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一个定点问题的研究性学习


2007 年

第 46 卷

第1期

数学通报

51

一个定点问题的研究性学习
张必平
( 湖北省咸宁市鄂南高中 437100)

文[ 1] 认真研读天 津 2004 年高考 理科卷 第 22 题, 从中挖掘了圆锥曲线的以下性质:

x y + = 1( a > b > 0) 的焦 a2 b 2 点为 F, 相应于 F( c, 0) ( c > 0) 的准线 l 与x 轴相交 性质 1 设椭圆 a2 于点 A , 0 , 过点 A 的直 线交 椭圆于 点 P, Q, 过 c 点 P 且平行于准线 l 的直线 与椭圆 交于另一 点 M , 则 M , F, Q 三点共线. x y = 1( a > 0, b > 0) a 2 b2 的焦点为 F, 相应于 F( c, 0) ( c > 0) 的准线 l 与x 轴 性质 2 设双曲线 a2 相交于 点 A , 0 , 过点 A 的直 线交 双曲 线于 P, c Q , 过点 P 且平行于准线l 的直线与双曲线交于另一 点 M , 则 M, F, Q 三点共线. 性质 3 F, 相 应 于 F A 设抛物线 y = 2px ( p > 0) 的焦点为 p , 0 的 准线 l 与 x 轴 相交 于 点 2
2 2 2 2 2

1

解法探究 第二天 课堂 上, 同学 们很兴 奋, 争先 恐后 地 展

示了自己的解法. 生 1: 将问题转化为证明 M , F, Q 三点共线. 设 直 线 PQ : y = k( x - 3) , P( x 1 , x y ) , Q( x 2 , y 2 ) , 则 M ( x 2, - y 1 ) , F, M , Q 三点共线 - y1 y2 = x 1- 2 x2 - 2 k FM = kPQ - k( x 1 - 3) k ( x 2 - 3) = x 1- 2 x2 - 2

2x 1x 2 - 5( x 1 + x 2) + 12 = 0 y = k( x - 3) 由 x2 y2 + = 1 6 2 得( 3 k 2 + 1) x 2 - 18k 2 x + 27 k 2 - 6 = 0, 依题意 27 k - 6 , 代入 3k 2 + 1 过定点 F( 2, 0) . 生 2: 即证直线 MQ 与x 轴的交点的横坐标为定 值. 设直线 PQ: ky = x - 3, P( x 1, y 1) , Q( x 2 , y 2 ) , 则 M ( x 1, - y 1) , 直线 MQ 的方程为 ( x 2 - x 1) ( y + y 1) = ( y 2 + y 1) ( x - x 1) , x 1y 2 + x 2 y 1 = y 1 + y2 ( ky 1 + 3) y 2 + ( ky 2 + 3) y 1 2 ky 1 y 2 = + 3 y 1 + y2 y1 + y2 令 y = 0, 得 x = 由 ky = x - 3, x 2 + 3y 2 = 6. 得( 3 + k 2) y 2 + 6ky + 3 = 0, 6k 2 , y1 y 2 = 3+ k
2

> 0, 则 x 1 + x 2 = 式左边知

18k 2 , x 1x 2 = 2 3k + 1

式 成立, 故直线 MQ

p , 0 , 过点 A 的直线交抛物线于点 P, Q , 过点 2

P 且平行于准线 l 的直线与抛物线交于另一点M , 则 M , F, Q 三点共线. 凑巧的 是: 不久 前, 笔者 也曾 以这 道高 考题 的 第( ) 问为素材, 在一次两节连堂课上组织了 一次 研究性学习. 拜读文[ 1] 后, 萌生了 将这堂探究 课记 述下来的想法, 一来 想将 文[ 1] 的 三个 性质 予以 推 广, 二来期望能与同行 就如何在 教学中 开展研究 性 学习作些交流. 课前一天, 笔者从天津 2004 年高考理科卷第 22 题中 抽取 了下 面 的定 点 问题, 请同 学 们探 究 解 法, 明天课堂上进行交流. x2 y2 + = 1, 过点 A ( 3, 0) 6 2 的直线与椭圆相交于 P, Q 两点, 设点 P 关于x 轴的 基本问题 已知椭圆 对称点为 M , 证明: 直线 MQ 过定点 F( 2, 0)

依 题意有 3 , 代入 3+ k 2

> 0, 则 y 1+ y 2 = 式整理得 x = 2.

故直线 MQ 过定点 F( 2, 0).

