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教师基本功比赛----=常州市武进区高中数学教师解题竞赛试题及参考答案


命题人: 武进区高中数学教师解题竞赛试题命题人:于新华

一,选择题(每题 6 分)
1,| |≤2 的必要但不充分条件是 ,|x| ,| A,| +1|≤3 ,|x+ | B,| +1|≤2 ,|x+ | ,| ,| 2,函数 f ( x) =| log 1 ( x 1) | 的单调递减区间为 ,
2

C,| +1

|≤1 ,|x+ | ,|

( ) D,| -1|≤1 ,|x- | ,| ( )

A, (0,2] , 3,函数 y = , A, [ ,

B, (1,2] ,

C, (1,0] ,

D, (1, ∞ ) ,

x 1 的值域是 x
1 1 , ] 2 2
B, [0,1] , C, [0, ] ,

(

)

1 2

D, [0,+∞] ,

4,对于不同的 r∈R,极限 lim , ∈ ,

| r |n n →∞ 1+ | r |n

(

)

A,有唯一确定的值 B,有两个不同的值 C,有三个不同的值 , , ,

D,有多于三个不同的值 ,

5,若函数 f ( x) = x 2 x p 2 + p 在区间 -1,1]内至少存在一个实数 m,使得 f ( m)>0 ,则实数 p , 在区间[- 内至少存在一个实数 , 的取值范围是 (A)0<p<2 ) < < B,- <p<2 ,-1< < ,- (C)p≤-1 ) ≤ (D)- <p<0 或 1<p<2 )-1< < < < )-

(-∞ + 上的奇函数, 6, f ( x ) 是 , 设 (-∞,+∞) 上的奇函数, f ( x + 2) = f ( x ) . 0≤x≤1 时,f ( x ) = x , f ( 23.5) = 且 当 ≤ ≤ 则 ( )A,1.5 , 7,数列 {an }中, an +1 = , B,- ,-1.5 ,- C,0.5 , B, , D,- ,-0.5 ,-

an 2 , a1 = 2 ,则 a10 = A, , 1 + 3an 55

2 19

C, ,

2 49

D, ,

2 61

8,据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》"2001 年国内生产总值达到 95933 亿元, , 日九届人大五次会议《政府工作报告》 亿元, : 期间( 每年的国内生产总值都按此年增长率增长, 比上年增长 7.3%. 如果"十五"期间(2001 年~2005 年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长, %. 如果" " 那么到" 末我国国内生产年生产总值约为( ) 那么到"十五"末我国国内生产年生产总值约为( A,135000 亿元 , B,127000 亿元 , C,120000 亿元 , D,115000 亿元 , 9,已知两点 M(- ) (5,0) 给出下列直线方程: (-5,0) ,N( ) 给出下列直线方程: ,给出下列直线方程 , (- , , ① 5x-3y=0 - = ② 5x-3y-30=0 - - = ③ x-y=0 - = ④ 4x-y+5=0 - + = 在上述四条直线上, 满足| |=|NP|+ 在上述四条直线上,存在点 P 满足|MP|=| |+ 的是 |=| |+6 ( ) A,②③ B,②④ C,①③ D,①②③ , , , , 10,如图,向高为 H 的水瓶 ,(B),(C),(D)同时以等速注水,注满为止. 的水瓶(A), , , 同时以等速注水 注满为止. 同时以等速注水, ,如图,

A B C D 的函数的图象是下图(a), A ⑴若水量 V 与水深 h 的函数的图象是下图 ,则水瓶的形状是 的函数的图象是下图(b), ⑵若水深 h 与注水时间 t 的函数的图象是下图 ,则水瓶的形状是 D 的函数的图象是下图(c), ⑶若注水时间 t 与水深 h 的函数的图象是下图 ,则水瓶的形状是 B
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. . .

