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【优化方案】2014届高考数学6.3 不等式的证明 随堂检测(含答案解析)


1 已知函数 f(x)= x2-aln x(a∈R). 2 (1)求 f(x)的单调区间; 1 2 (2)当 x>1 时, x2+ln x< x3 是否恒成立,并说明理由. 2 3 a 解:(1)由题意得 f′(x)=x- (x>0), x ∴当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞). 2 a x -a ?x- a??x+ a? 当 a>0 时,f′(x)=x- = = . x x x ∴当 0<x< a时,f′(x)<0;当 x> a时,f′(x)>0. ∴当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为( a,+∞), 单调递减区间为(0, a). 2 1 1 (2)设 g(x)= x3- x2-ln x,则 g′(x)=2x2-x- . 3 2 x ?x-1??2x2+x+1? ∵当 x>1 时,g′(x)= >0, x ∴g(x)在(1,+∞)上是增函数. 1 ∴g(x)>g(1)= >0. 6 2 3 1 2 1 2 即 x - x -ln x>0,∴ x2+ln x< x3. 3 2 2 3 1 2 2 3 故当 x>1 时, x +ln x< x 恒成立. 2 3


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