52 生 3: 注意到 F( 2, 0) 为 椭圆右焦 点, A ( 3, 0) 在椭 圆 右准线 l 上, 联想 椭圆 第 二 定义. 如图, 连 FP, FQ, 过 P 作 PP l 于 P , 过 Q 作 QQ l 于Q . 根据椭圆的第二定义, | AP | | PP | | FP | | FM | = = = . | AQ | | QQ | | FQ | | FQ | 连 PM 交 x 轴于K 点, 过 Q 作 QN 为 N. 因为 QN 所以 PM , | AP | | PK | | MK | = = . | AQ | | QN | | QN | | MK | | FM | 故 = , 从 而 Rt | QN | | FQ | MFK 所以 0). 2 推广探究 MFK =

数学通报

2007 年 令 y = 0, 得 x B =

第 46 卷

第1期

x 1y 2 + x 2 y 1 = y 1 + y2 ( ky 1 + m) y 2 + ( ky 2 + m) y 1 2ky 1 y 2 = + m y 1 + y2 y1 + y 2 由 ky = x - m,
2 2 2 2 2 2

(

)

bx + a y = a b. 得 ( a 2 + b 2 k 2 ) y 2 + 2 kmb 2y + b2 m 2 - b 2 a 2 = 0, 依题意有 y1 y2 = a2 , m 故直线 MQ 过定点 B QFN 3 变式探究 探究出定理 2, 同学们的兴奋之 情溢于言表. 我 趁热打铁 引导学生展开了下面的探究. 作出定理 2 中 A 点在 y 轴右侧的两个示意图: a ,0 . m
2

> 0, 则 y 1 + y 2 = -

2kmb 2 , a + b2 k2
2

x 轴, 垂足

b 2 m2 - b 2 a 2 , 代入( a2 + b 2 k 2

) 式整理得 x B =

Rt

QF N , 故直线 MQ 过焦点 F( 2,

师: 请 同学 们回 顾一 下我 们的 解题 思路, 看 看 能否将问题一般化? 生 4: 生 3 的证明 过程中只使用了椭圆的 定义, 并未使用椭圆的方程, 可见这个 证明对 椭圆具有 一 般性. 定理 1 点A x2 y2 已知椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) , 过 a b 图( 1) 然后, 引导学生作出了图( 3) 图 ( 2) ( 6) . ABP +

在 图 ( 1) 中, 连 BP, 由 对 称 性 知 ABQ = 180 . 擦掉 PM , BM , 得到图( 4) .

a2 ,0 , c= a2 - b 2 的 直 线 与椭 圆 交 于 c P, Q 两点, 点 P 关于 x 轴的对称点为 M , 则直线 MQ 过焦点 F( c , 0) . 定理 1 实际上就是文[ 1] 的性质 1. 师: 很好! 若将定理 1 中的定点 A 放松 到 x 轴 上其它地方, 直线 MQ 还过一定点吗? 采用生 2 的思路, 同学们将结论进一步推广: x2 y2 定理 2 已知椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) , 过 a b 定点 A ( m, 0) ( 其中 m 0、 a ) 的直线 l 与椭圆交 于点 P, Q, 点 P 关于 x 轴的对称点为 M , 则直线 MQ 过定点 B a2 ,0 . m 证明 设 直 线 l : ky = x - m, P( x 1 , y 1 ) ,

图( 3) ABQ. 擦掉 PM , QM, 得到图( 6) .

图 ( 4) ABP =

在 图 ( 2) 中, 连 BP, 由 对 称 性 知

Q ( x2 , y2 ) , 则 M ( x 1, - y 1 ) , 直线 MQ 的方程为 ( x 2 - x 1) ( y + y 1 ) = ( y 2 + y 1) ( x - x 1 ) .

图( 5)

图 ( 6)

师: 图( 4) 与图( 6) 将定 理 2 中的对 称关系 隐 藏 起来, 根据这两个图形, 请 同学们给出 定理 2 的

2007 年 两个推论.

第 46 卷

第1期

数学通报 理 3.