的函数的图象是下图(d), ⑷若水量 V 与注水时间 t 的函数的图象是下图 ,则水瓶的形状是 A,B,C,D. , , , .

a b c 四句话中, 在⑴,⑵,⑶,⑷四句话中,正确的个数是 A,1 ,

d B,2 , C,3 , D,4 ,

二,填空题(每题 6 分
x2 4 y2 11,若双曲线 + = 1 的一条准线方程是 y = ,则 m 的值为____. 的值为____. , m+4 4 3
12,抛物线 y 2 = p ( x + m) 的准线方程为________. , 的准线方程为________. 13,数列 {an }(n=1,2,3,…,2004) 其中 a1 =1,a2 =3,a3 =5,且其余各项都满足 an + , = … ) ,其中 , , , ,

1 1 = n+ , an n

则这样的数列共有____个 则这样的数列共有____个. ____ 14,动圆满足:⑴截 y 轴所得弦长为 2;⑵被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1.则圆心的轨迹方 轴分成两段圆弧, 3:1. 圆心的轨迹 轨迹方 , 圆满足: 程是__________. 15,现从 5 名学生中选出 4 人分别参加"资源""生态"和"环保"三个夏令营,要求每个夏令营活 , 人分别参加"资源" 生态" , 环保"三个夏令营, 动至少有选出的一人参加,且每人只参加一个夏令营活动 则不同的参加方案的种数是____( ____(写出具 动至少有选出的一人参加,且每人只参加一个夏令营活动,则不同的参加方案的种数是____(写出具 体数字) 体数字) .

三,解答题(每题 12 分)
16,如图,正方形 ABCD 的边长为 4,PD⊥平面 ABCD,PD=6,M,N ,如图, , ⊥ , = , , 的中点. 分别是 PB,AB 的中点. , 求证: ⑴求证:MN⊥CD; ⊥ ; 的体积; ⑵求三棱锥 P-DMN 的体积; - ⑶求二面角 M-DN-C 大小. - - 大小.
P M

C N D A

B

17,△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,h 为 BC 边上的高,a=3h,求 , 边上的高, = , , , , , 所对的边, 范围. 范围.

b c + 的取值 c b

18,等差数列 {an }中,公差为 d, a4 = 84 ,前 n 项和为 S n ,且 S10 >0, S11 <0. , , , . ⑴求 d 的取值范围; 的取值范围; 的值; ⑵求使得 an <0 的最小自然数 n 的值; 的取值范围. , ⑶设集合 {S1 , S 2 , S 3 ,L , S n ,L} 中,元素的最大值为 M,求 M 的取值范围.
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19,在解决"根的分布"有关问题中,我们通常根据图象写出相应的限制条件,如: ,在解决"根的分布"有关问题中,我们通常根据图象写出相应的限制条件, 已知: 已知:方程 x + ax + b = 0 两实根均在区间 (m, n) 内 ( m<n) ,试求参数 a,b 所受到的限制条件(或 , 所受到的限制条件(
2

取值范围) . 取值范围) 由图象可得: 解:记函数 f ( x) = x + ax + b ,由图象可得:
2

= a 2 4b ≥ 0 m< a <n 2 f (m)>0 f (n)>0

,………………,下略 ………………,

其实上面写出的不等式组仅仅是由函数图像观察得到的必要条件, 其实上面写出的不等式组仅仅是由函数图像观察得到的必要条件,请从代数角度严格证明上面不等式 请从代数角度严格证明上面不等式 组也是" 的充分条件. 组也是"两实根均在区间 (m, n) 内"的充分条件.

x2 y 2 20,如图,点 A(1, 3 )为椭圆 + = 1 上一定点,过点 A 引两直 上一定点, ,如图, ( , 2 n
线与椭圆分别交于 B,C 两点,若直线 AB,AC 与 x 轴围成以点 A 为顶点的 , 两点, , 等腰三角形, 的斜率,并求出在什么条件下,可使△ 等腰三角形,求直线 BC 的斜率,并求出在什么条件下,可使△ABC 的面积 最大?最大值是多少? 最大?最大值是多少?

