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对数及对数函数知识小结


高三数学第一轮复习应知应会知识清单

1.对数定义:
如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 b ? loga N .其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.

2.两种特殊对数
常用对数:以 10 为底的对数,记作 lg N . 自然对数:以无理数 e ?

2.71828? 为底的对数,记作 ln N .

3.对数式与指数式的互化关系
a b ? N ? b ? log a N (a ? 0, a ? 1) ,在两式中, a 都是底数; b 分别叫做指数、对数; N 分别叫做幂、真数.

4.对数基本的性质
设 a ? 0, a ? 1 ,则 (1)对数恒等式: aloga N ? N ; (2)零和负数没有对数; (3) loga 1 ? 0 ; loga a ?1 ; loga
1 ? ?1 . a

5.对数的运算性质及其证明
如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: (1)loga (MN) ? loga M ? loga N ; (2)loga
M n (3)log a M n ? n log a M (n ? R ) ; 一般地 logam M n ? loga M (m, n ? R, m ? 0) . ? loga M ? loga N ; N m

证明: (1)由于 am ? an ? am?n ,设 M ? a m , N ? a n ,则 MN ? am?n . 由对数定义 loga M ? m,loga N ? n,loga (M ? N) ? m ? n ,即 loga (M ? N) ? loga M ? loga N . (2)由于
M M M am m n ? am?n .由对数定义 loga M ? m,loga N ? n,loga ? m ? n ,即 loga ? loga M ? loga N . ? am?n ,设 M ? a , N ? a ,则 N N N an

(3)由于 ( a m ) n ? a mn ,设 M ? am ,则 M n ? amn .由对数定义 log a M ? m,log a M n ? mn ,即 log a M n ? n log a M . 常用结论: lg2 ? lg5 ?1 , lg2 ?1 ? lg5 , lg5 ?1 ? lg2 .对此结论在对数化简运算中要会正用反用.

6.换底公式及其证明
设以下结论中 a ? 0, a ? 1 且 b ? 0,b ? 1 ,则有 (1)换底公式: log a N ? (2)推论: 推论 1
l o gb l o g? a bc la c o ;特别地,① log a b ? logb a ? 1 ? log a b ? g
1 ; log b a log b N (a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1) . log b a

② loga b ? logb c ? logc a ?1 . 推论 2
l o gm bn ? a
1 1 1 n l o b .特别地,① log am b ? log a b ? log a b m , log 1 b ? ? log a b ? log a ;② loga bm ? m loga b ? log 1 b . a g b m m am a

换底公式的证明: a log

a

N

? N ? logb a loga N ? logb N ? log a N logb a ? logb N ? log a N ?

logb N . logb a

推论 1( loga blogb c ? loga c )的证明: 证明 1(底数换成 a, b, c 中的任何一个) logb c ? :
log a c ? log a b log b c ? log a c ; log a b

或:左边 ?

log b b log b c log b c ? log b c ? ? log a c ( ? log a c 是反用换底公式得到的). log b a log b a log b a

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高三数学第一轮复习应知应会知识清单 证明 2(底数换成 10)左边 ?
lg b lg c lg c lg c ? ? ? loga c ( ? loga c 也是反用换底公式得到的). lg a lg b lg a lg a

推论 2( loga bn ?
m

log a bn n log a b n n n n ? ? log a b ? log am b n ? log a b . loga b )的证明: log am b ? log a a m m log a a m m m
b b

推论 3 第二换底公式 a log c ? clog a (a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1) .

7.对数函数定义
函数 y ? loga x(a ? 0, a ?1) 叫做对数函数,其中, x 是自变量,函数的定义域为 (0, ??) . 注:对数函数解析式特征: (1)底数:大于零,且不等于 1; (2)真数:单变量 x ; (3)解析式系数:为 1.

8.对数函数图象与性质
解析式
0 ? a ?1
y ? loga x(a ? 0, a ?1)

a ?1

图象

定义域 值域 图象上定点 单调性 结论 推论 1 局部范 围

(0, ??)
R

(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0

在定义域 (0, ??) 上单调递减 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 ;当 x ? 1 时, y ? 0 三个条件“ 0 ? a ? 1 ” “ 0 ? x ? 1 、 y ? 0 ”中, 、 ”“ 知 二推一; 三个条件“ 0 ? a ? 1 ” “ x ? 1 、 y ? 0 ”中,知二 、 ”“ 推一 推论 2
?a ? 1, ?0 ? a ? 1, log a x ? 0 ? ? 或? ? x ? 1, ?0 ? x ? 1.

在定义域 (0, ??) 上单调递增 当 0 ? x ? 1 时, y ? 0 ;当 x ? 1 时, y ? 0 三个条件“ a ? 1 ” “ 0 ? x ? 1 、 y ? 0 ”中,知 、 ”“ 二推一; 三个条件“ a ? 1 ” “ x ? 1 、 y ? 0 ”中, 、 ”“ 知二推 一
?a ? 1, ?0 ? a ? 1, log a x ? 0 ? ? 或? ? x ? 1, ? x ? 1.

底数与 图象位 置关系

结论 1

函数 y ? loga x 图象与函数 y ? log 1 x 图象关于 x 轴对称
a

结论 2

0 ? c ? d ?1? a ? b

注:函数 y ? loga x(a ?1) 图象与 y ? log2 x 的图象类似;函数 y ? loga x(0 ? a ?1) 图象与 y ? log 1 x 的图象类似.
2

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9.常见的对数不等式及转化方式:
①同底型: loga f (x) ? loga g(x) . 转化方式: a ? 1 时, loga f (x) ? loga g(x) ? f (x) ? g(x) ; 0 ? a ? 1 时, loga f (x) ? loga g(x) ? f (x) ? g(x) . ②基本型: loga f (x) ? b . 转化方式: a ? 1 时, log a f ( x) ? b ? log a a b ? f ( x) ? a b ; 0 ? a ? 1 时, log a f ( x) ? b ? log a a b ? 0 ? f ( x) ? a b . ③二次型: f (loga x) ? 0 .如 log 2 x ? log a x ? 12 ? 0 , a 转化方式:换元.如上例中,令 t ? loga x ,则原不等式同解于 t 2 ? t ?12 ? 0 ,再求解.

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