53

同学们讨论得到: x y + = 1( a > b > 0) , 过 a 2 b2 定点 A ( m, 0) , ( | m | > a) 的直线 l 与椭圆交于 P, 推论 1 已知椭圆 Q 两点, 则在 x 轴上存在一定点B ABP + 证明 y2 ) . 设 B( x 0 , 0) , 则 kBP + k BQ = ABP + ABQ = 180 y1 y2 + = 0 x 1 - x0 x 2 - x0 x 1 y 2 + x 2y 1 ( ky 1 + m) y 1 + ( ky 2 + m) y 1 x0 = = = y1 + y 2 y 1 + y2 2ky 1 y 2 + m. y 1 + y2 同定理 2 的证明一样得到 y 1 + y 2、 y 1 y 2 , 代入上 式得 x 0 = a2 . m ABQ = 180 . 设直线 l : ky = x - m, P( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , a , 0 , 使得恒有 m
2 2 2

看到这 个美 妙的 证明, 我不 禁赞 叹, 赞叹 学 生 身上蕴藏的巨大的探究潜能. 推论 3 与双曲线
2

过定点 A ( m, 0) ( | m | < a ) 的直线 l
2

x y = 1( a > 0, b > 0) 的一支交于 P, a2 b 2 a2 Q 两点, 则在 x 轴上存在一定点B , 0 , 使得恒有 m ABP = ABQ. 推论 4 过定点 A ( m, 0) ( 0 < | m | < a ) 的 直
2 2

x y = 1( a > 0, b > 0) 的一支交 a2 b 2 a2 于 P, Q 两点, 则在 x 轴上存在一定点 B ,0 , 使 m 得恒有 ABP + ABQ = 180 . 线 l 与双曲线 证明与推论 1 类似, 这里从略. 定理 4 已知抛物线 y = 2px ( p > 0) , 过定点 A ( m, 0)( 其中 m 0) 的直线与抛物线交于 P, Q 两 点, 点 P 关于 x 轴的对称点为 M , 则直线 MQ 过定点 B(- m, 0) . 简证 由 与定理 2 的证明一样得出( ) 式. ky = x - m,
2

x2 y2 推论 2 已知椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) , 过 a b 定点 A ( m, 0) ( 0 < | m | < a ) 的直线 l 与椭圆 交于 P, Q 两点. 则在 x 轴上存在一定点B 有 4 ABP = 类比探究 有了上 面一 系列 的探 究, 同学 们热 情高 涨, 纷 纷追问双曲线和抛物线是否也有类似的结论? 师: 双曲 线与 抛物 线中 是否 也有 类似 的结 论, 还得靠你们去研 究啊! 剩 下的 时间 就交 给 你们 了, 课前 10 分钟再来交流你们的成果吧. 经历了前面的探究 过程, 许 多同学 看起来已 是 驾轻就熟. x2 y 2 = 1( a > 0, b > a 2 b2 0) , 过定点 A ( m, 0) ( 其中 m 0、 a) 的直线与双 定理 3 已知双曲线 曲线交于点 P, Q , 点 P 关于x 轴的对称点为M , 则直 线 MQ 过定点 B 简证 a ,0 . m x y + = 1的 a 2 - b2
2 2 2

a , 0 , 使得恒 m

2

得 y 2 - 2pky - 2pm = 0, y 2 = 2px. 则 y 1 + y 2 = 2pk, y 1 y 2 = - 2pm, 代入( ) 式整 理得 x B = - m. 推论 5 已知抛物线 y 2 = 2px ( p > 0) , 过定点 A ( m, 0) ( m > 0) 的直 线 与抛 物线 交于 点 P 、 Q 两 点, 则 在 x 轴 上存 在一 定 点 B( - m, 0) , 使得 恒 有 ABP = ABQ. 推论 6 已知抛物线 y 2 = 2px ( p > 0) , 过定点 ABP A ( m, 0) ( m < 0) 的直线 与抛物线 交于 P 、 Q 两 点, 则 在 x 轴上存在一定点B(- m, 0) , 使得恒有 + ABQ = 180 . 证明与推论 1 类似, 这里从略. 至此, 学生 在教 师的 引导下, 通过对 基本 问 题 的探究, 最终 得到了 圆锥 曲线 的系 列性 质, 其中 定 理 2、 3、 4 实际上就是文[ 1] 引出 的三个性 质的进 一 步推 广, 这 些 性质 体 现了 三 种圆 锥 曲线 的 和 谐 统 一, 在给 学生 心灵以 美的 震撼 的同 时, 极大 地激 发 了学生的 学习兴 趣, 为学 生养 成独 立思 考、 主动 探 索的学习习惯, 提高学生的数学素质奠定了基础.
参考文献

ABQ.

与推论 1 的证明类似, 这里从略.

将双曲线的方程写成
2 2

x y + = 1 相比较, 发现只 需 a2 b 2 在定理 2 的推导过程中, 将 b 2 换成- b2 , 便可证得定 结构, 与椭圆的方程

1

骆建华 , 潘建国 . 一道高考题引出圆锥曲线 的一个性质 . 数 学 通报 , 2005, 11


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