y
B A C O

x

武进区高中数学教师解题竞赛试题参考答案
一,选择题 题号 答案 二,填空题 11,- ,-9 ,- 12, x = m , 1 A 2 B 3 C 4 C 5 B 6 D 7 A 8 B 9 A 10 D

1 p 4

13, 2 2001 ,

14, 2 y 2 x 2 = 1 ,

15,180 ,

三,解答题 16,⑴证明:连结 PA , 证明: ∵ PD⊥平面 ABCD CD⊥AD ⊥ ⊥ ∴ PA⊥CD(三垂线定理) ⊥ (三垂线定理) ∵ M,N 分别是 PB,AB 的中点 , , ∴ MN‖PA ‖ ∴ MN⊥CD ⊥ ⑵解:设 AC,BD 交于点 O , ∵ MO‖PD ‖

P M

C O E D A N

B

1 = ∴ MO⊥底面 ABCD,且 MO= PD=3 ⊥ , = 2
∵ M 是 PB 的中点
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∴ ∴

S PMD = S BMD



VP DMN = VN PMD = VN BMD = VM BDN

1 1 VP DMN = × × 2 × 4 × 3 = 4 3 2

⑶过点 O 作 DN 的垂线 OE,垂足为 E,连结 ME. , , . ∵ MO⊥平面 ABCD ⊥ ∴ ME⊥DN ⊥ ∴ ∠MEO 就是二面角 M-DN-C 的平面角. - - 的平面角. ∵ △MOE 中,∠MOE=90°,MO=3,OE= = ° = , =

2 5



tan ∠MEO =

3 5 2 3 5. 2

即二面角 M-DN-C 的大小为 arctan - - 17,简解:由于最终要求的 ,简解:

b c + 是比值的取值范围,因此与三角形的大小无关,故不妨令 h=1,a=3 是比值的取值范围,因此与三角形的大小无关, = , = c b

作为比例系数,最终在运算过程中必定可以消去) .设 (其实不这样做,也难不了多少,只要把 h 作为比例系数,最终在运算过程中必定可以消去) 设∠A= 其实不这样做,也难不了多少, . =

1 1 bc sin α = × 3 × 1 α,则 2 2 b 2 + c 2 2bc cos α = 9

6 cos α sin α = 3 sin α + 2 cos α = 13 sin(α + arctan 2 ) ∴ 3 3 sin α π 2 3 b c ∴ 当∠A= arctan = arctan 时, + 取得最大值为 13 . = c b 2 3 2 O A b c + ≥ 2 当 b=c 时,不等式取等 ∵ = c b
b c b2 + c2 + = = c b bc

9+

号,而满足 b

显然是存在的. =c 的△ABC 显然是存在的. ∴

b c B C D + 的取值范围为 [2, 13 ] . c b b c 从图形上分析可知, 注:当 + 取得最大值 13 时,从图形上分析可知,此时恰有 OA=OC,经计算有 = , c b

13 + 13 13 13 b = b = 2 2 或 13 13 13 + 13 c = c = 2 2

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18,解:⑴由 ,

a1 + 3d = 84 10 × 9 d>0 10a1 + 2 11× 10 11a1 + 2 d<0
S11 =

<-42 解之得 -56<d<- < <-

⑵ ∵ ∵

(a1 + a11 ) × 11 = 11a6<0 ∴ 2 (a + a ) × 10 S10 = 1 10 = 5(a5 + a6 )>0 2


a6<0


a5>0

∵ d<0 <

an 随 n 增大而减小

∴ 使 an<0 的最小自然数的 n 为 6 最大. 可知, ⑶ 由⑵可知,在 S1 , S 2 , S 3 ,L , S n ,L 中, S5 最大.

