 -1 O 1 -1 -2 -3 2 3 4

x

P (-2m,-3m) ,根据图象回答:当 x 取
什么值时, y1 ≥ y 2 .

-4 -5

22. (本小题满分 6 分) 某超市销售一款进价为 50 元/个的书包,物价部门规定这款书包的售价不得高于 70 元/个,市场调查发现:以 60 元/个的价格销售,平均每周销售书包 100 个;若每个 书包的销售价格每提高 1 元,则平均每周少销售书包 2 个. (1)求该超市这款书包平均每周的销售量 y(个)与销售价 x(元/个)之间的函数关 系式; (2)求该超市这款书包平均每周的销售利润 w(元)与销售价 x(元/个)之间的函数 关系式; (3)当每个书包的销售价为多少元时,该超市这款书包平均每周的销售利润最大?最 大利润是多少元?

23.(本小题满分 6 分) 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,O 为 BC 边上一点, 以 O 为圆心,OB 为半径作半圆与 AB 边和 BC 边分别 交于点 D、点 E,连接 CD,且 CD=CA,BD= 6 5 , tan∠ADC=2. (1)求证:CD 是半圆 O 的切线; (2)求半圆 O 的直径; (3)求 AD 的长.
C E O B A D

24. (本小题满分 8 分) 已知,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,BC= 2 2 ,点 D、E 在 BC 边上(均不与 点 B、C 重合,点 D 始终在点 E 左侧) ,且∠DAE=45°. (1)请在图①中找出两对相似但不全等的三角形,写在横线上 , ;

(2)设 BE=m,CD=n,求 m 与 n 的函数关系式,并写出自变量 n 的取值范围; (3)如图②,当 BE=CD 时,求 DE 的长; (4)求证:无论 BE 与 CD 是否相等,都有 DE2=BD2+CE2.

A

A

A

B

D
图①

E

C

B

D
图②

E

C

B

D
备用图

E

C

25.(本小题满分 8 分) 已知抛物线 y=ax2+bx+6 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在原点的左侧,点 B 在原点的 右侧) ,与 y 轴交于点 C,且 OB=

1 1 OC,tan∠ACO= ,顶点为 D. 2 6

(1)求点 A 的坐标. (2)求直线 CD 与 x 轴的交点 E 的坐标. (3)在此抛物线上是否存在一点 F,使得以点 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边 形?若存在,请求出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由. (4)若点 M(2,y)是此抛物线上一点,点 N 是直线 AM 上方的抛物线上一动点,当 点 N 运动到什么位置时,四边形 ABMN 的面积 S 最大? 请求出此时 S 的最大值和 点 N 的坐标. (5)点 P 为此抛物线对称轴上一动点,若以点 P 为圆心的圆与(4)中的直线 AM 及 x . 轴同时相切,则此时点 P 的坐标为

y
8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1O -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5

y
8 7 6 5 4 3 2 1

x

-5 -4 -3 -2 -1O -1 -2 -3 -4 -5 -6

1

2

3

4 5

x

备用图①

备用图②

18.朝阳区 2011~2012 学年九年级第一学期期末统一考试 朝阳区 ~

数学试卷参考答案及评分标准 数学试卷参考答案及评分标准 试卷参考答案
个小题, 一、选择题(共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分) 选择题( 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 A 6 D 7 A 8 C

二、填空题(共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题( 个小题, 9. 3 10. 6 11. 4π 12. 78, 2n + n (每空 2 分)
2

个小题, 三、解答题(共 13 个小题,共 72 分) 解答题( 13.(本小题满分 5 分)

? 2? 3 ? 解: 原式 = 3 + ? ? 2 ? ? 2 × 2 , ……………………………………………3 分 ? ? 1 ……………………………………………………………………5 分 = . 2
C
14.(本小题满分 5 分) 解:作 CD⊥AB 于点 D, 在 Rt△ACD 中,∵∠A=30°,
30°

2

1 ∴∠ACD=90°-∠A=60°, CD = AC = 2 , 2 AD = AC ? cos A = 2 3 . ……………………………………………………………3 分
在 Rt△CDB 中,∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°, ∴ BD = CD = 2 ,

A

D

B

CD = 2 2 . …………………………………………………………………4 分 sin 45° ∴ AB = AD + BD = 2 + 2 3 .…………………………………………………………5 分 BC =