S 5 = 5a1 + 10d = 420 5d
<-42 ∵ -56<d<- < <- ∴ 630< S5 <700 < 的取值范围为( 即 M 的取值范围为(630,700) ) . 19,证明:∵ ,证明: 210<- <280 <-5d< <-

= a 2 4b ≥ 0
2

必有两实根, ∴ 方程 x + ax + b = 0 必有两实根,记为 x1 , x2 则 ∵ ∴ 即 ∵ ∵ ∴

x 2 + ax + b = ( x x1 ) ( x x2 ) f (m)>0 , f (n)>0

(m x1 ) (m x2 )>0 , (n x1 ) (n x2 )>0 ( x1 m) ( x2 m)>0 , ( x1 n) ( x2 n)>0
a m< < n 2
∴ ∴ ………… ⑴

2m< a<2n

x1 + x2 = a

2m<x1 + x2<2n
………… ⑵

( x1 m) + ( x2 m)>0 , ( x1 n) + ( x2 n)<0

∴ 由⑴,⑵得 ∴

x1 m>0 , x2 m>0 , x1 n<0 , x2 n<0

m<x1<n , m<x2<n

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综上所得, 有两实根, 综上所得,方程 x + ax + b = 0 有两实根,且这两实根均在区间 (m, n) 内. 所得
2

20,分析:1,变中不变;2,设 k 解方程并不繁,必可因式分解;3,只需计算一次,另一次同理,这与 ,分析: ,变中不变; , 解方程并不繁,必可因式分解; ,只需计算一次,另一次同理, 1996 年高考数学试题第 24 题类似;4,结论可推广. 题类似; ,结论可推广. 解:把点 A(1, 3 )代入 ( ,

x2 y 2 + = 1 得 n=6 = 2 n

轴垂直,因此其斜率必存在, 显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与 x 轴垂直,因此其斜率必存在,设两腰的斜率分别为 k1 ,

y 3 = k1 ( x 1) 6 + 2 3k1 k 2 ,由 x 2 y 2 的横坐标) 得点 B 的横坐标为 x = 1 ( x = 1 为点 A 的横坐标) , k12 + 3 + =1 6 2
∴点 B 的纵坐标为 y =

3

6 + 2 3k1 2 3k12 + 6k1 2 3k12 + 6k1 , 3 ). ,即 B (1 k12 + 3 k12 + 3 k12 + 3
2 6 + 2 3k 2 2 3k 2 + 6k 2 , 3 ) 2 2 k2 + 3 k2 + 3

同理可得点 C 的坐标为 C (1



k1 + k 2 = 0

∴ 直线 BC 的斜率为 k BC =

3

x2 y2 + = 1 得 6 x 2 + 2 3mx + m 2 6 = 0 , ∴ 设 直 线 BC 的 方 程 为 y = 3 x + m , 代 入 方 程 2 6

| BC |=

2 3 12 m 2 3
|m| 2

又点 A 到直线 BC 的距离为 d =



S=

1 3 3 | BC | d = m 2 (12 m 2 ) = (m 2 6) 2 + 36 2 6 6
2

∴ 当 m = 6 ,即 m =

6 或 m = 6 时,△ABC 面积取得最大值为 3 .此时,直线 BC 的方程 此时,

,B, 两点恰好分别是长,短轴的端点. ‖ ( 为原点) , 为 y = 3 x ± 6 ,易知此时 BC‖OA(O 为原点) ,C 两点恰好分别是长,短轴的端点. 高考数学试题 理工农医类) 数学试题( 附:1996 年高考数学试题(理工农医类)第 24 题
2 2 的两条互相垂直的直线, 已知 l1 , l2 是过点 P(- 2 ,0)的两条互相垂直的直线,且 l1 , l2 与双曲线 y x = 1 各有两个交

点,分别为 A1 , B1 和 A2 , B2 . 的取取范围; ⑴求 l1 的斜率 k1 的取取范围; 的方程. ⑵若 | A1 B1 |= 5 | A2 B2 | ,求 l1 , l2 的方程.
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