15.(本小题满分 5 分) (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴△EAF∽△EBC ,△EAF∽△CDF. ……………………………………………2 分 ∴△EBC∽△CDF. …………………………………………………………………3 分

(2)解:∵△EAF∽△EBC,

EA AF 1 AF = ,即 = . EB BC 1+ 3 8 解得 AF = 2 . …………………………………………………………………………5 分
∴ 16. (本小题满分 4 分) (1) (5,6) ;…………………………………………………………………………………2 分 (2) 4m. ……………………………………………………………………………………4 分

17. (本小题满分 5 分) 解: (1)由题意,有

?a ? b + c = 0, ? ?c = ?5, ?9a + 3b + c = ?8. ?

?a = 1, ? 解得 ?b = ?4, ?c = ?5. ?
…………………………………2 分

∴此二次函数的解析式为 y = x 2 ? 4 x ? 5 .

,B(5,0). …………………………5 分 (2) y = ( x ? 2) 2 ? 9 ,顶点坐标为(2,-9) 18. (本小题满分 5 分) 解:设发放宣传材料份数的周平均增长率为 x,由题意,有

300(1 + x) 2 = 363.
解得

…………………………………………………………………3 分

x1 = 0.1 , x2 = ?2.1 . …………………………………………………………4 分

∵ x = ?2.1 <0,不符合题意,舍去, ∴ x = 0.1 = 10% . ……………………………………………………………………5 分 答:这两次发放材料数的平均增长率为 10%. 19. (本小题满分 5 分) (1)

12 . …………………………………………………………………………………2 分 13
C

(2)解:如图,连接 BC. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°. ∴由(1)知 AC=13, AE = 12 , cos A = 在 Rt△ACB 中, cos A =

12 . 13

A

O

E

B

AC , AB

D

169 ∴ AB = . ………………………………………………………………………4 分 12 25 ∴ BE = AB ? AE = . …………………………………………………………5 分 12

20.(本小题满分 5 分) 解:∵ α = 30°, β = 60°,∴∠ECF= β ? α =30°. ∴ CF = EF = 10 . 在 Rt△CFG 中,CG = CF ? cos β = 5 3. ……………………………………………3 分 ∴ CD = CG + GD = 5 3 + 1.6 ≈ 10.3 . ………………………………………………5 分 答:这座教学楼的高度约为 10.3 米. 21.(本小题满分 5 分) 解: (1)由题意,有

?

m +1 = ?1 ,解得 m=1. ……………………………………………………………2 分 2

(2)如图 1;

…………………3 分
A B

P

图1

图2

(3)如图 2,x≤-2 或 x≥1. ……………………………………………………………5 分

22.(本小题满分 6 分) 解: (1)由题意,有 y = 100 ? 2( x ? 60) , 即 y = ?2 x + 220 ;………………………………………………………………………2 分 (2)由题意,有 w = ( x ? 50)( ?2 x + 220) , 即 w = ?2 x + 320 x ? 11000 ;…………………………………………………………4 分
2

(3)∵抛物线 w = ?2 x + 320 x ? 11000 的开口向下,在对称轴 x = 80 的左侧, w 随
2

x 的增大而增大. 由题意可知 60 ≤ x ≤ 70 ,………………………………………………………………5 分 ∴当 x = 70 时, w 最大为 1600. ………………………………………………………6 分
因此,当每个书包的销售价为 70 元时,该超市可以获得每周销售的最大利润 1600 元.

23.(本小题满分 6 分) (1)证明:如图,连接 OD, ∵OD=OB,∴∠1=∠2. ∵CA=CD,∴∠ADC=∠A. 在△ABC 中, ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠1=90°. ∴∠ADC+∠2=90°. ∴∠CDO=90°. ∵OD 为半圆 O 的半径, ∴CD 为半圆 O 的切线. ………………………………………………………………2 分 (2)解:如图,连接 DE. ∵BE 为半圆 O 的直径, ∴∠EDB=90°. ∴∠1+∠3=90°. ∴∠ADC=∠3. ∴ tan ∠3 =
C E
3

A F D
2 1

O

B

BD = 2. ED

∴ ED = 3 5 . ∴ EB =

BD 2 + DE 2 = 15 . ………………………………………………………4 分

(3)解:作 CF⊥AD 于点 F,∴AF=DF. 设 DF = x , ∵ tan ∠ADC = 2 ,∴CF=2x. ∵∠1+∠FCB=90°, ∴ ∠FCB = ∠ADC . ∴ tan ∠FCB = 2 . ∴FB=4x. ∴BD=3 x= 6 5 . 解得 x = 2 5 . ∴AD=2DF=2x= 4 5 . 24.(本小题满分 8 分) 解: (1)△ADE∽△BAE,△ADE∽△CDA,△BAE∽△CDA; (写出任意两对即可) (2)∵∠BAC=90°,AB=AC,BC= 2 2 , 由(1)知 △BAE∽△CDA, ∴ ……………………………………………………………6 分

BA BE = . CD CA 2 m 4 ∴ = . ∴m = ( 2 < n < 2 2 ). ……………………………………4 分 n 2 n

(3)由(2)只 BE·CD=4, ∴BE=CD=2. ∴BD=BC-CD= 2 2 ? 2 . ∴DE=BE-BD= 4 ? 2 2 .………………………………………………………5 分 (4)如图,依题意,可以将△AEC 绕点 A 顺时针旋转 90°至△AFB 的位置, 则 FB=CE,AF=AE,∠1=∠2, ∴∠FBD=90°. ∴ DF = BD + FB = BD + CE . ……………6 分
2 2 2 2 2

A
1 3

∵∠3+∠1=∠3+∠2=45°, ∴∠FAD=∠DAE. 又∵AD=AD,AF=AE, ∴△AFD≌△AED.
2 2 2

F
4

2

B

D

E

C

∴DE=DF. ………………………………………………………………………7 分 ∴ DE = BD + CE . …………………………………………………………8 分 25.(本小题满分 8 分) 解: (1)根据题意,得 C(0,6). 在 Rt△AOC 中, tan ∠ACO =

1 ,OC=6, 6

∴OA=1. ∴A(-1,0). ……………………………………………………………1 分 (2)∵ OB =

1 OC ,∴OB=3. ∴B(3,0). 2

由题意,得 ?

?a ? b + 6 = 0, ?a = ?2, 解得 ? ?9a + 3b + 6 = 0. ?b = 4.
……………………………………………………………………2 分

∴ y = ?2 x 2 + 4 x + 6 . ∴D(1,8). 可求得直线 CD 的解析式为 y = 2 x + 6 . ∴E(-3,0). ……………………………………………………………………3 分 (3)假设存在以点 A、C、F、E 为顶点的平行四边形, 则 F1(2,6) 2(-2,6) 3(-4,-6). ,F ,F 经验证,只有点(2,6)在抛物线 y = ?2 x 2 + 4 x + 6 上, ∴F(2,6). ………………………………………………………………………4 分

(4)如图,作 NQ∥y 轴交 AM 于点 Q,设 N(m, ? 2m + 4m + 6 ).
2

当 x=2 时,y=6,∴M(2,6). 可求得直线 AM 的解析式为 y = 2 x + 2 . ∴Q(m,2m+2). ∴NQ= ? 2m + 4m + 6 ? ( 2m + 2) = ?2m + 2m + 4 .
2 2

∵ S = S ?ABM + S ?AMN ,其中 S ?ABM = ∴当 S ?AMN 最大时, S 值最大. ∵ S ?AMN = S ?ANQ + S ?MNQ

1 × 4 × 6 = 12 , 2

=

1 × 3 × ( ? 2 m 2 + 2 m + 4) , 2

= ?3m 2 + 3m + 6 , 1 27 = ?3(m ? ) 2 + . 2 4 1 27 ∴当 m = 时, S ?AMN 的最大值为 . 2 4 75 ∴ S 的最大值为 .……………………………………………………………………6 分 4 1 15 2 当 m = 时, ? 2m + 4m + 6 = . 2 2 1 15 ∴N( , ). ……………………………………………………………………7 分 2 2
(5)P1(1, 5 ? 1 ) 2(1, ? 5 ? 1 ). ,P 说明:写成 P1(1, …………………………………………8 分

4 4 ) 2(1, ? ,P )不扣分. 5 +1 5 ?1


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